[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/2021\/01\/27\/filterproblem-stochastische-prozesse-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/2021\/01\/27\/filterproblem-stochastische-prozesse-wikipedia\/","headline":"Filterproblem (stochastische Prozesse) – Wikipedia","name":"Filterproblem (stochastische Prozesse) – Wikipedia","description":"before-content-x4 In der Theorie der stochastischen Prozesse ist die Filterproblem ist ein mathematisches Modell f\u00fcr eine Reihe von Zustandssch\u00e4tzungsproblemen in","datePublished":"2021-01-27","dateModified":"2021-01-27","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/88bb6dd178c60f367939e057879b552e599449f2","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/88bb6dd178c60f367939e057879b552e599449f2","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/2021\/01\/27\/filterproblem-stochastische-prozesse-wikipedia\/","wordCount":4564,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4In der Theorie der stochastischen Prozesse ist die Filterproblem ist ein mathematisches Modell f\u00fcr eine Reihe von Zustandssch\u00e4tzungsproblemen in der Signalverarbeitung und verwandten Bereichen.  Die allgemeine Idee besteht darin, aus einer unvollst\u00e4ndigen, m\u00f6glicherweise verrauschten Reihe von Beobachtungen auf diesem System eine “beste Sch\u00e4tzung” f\u00fcr den wahren Wert eines Systems zu erstellen.  Das Problem der optimalen nichtlinearen Filterung (auch f\u00fcr den nicht station\u00e4ren Fall) wurde von Ruslan L. Stratonovich (1959, gel\u00f6st)[1]  1960[2]), siehe auch Harold J. Kushners Arbeit [3]  und Moshe Zakai, der eine vereinfachte Dynamik f\u00fcr das nicht normalisierte bedingte Gesetz des Filters einf\u00fchrte[4]  bekannt als Zakai-Gleichung.  Die L\u00f6sung ist jedoch im allgemeinen Fall unendlich dimensional.[5]  Bestimmte N\u00e4herungen und Sonderf\u00e4lle sind gut bekannt: Beispielsweise sind die linearen Filter f\u00fcr Gau\u00dfsche Zufallsvariablen optimal und werden als Wiener-Filter und Kalman-Bucy-Filter bezeichnet.  Allgemeiner gesagt, da die L\u00f6sung unendlich dimensional ist, m\u00fcssen endliche dimensionale Approximationen in einem Computer mit endlichem Speicher implementiert werden.  Ein endlichlineares approximiertes nichtlineares Filter kann eher auf Heuristiken basieren, wie z. B. das erweiterte Kalman-Filter oder die Filter mit angenommener Dichte.[6]  oder methodisch orientierter wie zum Beispiel die Projektionsfilter,[7]  Es wird gezeigt, dass einige Unterfamilien mit den angenommenen Dichtefiltern \u00fcbereinstimmen.[8]  Wenn das Trennungsprinzip gilt, tritt im Allgemeinen auch eine Filterung als Teil der L\u00f6sung eines optimalen Steuerungsproblems auf.  Beispielsweise ist das Kalman-Filter der Sch\u00e4tzungsteil der optimalen Steuerungsl\u00f6sung f\u00fcr das linear-quadratisch-Gau\u00dfsche Steuerungsproblem.Table of ContentsDer mathematische Formalismus[edit]Grundergebnis: orthogonale Projektion[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Der mathematische Formalismus[edit]Betrachten Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum (\u03a9, \u03a3, P.) und nehmen an, dass der (zuf\u00e4llige) Zustand Y.t  im n-dimensionaler euklidischer Raum R.n  eines Systems von Interesse zur Zeit t ist eine Zufallsvariable Y.t : \u03a9 \u2192 R.n  gegeben durch die L\u00f6sung einer It\u014d-stochastischen Differentialgleichung der Form  dY.t=b((t,Y.t)dt+\u03c3((t,Y.t)dB.t,{ displaystyle  mathrm {d} Y_ {t} = b (t, Y_ {t}) ,  mathrm {d} t +  sigma (t, Y_ {t}) ,  mathrm {d} B_ {t },}wo B. bezeichnet Standard p-dimensionale Brownsche Bewegung, b :: [0,\u00a0+\u221e)\u00a0\u00d7\u00a0Rn\u00a0\u2192\u00a0Rn is the drift field, and \u03c3\u00a0:\u00a0[0,\u00a0+\u221e)\u00a0\u00d7\u00a0Rn\u00a0\u2192\u00a0Rn\u00d7p is the diffusion field. It is assumed that observations Ht in Rm (note that m and n may, in general, be unequal) are taken for each time t according toHt=c(t,Yt)+\u03b3(t,Yt)\u22c5noise.{displaystyle H_{t}=c(t,Y_{t})+gamma (t,Y_{t})cdot {mbox{noise}}.}Adopting the It\u014d interpretation of the stochastic differential and setting  Zt=\u222b0tHsds,{displaystyle Z_{t}=int _{0}^{t}H_{s},mathrm {d} s,}this gives the following stochastic integral representation for the observations Zt:dZt=c(t,Yt)dt+\u03b3(t,Yt)dWt,{displaystyle mathrm {d} Z_{t}=c(t,Y_{t}),mathrm {d} t+gamma (t,Y_{t}),mathrm {d} W_{t},}where W denotes standard r-dimensional Brownian motion, independent of B and the initial condition Y0, and c\u00a0:\u00a0[0,\u00a0+\u221e)\u00a0\u00d7\u00a0Rn\u00a0\u2192\u00a0Rn  and \u03b3\u00a0:\u00a0[0,\u00a0+\u221e)\u00a0\u00d7\u00a0Rn\u00a0\u2192\u00a0Rn\u00d7r  satisfy|c(t,x)|+|\u03b3(t,x)|\u2264C(1+|x|){displaystyle {big |}c(t,x){big |}+{big |}gamma (t,x){big |}leq C{big (}1+|x|{big )}}for all t and x and some constant C.The filtering problem is the following: given observations Zs for 0\u00a0\u2264\u00a0s\u00a0\u2264\u00a0t, what is the best estimate \u0176t of the true state Yt of the system based on those observations?By “based on those observations” it is meant that \u0176t is measurable with respect to the \u03c3-algebra Gt generated by the observations Zs, 0\u00a0\u2264\u00a0s\u00a0\u2264\u00a0t. Denote by K\u00a0=\u00a0K(Z,\u00a0t) be collection of all Rn-valued random variables Y that are square-integrable and Gt-measurable:K=K(Z,t)=L2(\u03a9,Gt,P;Rn).{displaystyle K=K(Z,t)=L^{2}(Omega ,G_{t},mathbf {P} ;mathbf {R} ^{n}).}By “best estimate”, it is meant that \u0176t minimizes the mean-square distance between Yt and all candidates in K:E.[|Yt\u2212Y^t|2]=infY.\u2208K.E.[|Yt\u2212Y|2].(M){ displaystyle  mathbf {E}  left[{big |}Y_{t}-{hat {Y}}_{t}{big |}^{2}right]=  inf _ {Y  in K}  mathbf {E}  left[{big |}Y_{t}-Y{big |}^{2}right].  qquad { mbox {(M)}}}Grundergebnis: orthogonale Projektion[edit]Der Raum K.((Z., t) von Kandidaten ist ein Hilbert-Raum, und die allgemeine Theorie der Hilbert-R\u00e4ume impliziert, dass die L\u00f6sung \u0176t  des Minimierungsproblems (M) ist gegeben durchY.^t=P.K.((Z.,t)((Y.t),{ displaystyle { hat {Y}} _ {t} = P_ {K (Z, t)} { big (} Y_ {t} { big)},}wo P.K.((Z.,t) bezeichnet die orthogonale Projektion von L.2(\u03a9, \u03a3, P.;; R.n) auf den linearen Unterraum K.((Z., t) = L.2(\u03a9, Gt, P.;; R.n).  Dar\u00fcber hinaus ist es eine allgemeine Tatsache \u00fcber bedingte Erwartungen, dass wenn F. ist ein beliebiger Unter-\u03c3-Algebra von \u03a3 dann die orthogonale ProjektionP.K.::L.2((\u03a9,\u03a3,P.;;R.n)\u2192L.2((\u03a9,F.,P.;;R.n){ displaystyle P_ {K}: L ^ {2} ( Omega,  Sigma,  mathbf {P};  mathbf {R} ^ {n})  bis L ^ {2} ( Omega, F,  mathbf {P};  mathbf {R} ^ {n})}ist genau der Operator f\u00fcr bedingte Erwartungen E.[\u00b7|F]dhP.K.((X.)=E.[X|F].{ displaystyle P_ {K} (X) =  mathbf {E} { big [}X{big |}F{big ]}.}Daher,Y.^t=P.K.((Z.,t)((Y.t)=E.[Yt|Gt].{ displaystyle { hat {Y}} _ {t} = P_ {K (Z, t)} { big (} Y_ {t} { big)} =  mathbf {E} { big [}Y_{t}{big |}G_{t}{big ]}.}Dieses elementare Ergebnis ist die Grundlage f\u00fcr die allgemeine Fujisaki-Kallianpur-Kunita-Gleichung der Filtertheorie.Siehe auch[edit]Verweise[edit]Jazwinski, Andrew H. (1970). Stochastische Prozesse und Filtertheorie.  New York: Akademische Presse.  ISBN 0-12-381550-9.\u00d8ksendal, Bernt K. (2003). Stochastische Differentialgleichungen: Eine Einf\u00fchrung in Anwendungen (Sechste Ausgabe).  Berlin: Springer.  ISBN 3-540-04758-1.  (Siehe Abschnitt 6.1)^ Stratonovich, RL (1959). Optimale nichtlineare Systeme, die eine Trennung eines Signals mit konstanten Parametern vom Rauschen bewirken.  Radiofizika, 2: 6, S. 892-901.^ Stratonovich, RL (1960). Anwendung der Markov-Prozesstheorie zur optimalen Filterung.  Funktechnik und elektronische Physik, 5:11, S. 1\u201319.^ Kushner, Harold.  (1967).  Nichtlineare Filterung: Die genauen dynamischen Gleichungen, die vom bedingten Modus erf\u00fcllt werden.  Automatische Steuerung, IEEE-Transaktionen in Band 12, Ausgabe 3, Juni 1967 Seite (n): 262 – 267^ Zakai, Moshe (1969), Zur optimalen Filterung von Diffusionsprozessen.  Zeit.  Wahrsch.  11 230\u2013243.  HERR242552, Zbl 0164.19201, doi:10.1007 \/ BF00536382^ Mireille Chaleyat-Maurel und Dominique Michel.  Die Ergebnisse der Nichtexistenz der Dimension finie.  Stochastics, 13 (1 + 2): 83 & ndash; 102, 1984.^ Maybeck, Peter S., Stochastische Modelle, Sch\u00e4tzung und Kontrolle, Band 141, Reihe Mathematik in Wissenschaft und Technik, 1979, Academic Press^ Damiano Brigo, Bernard Hanzon und Fran\u00e7ois LeGland, Ein differenzieller geometrischer Ansatz zur nichtlinearen Filterung: der Projektionsfilter, IEEE Transactions on Automatic Control Vol.  43, 2 (1998), S. 247\u2013252.^ Damiano Brigo, Bernard Hanzon und Fran\u00e7ois Le Gland, Ungef\u00e4hre nichtlineare Filterung durch Projektion auf exponentielle Mannigfaltigkeiten der Dichte, Bernoulli, Vol. 3, No.  5, N. 3 (1999), S. 495\u2013534     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki18\/2021\/01\/27\/filterproblem-stochastische-prozesse-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Filterproblem (stochastische Prozesse) – Wikipedia"}}]}]