[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki19\/2021\/01\/01\/newman-penrose-formalismus-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki19\/2021\/01\/01\/newman-penrose-formalismus-wikipedia\/","headline":"Newman-Penrose-Formalismus – Wikipedia","name":"Newman-Penrose-Formalismus – Wikipedia","description":"Notation in der allgemeinen Relativit\u00e4tstheorie Das Newman-Penrose ((NP) Formalismus[1][2] ist eine von Ezra T. 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Newman und Roger Penrose f\u00fcr die allgemeine Relativit\u00e4tstheorie (GR) entwickelte Notation.  Ihre Notation ist ein Versuch, die allgemeine Relativit\u00e4tstheorie in Form einer Spinornotation zu behandeln, die komplexe Formen der in GR \u00fcblichen Variablen einf\u00fchrt.  Der NP-Formalismus ist selbst ein Sonderfall des Tetradenformalismus.[3] wobei die Tensoren der Theorie an jedem Punkt der Raumzeit auf eine vollst\u00e4ndige Vektorbasis projiziert werden.  Normalerweise wird diese Vektorbasis so gew\u00e4hlt, dass sie eine gewisse Symmetrie der Raumzeit widerspiegelt, was zu vereinfachten Ausdr\u00fccken f\u00fcr physikalische Observablen f\u00fchrt.  Im Fall des NP-Formalismus wird als Vektorbasis eine Null-Tetrade gew\u00e4hlt: eine Menge von vier Null-Vektoren – zwei reelle und ein komplex-konjugiertes Paar.  Die beiden realen Elemente zeigen asymptotisch radial nach innen und radial nach au\u00dfen, und der Formalismus ist gut f\u00fcr die Behandlung der Ausbreitung von Strahlung in gekr\u00fcmmter Raumzeit geeignet.  Die vom Weyl-Tensor abgeleiteten Weyl-Skalare werden h\u00e4ufig verwendet.  Insbesondere kann gezeigt werden, dass einer dieser Skalare –\u03a84{ displaystyle  Psi _ {4}} im entsprechenden Rahmen – codiert die ausgehende Gravitationsstrahlung eines asymptotisch flachen Systems.[4]Newman und Penrose f\u00fchrten mit dieser Tetrade die folgenden Funktionen als Prim\u00e4rgr\u00f6\u00dfen ein:[1][2]Zw\u00f6lf komplexe Spin-Koeffizienten (in drei Gruppen), die die \u00c4nderung der Tetrade von Punkt zu Punkt beschreiben: \u03ba,\u03c1,\u03c3,\u03c4;;\u03bb,\u03bc,\u03bd,\u03c0;;\u03f5,\u03b3,\u03b2,\u03b1.{ displaystyle  kappa,  rho,  sigma,  tau ,  lambda,  mu,  nu,  pi ,  epsilon,  gamma,  beta,  alpha.}.F\u00fcnf komplexe Funktionen, die Weyl-Tensoren auf Tetradenbasis codieren: \u03a80,\u2026,\u03a84{ displaystyle  Psi _ {0},  ldots,  Psi _ {4}}.Zehn Funktionen, die Ricci-Tensoren auf Tetradenbasis codieren: \u03a600,\u03a611,\u03a622,\u039b{ displaystyle  Phi _ {00},  Phi _ {11},  Phi _ {22},  Lambda} (echt); \u03a601,\u03a610,\u03a602,\u03a620,\u03a612,\u03a621{ displaystyle  Phi _ {01},  Phi _ {10},  Phi _ {02},  Phi _ {20},  Phi _ {12},  Phi _ {21}} (Komplex).In vielen Situationen – insbesondere in algebraisch speziellen Raumzeiten oder Vakuumraumzeiten – vereinfacht sich der Newman-Penrose-Formalismus dramatisch, da viele der Funktionen auf Null gehen.  Diese Vereinfachung erm\u00f6glicht es, verschiedene Theoreme leichter zu beweisen als die Standardform von Einsteins Gleichungen.In diesem Artikel werden wir nur die tensorielle und nicht die spinoriale Version des NP-Formalismus verwenden, da erstere in relevanten Ver\u00f6ffentlichungen leichter zu verstehen und popul\u00e4rer ist.  Man kann sich auf ref beziehen.[5] f\u00fcr eine einheitliche Formulierung dieser beiden Versionen.Null-Tetraden- und Zeichenkonvention[edit]Der Formalismus wurde f\u00fcr die vierdimensionale Raumzeit mit einer Lorentzschen Signatur entwickelt.  An jedem Punkt wird eine Tetrade (Satz von vier Vektoren) eingef\u00fchrt.  Die ersten beiden Vektoren, l\u03bc{ displaystyle l ^ { mu}} und n\u03bc{ displaystyle n ^ { mu}} sind nur ein Paar von Standard (reellen) Nullvektoren, so dass leinnein=– –1{ displaystyle l ^ {a} n_ {a} = – 1}.  Zum Beispiel k\u00f6nnen wir in sph\u00e4rischen Koordinaten denken und nehmen lein{ displaystyle l ^ {a}} der ausgehende Nullvektor sein, und nein{ displaystyle n ^ {a}} der eingehende Nullvektor sein.  Ein komplexer Nullvektor wird dann konstruiert, indem ein Paar von realen, orthogonalen Einheitsraum-\u00e4hnlichen Vektoren kombiniert wird.  Bei sph\u00e4rischen Koordinaten ist die Standardauswahlm\u03bc=12((\u03b8^+ich\u03d5^)\u03bc .{ displaystyle m ^ { mu} = { frac {1} { sqrt {2}}}  left ({ hat { theta}} + i { hat { phi}}  right) ^ {  mu} .}Das komplexe Konjugat dieses Vektors bildet dann das vierte Element der Tetrade.F\u00fcr den NP-Formalismus werden zwei S\u00e4tze von Signatur- und Normalisierungskonventionen verwendet: {((+,– –,– –,– –);;leinnein=1,meinm\u00afein=– –1}}{ displaystyle  {(+, -, -, -); l ^ {a} n_ {a} = 1  ,, m ^ {a} { bar {m}} _ {a} = – 1 } }} und {((– –,+,+,+);;leinnein=– –1,meinm\u00afein=1}}{ displaystyle  {(-, +, +, +); l ^ {a} n_ {a} = – 1  ,, m ^ {a} { bar {m}} _ {a} = 1 } }}.  Ersteres ist das Original, das bei der Entwicklung des NP-Formalismus \u00fcbernommen wurde[1][2] und ist weit verbreitet[6][7] in der Schwarzlochphysik, Gravitationswellen und verschiedenen anderen Bereichen der allgemeinen Relativit\u00e4tstheorie.  Es ist jedoch die letztere Konvention, die normalerweise bei der zeitgen\u00f6ssischen Untersuchung von Schwarzen L\u00f6chern aus quasilokalen Perspektiven angewendet wird[8] (wie isolierte Horizonte[9] und dynamische Horizonte[10][11]).  In diesem Artikel werden wir verwenden {((– –,+,+,+);;leinnein=– –1,meinm\u00afein=1}}{ displaystyle  {(-, +, +, +); l ^ {a} n_ {a} = – 1  ,, m ^ {a} { bar {m}} _ {a} = 1 } }} f\u00fcr eine systematische \u00dcberpr\u00fcfung des NP-Formalismus (siehe auch Lit.[12][13][14]).Es ist wichtig zu beachten, dass beim Umschalten von {((+,– –,– –,– –),leinnein=1,meinm\u00afein=– –1}}{ displaystyle  {(+, -, -, -)  ,, l ^ {a} n_ {a} = 1  ,, m ^ {a} { bar {m}} _ {a} = – 1 }} zu {((– –,+,+,+),leinnein=– –1,meinm\u00afein=1}}{ displaystyle  {(-, +, +, +)  ,, l ^ {a} n_ {a} = – 1  ,, m ^ {a} { bar {m}} _ {a} = 1 }}, Definitionen der Spin-Koeffizienten, Weyl-NP-Skalare \u03a8ich{ displaystyle  Psi _ {i}} und Ricci-NP-Skalare \u03a6ichj{ displaystyle  Phi _ {ij}} m\u00fcssen ihre Zeichen \u00e4ndern;  Auf diese Weise k\u00f6nnen die Einstein-Maxwell-Gleichungen unver\u00e4ndert bleiben.Im NP-Formalismus enth\u00e4lt die komplexe Null-Tetrade zwei echte Null- (Co-) Vektoren {\u2113,n}}{ displaystyle  { ell  ,, n }} und zwei komplexe Null- (Co-) Vektoren {m,m\u00af}}{ displaystyle  {m  ,, { bar {m}} }}.  Sein Null (Co) Vektoren, selbst-Normalisierung von {\u2113,n}}{ displaystyle  { ell  ,, n }} nat\u00fcrlich verschwindet,leinlein=neinnein=meinmein=m\u00afeinm\u00afein=0{ displaystyle l_ {a} l ^ {a} = n_ {a} n ^ {a} = m_ {a} m ^ {a} = { bar {m}} _ {a} { bar {m} } ^ {a} = 0},also die folgenden zwei Paare von Kreuz-Normalisierung werden \u00fcbernommenleinnein=– –1=leinnein,meinm\u00afein=1=meinm\u00afein,{ displaystyle l_ {a} n ^ {a} = – 1 = l ^ {a} n_ {a}  ,,  quad m_ {a} { bar {m}} ^ {a} = 1 = m ^ {a} { bar {m}} _ {a}  ,,}w\u00e4hrend Kontraktionen zwischen den beiden Paaren ebenfalls verschwinden,leinmein=leinm\u00afein=neinmein=neinm\u00afein=0{ displaystyle l_ {a} m ^ {a} = l_ {a} { bar {m}} ^ {a} = n_ {a} m ^ {a} = n_ {a} { bar {m}} ^ {a} = 0}.Hier k\u00f6nnen die Indizes durch die globale Metrik angehoben und abgesenkt werden Geinb{ displaystyle g_ {ab}}  was wiederum \u00fcber erhalten werden kannGeinb=– –leinnb– –neinlb+meinm\u00afb+m\u00afeinmb,Geinb=– –leinnb– –neinlb+meinm\u00afb+m\u00afeinmb.{ displaystyle g_ {ab} = – l_ {a} n_ {b} -n_ {a} l_ {b} + m_ {a} { bar {m}} _ {b} + { bar {m}} _ {a} m_ {b}  ,,  quad g ^ {ab} = – l ^ {a} n ^ {b} -n ^ {a} l ^ {b} + m ^ {a} { bar {m}} ^ {b} + { bar {m}} ^ {a} m ^ {b}  ,.}NP-Mengen und Tetradengleichungen[edit]Vier kovariante Derivatoperatoren[edit]In \u00dcbereinstimmung mit der Praxis des Formalismus, f\u00fcr jede Komponente eines Objekts unterschiedliche nicht indizierte Symbole zu verwenden, wird der kovariante Ableitungsoperator verwendet \u2207ein{ displaystyle  nabla _ {a}} wird mit vier separaten Symbolen ausgedr\u00fcckt (D.,\u0394,\u03b4,\u03b4\u00af{ displaystyle D,  Delta,  delta, { bar { delta}}}), die f\u00fcr jede Tetradenrichtung einen gerichteten kovarianten Ableitungsoperator benennen.  Bei einer linearen Kombination von Tetradenvektoren  X.ein=einlein+bnein+cmein+dm\u00afein{ displaystyle X ^ {a} =  mathrm {a} l ^ {a} +  mathrm {b} n ^ {a} +  mathrm {c} m ^ {a} +  mathrm {d} { bar {m}} ^ {a}}, der kovariante Ableitungsoperator in der X.ein{ displaystyle X ^ {a}} Richtung ist X.ein\u2207ein=((einD.+b\u0394+c\u03b4+d\u03b4\u00af){ displaystyle X ^ {a}  nabla _ {a} = ( mathrm {a} D +  mathrm {b}  Delta +  mathrm {c}  delta +  mathrm {d} { bar { delta} })}.Die Operatoren sind definiert alsD.: =\u2207l=lein\u2207ein,\u0394: =\u2207n=nein\u2207ein,{ displaystyle D: =  nabla _ { boldsymbol {l}} = l ^ {a}  nabla _ {a}  ,, ;  Delta: =  nabla _ { boldsymbol {n}} = n ^ {a}  nabla _ {a}  ,,}\u03b4: =\u2207m=mein\u2207ein,\u03b4\u00af: =\u2207m\u00af=m\u00afein\u2207ein,{ displaystyle  delta: =  nabla _ { boldsymbol {m}} = m ^ {a}  nabla _ {a}  ,, ; { bar { delta}}: =  nabla _ { boldsymbol { bar {m}}} = { bar {m}} ^ {a}  nabla _ {a}  ,,}die reduzieren auf D.=lein\u2202ein,\u0394=nein\u2202ein,\u03b4=mein\u2202ein,\u03b4\u00af=m\u00afein\u2202ein{ displaystyle D = l ^ {a}  partiell _ {a}  ,,  Delta = n ^ {a}  partiell _ {a}  ,,  delta = m ^ {a}  partiell _ {a}  ,, { bar { delta}} = { bar {m}} ^ {a}  teilweise _ {a}} beim einwirken auf Skalar Funktionen.Zw\u00f6lf Spin-Koeffizienten[edit]Im NP-Formalismus wird anstelle von Indexnotationen wie bei orthogonalen Tetraden jeder Ricci-Rotationskoeffizient verwendet \u03b3ichjk{ displaystyle  gamma _ {ijk}} in der Null-Tetrade wird ein griechischer Kleinbuchstabe zugeordnet, der den 12-Komplex bildet Spin-Koeffizienten (in drei Gruppen),\u03ba: =– –meinD.lein=– –meinlb\u2207blein,\u03c4: =– –mein\u0394lein=– –meinnb\u2207blein,{ displaystyle  kappa: = – m ^ {a} Dl_ {a} = – m ^ {a} l ^ {b}  nabla _ {b} l_ {a}  ,,  quad  tau: = – m ^ {a}  Delta l_ {a} = – m ^ {a} n ^ {b}  nabla _ {b} l_ {a}  ,,}\u03c3: =– –mein\u03b4lein=– –meinmb\u2207blein,\u03c1: =– –mein\u03b4\u00aflein=– –meinm\u00afb\u2207blein;;{ displaystyle  sigma: = – m ^ {a}  delta l_ {a} = – m ^ {a} m ^ {b}  nabla _ {b} l_ {a}  ,,  quad  rho: = -m ^ {a} { bar { delta}} l_ {a} = – m ^ {a} { bar {m}} ^ {b}  nabla _ {b} l_ {a} ,;}\u03c0: =m\u00afeinD.nein=m\u00afeinlb\u2207bnein,\u03bd: =m\u00afein\u0394nein=m\u00afeinnb\u2207bnein,{ displaystyle  pi: = { bar {m}} ^ {a} Dn_ {a} = { bar {m}} ^ {a} l ^ {b}  nabla _ {b} n_ {a}  ,,  quad  nu: = { bar {m}} ^ {a}  Delta n_ {a} = { bar {m}} ^ {a} n ^ {b}  nabla _ {b} n_ { ein},,}\u03bc: =m\u00afein\u03b4nein=m\u00afeinmb\u2207bnein,\u03bb: =m\u00afein\u03b4\u00afnein=m\u00afeinm\u00afb\u2207bnein;;{ displaystyle  mu: = { bar {m}} ^ {a}  delta n_ {a} = { bar {m}} ^ {a} m ^ {b}  nabla _ {b} n_ {a }  ,,  quad  lambda: = { bar {m}} ^ {a} { bar { delta}} n_ {a} = { bar {m}} ^ {a} { bar {m }} ^ {b}  nabla _ {b} n_ {a} ,;}\u03b5: =– –12((neinD.lein– –m\u00afeinD.mein)=– –12((neinlb\u2207blein– –m\u00afeinlb\u2207bmein),{ displaystyle  varepsilon: = – { frac {1} {2}} { big (} n ^ {a} Dl_ {a} – { bar {m}} ^ {a} Dm_ {a} { gro\u00df)} = – { frac {1} {2}} { big (} n ^ {a} l ^ {b}  nabla _ {b} l_ {a} – { bar {m}} ^ { a} l ^ {b}  nabla _ {b} m_ {a} { big)}  ,,}\u03b3: =– –12((nein\u0394lein– –m\u00afein\u0394mein)=– –12((neinnb\u2207blein– –m\u00afeinnb\u2207bmein),{ displaystyle  gamma: = – { frac {1} {2}} { big (} n ^ {a}  Delta l_ {a} – { bar {m}} ^ {a}  Delta m_ { a} { big)} = – { frac {1} {2}} { big (} n ^ {a} n ^ {b}  nabla _ {b} l_ {a} – { bar {m }} ^ {a} n ^ {b}  nabla _ {b} m_ {a} { big)}  ,,}\u03b2: =12((nein\u03b4lein– –m\u00afein\u03b4mein)=12((neinmb\u2207blein– –m\u00afeinmb\u2207bmein),{ displaystyle  beta: = { frac {1} {2}} { big (} n ^ {a}  delta l_ {a} – { bar {m}} ^ {a}  delta m_ {a } { big)} = { frac {1} {2}} { big (} n ^ {a} m ^ {b}  nabla _ {b} l_ {a} – { bar {m}} ^ {a} m ^ {b}  nabla _ {b} m_ {a} { big)}  ,,}\u03b1: =12((nein\u03b4\u00aflein– –m\u00afein\u03b4\u00afmein)=12((neinm\u00afb\u2207blein– –m\u00afeinm\u00afb\u2207bmein).{ displaystyle  alpha: = { frac {1} {2}} { big (} n ^ {a} { bar { delta}} l_ {a} – { bar {m}} ^ {a } { bar { delta}} m_ {a} { big)} = { frac {1} {2}} { big (} n ^ {a} { bar {m}} ^ {b}  nabla _ {b} l_ {a} – { bar {m}} ^ {a} { bar {m}} ^ {b}  nabla _ {b} m_ {a} { big)} , .}Spin-Koeffizienten sind die Hauptgr\u00f6\u00dfen im NP-Formalismus, mit denen alle anderen NP-Gr\u00f6\u00dfen (wie unten definiert) indirekt unter Verwendung der NP-Feldgleichungen berechnet werden k\u00f6nnten.  Daher wird der NP-Formalismus manchmal als bezeichnet Spin-Koeffizienten-Formalismus auch.Transportgleichungen: kovariante Ableitungen von Tetradenvektoren[edit]Die sechzehn gerichteten kovarianten Derivate von Tetradenvektoren werden manchmal als bezeichnet Transport- \/ Ausbreitungsgleichungen,[citation needed] m\u00f6glicherweise, weil die Ableitungen Null sind, wenn der Tetradenvektor parallel in Richtung des Ableitungsoperators propagiert oder transportiert wird.Diese Ergebnisse in dieser genauen Notation werden von ODonnell angegeben:[5]::57\u201358 (3,220)D.lein=((\u03b5+\u03b5\u00af)lein– –\u03ba\u00afmein– –\u03bam\u00afein,{ displaystyle Dl ^ {a} = ( varepsilon + { bar { varepsilon}}) l ^ {a} – { bar { kappa}} m ^ {a} –  kappa { bar {m} } ^ {a}  ,,}\u0394lein=((\u03b3+\u03b3\u00af)lein– –\u03c4\u00afmein– –\u03c4m\u00afein,{ displaystyle  Delta l ^ {a} = ( gamma + { bar { gamma}}) l ^ {a} – { bar { tau}} m ^ {a} –  tau { bar { m}} ^ {a}  ,,}\u03b4lein=((\u03b1\u00af+\u03b2)lein– –\u03c1\u00afmein– –\u03c3m\u00afein,{ displaystyle  delta l ^ {a} = ({ bar { alpha}} +  beta) l ^ {a} – { bar { rho}} m ^ {a} –  sigma { bar { m}} ^ {a}  ,,}\u03b4\u00aflein=((\u03b1+\u03b2\u00af)lein– –\u03c3\u00afmein– –\u03c1m\u00afein;;{ displaystyle { bar { delta}} l ^ {a} = ( alpha + { bar { beta}}) l ^ {a} – { bar { sigma}} m ^ {a} –  rho { bar {m}} ^ {a} ,;}D.nein=\u03c0mein+\u03c0\u00afm\u00afein– –((\u03b5+\u03b5\u00af)nein,{ displaystyle Dn ^ {a} =  pi m ^ {a} + { bar { pi}} { bar {m}} ^ {a} – ( varepsilon + { bar { varepsilon}}) n ^ {a}  ,,}\u0394nein=\u03bdmein+\u03bd\u00afm\u00afein– –((\u03b3+\u03b3\u00af)nein,{ displaystyle  Delta n ^ {a} =  nu m ^ {a} + { bar { nu}} { bar {m}} ^ {a} – ( gamma + { bar { gamma} }) n ^ {a}  ,,}\u03b4nein=\u03bcmein+\u03bb\u00afm\u00afein– –((\u03b1\u00af+\u03b2)nein,{ displaystyle  delta n ^ {a} =  mu m ^ {a} + { bar { lambda}} { bar {m}} ^ {a} – ({ bar { alpha}} +  beta) n ^ {a}  ,,}\u03b4\u00afnein=\u03bbmein+\u03bc\u00afm\u00afein– –((\u03b1+\u03b2\u00af)nein;;{ displaystyle { bar { delta}} n ^ {a} =  lambda m ^ {a} + { bar { mu}} { bar {m}} ^ {a} – ( alpha + {  bar { beta}}) n ^ {a} ,;}D.mein=((\u03b5– –\u03b5\u00af)mein+\u03c0\u00aflein– –\u03banein,{ displaystyle Dm ^ {a} = ( varepsilon – { bar { varepsilon}}) m ^ {a} + { bar { pi}} l ^ {a} –  kappa n ^ {a}  ,,}\u0394mein=((\u03b3– –\u03b3\u00af)mein+\u03bd\u00aflein– –\u03c4nein,{ displaystyle  Delta m ^ {a} = ( gamma – { bar { gamma}}) m ^ {a} + { bar { nu}} l ^ {a} –  tau n ^ {a }  ,,}\u03b4mein=((\u03b2– –\u03b1\u00af)mein+\u03bb\u00aflein– –\u03c3nein,{ displaystyle  delta m ^ {a} = ( beta – { bar { alpha}}) m ^ {a} + { bar { lambda}} l ^ {a} –  sigma n ^ {a }  ,,}\u03b4\u00afmein=((\u03b1– –\u03b2\u00af)mein+\u03bc\u00aflein– –\u03c1nein;;{ displaystyle { bar { delta}} m ^ {a} = ( alpha – { bar { beta}}) m ^ {a} + { bar { mu}} l ^ {a} –  rho n ^ {a} ,;}D.m\u00afein=((\u03b5\u00af– –\u03b5)m\u00afein+\u03c0lein– –\u03ba\u00afnein,{ displaystyle D { bar {m}} ^ {a} = ({ bar { varepsilon}} –  varepsilon) { bar {m}} ^ {a} +  pi l ^ {a} – {  bar { kappa}} n ^ {a}  ,,}\u0394m\u00afein=((\u03b3\u00af– –\u03b3)m\u00afein+\u03bdlein– –\u03c4\u00afnein,{ displaystyle  Delta { bar {m}} ^ {a} = ({ bar { gamma}} –  gamma) { bar {m}} ^ {a} +  nu l ^ {a} – { bar { tau}} n ^ {a}  ,,}\u03b4m\u00afein=((\u03b2– –\u03b1\u00af)m\u00afein+\u03bclein– –\u03c1\u00afnein,{ displaystyle  delta { bar {m}} ^ {a} = ( beta – { bar { alpha}}) { bar {m}} ^ {a} +  mu l ^ {a} – { bar { rho}} n ^ {a}  ,,}\u03b4\u00afm\u00afein=((\u03b1– –\u03b2\u00af)m\u00afein+\u03bblein– –\u03c3\u00afnein.{ displaystyle { bar { delta}} { bar {m}} ^ {a} = ( alpha – { bar { beta}}) { bar {m}} ^ {a} +  lambda l ^ {a} – { bar { sigma}} n ^ {a}  ,.}Interpretation von \u03ba,\u03b5,\u03bd,\u03b3{ displaystyle  kappa,  varepsilon,  nu,  gamma} von D.lein{ displaystyle Dl ^ {a}} und \u0394nein{ displaystyle  Delta n ^ {a}}[edit]Die beiden Gleichungen f\u00fcr die kovariante Ableitung eines realen Null-Tetradenvektors in seiner eigenen Richtung geben an, ob der Vektor eine Geod\u00e4t tangiert oder nicht, und wenn ja, ob die Geod\u00e4t einen affinen Parameter hat.Ein Null-Tangentenvektor T.ein{ displaystyle T ^ {a}} tangiert eine affin parametrisierte geod\u00e4tische Null, wenn T.b\u2207bT.ein=0{ displaystyle T ^ {b}  nabla _ {b} T ^ {a} = 0}Das hei\u00dft, wenn der Vektor durch parallele Ausbreitung oder Transport in seine eigene Richtung unver\u00e4ndert bleibt.[15]::41 (3.3.1)D.lein=((\u03b5+\u03b5\u00af)lein– –\u03ba\u00afmein– –\u03bam\u00afein{ displaystyle Dl ^ {a} = ( varepsilon + { bar { varepsilon}}) l ^ {a} – { bar { kappa}} m ^ {a} –  kappa { bar {m} } ^ {a}} zeigt, dass lein{ displaystyle l ^ {a}} ist genau dann tangential zu einer Geod\u00e4t \u03ba=0{ displaystyle  kappa = 0}und ist tangential zu einer affin parametrisierten Geod\u00e4t, wenn zus\u00e4tzlich ((\u03b5+\u03b5\u00af)=0{ displaystyle ( varepsilon + { bar { varepsilon}}) = 0}.  \u00c4hnlich, \u0394nein=\u03bdmein+\u03bd\u00afm\u00afein– –((\u03b3+\u03b3\u00af)nein{ displaystyle  Delta n ^ {a} =  nu m ^ {a} + { bar { nu}} { bar {m}} ^ {a} – ( gamma + { bar { gamma} }) n ^ {a}} zeigt, dass nein{ displaystyle n ^ {a}} ist genau dann geod\u00e4tisch, wenn \u03bd=0{ displaystyle  nu = 0}und hat eine affine Parametrisierung, wenn ((\u03b3+\u03b3\u00af)=0{ displaystyle ( gamma + { bar { gamma}}) = 0}.(Die komplexen Null-Tetradenvektoren mein=xein+ichyein{ displaystyle m ^ {a} = x ^ {a} + iy ^ {a}} und  m\u00afein=xein– –ichyein{ displaystyle { bar {m}} ^ {a} = x ^ {a} -iy ^ {a}} m\u00fcsste in die raumartigen Basisvektoren getrennt werden xein{ displaystyle x ^ {a}} und yein{ displaystyle y ^ {a}} bevor Sie fragen, ob einer oder beide von ihnen die raumartige Geod\u00e4ten tangieren.)Kommutatoren[edit]Die metrische Kompatibilit\u00e4t oder Torsionsfreiheit des kovarianten Derivats wird in die Kommutatoren der Richtungsableitungen,\u0394D.– –D.\u0394=((\u03b3+\u03b3\u00af)D.+((\u03b5+\u03b5\u00af)\u0394– –((\u03c4\u00af+\u03c0)\u03b4– –((\u03c4+\u03c0\u00af)\u03b4\u00af,{ displaystyle  Delta DD  Delta = ( gamma + { bar { gamma}}) D + ( varepsilon + { bar { varepsilon}})  Delta – ({ bar { tau}} +  pi)  delta – ( tau + { bar { pi}}) { bar { delta}}  ,,}\u03b4D.– –D.\u03b4=((\u03b1\u00af+\u03b2– –\u03c0\u00af)D.+\u03ba\u0394– –((\u03c1\u00af+\u03b5– –\u03b5\u00af)\u03b4– –\u03c3\u03b4\u00af,{ displaystyle  delta DD  delta = ({ bar { alpha}} +  beta – { bar { pi}}) D +  kappa  Delta – ({ bar { rho}} +  varepsilon – { bar { varepsilon}})  delta –  sigma { bar { delta}}  ,,}\u03b4\u0394– –\u0394\u03b4=– –\u03bd\u00afD.+((\u03c4– –\u03b1\u00af– –\u03b2)\u0394+((\u03bc– –\u03b3+\u03b3\u00af)\u03b4+\u03bb\u00af\u03b4\u00af,{ displaystyle  delta  Delta –  Delta  delta = – { bar { nu}} D + ( tau – { bar { alpha}} –  beta)  Delta + ( mu –  gamma + {  bar { gamma}})  delta + { bar { lambda}} { bar { delta}}  ,,}\u03b4\u00af\u03b4– –\u03b4\u03b4\u00af=((\u03bc\u00af– –\u03bc)D.+((\u03c1\u00af– –\u03c1)\u0394+((\u03b1– –\u03b2\u00af)\u03b4– –((\u03b1\u00af– –\u03b2)\u03b4\u00af,{ displaystyle { bar { delta}}  delta –  delta { bar { delta}} = ({ bar { mu}} –  mu) D + ({ bar { rho}} –  rho)  Delta + ( alpha – { bar { beta}})  delta – ({ bar { alpha}} –  beta) { bar { delta}}  ,,}was impliziert, dass\u0394lein– –D.nein=((\u03b3+\u03b3\u00af)lein+((\u03b5+\u03b5\u00af)nein– –((\u03c4\u00af+\u03c0)mein– –((\u03c4+\u03c0\u00af)m\u00afein,{ displaystyle  Delta l ^ {a} -Dn ^ {a} = ( gamma + { bar { gamma}}) l ^ {a} + ( varepsilon + { bar { varepsilon}}) n ^ {a} – ({ bar { tau}} +  pi) m ^ {a} – ( tau + { bar { pi}}) { bar {m}} ^ {a} , ,}\u03b4lein– –D.mein=((\u03b1\u00af+\u03b2– –\u03c0\u00af)lein+\u03banein– –((\u03c1\u00af+\u03b5– –\u03b5\u00af)mein– –\u03c3m\u00afein,{ displaystyle  delta l ^ {a} -Dm ^ {a} = ({ bar { alpha}} +  beta – { bar { pi}}) l ^ {a} +  kappa n ^ { a} – ({ bar { rho}} +  varepsilon – { bar { varepsilon}}) m ^ {a} –  sigma { bar {m}} ^ {a}  ,,}\u03b4nein– –\u0394mein=– –\u03bd\u00aflein+((\u03c4– –\u03b1\u00af– –\u03b2)nein+((\u03bc– –\u03b3+\u03b3\u00af)mein+\u03bb\u00afm\u00afein,{ displaystyle  delta n ^ {a} –  Delta m ^ {a} = – { bar { nu}} l ^ {a} + ( tau – { bar { alpha}} –  beta) n ^ {a} + ( mu –  gamma + { bar { gamma}}) m ^ {a} + { bar { lambda}} { bar {m}} ^ {a}  ,, }}\u03b4\u00afmein– –\u03b4m\u00afein=((\u03bc\u00af– –\u03bc)lein+((\u03c1\u00af– –\u03c1)nein+((\u03b1– –\u03b2\u00af)mein– –((\u03b1\u00af– –\u03b2)m\u00afein.{ displaystyle { bar { delta}} m ^ {a} –  delta { bar {m}} ^ {a} = ({ bar { mu}} –  mu) l ^ {a} + ({ bar { rho}} –  rho) n ^ {a} + ( alpha – { bar { beta}}) m ^ {a} – ({ bar { alpha}} –  beta ) { bar {m}} ^ {a} ,.}Anmerkung: (i) Die obigen Gleichungen k\u00f6nnen entweder als Implikationen der Kommutatoren oder als Kombinationen der Transportgleichungen angesehen werden;  (ii) In diesen implizierten Gleichungen sind die Vektoren {lein,nein,mein,m\u00afein}}{ displaystyle  {l ^ {a}, n ^ {a}, m ^ {a}, { bar {m}} ^ {a} }} kann durch die Covektoren ersetzt werden und die Gleichungen gelten weiterhin.Weyl-NP- und Ricci-NP-Skalare[edit]Die 10 unabh\u00e4ngigen Komponenten des Weyl-Tensors k\u00f6nnen in 5 komplexe Weyl-NP-Skalare codiert werden.\u03a80: =C.einbcdleinmblcmd,{ displaystyle  Psi _ {0}: = C_ {abcd} l ^ {a} m ^ {b} l ^ {c} m ^ {d}  ,,}\u03a81: =C.einbcdleinnblcmd,{ displaystyle  Psi _ {1}: = C_ {abcd} l ^ {a} n ^ {b} l ^ {c} m ^ {d}  ,,}\u03a82: =C.einbcdleinmbm\u00afcnd,{ displaystyle  Psi _ {2}: = C_ {abcd} l ^ {a} m ^ {b} { bar {m}} ^ {c} n ^ {d}  ,,}\u03a83: =C.einbcdleinnbm\u00afcnd,{ displaystyle  Psi _ {3}: = C_ {abcd} l ^ {a} n ^ {b} { bar {m}} ^ {c} n ^ {d}  ,,}\u03a84: =C.einbcdneinm\u00afbncm\u00afd.{ displaystyle  Psi _ {4}: = C_ {abcd} n ^ {a} { bar {m}} ^ {b} n ^ {c} { bar {m}} ^ {d}  ,. }}Die 10 unabh\u00e4ngigen Komponenten des Ricci-Tensors sind in 4 codiert echt Skalare {\u03a600{ displaystyle  { Phi _ {00}}, \u03a611{ displaystyle  Phi _ {11}}, \u03a622{ displaystyle  Phi _ {22}}, \u039b}}{ displaystyle  Lambda }} und 3 Komplex Skalare {\u03a610,\u03a620,\u03a621}}{ displaystyle  { Phi _ {10},  Phi _ {20},  Phi _ {21} }} (mit ihren komplexen Konjugaten),\u03a600: =12R.einbleinlb,\u03a611: =14R.einb((leinnb+meinm\u00afb),\u03a622: =12R.einbneinnb,\u039b: =R.24;;{ displaystyle  Phi _ {00}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b}  ,,  quad  Phi _ {11}: = { frac {1} {4}} R_ {ab} (, l ^ {a} n ^ {b} + m ^ {a} { bar {m}} ^ {b})  ,,  quad  Phi _ {22}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} n ^ {a} n ^ {b}  ,,  quad  Lambda: = { frac {R} {24}}  ,;}\u03a601: =12R.einbleinmb,\u03a610: =12R.einbleinm\u00afb=\u03a601\u00af,{ displaystyle  Phi _ {01}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} m ^ {b}  ,,  quad ;  Phi _ {10}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} { bar {m}} ^ {b} = { overline { Phi _ {01}}}  ,,}\u03a602: =12R.einbmeinmb,\u03a620: =12R.einbm\u00afeinm\u00afb=\u03a602\u00af,{ displaystyle  Phi _ {02}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} m ^ {a} m ^ {b}  ,,  quad  Phi _ {20}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} { bar {m}} ^ {a} { bar {m}} ^ {b} = { overline { Phi _ {02}}}  ,, }}\u03a612: =12R.einbmeinnb,\u03a621: =12R.einbm\u00afeinnb=\u03a612\u00af.{ displaystyle  Phi _ {12}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} m ^ {a} n ^ {b}  ,,  quad ;  Phi _ {21}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} { bar {m}} ^ {a} n ^ {b} = { overline { Phi _ {12}}}  ,.}In diesen Definitionen R.einb{ displaystyle R_ {ab}} k\u00f6nnte durch seinen spurenfreien Teil ersetzt werden Q.einb=R.einb– –14GeinbR.{ displaystyle  displaystyle Q_ {ab} = R_ {ab} – { frac {1} {4}} g_ {ab} R}[13] oder durch den Einstein-Tensor Geinb=R.einb– –12GeinbR.{ displaystyle  displaystyle G_ {ab} = R_ {ab} – { frac {1} {2}} g_ {ab} R} wegen der Normalisierungsbeziehungen.  Ebenfalls, \u03a611{ displaystyle  Phi _ {11}} wird auf reduziert \u03a611=12R.einbleinnb=12R.einbmeinm\u00afein{ displaystyle  Phi _ {11} = { frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} n ^ {b} = { frac {1} {2}} R_ {ab} m ^ {a} { bar {m}} ^ {a}} f\u00fcr Elektrovakuum (\u039b=0{ displaystyle  Lambda = 0}).Einstein-Maxwell-NP-Gleichungen[edit]NP-Feldgleichungen[edit]In einer komplexen Null-Tetrade ergeben Ricci-Identit\u00e4ten die folgenden NP-Feldgleichungen, die Spin-Koeffizienten, Weyl-NP- und Ricci-NP-Skalare verbinden (denken Sie daran, dass in einer orthogonalen Tetrade Ricci-Rotationskoeffizienten Cartans erste und zweite Strukturgleichungen ber\u00fccksichtigen w\u00fcrden)[5][13]Diese Gleichungen in verschiedenen Notationen finden sich in mehreren Texten.[3]::46\u201347 (310 (a) – (r))[13]::671\u2013672 (E.12) Die Notation in Frolov und Novikov[13] ist identisch und der Satz stimmt Pixel f\u00fcr Pixel \u00fcberein.  (Springer scheint ein im Wesentlichen \u00e4hnliches LaTex-Paket zu verwenden).D.\u03c1– –\u03b4\u00af\u03ba=((\u03c12+\u03c3\u03c3\u00af)+((\u03b5+\u03b5\u00af)\u03c1– –\u03ba\u00af\u03c4– –\u03ba((3\u03b1+\u03b2\u00af– –\u03c0)+\u03a600,{ displaystyle D  rho – { bar { delta}}  kappa = ( rho ^ {2} +  sigma { bar { sigma}}) + ( varepsilon + { bar { varepsilon}} )  rho – { bar { kappa}}  tau –  kappa (3  alpha + { bar { beta}} –  pi) +  Phi _ {00}  ,,}D.\u03c3– –\u03b4\u03ba=((\u03c1+\u03c1\u00af)\u03c3+((3\u03b5– –\u03b5\u00af)\u03c3– –((\u03c4– –\u03c0\u00af+\u03b1\u00af+3\u03b2)\u03ba+\u03a80,{ displaystyle D  sigma –  delta  kappa = ( rho + { bar { rho}})  sigma + (3  varepsilon – { bar { varepsilon}})  sigma – ( tau – {  bar { pi}} + { bar { alpha}} + 3  beta)  kappa +  Psi _ {0}  ,,}D.\u03c4– –\u0394\u03ba=((\u03c4+\u03c0\u00af)\u03c1+((\u03c4\u00af+\u03c0)\u03c3+((\u03b5– –\u03b5\u00af)\u03c4– –((3\u03b3+\u03b3\u00af)\u03ba+\u03a81+\u03a601,{ displaystyle D  tau –  Delta  kappa = ( tau + { bar { pi}})  rho + ({ bar { tau}} +  pi)  sigma + ( varepsilon – { bar { varepsilon}})  tau – (3  gamma + { bar { gamma}})  kappa +  Psi _ {1} +  Phi _ {01}  ,,}D.\u03b1– –\u03b4\u00af\u03b5=((\u03c1+\u03b5\u00af– –2\u03b5)\u03b1+\u03b2\u03c3\u00af– –\u03b2\u00af\u03b5– –\u03ba\u03bb– –\u03ba\u00af\u03b3+((\u03b5+\u03c1)\u03c0+\u03a610,{ displaystyle D  alpha – { bar { delta}}  varepsilon = ( rho + { bar { varepsilon}} – 2  varepsilon)  alpha +  beta { bar { sigma}} – {  bar { beta}}  varepsilon –  kappa  lambda – { bar { kappa}}  gamma + ( varepsilon +  rho)  pi +  Phi _ {10}  ,,}D.\u03b2– –\u03b4\u03b5=((\u03b1+\u03c0)\u03c3+((\u03c1\u00af– –\u03b5\u00af)\u03b2– –((\u03bc+\u03b3)\u03ba– –((\u03b1\u00af– –\u03c0\u00af)\u03b5+\u03a81,{ displaystyle D  beta –  delta  varepsilon = ( alpha +  pi)  sigma + ({ bar { rho}} – { bar { varepsilon}})  beta – ( mu +  gamma )  kappa – ({ bar { alpha}} – { bar { pi}})  varepsilon +  Psi _ {1}  ,,}D.\u03b3– –\u0394\u03b5=((\u03c4+\u03c0\u00af)\u03b1+((\u03c4\u00af+\u03c0)\u03b2– –((\u03b5+\u03b5\u00af)\u03b3– –((\u03b3+\u03b3\u00af)\u03b5+\u03c4\u03c0– –\u03bd\u03ba+\u03a82+\u03a611– –\u039b,{ displaystyle D  gamma –  Delta  varepsilon = ( tau + { bar { pi}})  alpha + ({ bar { tau}} +  pi)  beta – ( varepsilon + { bar { varepsilon}})  gamma – ( gamma + { bar { gamma}})  varepsilon +  tau  pi –  nu  kappa +  Psi _ {2} +  Phi _ {11} –  Lambda  ,,}D.\u03bb– –\u03b4\u00af\u03c0=((\u03c1\u03bb+\u03c3\u00af\u03bc)+\u03c02+((\u03b1– –\u03b2\u00af)\u03c0– –\u03bd\u03ba\u00af– –((3\u03b5– –\u03b5\u00af)\u03bb+\u03a620,{ displaystyle D  lambda – { bar { delta}}  pi = ( rho  lambda + { bar { sigma}}  mu) +  pi ^ {2} + ( alpha – { bar { beta}})  pi –  nu { bar { kappa}} – (3  varepsilon – { bar { varepsilon}})  lambda +  Phi _ {20}  ,,}D.\u03bc– –\u03b4\u03c0=((\u03c1\u00af\u03bc+\u03c3\u03bb)+\u03c0\u03c0\u00af– –((\u03b5+\u03b5\u00af)\u03bc– –((\u03b1\u00af– –\u03b2)\u03c0– –\u03bd\u03ba+\u03a82+2\u039b,{ displaystyle D  mu –  delta  pi = ({ bar { rho}}  mu +  sigma  lambda) +  pi { bar { pi}} – ( varepsilon + { bar { varepsilon}})  mu – ({ bar { alpha}} –  beta)  pi –  nu  kappa +  Psi _ {2} +2  Lambda  ,,}D.\u03bd– –\u0394\u03c0=((\u03c0+\u03c4\u00af)\u03bc+((\u03c0\u00af+\u03c4)\u03bb+((\u03b3– –\u03b3\u00af)\u03c0– –((3\u03b5+\u03b5\u00af)\u03bd+\u03a83+\u03a621,{ displaystyle D  nu –  Delta  pi = ( pi + { bar { tau}})  mu + ({ bar { pi}} +  tau)  lambda + ( gamma – { bar { gamma}})  pi – (3  varepsilon + { bar { varepsilon}})  nu +  Psi _ {3} +  Phi _ {21}  ,,}\u0394\u03bb– –\u03b4\u00af\u03bd=– –((\u03bc+\u03bc\u00af)\u03bb– –((3\u03b3– –\u03b3\u00af)\u03bb+((3\u03b1+\u03b2\u00af+\u03c0– –\u03c4\u00af)\u03bd– –\u03a84,{ displaystyle  Delta  lambda – { bar { delta}}  nu = – ( mu + { bar { mu}})  lambda – (3  gamma – { bar { gamma}})  lambda + (3  alpha + { bar { beta}} +  pi – { bar { tau}})  nu –  Psi _ {4}  ,,}\u03b4\u03c1– –\u03b4\u00af\u03c3=\u03c1((\u03b1\u00af+\u03b2)– –\u03c3((3\u03b1– –\u03b2\u00af)+((\u03c1– –\u03c1\u00af)\u03c4+((\u03bc– –\u03bc\u00af)\u03ba– –\u03a81+\u03a601,{ displaystyle  delta  rho – { bar { delta}}  sigma =  rho ({ bar { alpha}} +  beta) –  sigma (3  alpha – { bar { beta}} ) + ( rho – { bar { rho}})  tau + ( mu – { bar { mu}})  kappa –  Psi _ {1} +  Phi _ {01}  ,, }}\u03b4\u03b1– –\u03b4\u00af\u03b2=((\u03bc\u03c1– –\u03bb\u03c3)+\u03b1\u03b1\u00af+\u03b2\u03b2\u00af– –2\u03b1\u03b2+\u03b3((\u03c1– –\u03c1\u00af)+\u03b5((\u03bc– –\u03bc\u00af)– –\u03a82+\u03a611+\u039b,{ displaystyle  delta  alpha – { bar { delta}}  beta = ( mu  rho –  lambda  sigma) +  alpha { bar { alpha}} +  beta { bar { beta }} – 2  alpha  beta +  gamma ( rho – { bar { rho}}) +  varepsilon ( mu – { bar { mu}}) –  Psi _ {2} +  Phi _ {11} +  Lambda  ,,}\u03b4\u03bb– –\u03b4\u00af\u03bc=((\u03c1– –\u03c1\u00af)\u03bd+((\u03bc– –\u03bc\u00af)\u03c0+((\u03b1+\u03b2\u00af)\u03bc+((\u03b1\u00af– –3\u03b2)\u03bb– –\u03a83+\u03a621,{ displaystyle  delta  lambda – { bar { delta}}  mu = ( rho – { bar { rho}})  nu + ( mu – { bar { mu}})  pi + ( alpha + { bar { beta}})  mu + ({ bar { alpha}} – 3  beta)  lambda –  Psi _ {3} +  Phi _ {21}  ,, }}\u03b4\u03bd– –\u0394\u03bc=((\u03bc2+\u03bb\u03bb\u00af)+((\u03b3+\u03b3\u00af)\u03bc– –\u03bd\u00af\u03c0+((\u03c4– –3\u03b2– –\u03b1\u00af)\u03bd+\u03a622,{ displaystyle  delta  nu –  Delta  mu = ( mu ^ {2} +  lambda { bar { lambda}}) + ( gamma + { bar { gamma}})  mu – {  bar { nu}}  pi + ( tau -3  beta – { bar { alpha}})  nu +  Phi _ {22}  ,,}\u03b4\u03b3– –\u0394\u03b2=((\u03c4– –\u03b1\u00af– –\u03b2)\u03b3+\u03bc\u03c4– –\u03c3\u03bd– –\u03b5\u03bd\u00af– –((\u03b3– –\u03b3\u00af– –\u03bc)\u03b2+\u03b1\u03bb\u00af+\u03a612,{ displaystyle  delta  gamma –  Delta  beta = ( tau – { bar { alpha}} –  beta)  gamma +  mu  tau –  sigma  nu –  varepsilon { bar { nu }} – ( gamma – { bar { gamma}} –  mu)  beta +  alpha { bar { lambda}} +  Phi _ {12}  ,,}\u03b4\u03c4– –\u0394\u03c3=((\u03bc\u03c3+\u03bb\u00af\u03c1)+((\u03c4+\u03b2– –\u03b1\u00af)\u03c4– –((3\u03b3– –\u03b3\u00af)\u03c3– –\u03ba\u03bd\u00af+\u03a602,{ displaystyle  delta  tau –  Delta  sigma = ( mu  sigma + { bar { lambda}}  rho) + ( tau +  beta – { bar { alpha}})  tau – (3  gamma – { bar { gamma}})  sigma –  kappa { bar { nu}} +  Phi _ {02}  ,,}\u0394\u03c1– –\u03b4\u00af\u03c4=– –((\u03c1\u03bc\u00af+\u03c3\u03bb)+((\u03b2\u00af– –\u03b1– –\u03c4\u00af)\u03c4+((\u03b3+\u03b3\u00af)\u03c1+\u03bd\u03ba– –\u03a82– –2\u039b,{ displaystyle  Delta  rho – { bar { delta}}  tau = – ( rho { bar { mu}} +  sigma  lambda) + ({ bar { beta}} –  alpha – { bar { tau}})  tau + ( gamma + { bar { gamma}})  rho +  nu  kappa –  Psi _ {2} -2  Lambda  ,,}\u0394\u03b1– –\u03b4\u00af\u03b3=((\u03c1+\u03b5)\u03bd– –((\u03c4+\u03b2)\u03bb+((\u03b3\u00af– –\u03bc\u00af)\u03b1+((\u03b2\u00af– –\u03c4\u00af)\u03b3– –\u03a83.{ displaystyle  Delta  alpha – { bar { delta}}  gamma = ( rho +  varepsilon)  nu – ( tau +  beta)  lambda + ({ bar { gamma}} – {  bar { mu}})  alpha + ({ bar { beta}} – { bar { tau}})  gamma –  Psi _ {3}  ,.}Auch die Weyl-NP-Skalare \u03a8ich{ displaystyle  Psi _ {i}} und die Ricci-NP-Skalare \u03a6ichj{ displaystyle  Phi _ {ij}} k\u00f6nnen indirekt aus den obigen NP-Feldgleichungen berechnet werden, nachdem die Spin-Koeffizienten erhalten wurden, anstatt ihre Definitionen direkt zu verwenden.Maxwell-NP-Skalare, Maxwell-Gleichungen im NP-Formalismus[edit]Die sechs unabh\u00e4ngigen Komponenten der Faraday-Maxwell-2-Form (dh der Tensor f\u00fcr die elektromagnetische Feldst\u00e4rke) F.einb{ displaystyle F_ {ab}} kann in drei komplexe Maxwell-NP-Skalare codiert werden[12]\u03d50: =F.einbleinmb,\u03d51: =12F.einb((leinnb+m\u00afeinmb),\u03d52: =F.einbm\u00afeinnb,{ displaystyle  phi _ {0}: = F_ {ab} l ^ {a} m ^ {b}  ,,  quad  phi _ {1}: = { frac {1} {2}} F_ { ab} { big (} l ^ {a} n ^ {b} + { bar {m}} ^ {a} m ^ {b} { big)}  ,,  quad  phi _ {2} : = F_ {ab} { bar {m}} ^ {a} n ^ {b}  ,,}und daher die acht reellen Maxwell-Gleichungen dF.=0{ displaystyle d  mathbf {F} = 0} und d\u22c6F.=0{ displaystyle d ^ { star}  mathbf {F} = 0}  (wie F.=dEIN{ displaystyle  mathbf {F} = dA}) kann in vier komplexe Gleichungen umgewandelt werden,D.\u03d51– –\u03b4\u00af\u03d50=((\u03c0– –2\u03b1)\u03d50+2\u03c1\u03d51– –\u03ba\u03d52,{ displaystyle D  phi _ {1} – { bar { delta}}  phi _ {0} = ( pi -2  alpha)  phi _ {0} +2  rho  phi _ {1} –  kappa  phi _ {2}  ,,}D.\u03d52– –\u03b4\u00af\u03d51=– –\u03bb\u03d50+2\u03c0\u03d51+((\u03c1– –2\u03b5)\u03d52,{ displaystyle D  phi _ {2} – { bar { delta}}  phi _ {1} = –  lambda  phi _ {0} +2  pi  phi _ {1} + ( rho – 2  varepsilon)  phi _ {2}  ,,}\u0394\u03d50– –\u03b4\u03d51=((2\u03b3– –\u03bc)\u03d50– –2\u03c4\u03d51+\u03c3\u03d52,{ displaystyle  Delta  phi _ {0} –  delta  phi _ {1} = (2  gamma –  mu)  phi _ {0} -2  tau  phi _ {1} +  sigma  phi _ {2}  ,,}\u0394\u03d51– –\u03b4\u03d52=\u03bd\u03d50– –2\u03bc\u03d51+((2\u03b2– –\u03c4)\u03d52,{ displaystyle  Delta  phi _ {1} –  delta  phi _ {2} =  nu  phi _ {0} -2  mu  phi _ {1} + (2  beta –  tau)  phi _ {2}  ,,}mit den Ricci-NP-Skalaren \u03a6ichj{ displaystyle  Phi _ {ij}} verwandt mit Maxwell-Skalaren von[12]\u03a6ichj=2\u03d5ich\u03d5j\u00af,((ich,j\u2208{0,1,2}}).{ displaystyle  Phi _ {ij} = , 2 ,  phi _ {i} , { overline { phi _ {j}}}  ,,  quad (i, j  in  {0, 1,2 }) ,.}Es sei darauf hingewiesen, dass die Zusatzgleichung \u03a6ichj=2\u03d5ich\u03d5j\u00af{ displaystyle  Phi _ {ij} = 2 ,  phi _ {i} , { overline { phi _ {j}}}} gilt nur f\u00fcr elektromagnetische Felder;  Zum Beispiel wird es im Fall von Yang-Mills-Feldern solche geben \u03a6ichj=Tr((\u03ddich\u03dd\u00afj){ displaystyle  Phi _ {ij} = , { text {Tr}} , ( digamma _ {i} , { bar { digamma}} _ {j})}  wo \u03ddich((ich\u2208{0,1,2}}){ displaystyle  digamma _ {i} (i  in  {0,1,2 })} sind Yang-Mills-NP-Skalare.[16]Zusammenfassend bilden die oben genannten Transportgleichungen, NP-Feldgleichungen und Maxwell-NP-Gleichungen zusammen die Einstein-Maxwell-Gleichungen im Newman-Penrose-Formalismus.Anwendungen des NP-Formalismus auf das Gravitationsstrahlungsfeld[edit]Der Weyl-Skalar \u03a84{ displaystyle  Psi _ {4}} wurde von Newman & Penrose definiert als\u03a84=– –C.\u03b1\u03b2\u03b3\u03b4n\u03b1m\u00af\u03b2n\u03b3m\u00af\u03b4{ displaystyle  Psi _ {4} = – C _ { alpha  beta  gamma  delta} n ^ { alpha} { bar {m}} ^ { beta} n ^ { gamma} { bar { m}} ^ { delta}}(Beachten Sie jedoch, dass das Gesamtzeichen willk\u00fcrlich ist und dass Newman & Penrose mit einer “zeit\u00e4hnlichen” metrischen Signatur von gearbeitet hat ((+,– –,– –,– –){ displaystyle (+, -, -, -)}).  Im leeren Raum reduzieren sich die Einstein-Feldgleichungen auf R.\u03b1\u03b2=0{ displaystyle R _ { alpha  beta} = 0}.  Aus der Definition des Weyl-Tensors geht hervor, dass dies bedeutet, dass er dem Riemann-Tensor entspricht. C.\u03b1\u03b2\u03b3\u03b4=R.\u03b1\u03b2\u03b3\u03b4{ displaystyle C _ { alpha  beta  gamma  delta} = R _ { alpha  beta  gamma  delta}}.  Wir k\u00f6nnen die Standardauswahl f\u00fcr die Tetrade im Unendlichen treffen:l\u03bc=12((t^+r^) ,{ displaystyle l ^ { mu} = { frac {1} { sqrt {2}}}  left ({ hat {t}} + { hat {r}}  right) ,}n\u03bc=12((t^– –r^) ,{ displaystyle n ^ { mu} = { frac {1} { sqrt {2}}}  left ({ hat {t}} – { hat {r}}  right) ,}m\u03bc=12((\u03b8^+ich\u03d5^) .{ displaystyle m ^ { mu} = { frac {1} { sqrt {2}}}  left ({ hat { theta}} + i { hat { phi}}  right) . }}In einem transversal spurlosen Messger\u00e4t zeigt eine einfache Berechnung, dass linearisierte Gravitationswellen mit Komponenten des Riemann-Tensors as zusammenh\u00e4ngen14((h\u00a8\u03b8^\u03b8^– –h\u00a8\u03d5^\u03d5^)=– –R.t^\u03b8^t^\u03b8^=– –R.t^\u03d5^r^\u03d5^=– –R.r^\u03b8^r^\u03b8^=R.t^\u03d5^t^\u03d5^=R.t^\u03b8^r^\u03b8^=R.r^\u03d5^r^\u03d5^ ,{ displaystyle { frac {1} {4}}  left ({ ddot {h}} _ {{ hat { theta}} { hat { theta}}} – { ddot {h}} _ {{ hat { phi}} { hat { phi}}}  right) = – R _ {{ hat {t}} { hat { theta}} { hat {t}} { hat { theta}}} = – R _ {{ hat {t}} { hat { phi}} { hat {r}} { hat { phi}}} = – R _ {{ hat { r}} { hat { theta}} { hat {r}} { hat { theta}}} = R _ {{ hat {t}} { hat { phi}} { hat {t }} { hat { phi}}} = R _ {{ hat {t}} { hat { theta}} { hat {r}} { hat { theta}} = R _ {{ hat {r}} { hat { phi}} { hat {r}} { hat { phi}}} ,}12h\u00a8\u03b8^\u03d5^=– –R.t^\u03b8^t^\u03d5^=– –R.r^\u03b8^r^\u03d5^=R.t^\u03b8^r^\u03d5^=R.r^\u03b8^t^\u03d5^ ,{ displaystyle { frac {1} {2}} { ddot {h}} _ {{ hat { theta}} { hat { phi}}} = – R _ {{ hat {t}} { hat { theta}} { hat {t}} { hat { phi}}} = – R _ {{ hat {r}} { hat { theta}} { hat {r}} { hat { phi}}} = R _ {{ hat {t}} { hat { theta}} { hat {r}} { hat { phi}}} = R _ {{ hat { r}} { hat { theta}} { hat {t}} { hat { phi}}} ,}Annahme der Ausbreitung in der r^{ displaystyle { hat {r}}} Richtung.  Kombinieren Sie diese und verwenden Sie die Definition von \u03a84{ displaystyle  Psi _ {4}} oben k\u00f6nnen wir schreiben\u03a84=12((h\u00a8\u03b8^\u03b8^– –h\u00a8\u03d5^\u03d5^)+ichh\u00a8\u03b8^\u03d5^=– –h\u00a8++ichh\u00a8\u00d7 .{ displaystyle  Psi _ {4} = { frac {1} {2}}  left ({ ddot {h}} _ {{ hat { theta}} { hat { theta}}} – { ddot {h}} _ {{ hat { phi}} { hat { phi}}}  right) + i { ddot {h}} _ {{ hat { theta}} { hat { phi}}} = – { ddot {h}} _ {+} + i { ddot {h}} _ { times} .}Weit entfernt von einer Quelle, in fast flachem Raum, die Felder h+{ displaystyle h _ {+}} und h\u00d7{ displaystyle h _ { times}} kodieren alles \u00fcber Gravitationsstrahlung, die sich in eine bestimmte Richtung ausbreitet.  So sehen wir das \u03a84{ displaystyle  Psi _ {4}} codiert in einem einzigen komplexen Feld alles \u00fcber (ausgehende) Gravitationswellen.Strahlung von einer endlichen Quelle[edit]Unter Verwendung des von Thorne zusammengefassten Wellenerzeugungsformalismus,[17] Wir k\u00f6nnen das Strahlungsfeld ziemlich kompakt in Bezug auf Massenmultipol, Strommultipol und spingewichtete sph\u00e4rische Harmonische schreiben:\u03a84((t,r,\u03b8,\u03d5)=– –1r2\u2211l=2\u221e\u2211m=– –ll[(l+2)Ilm(t\u2212r)\u2212i\u00a0(l+2)Slm(t\u2212r)]– –2Y.lm((\u03b8,\u03d5) .{ displaystyle  Psi _ {4} (t, r,  theta,  phi) = – { frac {1} {r { sqrt {2}}}  sum _ {l = 2} ^ { infty}  sum _ {m = -l} ^ {l}  left[{}^{(l+2)}I^{lm}(t-r)-i {}^{(l+2)}S^{lm}(t-r)right]{} _ {- 2} Y_ {lm} ( theta,  phi) .}Hier geben hochgestellte Pr\u00e4fixe Zeitableitungen an.  Das hei\u00dft, wir definieren"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki19\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki19\/2021\/01\/01\/newman-penrose-formalismus-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Newman-Penrose-Formalismus – Wikipedia"}}]}]