[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/2020\/12\/31\/nichtassoziative-algebra-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/2020\/12\/31\/nichtassoziative-algebra-wikipedia\/","headline":"Nichtassoziative Algebra – Wikipedia","name":"Nichtassoziative Algebra – Wikipedia","description":"before-content-x4 Dieser Artikel handelt von einer bestimmten Struktur, die als nicht assoziative Algebra bekannt ist. 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Informationen zur Nichtassoziativit\u00e4t im Allgemeinen finden Sie unter Nichtassoziativit\u00e4t.EIN nicht assoziative Algebra (oder Verteilungsalgebra) ist eine Algebra \u00fcber einem Feld, in dem die bin\u00e4re Multiplikationsoperation nicht als assoziativ angenommen wird. Das hei\u00dft, eine algebraische Struktur EIN ist eine nicht assoziative Algebra \u00fcber einem Feld K. wenn es sich um einen Vektorraum handelt K. und ist ausgestattet mit einem K.-bilineare bin\u00e4re Multiplikationsoperation EIN \u00d7 EIN \u2192 EIN die assoziativ sein kann oder nicht. Beispiele hierf\u00fcr sind Lie-Algebren, Jordan-Algebren, die Oktonionen und der dreidimensionale euklidische Raum, der mit der Kreuzproduktoperation ausgestattet ist. Da nicht angenommen wird, dass die Multiplikation assoziativ ist, ist die Verwendung von Klammern zur Angabe der Reihenfolge der Multiplikationen erforderlich. Zum Beispiel die Ausdr\u00fccke (ab) (CD), (ein(bc))d und ein(b(CD)) k\u00f6nnen alle unterschiedliche Antworten liefern. W\u00e4hrend dieser Verwendung von nicht assoziativ bedeutet, dass Assoziativit\u00e4t nicht angenommen wird, es bedeutet nicht, dass Assoziativit\u00e4t nicht erlaubt ist. Mit anderen Worten bedeutet “nicht assoziativ” “nicht unbedingt assoziativ”, genauso wie “nicht kommutativ” f\u00fcr nichtkommutative Ringe “nicht unbedingt kommutativ” bedeutet.Eine Algebra ist unital oder einheitlich wenn es ein Identit\u00e4tselement hat e mit Ex = x = xe f\u00fcr alle x in der Algebra. Zum Beispiel sind die Oktonionen unital, Lie-Algebren jedoch nie.Die nichtassoziative Algebra-Struktur von EIN kann untersucht werden, indem es mit anderen assoziativen Algebren assoziiert wird, die Subalgebren der vollst\u00e4ndigen Algebra von sind K.-endomorphismen von EIN Als ein K.-Vektorraum. Zwei davon sind die Ableitungsalgebra und die (assoziative) H\u00fcllalgebra, wobei letzteres gewisserma\u00dfen “die kleinste assoziative Algebra ist, die enth\u00e4lt EIN“. Allgemeiner betrachten einige Autoren das Konzept einer nichtassoziativen Algebra \u00fcber einen kommutativen Ring R.: Ein R.-Modul ausgestattet mit einem R.-bilineare bin\u00e4re Multiplikationsoperation. Wenn eine Struktur alle Ringaxiome au\u00dfer der Assoziativit\u00e4t befolgt (zum Beispiel jede R.-algebra), dann ist es nat\u00fcrlich a Z.{ displaystyle mathbb {Z}}-algebra, daher beziehen sich einige Autoren auf nichtassoziative Z.{ displaystyle mathbb {Z}}-Algebren als nicht assoziative Ringe.Table of Contents Algebren, die Identit\u00e4ten erf\u00fcllen[edit]\u00dcbliche Eigenschaften[edit]Beziehungen zwischen Eigenschaften[edit]Mitarbeiter[edit]Center[edit]Beispiele[edit]Eigenschaften[edit]Freie nicht assoziative Algebra[edit]Assoziierte Algebren[edit]Ableitungsalgebra[edit]Umh\u00fcllende Algebra[edit]Siehe auch[edit]Zitate[edit]Verweise[edit]Algebren, die Identit\u00e4ten erf\u00fcllen[edit]Ringartige Strukturen mit zwei bin\u00e4ren Operationen und ohne andere Einschr\u00e4nkungen sind eine breite Klasse, die zu allgemein ist, um sie zu untersuchen. Aus diesem Grund erf\u00fcllen die bekanntesten Arten nichtassoziativer Algebren Identit\u00e4ten oder Eigenschaften, die die Multiplikation etwas vereinfachen. Dazu geh\u00f6ren die folgenden.\u00dcbliche Eigenschaften[edit]Lassen x, y und z bezeichnen beliebige Elemente der Algebra EIN \u00fcber dem Feld K.. Lassen Sie Potenzen zu einer positiven Ganzzahl (ungleich Null) rekursiv durch definiert werden x1 \u225d x und entweder xn+1 \u225d xnx (richtige Kr\u00e4fte) oder xn+1 \u225d xxn (linke Kr\u00e4fte) je nach Autor.Unital: Es gibt ein Element e damit Ex = x = xe;; in diesem Fall k\u00f6nnen wir definieren x0 \u225d e.Assoziativ: (xy)z = x(yz).Kommutativ: xy = yx.Antikommutativ:xy = –yx.Jacobi Identit\u00e4t:(xy)z + ((yz)x + ((zx)y = 0 oder x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0 abh\u00e4ngig von den Autoren.Jordanische Identit\u00e4t:(x2y)x = x2(yx) oder (xy)x2 = x(yx2) abh\u00e4ngig von den Autoren.Alternative:(xx)y = x(xy) (linke Alternative) und (yx)x = y(xx) (richtige Alternative).Flexibel:(xy)x = x(yx).nth Macht assoziativ mit n \u2265 2:: xn – kxk = xn f\u00fcr alle ganzen Zahlen k damit 0 k < n.Assoziativer Dritter: x2x = xx2.Vierte Potenzassoziative: x3x = x2x2 = xx3 (vergleichen mit vierte Potenz kommutativ unten).Potenzassoziativ: Die von einem Element erzeugte Subalgebra ist assoziativ, dh nth assoziative Macht f\u00fcr alle n \u2265 2.nDie Macht kommutativ mit n \u2265 2:: xn – kxk = xkxn – k f\u00fcr alle ganzen Zahlen k damit 0 k < n.Kommutativ der dritten Potenz: x2x = xx2.Vierte Potenz kommutativ: x3x = xx3 (vergleichen mit vierter Potenzassoziativer \u00fcber).Potenzkommutativ: Die von einem Element erzeugte Subalgebra ist kommutativ, dh nth kommutativ f\u00fcr alle n \u2265 2.Nullpotent des Index n \u2265 2: das Produkt von jedem n Elemente verschwinden in jeder Assoziation, aber f\u00fcr einige nicht n\u22121 Elemente: x1x2\u2026xn = 0 und es gibt n\u22121 Elemente so dass y1y2\u2026yn\u22121 \u2260 0 f\u00fcr einen bestimmten Verein.Null des Index n \u2265 2:: Machtassoziativ und xn = 0 und es gibt ein Element y damit yn\u22121 \u2260 0.Beziehungen zwischen Eigenschaften[edit]Zum K. von jedem Merkmal:Assoziativ impliziert Alternative.Zwei beliebige der drei Eigenschaften linke Alternative, richtige Alternative, und flexibelimplizieren die dritte.So, Alternative impliziert flexibel.Alternative impliziert Jordanische Identit\u00e4t.[a]Kommutativ impliziert flexibel.Antikommutativ impliziert flexibel.Alternative impliziert Machtassoziativ.[a]Flexibel impliziert dritte Potenz assoziativ.Zweite Potenzassoziative und zweite Macht kommutativ sind immer wahr.Assoziativer Dritter und dritte Potenz kommutativ sind gleichwertig.nth assoziative Macht impliziert nth kommutativ.Null von Index 2 impliziert antikommutativ.Null von Index 2 impliziert Jordanische Identit\u00e4t.Nullpotent von Index 3 impliziert Jacobi Identit\u00e4t.Nilpotent des Index n impliziert Null des Index N. mit 2 \u2264 N. \u2264 n.Unital und Null des Index n sind nicht kompatibel.Wenn K. \u2260 GF (2) oder dim (EIN) \u2264 2::Jordanische Identit\u00e4t und kommutativ zusammen implizieren Machtassoziativ.[citation needed]Wenn verkohlen(K.) \u2260 2::Richtige Alternative impliziert Machtassoziative.\u00c4hnlich, linke Alternative impliziert Machtassoziativ.Unital und Jordanische Identit\u00e4t zusammen implizieren flexibel.Jordanische Identit\u00e4t und flexibel zusammen implizieren Machtassoziative.Kommutativ und antikommutativ zusammen implizieren Nullpotent von Index 2.Antikommutativ impliziert Null von Index 2.Unital und antikommutativ sind nicht kompatibel.Wenn verkohlen(K.) \u2260 3::Unital und Jacobi Identit\u00e4t sind nicht kompatibel.Wenn verkohlen(K.) \u2209 {2,3,5}:Kommutativ und x4 = x2x2 (eine der beiden definierenden Identit\u00e4ten vierte Potenz assoziativ) zusammen implizieren Machtassoziativ.Wenn verkohlen(K.) = 0::Assoziativer Dritter und x4 = x2x2 (eine der beiden definierenden Identit\u00e4ten vierter Potenzassoziativer) zusammen implizieren Machtassoziativ.Wenn verkohlen(K.) = 2::Kommutativ und antikommutativ sind gleichwertig.Mitarbeiter[edit]Das Mitarbeiter auf EIN ist der K.-multilineare Karte [\u22c5,\u22c5,\u22c5]::EIN\u00d7EIN\u00d7EIN\u2192EIN{ displaystyle [cdot ,cdot ,cdot ]: A mal A mal A bis A} gegeben durch[x,y,z] = (xy)z – – x(yz).Es misst den Grad der Nichtassoziativit\u00e4t von EIN{ displaystyle A}und kann verwendet werden, um einige m\u00f6gliche Identit\u00e4ten, die durch erf\u00fcllt werden, bequem auszudr\u00fccken EIN.Lassen x, y und z bezeichnen beliebige Elemente der Algebra.Assoziativ: [x,y,z] = 0.Alternative: [x,x,y] = 0 (linke Alternative) und [y,x,x] = 0 (richtige Alternative).Dies impliziert, dass das Permutieren von zwei Begriffen das Vorzeichen \u00e4ndert: [x,y,z] = -[x,z,y] = -[z,y,x] = -[y,x,z];; Das Gegenteil gilt nur, wenn verkohlen(K.) \u2260 2.Flexibel: [x,y,x] = 0.Dies impliziert, dass das Permutieren der Extrembegriffe das Vorzeichen \u00e4ndert: [x,y,z] = -[z,y,x];; Das Gegenteil gilt nur, wenn verkohlen(K.) \u2260 2.Jordanische Identit\u00e4t:[x2,y,x] = 0 oder [x,y,x2] = 0 abh\u00e4ngig von den Autoren.Assoziativer Dritter: [x,x,x] = 0.Das Kern ist die Menge von Elementen, die mit allen anderen assoziiert sind: das hei\u00dft, die n im EIN so dass[n,A,A] = [A,n,A] = [A,A,n] = {0}.Der Kern ist ein assoziativer Teilring von EIN.Center[edit]Das Center von EIN ist die Menge von Elementen, die mit allem in pendeln und assoziieren EIN, das ist der Schnittpunkt vonC.(EIN)={n\u2208EIN | nr=rn\u2200r\u2208EIN}}{ displaystyle C (A) = {n in A | nr = rn , forall r in A , }}mit dem Kern. Es stellt sich heraus, dass f\u00fcr Elemente von C (A) es reicht aus, dass zwei der S\u00e4tze ([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n]){ displaystyle ([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])} sind {0}}{ displaystyle {0 }} f\u00fcr den dritten soll auch die Null gesetzt werden.Beispiele[edit]Euklidischer Raum R.3 Die durch das Vektorkreuzprodukt gegebene Multiplikation ist ein Beispiel f\u00fcr eine Algebra, die antikommutativ und nicht assoziativ ist. Das Kreuzprodukt erf\u00fcllt auch die Jacobi-Identit\u00e4t.L\u00fcgenalgebren sind Algebren, die die Antikommutativit\u00e4t und die Jacobi-Identit\u00e4t erf\u00fcllen.Algebren von Vektorfeldern auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit (wenn K. ist R. oder die komplexen Zahlen C.) oder eine algebraische Variante (allgemein K.);Jordanische Algebren sind Algebren, die das kommutative Gesetz und die jordanische Identit\u00e4t erf\u00fcllen.Jede assoziative Algebra f\u00fchrt zu einer Lie-Algebra, indem der Kommutator als Lie-Klammer verwendet wird. Tats\u00e4chlich kann jede Lie-Algebra entweder auf diese Weise konstruiert werden oder ist eine Subalgebra einer so konstruierten Lie-Algebra.Jede assoziative Algebra \u00fcber einem anderen charakteristischen Feld als 2 f\u00fchrt zu einer Jordan-Algebra, indem eine neue Multiplikation definiert wird x * y = (xy+yx) \/ 2. Im Gegensatz zum Fall der Lie-Algebra kann nicht jede Jordan-Algebra auf diese Weise konstruiert werden. Diejenigen, die k\u00f6nnen, werden gerufen Besondere.Alternative Algebren sind Algebren, die die alternative Eigenschaft erf\u00fcllen. Die wichtigsten Beispiele f\u00fcr alternative Algebren sind die Oktonionen (eine Algebra \u00fcber den Realzahlen) und Verallgemeinerungen der Oktonionen \u00fcber andere Felder. Alle assoziativen Algebren sind alternativ. Bis zum Isomorphismus sind die Realit\u00e4ten, Komplexe, Quaternionen und Oktonionen die einzige endlich dimensionale reale Alternative, Divisionsalgebren (siehe unten).Leistungsassoziative Algebren sind solche Algebren, die die leistungsassoziative Identit\u00e4t erf\u00fcllen. Beispiele hierf\u00fcr sind alle assoziativen Algebren, alle alternativen Algebren, Jordan-Algebren \u00fcber einem anderen Feld als GF (2) (siehe vorherigen Abschnitt) und die Sedenionen.Die hyperbolische Quaternionsalgebra ist vorbei R.Dies war eine experimentelle Algebra vor der Einf\u00fchrung des Minkowski-Raums f\u00fcr die spezielle Relativit\u00e4tstheorie.Weitere Klassen von Algebren:Benotete Algebren. Dazu geh\u00f6ren die meisten Algebren, die f\u00fcr die multilineare Algebra von Interesse sind, wie die Tensoralgebra, die symmetrische Algebra und die \u00e4u\u00dfere Algebra \u00fcber einen bestimmten Vektorraum. Gradierte Algebren k\u00f6nnen auf gefilterte Algebren verallgemeinert werden.Divisionsalgebren, in denen multiplikative Inversen existieren. Die endlichdimensionalen alternativen Teilungsalgebren \u00fcber das Feld der reellen Zahlen wurden klassifiziert. Dies sind die reellen Zahlen (Dimension 1), die komplexen Zahlen (Dimension 2), die Quaternionen (Dimension 4) und die Oktonionen (Dimension 8). Die Quaternionen und Oktonionen sind nicht kommutativ. Von diesen Algebren sind alle bis auf die Oktonionen assoziativ.Quadratische Algebren, die das erfordern xx = Re + sxf\u00fcr einige Elemente r und s im Bodenfeld und e eine Einheit f\u00fcr die Algebra. Beispiele hierf\u00fcr sind alle endlichdimensionalen alternativen Algebren und die Algebra realer 2-mal-2-Matrizen. Bis zum Isomorphismus sind die Real, Komplexe, Quaternionen und Oktonionen die einzigen alternativen, quadratischen reellen Algebren ohne Teiler von Null.Die Cayley-Dickson-Algebren (wo K. ist R.), die beginnen mit:Hyperkomplexe Algebren sind alle endlichdimensionale Einheiten R.-Algebren, dazu geh\u00f6ren Cayley-Dickson-Algebren und viele mehr.Die Poisson-Algebren werden bei der geometrischen Quantisierung ber\u00fccksichtigt. Sie tragen zwei Multiplikationen und verwandeln sie auf unterschiedliche Weise in kommutative Algebren und Lie-Algebren.Genetische Algebren sind nicht assoziative Algebren, die in der mathematischen Genetik verwendet werden.Dreifache SystemeEigenschaften[edit]Es gibt verschiedene Eigenschaften, die aus der Ringtheorie oder aus assoziativen Algebren bekannt sein k\u00f6nnen und die f\u00fcr nicht assoziative Algebren nicht immer zutreffen. Im Gegensatz zum assoziativen Fall k\u00f6nnen Elemente mit einer (zweiseitigen) multiplikativen Inversen auch ein Nullteiler sein. Zum Beispiel haben alle Nicht-Null-Elemente der Sedenionen eine zweiseitige Umkehrung, aber einige von ihnen sind auch Nullteiler.Freie nicht assoziative Algebra[edit]Das freie nichtassoziative Algebra am Set X. \u00fcber ein Feld K. ist definiert als die Algebra mit einer Basis, die aus allen nicht assoziativen Monomen besteht, endlichen formalen Produkten von Elementen von X. Klammern behalten. Das Produkt von Monomen u, v ist nur (u) (v). Die Algebra ist unital, wenn man das leere Produkt als Monom nimmt.Kurosh hat bewiesen, dass jede Subalgebra einer freien nichtassoziativen Algebra frei ist.Assoziierte Algebren[edit]Eine Algebra EIN \u00fcber ein Feld K. ist insbesondere a K.-vektorraum und so kann man das assoziative algebraische Ende betrachtenK.(EIN) von K.-linearer Vektorraumendomorphismus von EIN. Wir k\u00f6nnen mit der Algebra-Struktur auf assoziieren EIN zwei Subalgebren von EndK.(EIN), das Ableitungsalgebra und die (assoziative) H\u00fcllalgebra.Ableitungsalgebra[edit]EIN Ableitung auf EIN ist eine Karte D. mit der EigenschaftD.(x\u22c5y)=D.(x)\u22c5y+x\u22c5D.(y) .{ Anzeigestil D (x cdot y) = D (x) cdot y + x cdot D (y) .}Die Ableitungen auf EIN bilden einen Unterraum DerK.(EIN) im EndeK.(EIN). Der Kommutator zweier Ableitungen ist wieder eine Ableitung, so dass die Lie-Klammer Der ergibtK.(EIN) eine Struktur der Lie-Algebra.Umh\u00fcllende Algebra[edit]Es gibt lineare Karten L. und R. an jedes Element angeh\u00e4ngt ein einer Algebra EIN::L.(ein)::x\u21a6einx;; R.(ein)::x\u21a6xein .{ displaystyle L (a): x mapsto ax; R (a): x mapsto xa .}Das assoziative H\u00fcllalgebra oder Multiplikationsalgebra von EIN ist die assoziative Algebra, die durch die linken und rechten linearen Karten erzeugt wird. Das Schwerpunkt von EIN ist der Zentralisierer der H\u00fcllalgebra in der Endomorphismusalgebra EndK.(EIN). Eine Algebra ist zentral wenn sein Schwerpunkt aus dem besteht K.-skalare Vielfache der Identit\u00e4t.Einige der m\u00f6glichen Identit\u00e4ten, die durch nicht assoziative Algebren erf\u00fcllt werden, k\u00f6nnen bequem in Form der linearen Karten ausgedr\u00fcckt werden:Kommutativ: jeweils L.(ein) ist gleich dem entsprechenden R.(ein);Assoziativ: beliebig L. pendelt mit irgendwelchen R.;;Flexibel: jeder L.(ein) pendelt mit dem entsprechenden R.(ein);Jordanien: jeder L.(ein) pendelt mit R.(ein2);Alternative: jeder L.(ein)2 = L.(ein2) und \u00e4hnlich f\u00fcr das Recht.Das quadratische Darstellung Q. ist definiert durch:Q.(ein)::x\u21a62ein\u22c5(ein\u22c5x)– –(ein\u22c5ein)\u22c5x { displaystyle Q (a): x mapsto 2a cdot (a cdot x) – (a cdot a) cdot x }oder gleichwertigQ.(ein)=2L.2(ein)– –L.(ein2) .{ displaystyle Q (a) = 2L ^ {2} (a) -L (a ^ {2}) .}Der Artikel \u00fcber universelle H\u00fcllalgebren beschreibt die kanonische Konstruktion von H\u00fcllalgebren sowie die Theoreme vom PBW-Typ f\u00fcr sie. F\u00fcr Lie-Algebren haben solche umh\u00fcllenden Algebren eine universelle Eigenschaft, die im Allgemeinen f\u00fcr nicht assoziative Algebren nicht gilt. Das bekannteste Beispiel ist vielleicht die Albert-Algebra, eine au\u00dfergew\u00f6hnliche Jordan-Algebra, die nicht von der kanonischen Konstruktion der H\u00fcllalgebra f\u00fcr Jordan-Algebren umh\u00fcllt ist.Siehe auch[edit]Zitate[edit]Verweise[edit]Albert, A. Adrian (2003) [1939]. Struktur von Algebren. Kolloquium der American Mathematical Society Publ. No. 24 (Korrigierter Nachdruck der \u00fcberarbeiteten Ausgabe von 1961). New York: Amerikanische Mathematische Gesellschaft. ISBN 0-8218-1024-3. Zbl 0023.19901.Albert, A. Adrian (1948a). “Machtassoziative Ringe”. Transaktionen der American Mathematical Society. 64: 552\u2013593. doi:10.2307 \/ 1990399. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990399. HERR 0027750. Zbl 0033.15402.Albert, A. Adrian (1948b). “Auf den richtigen alternativen Algebren”. 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