Winkelbeschleunigung – Wikipedia

In der Physik Winkelbeschleunigung bezieht sich auf die zeitliche Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit. Da es zwei Arten von Winkelgeschwindigkeiten gibt, nämlich die Spinwinkelgeschwindigkeit und die Umlaufwinkelgeschwindigkeit, gibt es natürlich auch zwei Arten von Winkelbeschleunigungen, die als Spinwinkelbeschleunigung bzw. Umlaufwinkelbeschleunigung bezeichnet werden. Die Spinwinkelbeschleunigung bezieht sich auf die Winkelbeschleunigung eines starren Körpers um sein Rotationszentrum, und die Orbitalwinkelbeschleunigung bezieht sich auf die Winkelbeschleunigung eines Punktteilchens um einen festen Ursprung.

Die Winkelbeschleunigung wird in Einheiten des Winkels pro Zeiteinheit im Quadrat gemessen (in SI-Einheiten im Bogenmaß pro Sekunde im Quadrat) und wird normalerweise durch das Symbol Alpha (α). In zwei Dimensionen ist die Winkelbeschleunigung ein Pseudoskalar, dessen Vorzeichen als positiv angenommen wird, wenn die Winkelgeschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn zunimmt oder im Uhrzeigersinn abnimmt, und als negativ angenommen wird, wenn die Winkelgeschwindigkeit im Uhrzeigersinn zunimmt oder gegen den Uhrzeigersinn abnimmt. In drei Dimensionen ist die Winkelbeschleunigung ein Pseudovektor.^[1]

Bei starren Körpern muss die Winkelbeschleunigung durch ein externes Nettodrehmoment verursacht werden. Dies gilt jedoch nicht für nicht starre Körper: Zum Beispiel kann eine Eiskunstläuferin ihre Rotation beschleunigen (wodurch eine Winkelbeschleunigung erzielt wird), indem sie einfach ihre Arme und Beine nach innen zusammenzieht, was keine betrifft extern Drehmoment.

Orbitalwinkelbeschleunigung eines Punktteilchens[edit]

Partikel in zwei Dimensionen[edit]

In zwei Dimensionen ist die Umlaufwinkelbeschleunigung die Geschwindigkeit, mit der sich die zweidimensionale Umlaufwinkelgeschwindigkeit des Partikels um den Ursprung ändert. Die momentane Winkelgeschwindigkeit ω zu jedem Zeitpunkt ist gegeben durch

${ displaystyle omega = { frac {v _ { perp}} {r}}}$

,

wo

${ displaystyle r}$

ist der Abstand vom Ursprung und

${ displaystyle v _ { perp}}$

ist die kreuzradiale Komponente der momentanen Geschwindigkeit (dh die Komponente senkrecht zum Positionsvektor), die gemäß Konvention positiv für eine Bewegung gegen den Uhrzeigersinn und negativ für eine Bewegung im Uhrzeigersinn ist.

Daher die momentane Winkelbeschleunigung α des Teilchens ist gegeben durch

${ displaystyle alpha = { frac {d} {dt}} ({ frac {v _ { perp}} {r}})}$

.^[2]

Wenn Sie die rechte Seite mit der Produktregel aus der Differentialrechnung erweitern, wird dies

${ displaystyle alpha = { frac {1} {r}} { frac {dv _ { perp}} {dt}} – { frac {v _ { perp}} {r ^ {2}}} { frac {dr} {dt}}}$

.

In dem speziellen Fall, in dem das Teilchen eine Kreisbewegung um den Ursprung erfährt,

${ displaystyle { frac {dv _ { perp}} {dt}}}$

wird nur die tangentiale Beschleunigung

${ displaystyle a _ { perp}}$

, und

${ displaystyle { frac {dr} {dt}}}$

verschwindet (da der Abstand vom Ursprung konstant bleibt), so vereinfacht sich die obige Gleichung zu

${ displaystyle alpha = { frac {a _ { perp}} {r}}}$

.

In zwei Dimensionen ist die Winkelbeschleunigung eine Zahl mit Plus- oder Minuszeichen, die die Ausrichtung angibt, aber nicht in eine Richtung zeigt. Das Vorzeichen wird herkömmlicherweise als positiv angenommen, wenn die Winkelgeschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn zunimmt oder im Uhrzeigersinn abnimmt, und das Vorzeichen wird negativ angenommen, wenn die Winkelgeschwindigkeit im Uhrzeigersinn zunimmt oder gegen den Uhrzeigersinn abnimmt. Die Winkelbeschleunigung kann dann als Pseudoskalar bezeichnet werden, eine numerische Größe, die das Vorzeichen unter einer Paritätsinversion ändert, beispielsweise durch Invertieren einer Achse oder Schalten der beiden Achsen.

Teilchen in drei Dimensionen[edit]

In drei Dimensionen ist die Umlaufwinkelbeschleunigung die Geschwindigkeit, mit der sich der dreidimensionale Umlaufwinkelgeschwindigkeitsvektor mit der Zeit ändert. Der momentane Winkelgeschwindigkeitsvektor

${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$

zu jedem Zeitpunkt ist gegeben durch

${ displaystyle { boldsymbol { omega}} = { frac { mathbf {r} times mathbf {v}} {r ^ {2}}}}$

,

wo

${ displaystyle mathbf {r}}$

ist der Positionsvektor des Partikels und

${ displaystyle mathbf {v}}$

ist sein Geschwindigkeitsvektor. ^[2]

Daher ist die Bahnwinkelbeschleunigung der Vektor

${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$

definiert von

${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} = { frac {d} {dt}} ({ frac { mathbf {r} times mathbf {v}} {r ^ {2}}})}$

.

Wenn man dieses Derivat unter Verwendung der Produktregel für Kreuzprodukte und der gewöhnlichen Quotientenregel erweitert, erhält man:

${ displaystyle { begin {align} { boldsymbol { alpha}} & = { frac {1} {r ^ {2}}} ( mathbf {r} times { frac {d mathbf {v }} {dt}} + { frac {d mathbf {r}} {dt}} times mathbf {v}) – { frac {2} {r ^ {3}}} { frac {dr } {dt}} ( mathbf {r} times mathbf {v}) \\ & = { frac {1} {r ^ {2}}} ( mathbf {r} times mathbf { a} + mathbf {v} times mathbf {v}) – { frac {2} {r ^ {3}}} { frac {dr} {dt}} ( mathbf {r} times mathbf {v}) \\ & = { frac { mathbf {r} times mathbf {a}} {r ^ {2}}} – { frac {2} {r ^ {3}} } { frac {dr} {dt}} ( mathbf {r} times mathbf {v}). end {align}}}$

Schon seit

${ displaystyle mathbf {r} times mathbf {v}}$

ist nur

${ displaystyle r ^ {2} { boldsymbol { omega}}}$

kann der zweite Term umgeschrieben werden als

${ displaystyle – { frac {2} {r}} { frac {dr} {dt}} { boldsymbol { omega}}}$

. In dem Fall, wo die Entfernung

${ displaystyle r}$

des Teilchens vom Ursprung ändert sich nicht mit der Zeit (was Kreisbewegung als Unterfall einschließt), der zweite Term verschwindet und die obige Formel vereinfacht sich zu

${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} = { frac { mathbf {r} times mathbf {a}} {r ^ {2}}}}$

.

Aus der obigen Gleichung kann man die Querradialbeschleunigung in diesem speziellen Fall wie folgt wiederherstellen:

${ displaystyle mathbf {a} _ { perp} = { boldsymbol { alpha}} times mathbf {r}}$

.

Anders als in zwei Dimensionen muss die Winkelbeschleunigung in drei Dimensionen nicht mit einer Winkeländerung verbunden sein Geschwindigkeit: Wenn sich der Positionsvektor des Partikels im Raum so “verdreht”, dass sich seine momentane Ebene der Winkelverschiebung (dh die momentane Ebene, in der der Positionsvektor den Winkel herausfegt) kontinuierlich mit der Zeit ändert, selbst wenn sich die Winkelgeschwindigkeit (dh die Geschwindigkeit, mit der der Positionsvektor überstreicht den Winkel) ist konstant, es wird immer noch eine Winkelbeschleunigung ungleich Null geben, weil die Richtung des Winkelgeschwindigkeitsvektors ändert sich kontinuierlich mit der Zeit. Dies kann nicht in zwei Dimensionen geschehen, da der Positionsvektor auf eine feste Ebene beschränkt ist, so dass jede Änderung der Winkelgeschwindigkeit durch eine Änderung ihrer erfolgen muss Größe.

Der Winkelbeschleunigungsvektor wird besser als Pseudovektor bezeichnet: Er hat drei Komponenten, die sich unter Rotationen auf die gleiche Weise wie die kartesischen Koordinaten eines Punktes transformieren, sich aber unter Reflexionen nicht wie kartesische Koordinaten transformieren.

Verhältnis zum Drehmoment[edit]

Das Netz Drehmoment Auf einem Punkt wird Partikel als Pseudovektor definiert

${ displaystyle { boldsymbol { tau}} = mathbf {r} times mathbf {F}}$

,

wo

${ displaystyle mathbf {F}}$

ist die Nettokraft auf das Teilchen.^[3]

Das Drehmoment ist das Rotationsanalogon der Kraft: Es induziert eine Änderung des Rotationszustands eines Systems, genauso wie die Kraft eine Änderung des Translationszustands eines Systems induziert. Da die Nettokraft auf ein Teilchen durch die Gleichung mit der Beschleunigung des Teilchens verbunden sein kann

${ displaystyle mathbf {F} = m mathbf {a}}$

Man kann hoffen, eine ähnliche Beziehung zu konstruieren, die das Nettodrehmoment eines Teilchens mit der Winkelbeschleunigung des Teilchens verbindet. Dies kann wie folgt erfolgen:

Erstens ersetzen

${ displaystyle mathbf {F} = m mathbf {a}}$

in die obige Gleichung für das Drehmoment erhält man

${ displaystyle { boldsymbol { tau}} = m ( mathbf {r} times mathbf {a}) = mr ^ {2} ({ frac { mathbf {r} times mathbf {a} } {r ^ {2}}})}$

.

Aber aus dem vorherigen Abschnitt wurde abgeleitet, dass

${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} = { frac { mathbf {r} times mathbf {a}} {r ^ {2}}} – { frac {2} {r}} { frac {dr} {dt}} { boldsymbol { omega}}}$

,

wo

${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$

ist die Bahnwinkelbeschleunigung des Teilchens und

${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$

ist die Bahnwinkelgeschwindigkeit des Partikels. Daraus folgt

${ displaystyle { begin {align} { boldsymbol { tau}} & = mr ^ {2} ({ boldsymbol { alpha}} + { frac {2} {r}} { frac {dr} {dt}} { boldsymbol { omega}}) \\ & = mr ^ {2} { boldsymbol { alpha}} + 2mr { frac {dr} {dt}} { boldsymbol { omega }}. end {align}}}$

In dem speziellen Fall, wo die Entfernung

${ displaystyle r}$

des Teilchens vom Ursprung ändert sich nicht mit der Zeit, der zweite Term in der obigen Gleichung verschwindet und die obige Gleichung vereinfacht sich zu

${ displaystyle { boldsymbol { tau}} = mr ^ {2} { boldsymbol { alpha}}}$

,

was als “Rotationsanalog” zu interpretiert werden kann

${ displaystyle mathbf {F} = m mathbf {a}}$

, wo die Menge

${ displaystyle mr ^ {2}}$

(bekannt als Trägheitsmoment des Teilchens) spielt die Rolle der Masse

${ displaystyle m}$

. Im Gegensatz zu

${ displaystyle mathbf {F} = m mathbf {a}}$

ist diese Gleichung nicht anwendbar auf eine beliebige Flugbahn. Zusammenfassend ist die allgemeine Beziehung zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung notwendigerweise komplizierter als die für Kraft und lineare Beschleunigung.^[4]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]