Cartans Äquivalenzmethode – Wikipedia

In Mathematik, Cartans Äquivalenzmethode ist eine Technik in der Differentialgeometrie zur Bestimmung, ob zwei geometrische Strukturen bis zu einem Diffeomorphismus gleich sind. Zum Beispiel, wenn M. und N. sind zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Metriken G und hjeweils, wenn es einen Diffeomorphismus gibt

ϕ::M.→N.{ displaystyle phi: M rightarrow N}

so dass

ϕ∗h=G{ displaystyle phi ^ {*} h = g}

?

Obwohl die Antwort auf diese spezielle Frage Gauß in Dimension 2 und Christoffel und vielleicht auch Riemann in höheren Dimensionen bekannt war, entwickelten Élie Cartan und seine intellektuellen Erben eine Technik zur Beantwortung ähnlicher Fragen für radikal unterschiedliche geometrische Strukturen. (Siehe zum Beispiel den Cartan-Karlhede-Algorithmus.)

Cartan wandte seine Äquivalenzmethode erfolgreich auf viele solcher Strukturen an, einschließlich projektiver Strukturen, CR-Strukturen und komplexer Strukturen sowie angeblich nicht geometrischer Strukturen wie der Äquivalenz von Lagrange und gewöhnlichen Differentialgleichungen. (Seine Techniken wurden später von vielen anderen, wie DC Spencer und Shiing-Shen Chern, ausführlicher entwickelt.)

Die Äquivalenzmethode ist ein im Wesentlichen algorithmisches Verfahren zum Bestimmen, wann zwei geometrische Strukturen identisch sind. Für Cartan wurde die primäre geometrische Information in einem Coframe oder einer Sammlung von Coframes auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ausgedrückt. Siehe Methode zum Verschieben von Frames.

Überblick[edit]

Nehmen wir das an M. und N. sind ein Paar von Verteilern, die jeweils eine G-Struktur für eine Strukturgruppe tragen G. Dies läuft darauf hinaus, eine spezielle Klasse von Coframes anzugeben M. und N.. Cartans Methode befasst sich mit der Frage, ob ein lokaler Diffeomorphismus φ vorliegt:M.→N. unter dem die G-Struktur auf N. zieht sich zum Gegebenen zurück G-Struktur auf M.. Ein Äquivalenzproblem war “gelöst” wenn man einen vollständigen Satz struktureller Invarianten für die geben kann G-Struktur: Dies bedeutet, dass ein solcher Diffeomorphismus genau dann existiert, wenn alle strukturellen Invarianten in einem angemessen definierten Sinne übereinstimmen.

Explizit lokale Systeme von Einformen θ^ich und γ^ich sind gegeben auf M. und N.die jeweils die jeweiligen Kotangensbündel überspannen (dh Coframes sind). Die Frage ist, ob es einen lokalen Diffeomorphismus φ gibt:M.→N. so dass der Rückzug des Coframes auf N. befriedigt

ϕ∗γich((y)=Gjich((x)θj((x), ((Gjich)∈G{ displaystyle phi ^ {*} gamma ^ {i} (y) = g_ {j} ^ {i} (x) theta ^ {j} (x), (g_ {j} ^ {i} ) in G}

(1)

wo der Koeffizient G ist eine Funktion auf M. Werte in der Lie-Gruppe nehmen G. Zum Beispiel, wenn M. und N. sind also Riemannsche Mannigfaltigkeiten G=Ö((n) ist die orthogonale Gruppe und θ^ich und γ^ich sind orthonormale Coframes von M. und N. beziehungsweise. Die Frage, ob zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten isometrisch sind, ist dann eine Frage, ob es einen Diffeomorphismus φ gibt, der (1) erfüllt.

Der erste Schritt bei der Cartan-Methode besteht darin, die Pullback-Beziehung (1) so unveränderlich wie möglich auszudrücken, indem ein “Verlängerung“. Der wirtschaftlichste Weg, dies zu tun, ist die Verwendung von a G-Unterbundle PM des Hauptbündels linearer Coframes LMDieser Ansatz kann jedoch zu unnötigen Komplikationen bei der Durchführung tatsächlicher Berechnungen führen. Insbesondere wird später in diesem Artikel ein anderer Ansatz verwendet. Für die Zwecke einer Übersicht ist es jedoch zweckmäßig, sich an den Standpunkt des Hauptbündels zu halten.

Der zweite Schritt besteht darin, die Diffeomorphismus-Invarianz der äußeren Ableitung zu verwenden, um zu versuchen, andere Invarianten höherer Ordnung der zu isolieren G-Struktur. Grundsätzlich erhält man eine Verbindung im Hauptbündel PMmit etwas Torsion. Die Komponenten der Verbindung und der Torsion werden als Invarianten des Problems angesehen.

Der dritte Schritt besteht darin, dass, wenn die verbleibenden Torsionskoeffizienten in den Fasern des Hauptbündels nicht konstant sind PMist es oft möglich (wenn auch manchmal schwierig), normalisieren sie, indem sie gleich einem geeigneten konstanten Wert gesetzt und diese Normalisierungsgleichungen gelöst werden, wodurch die effektive Dimension der Lie-Gruppe verringert wird G. In diesem Fall kehrt man zu Schritt 1 zurück und verfügt nun über eine Lie-Gruppe mit einer niedrigeren Dimension, mit der gearbeitet werden kann.

Der vierte Schritt[edit]

Der Hauptzweck der ersten drei Schritte bestand darin, die Strukturgruppe selbst so weit wie möglich zu reduzieren. Angenommen, das Äquivalenzproblem hat die Schleife so oft durchlaufen, dass keine weitere Reduzierung möglich ist. An diesem Punkt gibt es verschiedene mögliche Richtungen, in die die Äquivalenzmethode führt. Für die meisten Äquivalenzprobleme gibt es nur vier Fälle: vollständige Reduktion, Involution, Verlängerung und Entartung.

Komplette Reduktion. Hier wurde die Strukturgruppe vollständig auf die Trivialgruppe reduziert. Das Problem kann nun mit Methoden wie dem Frobenius-Theorem gelöst werden. Mit anderen Worten, der Algorithmus wurde erfolgreich beendet.

Andererseits ist es möglich, dass die Torsionskoeffizienten auf den Fasern von konstant sind PM. Entsprechend hängen sie nicht mehr von der Lie-Gruppe ab G weil es nichts mehr zu normalisieren gibt, obwohl es immer noch eine Torsion geben kann. Die drei verbleibenden Fälle gehen davon aus.

Involution. Das Äquivalenzproblem soll sein involutiv (oder in Involution) wenn es Cartans Test besteht. Dies ist im Wesentlichen eine Rangbedingung für die Verbindung, die in den ersten drei Schritten des Verfahrens erhalten wurde. Der Cartan-Test verallgemeinert den Frobenius-Satz über die Löslichkeit linearer Systeme partieller Differentialgleichungen erster Ordnung. Wenn die Coframes eingeschaltet sind M. und N. (erhalten durch gründliche Anwendung der ersten drei Schritte des Algorithmus) stimmen zu und erfüllen den Cartan-Test, dann die beiden G-Strukturen sind gleichwertig. (Nach bestem Wissen des Autors müssen die Coframes wirklich analytisch sein, damit dies zutrifft, da das Cartan-Kähler-Theorem Analytizität erfordert.)

Verlängerung. Dies ist der komplizierteste Fall. Tatsächlich gibt es zwei Unterfälle. Im ersten Unterfall kann die gesamte Torsion eindeutig in die Verbindungsform aufgenommen werden. (Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind ein Beispiel, da die Levi-Civita-Verbindung die gesamte Torsion absorbiert). Die Verbindungskoeffizienten und ihre invarianten Ableitungen bilden einen vollständigen Satz von Invarianten der Struktur, und das Äquivalenzproblem ist gelöst. Im zweiten Unterfall ist es jedoch entweder unmöglich, die gesamte Torsion zu absorbieren, oder es besteht eine gewisse Mehrdeutigkeit (wie dies beispielsweise bei der Gaußschen Eliminierung häufig der Fall ist). Hier gibt es genau wie bei der Gaußschen Eliminierung zusätzliche Parameter, die beim Versuch auftreten, die Torsion zu absorbieren. Diese Parameter selbst erweisen sich als zusätzliche Invarianten des Problems, also der Strukturgruppe G muss sein verlängert in eine Untergruppe einer Jet-Gruppe. Sobald dies erledigt ist, erhält man einen neuen Coframe auf dem verlängerten Raum und muss zum ersten Schritt der Äquivalenzmethode zurückkehren. (Siehe auch Verlängerung von G-Strukturen.)

Entartung. Aufgrund einer Ungleichmäßigkeit einer Rangbedingung ist die Äquivalenzmethode bei der Behandlung dieses speziellen Äquivalenzproblems nicht erfolgreich. Betrachten Sie beispielsweise das Äquivalenzproblem der Abbildung einer Mannigfaltigkeit M. mit einer einzelnen Einform θ zu einem anderen Verteiler mit einer einzelnen Einform γ, so dass φ * γ = θ. Die Nullen dieser einen Form sowie der Rang ihrer äußeren Ableitungen an jedem Punkt müssen berücksichtigt werden. Die Äquivalenzmethode kann solche Probleme behandeln, wenn alle Ränge einheitlich sind, ist jedoch nicht immer geeignet, wenn sich der Rang ändert. Natürlich können je nach Anwendung mit der Äquivalenzmethode immer noch viele Informationen erhalten werden.

Verweise[edit]