Umsatzäquivalenz – Wikipedia

Umsatzäquivalenz ist ein Konzept in der Auktionstheorie, das besagt, dass unter bestimmten Bedingungen jeder Mechanismus, der zu denselben Ergebnissen führt (dh Artikel denselben Bietern zuweist), auch dieselben erwarteten Einnahmen hat.

Notation[edit]

Es gibt einen Satz

X.{ displaystyle X}

von möglichen Ergebnissen.

Es gibt

n{ displaystyle n}

Agenten, die für jedes Ergebnis unterschiedliche Bewertungen haben. Die Bewertung des Agenten

ich{ displaystyle i}

(auch seine genannt “Art”) wird als Funktion dargestellt:

vich::X.⟶R.≥0{ displaystyle v_ {i}: X longrightarrow R _ { geq 0}}

Dies drückt den Wert aus, den es für jede Alternative in Geld ausgedrückt hat.

Die Agenten haben quasilineare Nutzfunktionen; Dies bedeutet, dass, wenn das Ergebnis ist

x{ displaystyle x}

und zusätzlich erhält der Agent eine Zahlung

pich{ displaystyle p_ {i}}

(positiv oder negativ), dann der Gesamtnutzen des Agenten

ich{ displaystyle i}

ist:

uich: =vich((x)+pich{ displaystyle u_ {i}: = v_ {i} (x) + p_ {i}}

Der Vektor aller Wertfunktionen wird mit bezeichnet

v{ displaystyle v}

.

Für jeden Agenten

ich{ displaystyle i}

, der Vektor aller Wertfunktionen der andere Agenten wird mit bezeichnet

v– –ich{ displaystyle v _ {- i}}

. Damit

v≡((vich,v– –ich){ displaystyle v equiv (v_ {i}, v _ {- i})}

.

EIN Mechanismus ist ein Paar von Funktionen:

Die Agententypen sind unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen. Somit induziert ein Mechanismus ein Bayes’sches Spiel, bei dem die Strategie eines Spielers sein gemeldeter Typ als Funktion seines wahren Typs ist. Ein Mechanismus soll mit Bayesian-Nash-Anreizen kompatibel sein, wenn es ein Bayesian-Nash-Gleichgewicht gibt, in dem alle Spieler ihren wahren Typ angeben.

Erklärung[edit]

Unter diesen Annahmen ist die Umsatzäquivalenzsatz dann sagt folgendes.[1]::236–237

Für zwei mit Bayesian-Nash-Anreizen kompatible Mechanismen, wenn:

  • Das
    ÖutcÖme{ displaystyle Outcome}

    Funktion ist in beiden Mechanismen gleich und:
  • Für irgendeinen Typ
    vich0{ displaystyle v_ {i} ^ {0}}

    , die erwartete Zahlung des Spielers ich{ displaystyle i}

    (gemittelt über die Typen der anderen Spieler) ist in beiden Mechanismen gleich;
  • Die Bewertung jedes Spielers wird aus einem mit dem Pfad verbundenen Satz gezogen.

dann:

  • Die erwarteten Zahlungen von alle Typen sind in beiden Mechanismen gleich und daher:
  • Die erwarteten Einnahmen (- Summe der Zahlungen) sind in beiden Mechanismen gleich.

Beispiel[edit]

Ein klassisches Beispiel sind die beiden Auktionsmechanismen: Erstpreisauktion und Zweitpreisauktion. Die Erstpreisauktion hat eine Variante, die mit Bayesian-Nash-Incentive kompatibel ist. Die Zweitpreisauktion ist dominant-strategie-anreizkompatibel, was sogar stärker ist als die Bayesian-Nash-Anreizanpassung. Die beiden Mechanismen erfüllen die Bedingungen des Satzes, weil:

  • Das
    ÖutcÖme{ displaystyle Outcome}

    Funktion ist in beiden Mechanismen gleich – der Höchstbietende gewinnt den Gegenstand; und:
  • Ein Spieler, der den Gegenstand als 0 bewertet, zahlt in beiden Mechanismen immer 0.

In der Tat ist die erwartete Zahlung für jeden Spieler in beiden Auktionen gleich und die Einnahmen des Auktionators sind gleich. Weitere Informationen finden Sie auf der Seite zur Erstpreisauktion mit versiegelten Geboten.

Gleichwertigkeit der Auktionsmechanismen bei Einzelauktionen[edit]

Tatsächlich können wir die Umsatzäquivalenz verwenden, um zu beweisen, dass viele Arten von Auktionen umsatzäquivalent sind. Beispielsweise sind die erste Preisauktion, die zweite Preisauktion und die All-Pay-Auktion alle Einnahmenäquivalente, wenn die Bieter symmetrisch sind (dh ihre Bewertungen sind unabhängig und identisch verteilt).

Zweitpreisauktion[edit]

Betrachten Sie die Einzelpreisauktion zum zweiten Preis, bei der der Spieler mit dem höchsten Gebot das zweithöchste Gebot zahlt. Es ist für jeden Spieler optimal

ich{ displaystyle i}

seinen eigenen Wert bieten

bich=vich{ displaystyle b_ {i} = v_ {i}}

.

Annehmen

ich{ displaystyle i}

gewinnt die Auktion und zahlt das zweithöchste Gebot oder

maxj≠ichbj{ displaystyle max _ {j neq i} b_ {j}}

. Die Einnahmen aus dieser Auktion sind einfach

maxj≠ichbj{ displaystyle max _ {j neq i} b_ {j}}

.

Erstpreisauktion[edit]

Bei der Erstpreisauktion, bei der der Spieler mit dem höchsten Gebot einfach sein Gebot zahlt, wenn alle Spieler über eine Gebotsfunktion bieten

b((v)=E.((maxj≠ichvj | vj≤v ∀ j),{ displaystyle b (v) = E ( max _ {j neq i} v_ {j} ~ | ~ v_ {j} leq v ~ forall ~ j),}

Dies ist ein Nash-Gleichgewicht.

Mit anderen Worten, wenn jeder Spieler so bietet, dass er den erwarteten Wert des zweithöchsten Gebots bietet, unter der Annahme, dass sein Gebot das höchste ist, hat kein Spieler einen Anreiz, davon abzuweichen. Wenn dies wahr wäre, dann ist es leicht zu erkennen, dass die erwarteten Einnahmen aus dieser Auktion auch sind

maxj≠ichbj{ displaystyle max _ {j neq i} b_ {j}}

wenn

ich{ displaystyle i}

gewinnt die Auktion.

Beweis[edit]

Um dies zu beweisen, nehmen wir an, dass ein Spieler 1 bietet

b((z){ displaystyle b (z)}

wo

z<v{ displaystyle z

, effektiv bluffen, dass sein Wert ist

z{ displaystyle z}

eher, als

v{ displaystyle v}

. Wir wollen einen Wert von finden

z{ displaystyle z}

so dass die erwartete Auszahlung des Spielers maximiert wird.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist dann

P.r((maxich>1vich<z){ displaystyle Pr ( max _ {i> 1} v_ {i}

. Die erwarteten Kosten für dieses Gebot betragen

E.((maxich>1vich | vich<z ∀ ich){ displaystyle E ( max _ {i> 1} v_ {i} ~ | ~ v_ {i}

. Dann ist die erwartete Auszahlung eines Spielers

P.r((maxich>1vich<z)((v– –E.((maxich>1vich | vich<z ∀ ich)){ displaystyle Pr ( max _ {i> 1} v_ {i}1} v_ {i} ~ | ~ v_ {i}

Lassen

X.=maxich>1vich{ displaystyle X = max _ {i> 1} v_ {i}}

P.r((X.<z)((v– –E.((X. |X.≤z)){ displaystyle Pr (X.

.

Mit der allgemeinen Tatsache, dass

E.((X. | X.≤z)⋅P.r((X.<z)=∫0zP.r((X.<z)– –P.r((X.<y)dy{ displaystyle E (X ~ | ~ X leq z) cdot Pr (X.

können wir das obige umschreiben als

P.r((X.<z)⋅v– –P.r((X.<z)⋅z+∫0zP.r((X.<y)dy{ displaystyle Pr (X.

.

Derivate in Bezug auf nehmen

z{ displaystyle z}

, wir erhalten

P.r((X.<z)‘((v– –z)=0⇒v=z{ displaystyle Pr (X.

.

Bieten Sie also mit Ihrem Wert

v{ displaystyle v}

maximiert die erwartete Auszahlung des Spielers. Schon seit

P.r((X.<z){ displaystyle Pr (X.

Wenn die Monotonie zunimmt, überprüfen wir, ob dies tatsächlich ein Maximalpunkt ist.

Englische Auktion[edit]

Bei der offenen Auktion mit aufsteigendem Preis (auch bekannt als englische Auktion) besteht die dominierende Strategie eines Käufers darin, in der Auktion zu bleiben, bis der geforderte Preis seinem Wert entspricht. Wenn er der letzte in der Arena ist, gewinnt er und zahlt das zweithöchste Gebot.

Betrachten Sie den Fall von zwei Käufern mit jeweils einem Wert, der unabhängig von einer Verteilung mit Unterstützung ist [0,1], kumulative Verteilungsfunktion F (v) und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f (v). Wenn sich Käufer gemäß ihren dominanten Strategien verhalten, gewinnt ein Käufer mit dem Wert v, wenn der Wert x seines Gegners niedriger ist. Somit ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit

w=Pr{x<v}}≡F.((v){ displaystyle w = Pr {x

und seine erwartete Zahlung ist

C.((v)=∫0vxf((x)dx{ displaystyle C (v) = int begrenzt _ {0} ^ {v} {} xf (x) dx}

Die erwartete Zahlung, die vom Gewinn abhängig ist, ist daher

e((v)=C.((v)F.((v)=∫0vxf((x)dxF.((v){ displaystyle e (v) = { frac {C (v)} {F (v)}} = { frac { int begrenzt _ {0} ^ {v} {} xf (x) dx} { F (v)}}}

Das Multiplizieren beider Seiten mit F (v) und das Differenzieren mit v ergibt die folgende Differentialgleichung für e (v).

e‘((v)F.((v)+e((v)f((v)=vf((v){ displaystyle {e} ‘(v) F (v) + e (v) f (v) = vf (v)}

.

Neuordnung dieser Gleichung,

e‘((v)=f((v)F.((v)((v– –e((v)){ displaystyle {e} ‘(v) = { frac {f (v)} {F (v)}} (ve (v))}

Sei B (v) die Gleichgewichtsgebotsfunktion in der versiegelten Erstpreisauktion. Wir stellen die Umsatzäquivalenz fest, indem wir zeigen, dass B (v) = e (v), dh die Gleichgewichtszahlung des Gewinners in einer Auktion gleich der erwarteten Gleichgewichtszahlung des Gewinners in der anderen Auktion ist.

Angenommen, ein Käufer hat den Wert v und bietet b. Sein Gegner bietet gemäß der Gleichgewichtsgebotsstrategie. Die Unterstützung der Gebotsverteilung des Gegners ist [0,B(1)]. Somit gewinnt jedes Gebot von mindestens B (1) mit Wahrscheinlichkeit 1. Daher liegt das beste Gebot b im Intervall [0,B(1)] und so können wir dieses Gebot als b = B (x) schreiben, in dem x liegt [0,1]. Wenn der Gegner den Wert y hat, bietet er B (y). Daher ist die Gewinnwahrscheinlichkeit

w=Pr{b<B.((y)}}=Pr{B.((x)<B.((y)}}=Pr{x<y}}=F.((v){ displaystyle w = Pr {b

.

Die erwartete Auszahlung des Käufers ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit multipliziert mit seinem Nettogewinn, wenn er gewinnt, d. H.

U.=w((v– –B.((x))=F.((x)((v– –B.((x)){ displaystyle U = w (vB (x)) = F (x) (vB (x))}

.

Differenzierung ist die notwendige Bedingung für ein Maximum

U.‘((x)=f((x)((v– –B.((x))– –F.((x)B.‘((x)=F.((x)((f((x)F.((x)((v– –B.((x))– –B.‘((x))=0{ displaystyle {U} ‘(x) = f (x) (vB (x)) – F (x) {B}’ (x) = F (x) left ({ frac {f (x)} {F (x)}} (vB (x)) – {B} ‘(x) right) = 0}

.

Das heißt, wenn B (x) die beste Antwort des Käufers ist, muss er diese Bedingung der ersten Bestellung erfüllen. Schließlich stellen wir fest, dass die beste Antwort des Käufers B (v) sein muss, damit B (v) die Gleichgewichtsgebotsfunktion ist. Somit ist x = v. Ersetzen von x in der erforderlichen Bedingung,

f((v)F.((v)((v– –B.((v))– –B.‘((v)=0{ displaystyle { frac {f (v)} {F (v)}} (vB (v)) – {B} ‘(v) = 0}

.

Beachten Sie, dass diese Differentialgleichung mit der für e (v) identisch ist. Da e (0) = B (0) = 0 ist, folgt daraus

B.((v)=e((v){ displaystyle B (v) = e (v)}

.

Verwenden der Umsatzäquivalenz zur Vorhersage von Gebotsfunktionen[edit]

Wir können die Umsatzäquivalenz verwenden, um die Gebotsfunktion eines Spielers in einem Spiel vorherzusagen. Betrachten Sie die Zwei-Spieler-Version der zweiten Preisauktion und der ersten Preisauktion, bei der der Wert jedes Spielers einheitlich gezogen wird

[0,1]{ displaystyle [0,1]}}

.

Zweitpreisauktion[edit]

Die erwartete Zahlung des ersten Spielers in der zweiten Preisauktion kann wie folgt berechnet werden:

E.((Zahlung | Spieler 1 gewinnt)P.((Spieler 1 gewinnt)+E.((Zahlung | Spieler 1 verliert)P.((Spieler 1 verliert){ displaystyle E ({ text {Zahlung}} ~ | ~ { text {Spieler 1 gewinnt}}) P ({ text {Spieler 1 gewinnt}}) + E ({ text {Zahlung}} ~ | ~ { text {Spieler 1 verliert}}) P ({ text {Spieler 1 verliert}})}

Da die Spieler in einer zweiten Preisauktion wahrheitsgemäß bieten, können wir alle Preise durch die Werte der Spieler ersetzen. Wenn Spieler 1 gewinnt, zahlt er, was Spieler 2 bietet, oder

p2=v2{ displaystyle p_ {2} = v_ {2}}

. Spieler 1 selbst bietet

p1=v1{ displaystyle p_ {1} = v_ {1}}

. Da die Zahlung Null ist, wenn Spieler 1 verliert, gilt Folgendes

E.((v2 | v2<v1)P.((v2<v1)+0{ displaystyle E (v_ {2} ~ | ~ v_ {2}

Schon seit

v1,v2{ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}

aus einer gleichmäßigen Verteilung kommen, können wir dies vereinfachen

v12⋅v1=v122{ displaystyle { frac {v_ {1}} {2}} cdot v_ {1} = { frac {v_ {1} ^ {2}} {2}}}

Erstpreisauktion[edit]

Wir können die Umsatzäquivalenz verwenden, um die richtige symmetrische Gebotsfunktion in der ersten Preisauktion zu generieren. Angenommen, in der ersten Preisauktion hat jeder Spieler die Gebotsfunktion

b((v){ displaystyle b (v)}

, wo diese Funktion zu diesem Zeitpunkt unbekannt ist.

Die erwartete Zahlung von Spieler 1 in diesem Spiel ist dann

E.((Zahlung | Spieler 1 gewinnt)P.((Spieler 1 gewinnt)+E.((Zahlung | Spieler 1 verliert)P.((Spieler 1 verliert){ displaystyle E ({ text {Zahlung}} ~ | ~ { text {Spieler 1 gewinnt}}) P ({ text {Spieler 1 gewinnt}}) + E ({ text {Zahlung}} ~ | ~ { text {Spieler 1 verliert}}) P ({ text {Spieler 1 verliert}})}

(wie oben)

Jetzt zahlt ein Spieler einfach, was der Spieler bietet, und nehmen wir an, dass Spieler mit höheren Werten immer noch gewinnen, so dass die Gewinnwahrscheinlichkeit einfach der Wert eines Spielers ist, wie bei der zweiten Preisauktion. Wir werden später zeigen, dass diese Annahme richtig war. Wieder zahlt ein Spieler nichts, wenn er die Auktion verliert. Wir erhalten dann

b((v1)⋅v1+0{ displaystyle b (v_ {1}) cdot v_ {1} +0}

Nach dem Revenue Equivalence-Prinzip können wir diesen Ausdruck mit den Einnahmen der oben berechneten Zweitpreisauktion gleichsetzen:

b((v1)⋅v1=v122{ displaystyle b (v_ {1}) cdot v_ {1} = { frac {v_ {1} ^ {2}} {2}}}

Daraus können wir die Gebotsfunktion ableiten:

b((v1)=v12{ displaystyle b (v_ {1}) = { frac {v_ {1}} {2}}}

Beachten Sie, dass mit dieser Gebotsfunktion der Spieler mit dem höheren Wert immer noch gewinnt. Wir können auf zusätzliche Weise zeigen, dass dies die richtige Gleichgewichtsgebotsfunktion ist, indem wir darüber nachdenken, wie ein Spieler sein Gebot maximieren sollte, da alle anderen Spieler mit dieser Gebotsfunktion bieten. Siehe die Seite zur Erstpreisauktion mit versiegeltem Gebot.

All-Pay-Auktionen[edit]

Ebenso wissen wir, dass die erwartete Zahlung von Spieler 1 in der zweiten Preisauktion ist

v122{ displaystyle { frac {v_ {1} ^ {2}} {2}}}

, und dies muss gleich der erwarteten Zahlung in der All-Pay-Auktion sein, dh

v122=b((v1){ displaystyle { frac {v_ {1} ^ {2}} {2}} = b (v_ {1})}

Somit ist die Gebotsfunktion für jeden Spieler in der All-Pay-Auktion

v22{ displaystyle { frac {v ^ {2}} {2}}}

Implikationen[edit]

Eine wichtige Implikation des Satzes ist, dass jede Einzelauktion, bei der der Gegenstand bedingungslos dem Höchstbietenden übergeben wird, die gleichen erwarteten Einnahmen erzielt. Dies bedeutet, dass die Ergebnisfunktion geändert werden muss, wenn wir die Einnahmen des Auktionators erhöhen möchten. Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, einen Reservierungspreis für den Artikel festzulegen. Dies ändert die Ergebnisfunktion, da der Artikel jetzt nicht immer an den Höchstbietenden übergeben wird. Durch sorgfältige Auswahl des Reservierungspreises kann ein Auktionator einen wesentlich höheren erwarteten Umsatz erzielen.[1]::237

Einschränkungen[edit]

Der Umsatzäquivalenzsatz bricht in einigen wichtigen Fällen:[1]::238–239

  • Wenn die Spieler eher risikoavers als risikoneutral sind, wie oben angenommen. In diesem Fall ist bekannt, dass Erstpreisauktionen mehr Umsatz generieren als Zweitpreisauktionen.
  • Wenn die Bewertungen der Spieler voneinander abhängig sind, z. B. wenn die Bewertungen von einem Zustand der Welt abhängen, der den Bietern nur teilweise bekannt ist (dies hängt mit dem Fluch des Gewinners zusammen). In diesem Szenario generiert die englische Auktion mehr Einnahmen als die Zweitpreisauktion, da die Bieter Informationen aus den Geboten anderer Spieler lernen können.

Verweise[edit]