Bộ Infinity-Borel – Wikipedia

Posted on by lordneo

Trong lý thuyết tập hợp, một tập hợp con của không gian Ba ​​Lan

X { displaystyle X}

là ∞-Borel nếu nó có thể thu được bằng cách bắt đầu với các tập con mở của

X { displaystyle X}

và lặp đi lặp lại các hoạt động bổ sung và liên kết hợp lý. Lưu ý rằng bộ-Borel có thể không thực sự bị đóng dưới liên minh được sắp xếp hợp lý; xem bên dưới.

Định nghĩa chính thức [ chỉnh sửa ]

Chính thức hơn: chúng tôi xác định bằng cách đệ quy transfinite đồng thời khái niệm ∞-Borel mã và của của các mã như vậy. Vì

X { displaystyle X}

là tiếng Ba Lan, nên nó có một cơ sở đếm được . Đặt

<img src = "https: //wikidia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169aaed55e090b52005e8e8ff566b802d5d51530" hình ảnh nội tuyến "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -0.838ex; chiều rộng: 10.508ex; chiều cao: 3.009ex; "alt =" left langle mathcal {N} _i | i liệt kê cơ sở đó (nghĩa là,

N i { displaystyle { mathcal {N}} _ {i}}

là [19659017]

i t h { displaystyle i ^ { mathrm {th}}}

[19459] i ^ mathrm {th} “/> bộ mở cơ bản). Hiện nay:

Bây giờ một tập hợp là ∞-Borel nếu đó là cách giải thích của một số mã Bor-Borel.

Tiên đề của sự lựa chọn ngụ ý rằng mọi có thể được sắp xếp hợp lý, và do đó, mọi tập hợp con của mọi không gian Ba ​​Lan đều là ∞-Borel. Do đó, khái niệm này chỉ thú vị trong bối cảnh mà AC không giữ (hoặc không biết là giữ). Thật không may, không có tiên đề của sự lựa chọn, không rõ ràng rằng các bộ Bor-Borel đã bị đóng cửa dưới sự kết hợp chặt chẽ. Điều này là do, được cung cấp một tập hợp các bộ ∞-Borel được sắp xếp hợp lý, mỗi bộ riêng lẻ có thể có nhiều ∞-Borel mã, và có thể không có cách nào để chọn một mã cho mỗi bộ, với mà để tạo thành mã cho công đoàn.

Giả định rằng mọi tập hợp thực tế là ∞-Borel là một phần của AD +, một phần mở rộng của tiên đề về tính xác định được nghiên cứu bởi Woodin.

Định nghĩa không chính xác [ chỉnh sửa ]

Rất hấp dẫn khi đọc mô tả không chính thức ở đầu bài viết này khi cho rằng các bộ-Borel là lớp tập hợp nhỏ nhất của

X { displaystyle X}

chứa tất cả các bộ mở và đóng dưới sự bổ sung và liên kết tốt. Đó là, người ta có thể muốn phân phối hoàn toàn với mã Bor-Borel và thử một định nghĩa như thế này:

Với mỗi α thứ tự được xác định bởi đệ quy vô hạn B α như sau:
  1. B 0 là tập hợp của tất cả các tập con mở của
  2. Đối với một số thứ tự α, B α + 1 là liên kết của B α với tập hợp tất cả các bổ sung của thiết lập trong B α .
  3. Đối với một số thứ tự chẵn, B α + 2 là tập hợp của tất cả các hiệp hội được sắp xếp hợp lý trong B α + 1 .
  4. Với một giới hạn thứ tự nhất định λ, B λ là sự kết hợp của tất cả B α cho α <λ
Nó xuất phát từ nghịch lý Burali-Forti ở đó phải là một số thứ tự α sao cho B β bằng B α với mọi> α. Đối với giá trị này của α, B α là tập hợp của "bộ Bor-Borel".

Bộ này được đóng rõ ràng dưới các hiệp hội được sắp xếp tốt, nhưng không có AC thì không thể chứng minh được bằng Bộ -Borel (như được định nghĩa trong phần trước). Cụ thể, thay vào đó, việc đóng các bộ Bor-Borel trong tất cả các công đoàn được sắp xếp tốt, ngay cả những công ty không thể thực hiện lựa chọn mã.

Đặc tính hóa thay thế [ chỉnh sửa ]

Đối với các tập hợp con của không gian Baire hoặc không gian Cantor, có một định nghĩa thay thế ngắn gọn hơn (nếu ít minh bạch hơn), tương tự. Một tập hợp con Một không gian Baire là ∞-Borel chỉ trong trường hợp có một tập hợp các lệnh S và một công thức bậc nhất của ngôn ngữ của tập hợp theo lý thuyết như vậy, với mọi x trong không gian Baire,