[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/2021\/01\/22\/geometrisches-mittel-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/2021\/01\/22\/geometrisches-mittel-wikipedia\/","headline":"Geometrisches Mittel – Wikipedia","name":"Geometrisches Mittel – Wikipedia","description":"Die n-te Wurzel des Produkts aus n Zahlen In der Mathematik ist die geometrisches Mittel ist ein Mittelwert oder Durchschnitt,","datePublished":"2021-01-22","dateModified":"2021-01-22","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/f\/fa\/01-Mittlere_Proportionale.gif\/400px-01-Mittlere_Proportionale.gif","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/f\/fa\/01-Mittlere_Proportionale.gif\/400px-01-Mittlere_Proportionale.gif","height":"242","width":"400"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/2021\/01\/22\/geometrisches-mittel-wikipedia\/","wordCount":14890,"articleBody":"Die n-te Wurzel des Produkts aus n Zahlen    In der Mathematik ist die geometrisches Mittel ist ein Mittelwert oder Durchschnitt, der die zentrale Tendenz oder den typischen Wert einer Menge von Zahlen unter Verwendung des Produkts ihrer Werte angibt (im Gegensatz zum arithmetischen Mittelwert, der ihre Summe verwendet).  Das geometrische Mittel ist definiert als nth Wurzel des Produkts von n Zahlen, dh f\u00fcr eine Reihe von Zahlen x1, x2, …, xnist das geometrische Mittel definiert als((\u220fich=1nxich)1n=x1x2\u22efxnn{ displaystyle  left ( prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}  right) ^ { frac {1} {n}} = { sqrt[{n}]{x_ {1} x_ {2}  cdots x_ {n}}}}Zum Beispiel ist das geometrische Mittel zweier Zahlen, beispielsweise 2 und 8, nur die Quadratwurzel ihres Produkts, d. H.   2\u22c58=4{ displaystyle { sqrt {2  cdot 8}} = 4}.  Als weiteres Beispiel ist das geometrische Mittel der drei Zahlen 4, 1 und 1\/32 die Kubikwurzel ihres Produkts (1\/8), dh 1\/2, dh 4\u22c51\u22c51\/.323=1\/.2{ displaystyle { sqrt[{3}]{4  cdot 1  cdot 1\/32}} = 1\/2}.  Das geometrische Mittel gilt nur f\u00fcr positive Zahlen.[3]Das geometrische Mittel wird h\u00e4ufig f\u00fcr eine Reihe von Zahlen verwendet, deren Werte miteinander multipliziert werden sollen oder exponentieller Natur sind, z. B. eine Reihe von Wachstumszahlen: Werte der menschlichen Bev\u00f6lkerung oder Zinss\u00e4tze einer Finanzinvestition im Zeitverlauf.Das geometrische Mittel kann als Geometrie verstanden werden.  Das geometrische Mittel zweier Zahlen,   ein{ displaystyle a}  und b{ displaystyle b}ist die L\u00e4nge einer Seite eines Quadrats, deren Fl\u00e4che gleich der Fl\u00e4che eines Rechtecks \u200b\u200bmit L\u00e4ngenseiten ist ein{ displaystyle a}  und b{ displaystyle b}.  Ebenso ist das geometrische Mittel von drei Zahlen, ein{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, und c{ displaystyle c}ist die L\u00e4nge einer Kante eines W\u00fcrfels, dessen Volumen dem eines Quaders mit Seiten entspricht, deren L\u00e4nge den drei angegebenen Zahlen entspricht.Das geometrische Mittel ist zusammen mit dem arithmetischen Mittel und dem harmonischen Mittel eines der drei klassischen pythagoreischen Mittel.  F\u00fcr alle positiven Datens\u00e4tze, die mindestens ein Paar ungleicher Werte enthalten, ist das harmonische Mittel immer das kleinste der drei Mittel, w\u00e4hrend das arithmetische Mittel immer das gr\u00f6\u00dfte der drei ist und das geometrische Mittel immer dazwischen liegt (siehe Ungleichheit der Arithmetik) und geometrische Mittel.)Table of ContentsBerechnung[edit]Beziehung zu Logarithmen[edit]Vergleich zum arithmetischen Mittel[edit]Durchschnittliche Wachstumsrate[edit]Anwendung auf normalisierte Werte[edit]Geometrisches Mittel einer stetigen Funktion[edit]Anwendungen[edit]Proportionales Wachstum[edit]Finanziell[edit]Anwendungen in den Sozialwissenschaften[edit]Geometrie[edit]Seitenverh\u00e4ltnisse[edit]Spektrale Ebenheit[edit]Antireflexbeschichtungen[edit]Subtraktive Farbmischung[edit]Bildverarbeitung[edit]Siehe auch[edit]Notizen und Referenzen[edit]Externe Links[edit]Berechnung[edit]Das geometrische Mittel eines Datensatzes {ein1,ein2,\u2026,einn}}{ textstyle  left  {a_ {1}, a_ {2}, ,  ldots, , a_ {n}  right }}  ist gegeben durch:((\u220fich=1neinich)1n=ein1ein2\u22efeinnn.{ displaystyle  left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}  right) ^ { frac {1} {n}} = { sqrt[{n}]{a_ {1} a_ {2}  cdots a_ {n}}}.}Die obige Abbildung verwendet die Gro\u00dfbuchstaben, um eine Reihe von Multiplikationen zu zeigen.  Jede Seite des Gleichheitszeichens zeigt, dass eine Reihe von Werten nacheinander multipliziert wird (die Anzahl der Werte wird durch dargestellt “n”), um ein Gesamtprodukt des Satzes zu erhalten, und dann die nDie Wurzel des Gesamtprodukts ergibt den geometrischen Mittelwert des urspr\u00fcnglichen Satzes.  Zum Beispiel in einem Satz von vier Zahlen {1,2,3,4}}{ textstyle  {1,2,3,4 }}, das Produkt von 1\u00d72\u00d73\u00d74{ textstyle 1  times 2  times 3  times 4}  ist 24{ textstyle 24}und das geometrische Mittel ist die vierte Wurzel von 24 oder ~ 2,213.  Der Exponent 1n{ textstyle { frac {1} {n}}}  auf der linken Seite entspricht der Aufnahme nWurzel.  Zum Beispiel, 2414=244{ textstyle 24 ^ { frac {1} {4}} = { sqrt[{4}]{24}}}.Das geometrische Mittel eines Datensatzes ist kleiner als das arithmetische Mittel des Datensatzes, es sei denn, alle Mitglieder des Datensatzes sind gleich. In diesem Fall sind das geometrische und das arithmetische Mittel gleich.  Dies erm\u00f6glicht die Definition des arithmetisch-geometrischen Mittels, eines Schnittpunkts der beiden, der immer dazwischen liegt.Das geometrische Mittel ist auch das arithmetisch-harmonisches Mittel in dem Sinne, dass wenn zwei Sequenzen (einn{ textstyle a_ {n}}) und (hn{ textstyle h_ {n}}) sind festgelegt:einn+1=einn+hn2,ein0=x{ displaystyle a_ {n + 1} = { frac {a_ {n} + h_ {n}} {2}},  quad a_ {0} = x}undhn+1=21einn+1hn,h0=y{ displaystyle h_ {n + 1} = { frac {2} {{ frac {1} {a_ {n}}} + { frac {1} {h_ {n}}}},  quad h_ {0} = y}wo hn+1{ textstyle h_ {n + 1}}  ist also das harmonische Mittel der vorherigen Werte der beiden Sequenzen einn{ textstyle a_ {n}}  und hn{ textstyle h_ {n}}  konvergiert gegen das geometrische Mittel von x{ textstyle x}  und y{ textstyle y}.Dies l\u00e4sst sich leicht daran erkennen, dass die Sequenzen gegen eine gemeinsame Grenze konvergieren (was durch den Satz von Bozen-Weierstrass gezeigt werden kann) und dass das geometrische Mittel erhalten bleibt:einichhich=einich+hicheinich+hichhicheinich=einich+hich1einich+1hich=einich+1hich+1{ displaystyle { sqrt {a_ {i} h_ {i}}} = { sqrt { frac {a_ {i} + h_ {i}} { frac {a_ {i} + h_ {i}} { h_ {i} a_ {i}}}} = { sqrt { frac {a_ {i} + h_ {i}} {{ frac {1} {a_ {i}}} + { frac {1 } {h_ {i}}}}} = { sqrt {a_ {i + 1} h_ {i + 1}}}Das Ersetzen des arithmetischen und harmonischen Mittels durch ein Paar verallgemeinerter Mittelwerte entgegengesetzter, endlicher Exponenten ergibt das gleiche Ergebnis.Beziehung zu Logarithmen[edit]Das geometrische Mittel kann auch als Exponential des arithmetischen Mittels der Logarithmen ausgedr\u00fcckt werden.[4]  Durch Verwendung logarithmischer Identit\u00e4ten zur Transformation der Formel k\u00f6nnen die Multiplikationen als Summe und die Potenz als Multiplikation ausgedr\u00fcckt werden:Wann "},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/2021\/01\/22\/geometrisches-mittel-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Geometrisches Mittel – Wikipedia"}}]}]