Trong toán học, vi phân Gâteaux hoặc Đạo hàm Gâteaux là một khái quát của khái niệm đạo hàm định hướng trong phép tính vi phân. Được đặt theo tên của René Gâteaux, một nhà toán học người Pháp đã chết trẻ trong Thế chiến I, nó được xác định cho các chức năng giữa các không gian vectơ lồi địa phương như không gian Banach. Giống như đạo hàm Fréchet trên không gian Banach, vi sai Gâteaux thường được sử dụng để chính thức hóa đạo hàm chức năng thường được sử dụng trong phép tính các biến thể và vật lý.
Không giống như các dạng dẫn xuất khác, vi phân Gâteaux của hàm có thể là phi tuyến. Tuy nhiên, thường thì định nghĩa của vi sai Gâteaux cũng yêu cầu nó phải là một phép biến đổi tuyến tính liên tục. Một số tác giả, chẳng hạn như Tikhomirov (2001), đã phân biệt rõ hơn giữa vi sai Gâteaux (có thể là phi tuyến) và đạo hàm Gâteaux (mà chúng lấy là tuyến tính). Trong hầu hết các ứng dụng, tính tuyến tính liên tục xuất phát từ một số điều kiện nguyên thủy hơn đối với cài đặt cụ thể, chẳng hạn như áp đặt sự khác biệt phức tạp trong bối cảnh của sự biến đổi chiều vô hạn hoặc sự khác biệt liên tục trong phân tích phi tuyến.
Định nghĩa [ chỉnh sửa ]
Giả sử X và Y là không gian vectơ tôpô cục bộ (ví dụ: không gian vectơ lồi) 19659006] U X đang mở và F : X → Y . Sự khác biệt của Gâteaux dF ( u ; ψ ) của F tại u U theo hướng X được định nghĩa là
-
d F ( u ; ψ ) = lim τ 0 F ( u + τ ψ ) – 19659017] ( u ) τ = d d τ F ( u τ ψ ) | τ = 0 { displaystyle dF (u; psi) _ { tau rightarrow 0} { frac {F (u + tau psi) -F (u)} { tau}} = left. { frac {d} {d tau}} F (u + tau psi) right | _ { tau = 0}}
( 1 )
Nếu giới hạn tồn tại cho tất cả X sau đó người ta nói rằng F là Gâteaux khác biệt tại u .
Giới hạn xuất hiện trong ( 1 ) được lấy theo cấu trúc liên kết của Y . Nếu X và Y là không gian vectơ tôpô thực, thì giới hạn được thực hiện . Mặt khác, nếu X và Y là không gian vectơ tôpô phức tạp, thì giới hạn trên thường được lấy là τ → 0 trong phức mặt phẳng như trong định nghĩa của sự khác biệt phức tạp. Trong một số trường hợp, giới hạn yếu được thực hiện thay vì giới hạn mạnh, dẫn đến khái niệm đạo hàm Gâteaux yếu.
Độ tuyến tính và tính liên tục [ chỉnh sửa ]
Tại mỗi điểm u ∈ U vi sai Gâteaux xác định một chức năng
- d F ( u ; ⋅ ) : X → . { displaystyle dF (u; cdot): X rightarrow Y.}
Hàm này là đồng nhất theo nghĩa cho tất cả vô hướng α ,
- d F ( u ; α ψ ) = 19659016] d F ( u ; ψ ) . { displaystyle dF (u; alpha psi) alpha dF (u; psi). ,}
Tuy nhiên, chức năng này không cần phải là phụ gia, do đó, vi sai Gâteaux có thể không tuyến tính, không giống như đạo hàm Fréchet. Ngay cả khi tuyến tính, nó có thể không phụ thuộc liên tục vào nếu X và Y là vô hạn. Hơn nữa, đối với các khác biệt của Gâteaux rằng là tuyến tính và liên tục trong ψ có một số cách không tương đương để hình thành sự khác biệt liên tục của chúng.
Ví dụ, hãy xem xét hàm có giá trị thực F của hai biến thực được xác định bởi