Nichtassoziative Algebra – Wikipedia

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Dieser Artikel handelt von einer bestimmten Struktur, die als nicht assoziative Algebra bekannt ist. Informationen zur Nichtassoziativität im Allgemeinen finden Sie unter Nichtassoziativität.

EIN nicht assoziative Algebra (oder Verteilungsalgebra) ist eine Algebra über einem Feld, in dem die binäre Multiplikationsoperation nicht als assoziativ angenommen wird. Das heißt, eine algebraische Struktur EIN ist eine nicht assoziative Algebra über einem Feld K. wenn es sich um einen Vektorraum handelt K. und ist ausgestattet mit einem K.-bilineare binäre Multiplikationsoperation EIN × EIN → EIN die assoziativ sein kann oder nicht. Beispiele hierfür sind Lie-Algebren, Jordan-Algebren, die Oktonionen und der dreidimensionale euklidische Raum, der mit der Kreuzproduktoperation ausgestattet ist. Da nicht angenommen wird, dass die Multiplikation assoziativ ist, ist die Verwendung von Klammern zur Angabe der Reihenfolge der Multiplikationen erforderlich. Zum Beispiel die Ausdrücke (ab) (CD), (ein(bc))d und ein(b(CD)) können alle unterschiedliche Antworten liefern.

Während dieser Verwendung von nicht assoziativ bedeutet, dass Assoziativität nicht angenommen wird, es bedeutet nicht, dass Assoziativität nicht erlaubt ist. Mit anderen Worten bedeutet “nicht assoziativ” “nicht unbedingt assoziativ”, genauso wie “nicht kommutativ” für nichtkommutative Ringe “nicht unbedingt kommutativ” bedeutet.

Eine Algebra ist unital oder einheitlich wenn es ein Identitätselement hat e mit Ex = x = xe für alle x in der Algebra. Zum Beispiel sind die Oktonionen unital, Lie-Algebren jedoch nie.

Die nichtassoziative Algebra-Struktur von EIN kann untersucht werden, indem es mit anderen assoziativen Algebren assoziiert wird, die Subalgebren der vollständigen Algebra von sind K.-endomorphismen von EIN Als ein K.-Vektorraum. Zwei davon sind die Ableitungsalgebra und die (assoziative) Hüllalgebra, wobei letzteres gewissermaßen “die kleinste assoziative Algebra ist, die enthält EIN“.

Allgemeiner betrachten einige Autoren das Konzept einer nichtassoziativen Algebra über einen kommutativen Ring R.: Ein R.-Modul ausgestattet mit einem R.-bilineare binäre Multiplikationsoperation. Wenn eine Struktur alle Ringaxiome außer der Assoziativität befolgt (zum Beispiel jede R.-algebra), dann ist es natürlich a

Z.{ displaystyle mathbb {Z}}

-algebra, daher beziehen sich einige Autoren auf nichtassoziative

Z.{ displaystyle mathbb {Z}}

-Algebren als nicht assoziative Ringe.

Algebren, die Identitäten erfüllen[edit]

Ringartige Strukturen mit zwei binären Operationen und ohne andere Einschränkungen sind eine breite Klasse, die zu allgemein ist, um sie zu untersuchen. Aus diesem Grund erfüllen die bekanntesten Arten nichtassoziativer Algebren Identitäten oder Eigenschaften, die die Multiplikation etwas vereinfachen. Dazu gehören die folgenden.

Übliche Eigenschaften[edit]

Lassen x, y und z bezeichnen beliebige Elemente der Algebra EIN über dem Feld K.. Lassen Sie Potenzen zu einer positiven Ganzzahl (ungleich Null) rekursiv durch definiert werden x1 ≝ x und entweder xn+1 ≝ xnx (richtige Kräfte) oder xn+1 ≝ xxn (linke Kräfte) je nach Autor.

  • Unital: Es gibt ein Element e damit Ex = x = xe;; in diesem Fall können wir definieren x0 ≝ e.
  • Assoziativ: (xy)z = x(yz).
  • Kommutativ: xy = yx.
  • Antikommutativ:xy = –yx.
  • Jacobi Identität:(xy)z + ((yz)x + ((zx)y = 0 oder x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0 abhängig von den Autoren.
  • Jordanische Identität:(x2y)x = x2(yx) oder (xy)x2 = x(yx2) abhängig von den Autoren.
  • Alternative:(xx)y = x(xy) (linke Alternative) und (yx)x = y(xx) (richtige Alternative).
  • Flexibel:(xy)x = x(yx).
  • nth Macht assoziativ mit n ≥ 2:: xn – kxk = xn für alle ganzen Zahlen k damit 0 k < n.
    • Assoziativer Dritter: x2x = xx2.
    • Vierte Potenzassoziative: x3x = x2x2 = xx3 (vergleichen mit vierte Potenz kommutativ unten).
  • Potenzassoziativ: Die von einem Element erzeugte Subalgebra ist assoziativ, dh nth assoziative Macht für alle n ≥ 2.
  • nDie Macht kommutativ mit n ≥ 2:: xn – kxk = xkxn – k für alle ganzen Zahlen k damit 0 k < n.
    • Kommutativ der dritten Potenz: x2x = xx2.
    • Vierte Potenz kommutativ: x3x = xx3 (vergleichen mit vierter Potenzassoziativer über).
  • Potenzkommutativ: Die von einem Element erzeugte Subalgebra ist kommutativ, dh nth kommutativ für alle n ≥ 2.
  • Nullpotent des Index n ≥ 2: das Produkt von jedem n Elemente verschwinden in jeder Assoziation, aber für einige nicht n−1 Elemente: x1x2…xn = 0 und es gibt n−1 Elemente so dass y1y2…yn−1 ≠ 0 für einen bestimmten Verein.
  • Null des Index n ≥ 2:: Machtassoziativ und xn = 0 und es gibt ein Element y damit yn−1 ≠ 0.

Beziehungen zwischen Eigenschaften[edit]

Zum K. von jedem Merkmal:

  • Assoziativ impliziert Alternative.
  • Zwei beliebige der drei Eigenschaften linke Alternative, richtige Alternative, und flexibelimplizieren die dritte.
    • So, Alternative impliziert flexibel.
  • Alternative impliziert Jordanische Identität.[a]
  • Kommutativ impliziert flexibel.
  • Antikommutativ impliziert flexibel.
  • Alternative impliziert Machtassoziativ.[a]
  • Flexibel impliziert dritte Potenz assoziativ.
  • Zweite Potenzassoziative und zweite Macht kommutativ sind immer wahr.
  • Assoziativer Dritter und dritte Potenz kommutativ sind gleichwertig.
  • nth assoziative Macht impliziert nth kommutativ.
  • Null von Index 2 impliziert antikommutativ.
  • Null von Index 2 impliziert Jordanische Identität.
  • Nullpotent von Index 3 impliziert Jacobi Identität.
  • Nilpotent des Index n impliziert Null des Index N. mit 2 ≤ N. ≤ n.
  • Unital und Null des Index n sind nicht kompatibel.

Wenn K. ≠ GF (2) oder dim (EIN) ≤ 2::

  • Jordanische Identität und kommutativ zusammen implizieren Machtassoziativ.[citation needed]

Wenn verkohlen(K.) ≠ 2::

  • Richtige Alternative impliziert Machtassoziative.
    • Ähnlich, linke Alternative impliziert Machtassoziativ.
  • Unital und Jordanische Identität zusammen implizieren flexibel.
  • Jordanische Identität und flexibel zusammen implizieren Machtassoziative.
  • Kommutativ und antikommutativ zusammen implizieren Nullpotent von Index 2.
  • Antikommutativ impliziert Null von Index 2.
  • Unital und antikommutativ sind nicht kompatibel.

Wenn verkohlen(K.) ≠ 3::

  • Unital und Jacobi Identität sind nicht kompatibel.

Wenn verkohlen(K.) ∉ {2,3,5}:

  • Kommutativ und x4 = x2x2 (eine der beiden definierenden Identitäten vierte Potenz assoziativ) zusammen implizieren Machtassoziativ.

Wenn verkohlen(K.) = 0::

  • Assoziativer Dritter und x4 = x2x2 (eine der beiden definierenden Identitäten vierter Potenzassoziativer) zusammen implizieren Machtassoziativ.

Wenn verkohlen(K.) = 2::

  • Kommutativ und antikommutativ sind gleichwertig.

Mitarbeiter[edit]

Das Mitarbeiter auf EIN ist der K.-multilineare Karte

[⋅,⋅,⋅]::EIN×EIN×EIN→EIN{ displaystyle [cdot ,cdot ,cdot ]: A mal A mal A bis A}

gegeben durch

[x,y,z] = (xy)z – – x(yz).

Es misst den Grad der Nichtassoziativität von

EIN{ displaystyle A}

und kann verwendet werden, um einige mögliche Identitäten, die durch erfüllt werden, bequem auszudrücken EIN.

Lassen x, y und z bezeichnen beliebige Elemente der Algebra.

  • Assoziativ: [x,y,z] = 0.
  • Alternative: [x,x,y] = 0 (linke Alternative) und [y,x,x] = 0 (richtige Alternative).
    • Dies impliziert, dass das Permutieren von zwei Begriffen das Vorzeichen ändert: [x,y,z] = -[x,z,y] = -[z,y,x] = -[y,x,z];; Das Gegenteil gilt nur, wenn verkohlen(K.) ≠ 2.
  • Flexibel: [x,y,x] = 0.
    • Dies impliziert, dass das Permutieren der Extrembegriffe das Vorzeichen ändert: [x,y,z] = -[z,y,x];; Das Gegenteil gilt nur, wenn verkohlen(K.) ≠ 2.
  • Jordanische Identität:[x2,y,x] = 0 oder [x,y,x2] = 0 abhängig von den Autoren.
  • Assoziativer Dritter: [x,x,x] = 0.

Das Kern ist die Menge von Elementen, die mit allen anderen assoziiert sind: das heißt, die n im EIN so dass

[n,A,A] = [A,n,A] = [A,A,n] = {0}.

Der Kern ist ein assoziativer Teilring von EIN.

Center[edit]

Das Center von EIN ist die Menge von Elementen, die mit allem in pendeln und assoziieren EIN, das ist der Schnittpunkt von

mit dem Kern. Es stellt sich heraus, dass für Elemente von C (A) es reicht aus, dass zwei der Sätze

([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n]){ displaystyle ([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])}

sind

{0}}{ displaystyle {0 }}

für den dritten soll auch die Null gesetzt werden.

Beispiele[edit]

  • Euklidischer Raum R.3 Die durch das Vektorkreuzprodukt gegebene Multiplikation ist ein Beispiel für eine Algebra, die antikommutativ und nicht assoziativ ist. Das Kreuzprodukt erfüllt auch die Jacobi-Identität.
  • Lügenalgebren sind Algebren, die die Antikommutativität und die Jacobi-Identität erfüllen.
  • Algebren von Vektorfeldern auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit (wenn K. ist R. oder die komplexen Zahlen C.) oder eine algebraische Variante (allgemein K.);
  • Jordanische Algebren sind Algebren, die das kommutative Gesetz und die jordanische Identität erfüllen.
  • Jede assoziative Algebra führt zu einer Lie-Algebra, indem der Kommutator als Lie-Klammer verwendet wird. Tatsächlich kann jede Lie-Algebra entweder auf diese Weise konstruiert werden oder ist eine Subalgebra einer so konstruierten Lie-Algebra.
  • Jede assoziative Algebra über einem anderen charakteristischen Feld als 2 führt zu einer Jordan-Algebra, indem eine neue Multiplikation definiert wird x * y = (xy+yx) / 2. Im Gegensatz zum Fall der Lie-Algebra kann nicht jede Jordan-Algebra auf diese Weise konstruiert werden. Diejenigen, die können, werden gerufen Besondere.
  • Alternative Algebren sind Algebren, die die alternative Eigenschaft erfüllen. Die wichtigsten Beispiele für alternative Algebren sind die Oktonionen (eine Algebra über den Realzahlen) und Verallgemeinerungen der Oktonionen über andere Felder. Alle assoziativen Algebren sind alternativ. Bis zum Isomorphismus sind die Realitäten, Komplexe, Quaternionen und Oktonionen die einzige endlich dimensionale reale Alternative, Divisionsalgebren (siehe unten).
  • Leistungsassoziative Algebren sind solche Algebren, die die leistungsassoziative Identität erfüllen. Beispiele hierfür sind alle assoziativen Algebren, alle alternativen Algebren, Jordan-Algebren über einem anderen Feld als GF (2) (siehe vorherigen Abschnitt) und die Sedenionen.
  • Die hyperbolische Quaternionsalgebra ist vorbei R.Dies war eine experimentelle Algebra vor der Einführung des Minkowski-Raums für die spezielle Relativitätstheorie.

Weitere Klassen von Algebren:

  • Benotete Algebren. Dazu gehören die meisten Algebren, die für die multilineare Algebra von Interesse sind, wie die Tensoralgebra, die symmetrische Algebra und die äußere Algebra über einen bestimmten Vektorraum. Gradierte Algebren können auf gefilterte Algebren verallgemeinert werden.
  • Divisionsalgebren, in denen multiplikative Inversen existieren. Die endlichdimensionalen alternativen Teilungsalgebren über das Feld der reellen Zahlen wurden klassifiziert. Dies sind die reellen Zahlen (Dimension 1), die komplexen Zahlen (Dimension 2), die Quaternionen (Dimension 4) und die Oktonionen (Dimension 8). Die Quaternionen und Oktonionen sind nicht kommutativ. Von diesen Algebren sind alle bis auf die Oktonionen assoziativ.
  • Quadratische Algebren, die das erfordern xx = Re + sxfür einige Elemente r und s im Bodenfeld und e eine Einheit für die Algebra. Beispiele hierfür sind alle endlichdimensionalen alternativen Algebren und die Algebra realer 2-mal-2-Matrizen. Bis zum Isomorphismus sind die Real, Komplexe, Quaternionen und Oktonionen die einzigen alternativen, quadratischen reellen Algebren ohne Teiler von Null.
  • Die Cayley-Dickson-Algebren (wo K. ist R.), die beginnen mit:
  • Hyperkomplexe Algebren sind alle endlichdimensionale Einheiten R.-Algebren, dazu gehören Cayley-Dickson-Algebren und viele mehr.
  • Die Poisson-Algebren werden bei der geometrischen Quantisierung berücksichtigt. Sie tragen zwei Multiplikationen und verwandeln sie auf unterschiedliche Weise in kommutative Algebren und Lie-Algebren.
  • Genetische Algebren sind nicht assoziative Algebren, die in der mathematischen Genetik verwendet werden.
  • Dreifache Systeme

Eigenschaften[edit]

Es gibt verschiedene Eigenschaften, die aus der Ringtheorie oder aus assoziativen Algebren bekannt sein können und die für nicht assoziative Algebren nicht immer zutreffen. Im Gegensatz zum assoziativen Fall können Elemente mit einer (zweiseitigen) multiplikativen Inversen auch ein Nullteiler sein. Zum Beispiel haben alle Nicht-Null-Elemente der Sedenionen eine zweiseitige Umkehrung, aber einige von ihnen sind auch Nullteiler.

Freie nicht assoziative Algebra[edit]

Das freie nichtassoziative Algebra am Set X. über ein Feld K. ist definiert als die Algebra mit einer Basis, die aus allen nicht assoziativen Monomen besteht, endlichen formalen Produkten von Elementen von X. Klammern behalten. Das Produkt von Monomen u, v ist nur (u) (v). Die Algebra ist unital, wenn man das leere Produkt als Monom nimmt.

Kurosh hat bewiesen, dass jede Subalgebra einer freien nichtassoziativen Algebra frei ist.

Assoziierte Algebren[edit]

Eine Algebra EIN über ein Feld K. ist insbesondere a K.-vektorraum und so kann man das assoziative algebraische Ende betrachtenK.(EIN) von K.-linearer Vektorraumendomorphismus von EIN. Wir können mit der Algebra-Struktur auf assoziieren EIN zwei Subalgebren von EndK.(EIN), das Ableitungsalgebra und die (assoziative) Hüllalgebra.

Ableitungsalgebra[edit]

EIN Ableitung auf EIN ist eine Karte D. mit der Eigenschaft

Die Ableitungen auf EIN bilden einen Unterraum DerK.(EIN) im EndeK.(EIN). Der Kommutator zweier Ableitungen ist wieder eine Ableitung, so dass die Lie-Klammer Der ergibtK.(EIN) eine Struktur der Lie-Algebra.

Umhüllende Algebra[edit]

Es gibt lineare Karten L. und R. an jedes Element angehängt ein einer Algebra EIN::

Das assoziative Hüllalgebra oder Multiplikationsalgebra von EIN ist die assoziative Algebra, die durch die linken und rechten linearen Karten erzeugt wird. Das Schwerpunkt von EIN ist der Zentralisierer der Hüllalgebra in der Endomorphismusalgebra EndK.(EIN). Eine Algebra ist zentral wenn sein Schwerpunkt aus dem besteht K.-skalare Vielfache der Identität.

Einige der möglichen Identitäten, die durch nicht assoziative Algebren erfüllt werden, können bequem in Form der linearen Karten ausgedrückt werden:

  • Kommutativ: jeweils L.(ein) ist gleich dem entsprechenden R.(ein);
  • Assoziativ: beliebig L. pendelt mit irgendwelchen R.;;
  • Flexibel: jeder L.(ein) pendelt mit dem entsprechenden R.(ein);
  • Jordanien: jeder L.(ein) pendelt mit R.(ein2);
  • Alternative: jeder L.(ein)2 = L.(ein2) und ähnlich für das Recht.

Das quadratische Darstellung Q. ist definiert durch:

oder gleichwertig

Der Artikel über universelle Hüllalgebren beschreibt die kanonische Konstruktion von Hüllalgebren sowie die Theoreme vom PBW-Typ für sie. Für Lie-Algebren haben solche umhüllenden Algebren eine universelle Eigenschaft, die im Allgemeinen für nicht assoziative Algebren nicht gilt. Das bekannteste Beispiel ist vielleicht die Albert-Algebra, eine außergewöhnliche Jordan-Algebra, die nicht von der kanonischen Konstruktion der Hüllalgebra für Jordan-Algebren umhüllt ist.

Siehe auch[edit]

Zitate[edit]

Verweise[edit]

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