[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki19\/2021\/01\/27\/kelvin-funktionen-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki19\/2021\/01\/27\/kelvin-funktionen-wikipedia\/","headline":"Kelvin-Funktionen – Wikipedia","name":"Kelvin-Funktionen – Wikipedia","description":"before-content-x4 In der angewandten Mathematik ist die Kelvin funktioniert ber\u03bd((x) und bei\u03bd((x) sind die Real- bzw. Imagin\u00e4rteile von J.\u03bd((xe3\u03c0ich4),{ displaystyle","datePublished":"2021-01-27","dateModified":"2021-01-27","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki19\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki19\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/835bc567e7fb12f2203c9b813243da9babba0874","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/835bc567e7fb12f2203c9b813243da9babba0874","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki19\/2021\/01\/27\/kelvin-funktionen-wikipedia\/","wordCount":10092,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4In der angewandten Mathematik ist die Kelvin funktioniert ber\u03bd((x) und bei\u03bd((x) sind die Real- bzw. Imagin\u00e4rteile vonJ.\u03bd((xe3\u03c0ich4),{ displaystyle J _ { nu}  left (xe ^ { frac {3  pi i} {4}}  right), ,}       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4wo x ist real und J.\u03bd((z), ist der \u03bdth Bessel-Funktion der ersten Art bestellen.  Ebenso ker die Funktionen\u03bd((x) und Kei\u03bd((x) sind die Real- bzw. Imagin\u00e4rteile von       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4K.\u03bd((xe\u03c0ich4),{ displaystyle K _ { nu}  left (xe ^ { frac { pi i} {4}}  right), ,}wo K.\u03bd((z) ist der \u03bdth Auftrag modifizierte Bessel-Funktion der zweiten Art.Diese Funktionen sind nach William Thomson, 1. Baron Kelvin, benannt.W\u00e4hrend die Kelvin-Funktionen als Real- und Imagin\u00e4rteil von Bessel-Funktionen mit definiert sind x Als real angesehen, k\u00f6nnen die Funktionen f\u00fcr komplexe Argumente analytisch fortgesetzt werden xei\u03c6, 0 \u2264 \u03c6 k\u22650cos\u2061[(3n4+k2)\u03c0]k!\u0393((n+k+1)((x24)k,{ displaystyle  mathrm {ber} _ {n} (x) =  left ({ frac {x} {2}}  right) ^ {n}  sum _ {k  geq 0} { frac { cos  left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}}right)pi right]} {k!  Gamma (n + k + 1)}}  left ({ frac {x ^ {2}} {4}}  right) ^ {k},}wo \u0393 (z) ist die Gammafunktion.  Der Sonderfall ber0((x), allgemein als nur ber bezeichnet (x), hat die Serienerweiterungber((x)=1+\u2211k\u22651((– –1)k[(2k)!]2((x2)4k{ displaystyle  mathrm {ber} (x) = 1 +  sum _ {k  geq 1} { frac {(-1) ^ {k}} {[(2k)!]^ {2}}}  left ({ frac {x} {2}}  right) ^ {4k}}und asymptotische Serienber((x)\u223cex22\u03c0x((f1((x)cos\u2061\u03b1+G1((x)S\u00fcnde\u2061\u03b1)– –keich((x)\u03c0{ displaystyle  mathrm {ber} (x)  sim { frac {e ^ { frac {x} { sqrt {2}}} { sqrt {2  pi x}}}  left (f_ { 1} (x)  cos  alpha + g_ {1} (x)  sin  alpha  right) – { frac { mathrm {kei} (x)} { pi}}},wo\u03b1=x2– –\u03c08,{ displaystyle  alpha = { frac {x} { sqrt {2}}} – { frac { pi} {8}},}f1((x)=1+\u2211k\u22651cos\u2061((k\u03c0\/.4)k!((8x)k\u220fl=1k((2l– –1)2{ displaystyle f_ {1} (x) = 1 +  sum _ {k  geq 1} { frac { cos (k  pi \/ 4)} {k! (8x) ^ {k}}}  prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}}G1((x)=\u2211k\u22651S\u00fcnde\u2061((k\u03c0\/.4)k!((8x)k\u220fl=1k((2l– –1)2.{ displaystyle g_ {1} (x) =  sum _ {k  geq 1} { frac { sin (k  pi \/ 4)} {k! (8x) ^ {k}}}  prod _ { l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}.}  bei (x) zum x zwischen 0 und 20.  beich((x)\/.ex\/.2{ displaystyle  mathrm {bei} (x) \/ e ^ {x \/ { sqrt {2}}}}  zum x zwischen 0 und 50.F\u00fcr ganze Zahlen nbein((x) hat die Serienerweiterungbeichn((x)=((x2)n\u2211k\u22650S\u00fcnde\u2061[(3n4+k2)\u03c0]k!\u0393((n+k+1)((x24)k.{ displaystyle  mathrm {bei} _ {n} (x) =  left ({ frac {x} {2}}  right) ^ {n}  sum _ {k  geq 0} { frac { S\u00fcnde  links[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}}right)pi right]} {k!  Gamma (n + k + 1)}}  left ({ frac {x ^ {2}} {4}}  right) ^ {k}.}Der Sonderfall bei0((x), allgemein als nur bei (x), hat die Serienerweiterungbeich((x)=\u2211k\u22650((– –1)k[(2k+1)!]2((x2)4k+2{ displaystyle  mathrm {bei} (x) =  sum _ {k  geq 0} { frac {(-1) ^ {k}} {[(2k+1)!]^ {2}}}  left ({ frac {x} {2}}  right) ^ {4k + 2}}und asymptotische Serienbeich((x)\u223cex22\u03c0x[f1(x)sin\u2061\u03b1\u2212g1(x)cos\u2061\u03b1]– –ker((x)\u03c0,{ displaystyle  mathrm {bei} (x)  sim { frac {e ^ { frac {x} { sqrt {2}}} { sqrt {2  pi x}}}[f_{1}(x)sin alpha -g_{1}(x)cos alpha ]- { frac { mathrm {ker} (x)} { pi}},}wo \u03b1, f1((x){ displaystyle f_ {1} (x)}, und G1((x){ displaystyle g_ {1} (x)}  sind definiert als f\u00fcr ber (x).  ker (x) zum x zwischen 0 und 14.  ker((x)ex\/.2{ displaystyle  mathrm {ker} (x) e ^ {x \/ { sqrt {2}}}}  zum x zwischen 0 und 50.F\u00fcr ganze Zahlen n, kern((x) hat die (komplizierte) Serienerweiterungkern((x)=– –ln\u2061((x2)bern((x)+\u03c04beichn((x)+12((x2)– –n\u2211k=0n– –1cos\u2061[(3n4+k2)\u03c0]((n– –k– –1)!k!((x24)k+12((x2)n\u2211k\u22650cos\u2061[(3n4+k2)\u03c0]\u03c8((k+1)+\u03c8((n+k+1)k!((n+k)!((x24)k.{ displaystyle { begin {align} &  mathrm {ker} _ {n} (x) = –  ln  left ({ frac {x} {2}}  right)  mathrm {ber} _ {n } (x) + { frac { pi} {4}}  mathrm {bei} _ {n} (x) \\ & + { frac {1} {2}}  left ({ frac {x } {2}}  right) ^ {- n}  sum _ {k = 0} ^ {n-1}  cos  left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}}right)pi right]{ frac {(nk-1)!} {k!}}  left ({ frac {x ^ {2}} {4}}  right) ^ {k} \\ & + { frac {1} {2}}  left ({ frac {x} {2}}  right) ^ {n}  sum _ {k  geq 0}  cos  left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}}right)pi right]{ frac { psi (k + 1) +  psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}}  left ({ frac {x ^ {2}} {4}}  right) ^ {k}.  end {align}}}Der Sonderfall ker0((x), allgemein als nur ker bezeichnet (x), hat die Serienerweiterungker((x)=– –ln\u2061((x2)ber((x)+\u03c04beich((x)+\u2211k\u22650((– –1)k\u03c8((2k+1)[(2k)!]2((x24)2k{ displaystyle  mathrm {ker} (x) = –  ln  left ({ frac {x} {2}}  right)  mathrm {ber} (x) + { frac { pi} {4} }  mathrm {bei} (x) +  sum _ {k  geq 0} (- 1) ^ {k} { frac { psi (2k + 1)} {[(2k)!]^ {2}}}  left ({ frac {x ^ {2}} {4}}  right) ^ {2k}}und die asymptotische Reiheker((x)\u223c\u03c02xe– –x2[f2(x)cos\u2061\u03b2+g2(x)sin\u2061\u03b2],{ displaystyle  mathrm {ker} (x)  sim { sqrt { frac { pi} {2x}}} e ^ {- { frac {x} { sqrt {2}}}[f_{2}(x)cos beta +g_{2}(x)sin beta ],}wo\u03b2=x2+\u03c08,{ displaystyle  beta = { frac {x} { sqrt {2}}} + { frac { pi} {8}},}f2((x)=1+\u2211k\u22651((– –1)kcos\u2061((k\u03c0\/.4)k!((8x)k\u220fl=1k((2l– –1)2{ displaystyle f_ {2} (x) = 1 +  sum _ {k  geq 1} (- 1) ^ {k} { frac { cos (k  pi \/ 4)} {k! (8x) ^ {k}}}  prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}}G2((x)=\u2211k\u22651((– –1)kS\u00fcnde\u2061((k\u03c0\/.4)k!((8x)k\u220fl=1k((2l– –1)2.{ displaystyle g_ {2} (x) =  sum _ {k  geq 1} (- 1) ^ {k} { frac { sin (k  pi \/ 4)} {k! (8x) ^ { k}}}  prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}.}  Kei (x) zum x zwischen 0 und 14.  keich((x)ex\/.2{ displaystyle  mathrm {kei} (x) e ^ {x \/ { sqrt {2}}}}  zum x zwischen 0 und 50.F\u00fcr Ganzzahl n, kein((x) hat die Serienerweiterungkeichn((x)=– –ln\u2061((x2)beichn((x)– –\u03c04bern((x)– –12((x2)– –n\u2211k=0n– –1S\u00fcnde\u2061[(3n4+k2)\u03c0]((n– –k– –1)!k!((x24)k+12((x2)n\u2211k\u22650S\u00fcnde\u2061[(3n4+k2)\u03c0]\u03c8((k+1)+\u03c8((n+k+1)k!((n+k)!((x24)k.{ displaystyle { begin {align} &  mathrm {kei} _ {n} (x) = –  ln  left ({ frac {x} {2}}  right)  mathrm {bei} _ {n } (x) – { frac { pi} {4}}  mathrm {ber} _ {n} (x) \\ & – { frac {1} {2}}  left ({ frac {x } {2}}  right) ^ {- n}  sum _ {k = 0} ^ {n-1}  sin  left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}}right)pi right]{ frac {(nk-1)!} {k!}}  left ({ frac {x ^ {2}} {4}}  right) ^ {k} \\ & + { frac {1} {2}}  left ({ frac {x} {2}}  right) ^ {n}  sum _ {k  geq 0}  sin  left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}}right)pi right]{ frac { psi (k + 1) +  psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}}  left ({ frac {x ^ {2}} {4}}  right) ^ {k}.  end {align}}}Der Sonderfall Kei0((x), allgemein nur als Kei bezeichnet (x), hat die Serienerweiterungkeich((x)=– –ln\u2061((x2)beich((x)– –\u03c04ber((x)+\u2211k\u22650((– –1)k\u03c8((2k+2)[(2k+1)!]2((x24)2k+1{ displaystyle  mathrm {kei} (x) = –  ln  left ({ frac {x} {2}}  right)  mathrm {bei} (x) – { frac { pi} {4} }  mathrm {ber} (x) +  sum _ {k  geq 0} (- 1) ^ {k} { frac { psi (2k + 2)} {[(2k+1)!]^ {2}}}  left ({ frac {x ^ {2}} {4}}  right) ^ {2k + 1}}und die asymptotische Reihekeich((x)\u223c– –\u03c02xe– –x2[f2(x)sin\u2061\u03b2+g2(x)cos\u2061\u03b2],{ displaystyle  mathrm {kei} (x)  sim – { sqrt { frac { pi} {2x}}} e ^ {- { frac {x} { sqrt {2}}}[f_{2}(x)sin beta +g_{2}(x)cos beta ],}wo \u03b2, f2((x), und G2((x) sind definiert als f\u00fcr ker (x).Siehe auch[edit]Verweise[edit]Abramowitz, Milton;  Stegun, Irene Ann, Hrsg.  (1983) [June 1964]. “Kapitel 9”. Handbuch der mathematischen Funktionen mit Formeln, Graphen und mathematischen Tabellen.  Angewandte Mathematik. 55 (Neunter Nachdruck mit zus\u00e4tzlichen Korrekturen des zehnten Originaldrucks mit Korrekturen (Dezember 1972); erste Ausgabe).  Washington, D.C;  New York: Handelsministerium der Vereinigten Staaten, National Bureau of Standards;  Dover-Ver\u00f6ffentlichungen.  p.  379. ISBN 978-0-486-61272-0.  LCCN 64-60036.  HERR 0167642.  LCCN 65-12253.Olver, FWJ;  Maximon, LC (2010), “Bessel-Funktionen”in Olver Frank WJ;  Lozier, Daniel M.;  Boisvert, Ronald F.;  Clark, Charles W. (Hrsg.), NIST-Handbuch f\u00fcr mathematische Funktionen, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, HERR 2723248Externe Links[edit]Weisstein, Eric W. “Kelvin-Funktionen.”  Aus MathWorld – Eine Wolfram-Webressource. [1]GPL-lizenzierter C \/ C ++ – Quellcode zur Berechnung von Kelvin-Funktionen bei codecogs.com: [2]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki19\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki19\/2021\/01\/27\/kelvin-funktionen-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Kelvin-Funktionen – Wikipedia"}}]}]