Marcinkiewicz-Interpolationssatz – Wikipedia

In der Mathematik ist die Marcinkiewicz-Interpolationssatz, entdeckt von Józef Marcinkiewicz (1939), ist ein Ergebnis, das die Normen nichtlinearer Operatoren einschränkt, auf die einwirkt L.^p Räume.

Der Satz von Marcinkiewicz ähnelt dem Satz von Riesz-Thorin über lineare Operatoren, gilt jedoch auch für nichtlineare Operatoren.

Vorbereitungen[edit]

Lassen f eine messbare Funktion mit realen oder komplexen Werten sein, die auf einem Messraum definiert sind (X., F., ω). Die Verteilungsfunktion von f ist definiert durch

${ displaystyle (0,1)}$

gegeben durch

${ displaystyle 1 / x}$

und

${ displaystyle 1 / (1-x)}$

, die Norm 4 hat nicht 2.)

Irgendein

${ displaystyle L ^ {1}}$

Funktion gehört zu L.^1,w und außerdem hat man die Ungleichung

${ displaystyle | f | _ {1, w} leq | f | _ {1}.}$

Dies ist nichts anderes als Markovs Ungleichung (auch bekannt als Chebyshevs Ungleichung). Das Gegenteil ist nicht wahr. Zum Beispiel die Funktion 1 /x gehört L.^1,w aber nicht zu L.¹.

Ebenso kann man das definieren schwach

${ displaystyle L ^ {p}}$

Raum als Raum aller Funktionen f so dass

${ displaystyle | f | ^ {p}}$

gehören L.^1,w, und die schwach

${ displaystyle L ^ {p}}$

Norm mit

${ displaystyle | f | _ {p, w} = left || f | ^ {p} right | _ {1, w} ^ { frac {1} {p}}.}$

Direkter ist die L.^p,w Norm wird als die beste Konstante definiert C. in der Ungleichung

Formulierung[edit]

Informell ist Marcinkiewicz ‚Satz

Satz. Lassen T. ein begrenzter linearer Operator von sein

${ displaystyle L ^ {p}}$

zu

${ displaystyle L ^ {p, w}}$

und gleichzeitig von

${ displaystyle L ^ {q}}$

zu

${ displaystyle L ^ {q, w}}$

. Dann T. ist auch ein beschränkter Operator von

${ displaystyle L ^ {r}}$

zu

${ displaystyle L ^ {r}}$

für jeden r zwischen p und q.

Mit anderen Worten, selbst wenn Sie nur eine schwache Begrenzung der Extreme benötigen p und q, du bekommst immer noch regelmäßige Grenzen im Inneren. Um dies formeller zu gestalten, muss man das erklären T. ist nur auf eine dichte Teilmenge begrenzt und kann abgeschlossen werden. Siehe Riesz-Thorin-Theorem für diese Details.

Wo der Satz von Marcinkiewicz schwächer ist als der Satz von Riesz-Thorin, steht in den Schätzungen der Norm. Der Satz gibt Grenzen für die

${ displaystyle L ^ {r}}$

Norm von T. aber diese Grenze steigt bis ins Unendliche als r konvergiert zu entweder p oder q. Insbesondere (DiBenedetto 2002, Satz VIII.9.2) nehmen wir an, dass

${ displaystyle | Tf | _ {p, w} leq N_ {p} | f | _ {p},}$

${ displaystyle | Tf | _ {q, w} leq N_ {q} | f | _ {q},}$

so dass die Betreibernorm von T. von L.^p zu L.^p,w ist höchstens N._pund die Betreibernorm von T. von L.^q zu L.^q,w ist höchstens N._q. Dann folgendes Interpolationsungleichung gilt für alle r zwischen p und q und alles f ∈ L.^r::

${ displaystyle | Tf | _ {r} leq gamma N_ {p} ^ { delta} N_ {q} ^ {1- delta} | f | _ {r}}$

wo

${ displaystyle delta = { frac {p (qr)} {r (qp)}}}$

und

${ displaystyle gamma = 2 left ({ frac {r (qp)} {(rp) (qr)}} right) ^ {1 / r}.}$

Die Konstanten δ und γ können auch für angegeben werden q = ∞ durch Überschreiten der Grenze.

Eine Version des Satzes gilt auch allgemeiner, wenn T. wird nur im folgenden Sinne als quasilinearer Operator angenommen: Es existiert eine Konstante C. > 0 so dass T. befriedigt

${ Anzeigestil | T (f + g) (x) | leq C (| Tf (x) | + | Tg (x) |)}$

für fast jeden x. Der Satz gilt genau wie angegeben, außer dass γ durch ersetzt wird

${ displaystyle gamma = 2C left ({ frac {r (qp)} {(rp) (qr)}} right) ^ {1 / r}.}$

Ein Operateur T. (möglicherweise quasilinear) eine Schätzung der Form erfüllen

${ displaystyle | Tf | _ {q, w} leq C | f | _ {p}}$

soll von sein schwacher Typ (p,q). Ein Operator ist einfach vom Typ (p,q) wenn T. ist eine begrenzte Transformation von L.^p zu L.^q::

${ displaystyle | Tf | _ {q} leq C | f | _ {p}.}$

Eine allgemeinere Formulierung des Interpolationssatzes lautet wie folgt:

• Wenn T. ist ein quasilinearer Operator vom schwachen Typ (p₀, q₀) und vom schwachen Typ (p₁, q₁) wo q₀ ≠ q₁dann für jedes θ ∈ (0,1), T. ist vom Typ (p,q), zum p und q mit p ≤ q der Form

${ displaystyle { frac {1} {p}} = { frac {1- theta} {p_ {0}}} + { frac { theta} {p_ {1}}}, quad { frac {1} {q}} = { frac {1- theta} {q_ {0}}} + { frac { theta} {q_ {1}}}.}$

Die letztere Formulierung folgt aus der ersteren durch Anwendung der Hölderschen Ungleichung und eines Dualitätsarguments.^{[citation needed]}

Anwendungen und Beispiele[edit]

Ein bekanntes Anwendungsbeispiel ist die Hilbert-Transformation. Als Multiplikator betrachtet die Hilbert-Transformation einer Funktion f kann berechnet werden, indem zuerst die Fourier-Transformation von genommen wird f, dann mit der Vorzeichenfunktion multiplizieren und schließlich die inverse Fourier-Transformation anwenden.

Daher zeigt der Satz von Parseval leicht, dass die Hilbert-Transformation von begrenzt ist

${ displaystyle L ^ {2}}$

zu

${ displaystyle L ^ {2}}$

. Eine viel weniger offensichtliche Tatsache ist, dass es von begrenzt ist

${ displaystyle L ^ {1}}$

zu

${ displaystyle L ^ {1, w}}$

. Daher zeigt der Satz von Marcinkiewicz, dass er von begrenzt ist

${ displaystyle L ^ {p}}$

zu

${ displaystyle L ^ {p}}$

für jede 1 p <2. Dualitätsargumente zeigen, dass es auch für 2 begrenzt ist p <∞. Tatsächlich ist die Hilbert-Transformation wirklich unbegrenzt p gleich 1 oder ∞.

Ein weiteres berühmtes Beispiel ist die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion, die eher ein sublinearer als ein linearer Operator ist. Während

${ displaystyle L ^ {p}}$

zu

${ displaystyle L ^ {p}}$

Grenzen können sofort aus dem abgeleitet werden

${ displaystyle L ^ {1}}$

zu schwach

${ displaystyle L ^ {1}}$

Die Marcinkiewicz-Interpolation wird durch eine geschickte Änderung von Variablen geschätzt und ist ein intuitiverer Ansatz. Da die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion trivial von begrenzt ist

${ displaystyle L ^ { infty}}$

zu

${ displaystyle L ^ { infty}}$

, starke Begrenztheit für alle

${ displaystyle p> 1}$

Geschichte[edit]

Der Satz wurde erstmals von Marcinkiewicz (1939) angekündigt, der Antoni Zygmund dieses Ergebnis kurz vor seinem Tod im Zweiten Weltkrieg zeigte. Der Satz wurde von Zygmund fast vergessen und fehlte in seinen ursprünglichen Arbeiten zur Theorie der singulären Integraloperatoren. Später erkannte Zygmund (1956), dass Marcinkiewicz ‚Ergebnis seine Arbeit erheblich vereinfachen könnte. Zu diesem Zeitpunkt veröffentlichte er den Satz seines ehemaligen Schülers zusammen mit einer eigenen Verallgemeinerung.

1964 veröffentlichten Richard A. Hunt und Guido Weiss einen neuen Beweis des Marcinkiewicz-Interpolationssatzes.^[1]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Echte Analyse, Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41160-7.
• Marcinkiewicz, J. (1939), „Sur l’interpolation d’operations“, CR Acad. Sci. Paris, 208: 1272–1273
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Einführung in die Fourier-Analyse euklidischer Räume, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Zygmund, A. (1956), „Nach einem Satz von Marcinkiewicz über die Interpolation von Operationen“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 35: 223–248, ISSN 0021-7824, HERR 0080887