Teilmenge – Wikipedia

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Mathematische Menge in einer anderen Menge enthalten

Euler Diagramm zeigt
EIN ist eine richtige Teilmenge von B., EIN⊂B., und umgekehrt B. ist eine richtige Obermenge von EIN.
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In der Mathematik eine Menge EIN ist ein Teilmenge eines Satzes B. wenn alle Elemente von EIN sind auch Elemente von B.;; B. ist dann ein Obermenge von EIN. Es ist möglich für EIN und B. gleich sein; wenn sie ungleich sind, dann EIN ist ein echte Teilmenge von B.. Die Beziehung einer Menge, die eine Teilmenge einer anderen ist, wird aufgerufen Aufnahme (oder manchmal Eindämmung). EIN ist eine Teilmenge von B. kann auch ausgedrückt werden als B. enthält (oder enthält) EIN oder EIN ist enthalten (oder enthalten) in B..

Die Teilmengenbeziehung definiert eine Teilreihenfolge für Mengen. Tatsächlich bilden die Teilmengen einer gegebenen Menge eine Boolesche Algebra unter der Teilmengenbeziehung, in der die Verknüpfung und das Treffen durch Schnittmenge und Vereinigung gegeben sind, und die Teilmengenbeziehung selbst ist die Boolesche Einschlussbeziehung.

Definitionen[edit]

Wenn EIN und B. sind Mengen und jedes Element von EIN ist auch ein Element von B., dann:

  • EIN ist ein Teilmenge von B., bezeichnet durch
  • B. ist ein Obermenge von EIN, bezeichnet durch

Wenn EIN ist eine Teilmenge von B., aber EIN ist ungleich zu B. (dh es existiert mindestens ein Element von B, das kein Element von ist EIN), dann:

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  • EIN ist ein richtig (oder streng) Teilmenge von B., bezeichnet durch
  • B. ist ein richtig (oder streng) Obermenge von EIN, bezeichnet durch
  • Die leere Menge, geschrieben {} oder ∅, ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge X. und eine richtige Teilmenge jeder Menge außer sich selbst.

Für jeden Satz S.ist die Einschlussrelation ⊆ eine Teilordnung auf der Menge

P.(S.){ displaystyle { mathcal {P}} (S)}

(die Kraftmenge von S.– die Menge aller Teilmengen von S.[3]) definiert von

EIN≤B.⟺EIN⊆B.{ displaystyle A leq B iff A subseteq B}

. Wir können auch teilweise bestellen

P.(S.){ displaystyle { mathcal {P}} (S)}

durch umgekehrte Einbeziehung durch Definieren

EIN≤B.⟺B.⊆EIN.{ displaystyle A leq B iff B subseteq A.}

Wenn quantifiziert, EIN ⊆ B. wird dargestellt als ∀x(x ∈ EIN → x ∈ B.).[4]

Wir können die Aussage beweisen EIN ⊆ B. durch Anwendung einer Beweismethode, die als Elementargument bekannt ist[5]::

Lass Sätze EIN und B. gegeben werden. Um zu beweisen, dass A ⊆ B.,

  1. annehmen Das ein ist ein bestimmtes, aber willkürlich gewähltes Element von EIN,
  2. Show Das ein ist ein Element von B..

Die Gültigkeit dieser Technik kann als Folge der universellen Verallgemeinerung gesehen werden: Die Technik zeigt c ∈ EIN → c ∈ B. für ein beliebig gewähltes Element c. Universelle Verallgemeinerung impliziert dann ∀x(x ∈ EIN → x ∈ B.), was äquivalent zu ist EIN ⊆ B., wie oben erwähnt.

Eigenschaften[edit]

  • Ein Set EIN ist ein Teilmenge von B. genau dann, wenn ihr Schnittpunkt gleich A ist.
Formal:
  • Ein Set EIN ist ein Teilmenge von B. genau dann, wenn ihre Vereinigung gleich B ist.
Formal:
  • EIN endlich einstellen EIN ist ein Teilmenge von B., genau dann, wenn die Kardinalität ihres Schnittpunkts gleich der Kardinalität von A ist.
Formal:

Symbole ⊂ und ⊃[edit]

Einige Autoren verwenden die Symbole ⊂ und ⊃, um anzuzeigen Teilmenge und Obermenge beziehungsweise; das heißt, mit der gleichen Bedeutung und anstelle der Symbole ⊆ und ⊇.[6] Für diese Autoren gilt dies beispielsweise für jeden Satz EIN Das EIN ⊂ EIN.

Andere Autoren bevorzugen die Verwendung der Symbole ⊂ und ⊃, um anzuzeigen richtig (auch als streng bezeichnet) Teilmenge und richtig jeweils eine Obermenge; das heißt, mit der gleichen Bedeutung und anstelle der Symbole ⊊ und ⊋.[7][1] Diese Verwendung macht ⊆ und ⊂ analog zu den Ungleichungssymbolen ≤ und <. Zum Beispiel wenn x ≤ y, dann x kann oder kann nicht gleich y, doch wenn x < y, dann x definitiv nicht gleich y, und ist weniger als y. In ähnlicher Weise wird unter Verwendung der Konvention, dass ⊂ die richtige Teilmenge ist, wenn EIN ⊆ B., dann EIN kann oder kann nicht gleich B., doch wenn EIN ⊂ B., dann EIN definitiv nicht gleich B..

Beispiele für Teilmengen[edit]

Die regulären Polygone bilden eine Teilmenge der Polygone
  • Die Menge A = {1, 2} ist eine richtige Teilmenge von B = {1, 2, 3}, daher sind beide Ausdrücke A ⊆ B und A ⊊ B wahr.
  • Die Menge D = {1, 2, 3} ist eine Teilmenge (aber nicht eine richtige Teilmenge) von E = {1, 2, 3}, also ist D ⊆ E wahr und D ⊊ E ist nicht wahr (falsch).
  • Jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst, aber keine richtige Teilmenge. (X ⊆ X ist wahr und X ⊊ X ist für jede Menge X falsch.)
  • Der Satz {x:: x ist eine Primzahl größer als 10} ist eine richtige Teilmenge von {x:: x ist eine ungerade Zahl größer als 10}
  • Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine richtige Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen; Ebenso ist die Menge von Punkten in einem Liniensegment eine geeignete Teilmenge der Menge von Punkten in einer Linie. Dies sind zwei Beispiele, bei denen sowohl die Teilmenge als auch die gesamte Menge unendlich sind und die Teilmenge dieselbe Kardinalität (das Konzept, das der Größe, dh der Anzahl der Elemente einer endlichen Menge, entspricht) als Ganzes hat; Solche Fälle können der ursprünglichen Intuition zuwiderlaufen.
  • Die Menge der rationalen Zahlen ist eine richtige Teilmenge der Menge der reellen Zahlen. In diesem Beispiel sind beide Mengen unendlich, aber die letztere Menge hat eine größere Kardinalität (oder Leistung) als der vorherige Satz.

Ein weiteres Beispiel in einem Euler-Diagramm:

  • A ist eine richtige Teilmenge von B.

  • C ist eine Teilmenge, aber keine richtige Teilmenge von B.

Andere Eigenschaften des Einschlusses[edit]

EIN ⊆ B. und B. ⊆ C. impliziert EIN ⊆ C.

Inklusion ist die kanonische Teilordnung in dem Sinne, dass jede teilweise geordnete Menge (X.,

⪯{ displaystyle preceq}

) ist isomorph zu einer Sammlung von Mengen, die nach Einbeziehung geordnet sind. Die Ordnungszahlen sind ein einfaches Beispiel: wenn jede Ordnungszahl n wird mit dem Set identifiziert [n] aller Ordnungszahlen kleiner oder gleich n, dann ein ≤ b dann und nur dann, wenn [a] ⊆ [b].

Für das Power Set

P.(S.){ displaystyle { mathcal {P}} (S)}

eines Satzes S.ist die Einschluss-Teilordnung – bis zu einem Ordnungsisomorphismus – das kartesische Produkt von k = |S.| (die Kardinalität von S.) Kopien der Teilreihenfolge auf {0,1}, für die 0 <1. Dies kann durch Aufzählung veranschaulicht werden S. = {s1, s2, …, sk} und Zuordnung zu jeder Teilmenge T. ⊆ S. (dh jedes Element von 2S.) das k-Tupel von {0,1}k, von denen die ichDie th-Koordinate ist genau dann 1, wenn sich ist Mitglied von T..

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ ein b c d “Umfassende Liste der Symbole der Mengenlehre”. Math Vault. 2020-04-11. Abgerufen 2020-08-23.
  2. ^ “Einführung in Sets”. www.mathsisfun.com. Abgerufen 2020-08-23.
  3. ^ Weisstein, Eric W. “Teilmenge”. mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2020-08-23.
  4. ^ Rosen, Kenneth H. (2012). Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen (7. Aufl.). New York: McGraw-Hill. p. 119. ISBN 978-0-07-338309-5.
  5. ^ Epp, Susanna S. (2011). Diskrete Mathematik mit Anwendungen (Vierte Ausgabe). p. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.
  6. ^ Rudin, Walter (1987), Reale und komplexe Analyse (3. Aufl.), New York: McGraw-Hill, p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, HERR 0924157
  7. ^ Teilmengen und richtige Teilmengen (PDF), archiviert von das Original (PDF) am 23.01.2013abgerufen 2012-09-07

Literaturverzeichnis[edit]

Externe Links[edit]


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