Filterproblem (stochastische Prozesse) – Wikipedia

In der Theorie der stochastischen Prozesse ist die Filterproblem ist ein mathematisches Modell für eine Reihe von Zustandsschätzungsproblemen in der Signalverarbeitung und verwandten Bereichen. Die allgemeine Idee besteht darin, aus einer unvollständigen, möglicherweise verrauschten Reihe von Beobachtungen auf diesem System eine “beste Schätzung” für den wahren Wert eines Systems zu erstellen. Das Problem der optimalen nichtlinearen Filterung (auch für den nicht stationären Fall) wurde von Ruslan L. Stratonovich (1959, gelöst)^[1] 1960^[2]), siehe auch Harold J. Kushners Arbeit ^[3] und Moshe Zakai, der eine vereinfachte Dynamik für das nicht normalisierte bedingte Gesetz des Filters einführte^[4] bekannt als Zakai-Gleichung. Die Lösung ist jedoch im allgemeinen Fall unendlich dimensional.^[5] Bestimmte Näherungen und Sonderfälle sind gut bekannt: Beispielsweise sind die linearen Filter für Gaußsche Zufallsvariablen optimal und werden als Wiener-Filter und Kalman-Bucy-Filter bezeichnet. Allgemeiner gesagt, da die Lösung unendlich dimensional ist, müssen endliche dimensionale Approximationen in einem Computer mit endlichem Speicher implementiert werden. Ein endlichlineares approximiertes nichtlineares Filter kann eher auf Heuristiken basieren, wie z. B. das erweiterte Kalman-Filter oder die Filter mit angenommener Dichte.^[6] oder methodisch orientierter wie zum Beispiel die Projektionsfilter,^[7] Es wird gezeigt, dass einige Unterfamilien mit den angenommenen Dichtefiltern übereinstimmen.^[8]

Wenn das Trennungsprinzip gilt, tritt im Allgemeinen auch eine Filterung als Teil der Lösung eines optimalen Steuerungsproblems auf. Beispielsweise ist das Kalman-Filter der Schätzungsteil der optimalen Steuerungslösung für das linear-quadratisch-Gaußsche Steuerungsproblem.

Der mathematische Formalismus[edit]

Betrachten Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P.) und nehmen an, dass der (zufällige) Zustand Y._t im n-dimensionaler euklidischer Raum R.ⁿ eines Systems von Interesse zur Zeit t ist eine Zufallsvariable Y._t : Ω → R.ⁿ gegeben durch die Lösung einer Itō-stochastischen Differentialgleichung der Form

${ displaystyle mathrm {d} Y_ {t} = b (t, Y_ {t}) , mathrm {d} t + sigma (t, Y_ {t}) , mathrm {d} B_ {t },}$

wo B. bezeichnet Standard p-dimensionale Brownsche Bewegung, b :: [0, +∞) × Rⁿ → Rⁿ is the drift field, and σ : [0, +∞) × Rⁿ → R^n×p is the diffusion field. It is assumed that observations H_t in R^m (note that m and n may, in general, be unequal) are taken for each time t according to

${displaystyle H_{t}=c(t,Y_{t})+gamma (t,Y_{t})cdot {mbox{noise}}.}$

Adopting the Itō interpretation of the stochastic differential and setting

${displaystyle Z_{t}=int _{0}^{t}H_{s},mathrm {d} s,}$

this gives the following stochastic integral representation for the observations Z_t:

${displaystyle mathrm {d} Z_{t}=c(t,Y_{t}),mathrm {d} t+gamma (t,Y_{t}),mathrm {d} W_{t},}$

where W denotes standard r-dimensional Brownian motion, independent of B and the initial condition Y₀, and c : [0, +∞) × Rⁿ → Rⁿ and γ : [0, +∞) × Rⁿ → R^n×r satisfy

${displaystyle {big |}c(t,x){big |}+{big |}gamma (t,x){big |}leq C{big (}1+|x|{big )}}$

for all t and x and some constant C.

The filtering problem is the following: given observations Z_s for 0 ≤ s ≤ t, what is the best estimate Ŷ_t of the true state Y_t of the system based on those observations?

By “based on those observations” it is meant that Ŷ_t is measurable with respect to the σ-algebra G_t generated by the observations Z_s, 0 ≤ s ≤ t. Denote by K = K(Z, t) be collection of all Rⁿ-valued random variables Y that are square-integrable and G_t-measurable:

${displaystyle K=K(Z,t)=L^{2}(Omega ,G_{t},mathbf {P} ;mathbf {R} ^{n}).}$

By “best estimate”, it is meant that Ŷ_t minimizes the mean-square distance between Y_t and all candidates in K:

${ displaystyle mathbf {E} left[{big |}Y_{t}-{hat {Y}}_{t}{big |}^{2}right]= inf _ {Y in K} mathbf {E} left[{big |}Y_{t}-Y{big |}^{2}right]. qquad { mbox {(M)}}}$

Grundergebnis: orthogonale Projektion[edit]

Der Raum K.((Z., t) von Kandidaten ist ein Hilbert-Raum, und die allgemeine Theorie der Hilbert-Räume impliziert, dass die Lösung Ŷ_t des Minimierungsproblems (M) ist gegeben durch

${ displaystyle { hat {Y}} _ {t} = P_ {K (Z, t)} { big (} Y_ {t} { big)},}$

wo P._K.((Z.,t) bezeichnet die orthogonale Projektion von L.²(Ω, Σ, P.;; R.ⁿ) auf den linearen Unterraum K.((Z., t) = L.²(Ω, G_t, P.;; R.ⁿ). Darüber hinaus ist es eine allgemeine Tatsache über bedingte Erwartungen, dass wenn F. ist ein beliebiger Unter-σ-Algebra von Σ dann die orthogonale Projektion

${ displaystyle P_ {K}: L ^ {2} ( Omega, Sigma, mathbf {P}; mathbf {R} ^ {n}) bis L ^ {2} ( Omega, F, mathbf {P}; mathbf {R} ^ {n})}$

ist genau der Operator für bedingte Erwartungen E.[·|F]dh

${ displaystyle P_ {K} (X) = mathbf {E} { big [}X{big |}F{big ]}.}$

Daher,

${ displaystyle { hat {Y}} _ {t} = P_ {K (Z, t)} { big (} Y_ {t} { big)} = mathbf {E} { big [}Y_{t}{big |}G_{t}{big ]}.}$

Dieses elementare Ergebnis ist die Grundlage für die allgemeine Fujisaki-Kallianpur-Kunita-Gleichung der Filtertheorie.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• Jazwinski, Andrew H. (1970). Stochastische Prozesse und Filtertheorie. New York: Akademische Presse. ISBN 0-12-381550-9.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastische Differentialgleichungen: Eine Einführung in Anwendungen (Sechste Ausgabe). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (Siehe Abschnitt 6.1)