Trong các nhánh khác nhau của toán học nằm dưới tiêu đề của đại số trừu tượng, hạt nhân của phép đồng hình đo lường mức độ mà phép đồng hình không thể tiêm vào. [1] Một trường hợp đặc biệt quan trọng là hạt nhân của một bản đồ tuyến tính. Hạt nhân của một ma trận, còn được gọi là không gian null là hạt nhân của bản đồ tuyến tính được xác định bởi ma trận.
Định nghĩa của kernel có nhiều dạng khác nhau trong các bối cảnh khác nhau. Nhưng trong tất cả chúng, hạt nhân của sự đồng hình là tầm thường (theo nghĩa liên quan đến bối cảnh đó) nếu và chỉ khi sự đồng hình bị tiêm nhiễm. Định lý cơ bản về đồng cấu (hoặc định lý đẳng cấu đầu tiên) là một định lý, một lần nữa có các dạng khác nhau, áp dụng cho đại số thương được xác định bởi hạt nhân.
Trong bài viết này, trước tiên chúng tôi khảo sát hạt nhân cho một số loại cấu trúc đại số quan trọng; sau đó chúng tôi đưa ra định nghĩa chung từ đại số phổ quát cho các cấu trúc đại số chung.
Khảo sát các ví dụ [ chỉnh sửa ]
Bản đồ tuyến tính [ chỉnh sửa ]
Hãy V và W là không gian vectơ trên một trường (hay nói chung hơn là các mô-đun trên một vòng) và đặt T là một bản đồ tuyến tính từ V đến W . Nếu 0 W là vectơ không của W thì hạt nhân của T là tiền thân của không gian con số 0 { 0 [19659010] W }; đó là tập hợp con của V bao gồm tất cả các yếu tố của V được ánh xạ bởi T thành phần tử 0 W [19659013]. Hạt nhân thường được ký hiệu là ker T hoặc một số biến thể của chúng:
- ker T = { v ∈ V : T ( ]) = 0 W } . { displaystyle operatorname {ker} T = { mathbf {v} in V: T ( mathbf {v}) = mathbf {0} _ {W} } { text {.}}}
Vì bản đồ tuyến tính bảo tồn các vectơ không, vectơ không 0 V [19659011] của V phải thuộc về hạt nhân. Phép biến đổi T được thực hiện khi và chỉ khi hạt nhân của nó bị giảm xuống không gian con bằng không.
Ker kernel T luôn là một không gian con tuyến tính của V . Do đó, thật hợp lý khi nói về không gian thương V / (ker T ). Định lý đẳng cấu đầu tiên cho các không gian vectơ nói rằng không gian thương này tự nhiên là đẳng cấu với hình ảnh của T (là một không gian con của W ). Kết quả là, kích thước của V bằng kích thước của hạt nhân cộng với kích thước của hình ảnh.
Nếu V và W là chiều hữu hạn và các cơ sở đã được chọn, thì T có thể được mô tả bằng ma trận M và hạt nhân có thể được tính toán bằng cách giải hệ phương trình đồng nhất của phương trình tuyến tính M v = 0 . Trong trường hợp này, hạt nhân của T có thể được xác định là hạt nhân của ma trận M còn được gọi là "khoảng trống null" của M . Kích thước của không gian null, được gọi là vô hiệu của M được cho bởi số lượng cột của M trừ thứ hạng của M do hậu quả của định lý null null xếp hạng.
Việc giải các phương trình vi phân đồng nhất thường là số tiền để tính toán hạt nhân của các toán tử vi phân nhất định. Chẳng hạn, để tìm tất cả các hàm phân biệt hai lần f từ dòng thực đến chính nó sao cho
- x f ″ ( x ) + 3 f ′ ( ]) = f ( x ) { displaystyle xf '' (x) + 3f '(x) = f (x), }
hãy để V là không gian của tất cả hai chức năng có thể phân biệt hai lần, hãy W là không gian của tất cả các chức năng và xác định toán tử tuyến tính T từ V đến W
- ( T f ) ( x ) = x f ″ ] x ) + 3 f ′ ( x ) – f 19659026] x ) { displaystyle (Tf) (x) = xf '' (x) + 3f '(x) -f (x)}
cho f trong V và x một tùy ý ]số thực. Sau đó, tất cả các giải pháp cho phương trình vi phân là trong ker T .
Người ta có thể định nghĩa các hạt nhân cho sự đồng hình giữa các mô-đun trên một vòng theo cách tương tự. Điều này bao gồm các hạt nhân cho sự đồng hình giữa các nhóm abelian như một trường hợp đặc biệt. Ví dụ này nắm bắt được bản chất của hạt nhân trong các loại abelian nói chung; xem Kernel (lý thuyết thể loại).
Đồng cấu nhóm [ chỉnh sửa ]
Đặt G và H thành nhóm và đặt f đồng cấu từ G đến H . Nếu e H là yếu tố nhận dạng của H thì hạt nhân của f là tiền thân của tập đơn e H }; đó là tập hợp con của G bao gồm tất cả các yếu tố của G được ánh xạ bởi f thành phần tử e H [19659013]. Hạt nhân thường được ký hiệu là ker f (hoặc một biến thể). Trong các ký hiệu:
- ker f = { g ∈ G : f ( ]) = e H } . { displaystyle operatorname {ker} f = {g in G: f (g) = e_ {H } } { mbox {.}}}
Do tính đồng hình nhóm bảo tồn các yếu tố nhận dạng, nên yếu tố nhận dạng e G của G phải thuộc về hạt nhân. Phép đồng hình f là dạng tiêm khi và chỉ khi hạt nhân của nó chỉ là tập đơn {{19459007] e G }. Điều này là đúng bởi vì nếu phép đồng hình f không phải là nguyên nhân, thì tồn tại
a b ∈ G { displaystyle a, b in G}với
a ≠ b { displaystyle a neq b}
sao cho
f ( a ) = f ( b ) { displaystyle f (a) = f (b)}
. Điều này có nghĩa là
f ( a ) f ( b ) – 1 [19659169 e H { displaystyle f (a) f (b) ^ {- 1} = e_ {H}}
tương đương với tuyên bố rằng
f ( a b – 1 19659030] = e H { displaystyle f (ab ^ {- 1}) = e_ {H}}
kể từ khi đồng cấu nhóm mang nghịch đảo thành nghịch đảo và kể từ
f ( a ) f ( b 1 ) = f ( a b – 1 ) { (a) f (b ^ {- 1}) = f (ab ^ {- 1})}
. Nói cách khác,
a b – 1 ∈ ker f { displaystyle ab ^ – 1 } in operatorname {ker} f}
. Ngược lại, nếu có tồn tại một yếu tố
g ≠ e G ∈ ker f { neq e_ {G} in operatorname {ker} f}
sau đó
[ [19659026] g ) = f ( e G ) = e H (g) = f (e_ {G}) = e_ {H}}
do đó f không phải là tiêm.
Hóa ra ker f không chỉ là một phân nhóm của G mà trên thực tế là một phân nhóm bình thường . Do đó, thật hợp lý khi nói về nhóm thương số G / (ker f ). Định lý đẳng cấu đầu tiên cho các nhóm nói rằng nhóm thương số này tự nhiên là đẳng cấu với hình ảnh của f (là một nhóm con của H ).
Trong trường hợp đặc biệt của các nhóm abelian, điều này hoạt động theo cách chính xác như trong phần trước.
Đồng cấu hình vòng [ chỉnh sửa ]
Đặt R và S được ) và để f là một phép đồng hình vòng từ R đến S . Nếu 0 S là phần tử không của S thì hạt nhân của f là hạt nhân của nó ánh xạ qua các số nguyên, hoặc, tương đương, như các nhóm phụ gia. Đó là tiền thân của zero lý tưởng {0 S }, đó là tập hợp con của R bao gồm tất cả các yếu tố đó của R ] được ánh xạ bởi f thành phần tử 0 S . Hạt nhân thường được ký hiệu là ker f (hoặc một biến thể). Trong các ký hiệu:
- ker f = { r ∈ R : f ( ]) = 0 S } . { displaystyle operatorname {ker} f = {r in R: f (r) = 0_ {S } } { mbox {.}}}
Vì phép đồng hình vòng bảo toàn các phần tử bằng 0, nên phần tử 0 0 R của R phải thuộc về hạt nhân. Phép đồng hình f là dạng tiêm khi và chỉ khi hạt nhân của nó chỉ là tập đơn {{ R }. Đây luôn là trường hợp nếu R là một trường và S không phải là số không .
Vì ker f chỉ chứa danh tính nhân khi S là vòng số 0, nên hóa ra hạt nhân nói chung không phải là thay thế ] R. Hạt nhân là một phụ rng và chính xác hơn là lý tưởng hai mặt của R . Do đó, thật hợp lý khi nói về chiếc nhẫn thương R / (ker f ). Định lý đẳng cấu đầu tiên cho các vòng nói rằng vòng thương này tự nhiên là đẳng cấu với hình ảnh của f (là một phần phụ của S ). (lưu ý rằng các vòng không cần phải là unital cho định nghĩa kernel).
Ở một mức độ nào đó, điều này có thể được coi là một trường hợp đặc biệt của tình huống đối với các mô-đun, vì đây là tất cả các bimodules trên một chiếc nhẫn R :
- R ;
- bất kỳ lý tưởng hai mặt nào của R (chẳng hạn như ker f );
- bất kỳ chiếc nhẫn nào của R (chẳng hạn như R / (ker f )); và
- tên miền của bất kỳ phép đồng hình vòng nào có miền là R (chẳng hạn như S tên miền của f ). 19659294] Tuy nhiên, định lý đẳng cấu cho kết quả mạnh hơn, bởi vì đẳng cấu vòng bảo toàn phép nhân trong khi nói chung mô đun đẳng cấu (thậm chí giữa các vòng) thì không.
Ví dụ này nắm bắt được bản chất của hạt nhân nói chung Đại số Mal'cev .
Phép đồng hình đơn hình [ chỉnh sửa ]
Đặt M và N là là một phép đồng hình đơn hình từ M đến N . Sau đó, hạt nhân của f là tập hợp con của sản phẩm trực tiếp M × M bao gồm tất cả những thứ đó các cặp của các yếu tố của M có các thành phần được ánh xạ bởi f với cùng một yếu tố trong N . Hạt nhân thường được ký hiệu là ker f (hoặc một biến thể). Trong các ký hiệu:
- ker f = { ( m m ′ ] M × M : f ( m ) = f ([1965919] 19659018] ′ ) } . { displaystyle operatorname {ker} f = {(m, m ') in M lần M: f (m) = f ( m ') } { mbox {.}}}
Vì f là một hàm các thành phần của biểu mẫu ( m m ) phải thuộc về hạt nhân. Phép đồng hình f là dạng tiêm khi và chỉ khi hạt nhân của nó chỉ là bộ đường chéo {(m, m): m trong M }.
Hóa ra ker f là mối quan hệ tương đương trên M và trên thực tế là mối quan hệ đồng thuận
. Do đó, thật hợp lý khi nói về monoid thương số M / (ker f ). Định lý đẳng cấu đầu tiên cho các đơn sắc nói rằng đơn chất thương lượng này tự nhiên là đẳng cấu với hình ảnh của f (là một tiểu thể của N ), (cho quan hệ).
Điều này rất khác nhau về hương vị từ các ví dụ trên. Cụ thể, tiền thân của yếu tố nhận dạng của N là không đủ để xác định hạt nhân của f .
Đại số phổ quát [ chỉnh sửa ]
Tất cả các trường hợp trên có thể được thống nhất và khái quát trong đại số phổ quát.
Trường hợp chung [ chỉnh sửa ]
Đặt A và B là các cấu trúc đại số của một loại nhất định và cho f là một sự đồng hình của loại đó từ A đến B . Sau đó, hạt nhân của f là tập hợp con của sản phẩm trực tiếp A × A bao gồm tất cả những thứ đó các cặp của các yếu tố của A có các thành phần được ánh xạ bởi f với cùng một yếu tố trong B . Hạt nhân thường được ký hiệu là ker f (hoặc một biến thể). Trong các ký hiệu:
- ker f = { ( a a ′ ] A × A : f ( a ) = f [[1965919] 19659018] ′ ) } . { displaystyle operatorname {ker} f = {(a, a ') in A lần A: f (a) = f ( a ') } { mbox {.}}}
Vì f là một hàm các yếu tố của biểu mẫu ( a a ) phải thuộc về hạt nhân.
Phép đồng hình f là dạng tiêm khi và chỉ khi hạt nhân của nó chính xác là tập hợp đường chéo {( a a ): ] ∈ A }.
Dễ dàng nhận thấy rằng ker f là một mối quan hệ tương đương trên A và trên thực tế là mối quan hệ đồng thuận
. Do đó, thật hợp lý khi nói về đại số thương số A / (ker f ). Định lý đẳng cấu đầu tiên trong đại số phổ quát nói rằng đại số thương số này tự nhiên là đẳng cấu với hình ảnh của f (là một tập hợp con ).
Lưu ý rằng định nghĩa của hạt nhân ở đây (như trong ví dụ đơn hình) không phụ thuộc vào cấu trúc đại số; nó hoàn toàn là một tập hợp – khái niệm lý thuyết. Để biết thêm về khái niệm chung này, bên ngoài đại số trừu tượng, xem hạt nhân của một hàm .
Đại số Mal'cev [ chỉnh sửa ]
Trong trường hợp của đại số Mal'cev, việc xây dựng này có thể được đơn giản hóa. Mỗi đại số Mal'cev có một phần tử trung tính đặc biệt (vectơ không trong trường hợp không gian vectơ, phần tử nhận dạng trong trường hợp nhóm giao hoán và phần tử không trong trường hợp đổ chuông hoặc mô-đun). Đặc điểm đặc trưng của đại số Mal'cev là chúng ta có thể khôi phục toàn bộ quan hệ tương đương ker f từ lớp tương đương của phần tử trung tính.
Để cụ thể, hãy đặt A và B là các cấu trúc đại số của Mal'cev thuộc một loại nhất định và đặt f là một dạng đồng hình của loại đó từ A đến B . Nếu e B là yếu tố trung tính của B thì hạt nhân của f là tiền thân của bộ đơn { e B }; đó là tập hợp con của A bao gồm tất cả các yếu tố của A được ánh xạ bởi f thành phần tử e B [19659013]. Hạt nhân thường được ký hiệu là ker f (hoặc một biến thể). Trong các ký hiệu: ker f = { a ∈ A : f ( ]) = e B } . { displaystyle operatorname {ker} f = {a in A: f (a) = e_ {B } } { mbox {.}}}
Vì phép đồng hình đại số Mal'cev bảo tồn các yếu tố trung tính, nên yếu tố nhận dạng e A của A phải thuộc về hạt nhân. Phép đồng hình f là dạng tiêm khi và chỉ khi hạt nhân của nó chỉ là tập đơn {{19459007] e A }.
Khái niệm lý tưởng khái quát cho bất kỳ đại số Mal'cev nào (như không gian con tuyến tính trong trường hợp không gian vectơ, nhóm con bình thường trong trường hợp các nhóm, lý tưởng hai mặt trong trường hợp của các vòng, và mô đun con trong trường hợp các mô-đun ). Nó chỉ ra rằng ker f không phải là một tập hợp con của A nhưng nó là một lý tưởng. Sau đó, thật hợp lý khi nói về đại số thương số G / (ker f ). Định lý đẳng cấu đầu tiên cho đại số Mal'cev nói rằng đại số thương số này tự nhiên là đẳng cấu với hình ảnh của f (là một phép con của B ).
Mối liên hệ giữa điều này và mối quan hệ đồng quy cho các loại đại số tổng quát hơn như sau. Đầu tiên, kernel-as-an-lý tưởng là lớp tương đương của phần tử trung tính e A dưới sự đồng nhất của hạt nhân. Đối với hướng ngược lại, chúng ta cần khái niệm thương số trong đại số Mal'cev (đó là phép chia ở hai bên cho các nhóm và phép trừ cho các không gian vectơ, mô-đun, và nhẫn). Sử dụng điều này, các yếu tố a và b của A tương đương với sự đồng nhất của hạt nhân khi và chỉ khi thương số của họ ] / b là một yếu tố của hạt nhân như là một lý tưởng.
Các đại số có cấu trúc không khớp [ chỉnh sửa ]
Đôi khi đại số được trang bị cấu trúc không khớp ngoài các hoạt động đại số của chúng. Ví dụ, người ta có thể xem xét các nhóm tôpô hoặc không gian vectơ tôpô với được trang bị một cấu trúc liên kết . Trong trường hợp này, chúng tôi hy vọng phép đồng hình f sẽ bảo tồn cấu trúc bổ sung này; trong các ví dụ tô pô, chúng tôi muốn f là bản đồ liên tục . Quá trình có thể gặp khó khăn với đại số thương, có thể không được cư xử tốt. Trong các ví dụ tô pô, chúng ta có thể tránh các vấn đề bằng cách yêu cầu các cấu trúc đại số tôpô đó là Hausdorff (như thường được thực hiện); sau đó, hạt nhân (tuy nhiên nó được xây dựng) sẽ là một tập hợp đóng và không gian thương lượng sẽ hoạt động tốt (và cũng là Hausdorff).
Kernels trong lý thuyết thể loại [ chỉnh sửa ]
Khái niệm về kernel trong lý thuyết thể loại là một khái quát của hạt nhân ; xem Kernel (lý thuyết thể loại). Tổng quát hóa phân loại của hạt nhân như là một mối quan hệ đồng dạng là cặp nhân . (Ngoài ra còn có khái niệm về hạt nhân khác biệt hoặc bộ cân bằng nhị phân .)
Xem thêm [ chỉnh sửa ]
Tài liệu tham khảo [ chỉnh sửa ]
