Hệ số Einstein – Wikipedia

Các hệ số Einstein là các đại lượng toán học là thước đo xác suất hấp thụ hoặc phát xạ ánh sáng của một nguyên tử hoặc phân tử. ^[1] Einstein A hệ số liên quan đến tốc độ phát xạ ánh sáng tự phát và hệ số Einstein B có liên quan đến sự hấp thụ và phát xạ kích thích của ánh sáng.

Các vạch quang phổ [ chỉnh sửa ]

Trong vật lý, người ta nghĩ về một vạch quang phổ từ hai quan điểm.

Một đường phát xạ được hình thành khi một nguyên tử hoặc phân tử thực hiện quá trình chuyển đổi từ một mức năng lượng riêng biệt E ₂ của một nguyên tử, sang mức năng lượng thấp hơn E ₁ phát ra một photon có năng lượng và bước sóng cụ thể. Một phổ gồm nhiều photon như vậy sẽ cho thấy sự tăng vọt phát xạ ở bước sóng liên kết với các photon này.

Một dòng hấp thụ được hình thành khi một nguyên tử hoặc phân tử thực hiện quá trình chuyển đổi từ mức thấp hơn, E ₁ sang trạng thái năng lượng riêng biệt cao hơn, E ₂ , với một photon được hấp thụ trong quá trình. Các photon hấp thụ này thường đến từ bức xạ liên tục nền (phổ đầy đủ của bức xạ điện từ) và phổ sẽ cho thấy sự giảm bức xạ liên tục ở bước sóng liên kết với các photon bị hấp thụ.

Hai trạng thái phải là trạng thái liên kết trong đó electron liên kết với nguyên tử hoặc phân tử, do đó quá trình chuyển đổi đôi khi được gọi là quá trình chuyển đổi "ràng buộc ràng buộc", trái ngược với quá trình chuyển đổi trong đó electron bị đẩy ra của nguyên tử hoàn toàn (quá trình chuyển đổi "tự do ràng buộc") sang trạng thái liên tục, để lại một nguyên tử ion hóa và tạo ra bức xạ liên tục.

Một photon có năng lượng tương đương với chênh lệch E ₂ – E ₁ giữa các mức năng lượng được giải phóng hoặc hấp thụ trong quá trình. Tần số ν tại đó đường quang phổ xảy ra có liên quan đến năng lượng photon theo điều kiện tần số của Bohr E ₂ – E ₁ = hv trong đó h biểu thị hằng số Planck. ^{[2][3][4][5][6][7]}

Các hệ số phát xạ và hấp thụ [ chỉnh sửa ]

trong một chất khí trong đó

n 2 { displaystyle n_ {2}}

là mật độ của các nguyên tử ở trạng thái năng lượng trên cho dòng và [19659043] n 1 { displaystyle n_ {1}}

là mật độ của các nguyên tử ở trạng thái năng lượng thấp hơn cho dòng.

Sự phát xạ của bức xạ dòng nguyên tử ở tần số ν có thể được mô tả bằng hệ số phát xạ

ϵ { displaystyle epsilon}

/ thời gian / khối lượng / góc rắn. ε dt dV dΩ sau đó là năng lượng được phát ra từ một phần tử âm lượng

d V { displaystyle dV}

d

d ] t { displaystyle dt}

thành góc rắn

d Ω { displaystyle d Omega}

. Đối với bức xạ dòng nguyên tử:

ϵ = h ν 4 π n 2 A 21 { displaystyle epsil frac {h nu} {4 pi}} n_ {2} A_ {21} ,}

trong đó

A 21 { displaystyle A_ {21}}

là hệ số Einstein đối với sự phát xạ tự phát, được cố định bởi các tính chất bên trong của nguyên tử có liên quan cho hai mức năng lượng liên quan.

Sự hấp thụ bức xạ dòng nguyên tử có thể được mô tả bằng hệ số hấp thụ

κ { displaystyle kappa}

với đơn vị 1 / chiều dài. Biểu thức κ 'dx đưa ra một phần cường độ được hấp thụ cho một chùm ánh sáng ở tần số ν trong khi di chuyển quãng đường dx . Hệ số hấp thụ được cho bởi:

κ ′ = h ν 4 π ( n 1 12 – n 2 B 21 ) { displaystyle kappa '= { frac {h nu} {4 pi }} ~ (n_ {1} B_ {12} -n_ {2} B_ {21}) ,}

trong đó

B 12 { displaystyle B_ {12}}

và

B 21 { displaystyle B_ {21}}

là các hệ số hấp thụ và phát xạ ảnh của Einstein tương ứng. Giống như hệ số

A 21 { displaystyle A_ {21}}

những điều này cũng được cố định bởi các tính chất bên trong của nguyên tử có liên quan cho hai năng lượng có liên quan cấp độ. Đối với nhiệt động lực học và cho việc áp dụng định luật Kirchhoff, điều cần thiết là tổng độ hấp thụ phải được biểu thị bằng tổng đại số của hai thành phần, được mô tả tương ứng bởi

B 12 { displaystyle B_ {12}} [19659118] B_ {12} “/> và B 21 { displaystyle B_ {21}}

có thể được coi là hấp thụ tích cực và tiêu cực, tương ứng là sự hấp thụ photon trực tiếp và thường được gọi là phát xạ kích thích hoặc gây ra. ^{[8] [9] [10]}

Các phương trình trên đã bỏ qua ảnh hưởng của hình dạng vạch phổ. Để chính xác, các phương trình trên cần được nhân với hình dạng vạch phổ (chuẩn hóa), trong trường hợp đó, các đơn vị sẽ thay đổi để bao gồm một thuật ngữ 1 / Hz.

Đối với các điều kiện của trạng thái cân bằng nhiệt động lực học, cùng với mật độ số

n 2 { displaystyle n_ {2}}

và

1 { displaystyle n_ {1}}

các hệ số Einstein và mật độ năng lượng quang phổ cung cấp đủ thông tin để xác định mức độ hấp thụ và phát xạ.

Điều kiện cân bằng [ chỉnh sửa ]

Mật độ số

n 2 { displaystyle n_ {2}}

n 1 { displaystyle n_ {1}}

được đặt theo trạng thái vật lý của khí trong đó xảy ra đường quang phổ, bao gồm cả địa phương bức xạ quang phổ (hoặc, trong một số bài thuyết trình, mật độ năng lượng bức xạ quang phổ cục bộ). Khi trạng thái đó là một trong những trạng thái cân bằng nhiệt động nghiêm ngặt, hoặc là một trong những "trạng thái cân bằng nhiệt động lực cục bộ", ^[11][12][13] thì sự phân bố các trạng thái kích thích nguyên tử (bao gồm

n 2 { displaystyle n_ {2}}

và

n 1 { displaystyle n_ {1}}

) xác định tỷ lệ phát thải và hấp thụ nguyên tử sao cho định luật bình đẳng về hấp thụ bức xạ và phát xạ của Kirchhoff. Ở trạng thái cân bằng nhiệt động nghiêm ngặt, trường bức xạ được cho là bức xạ vật đen và được mô tả theo định luật Planck. Đối với trạng thái cân bằng nhiệt động lực cục bộ, trường bức xạ không phải là trường vật đen, nhưng tốc độ va chạm giữa các tế bào phải vượt quá tốc độ hấp thụ và phát xạ lượng tử của ánh sáng, do đó các va chạm giữa các hạt hoàn toàn chi phối sự phân bố của các trạng thái kích thích nguyên tử. Các trường hợp xảy ra trong đó trạng thái cân bằng nhiệt động lực cục bộ không chiếm ưu thế, bởi vì các hiệu ứng bức xạ mạnh áp đảo xu hướng phân phối vận tốc phân tử Maxwell của Boltzmann. Ví dụ, trong bầu khí quyển của Mặt trời, sức mạnh to lớn của bức xạ chiếm ưu thế. Trong bầu khí quyển phía trên của Trái đất, ở độ cao hơn 100 km, sự hiếm hoi của các va chạm liên phân tử là quyết định.

Trong các trường hợp cân bằng nhiệt động lực học và cân bằng nhiệt động lực cục bộ, mật độ số của các nguyên tử, cả bị kích thích và không bị kích thích, có thể được tính từ phân bố Maxwell của Boltzmann, nhưng đối với các trường hợp khác, (ví dụ như laser) phức tạp.

Các hệ số Einstein [ chỉnh sửa ]

Năm 1916, Albert Einstein đã đề xuất rằng có ba quá trình xảy ra trong quá trình hình thành vạch phổ nguyên tử. Ba quá trình được gọi là phát xạ tự phát, phát xạ kích thích và hấp thụ. Với mỗi cái được liên kết với một hệ số Einstein, là thước đo xác suất của quá trình cụ thể đó xảy ra. Einstein đã xem xét trường hợp bức xạ đẳng hướng có tần số ν và mật độ năng lượng quang phổ ρ ( ν ) . ^[3][14]

chỉnh sửa ]

Hilborn đã so sánh các công thức khác nhau để lấy đạo hàm cho các hệ số Einstein, bởi các tác giả khác nhau. ^[15] Ví dụ, Herzberg làm việc với sự chiếu xạ và sóng gió. ^[16] khoảng tần số đơn vị; ^[17] cũng vậy; ^{[18] [ làm rõ ]} đây là cách tài khoản hiện tại được hình thành. Mihalas & Weibel-Mihalas hoạt động với độ rạng rỡ và tần số; ^[13] cũng Chandrasekhar; ^[19] cũng Goody & Yung; ^[20] Loa phóng to sử dụng tần số góc và độ rạng rỡ. ^[21]

]]

Phát xạ tự phát là quá trình mà một electron "tự phát" (tức là không có bất kỳ ảnh hưởng bên ngoài nào) phân rã từ mức năng lượng cao hơn xuống mức thấp hơn. Quá trình này được mô tả bởi hệ số Einstein A ₂₁ ( s ¹ ), đưa ra xác suất mỗi đơn vị thời gian mà một electron ở trạng thái 2 có năng lượng [19659201] E 2 { displaystyle E_ {2}}

sẽ phân rã một cách tự nhiên sang trạng thái 1 với năng lượng

E 1 { display E_ {1}}

phát ra một photon có năng lượng E ₂ – E ₁ = . Do nguyên lý bất định về thời gian năng lượng quá trình chuyển đổi thực sự tạo ra các photon trong một phạm vi tần số hẹp gọi là độ rộng vạch phổ. Nếu

n i { displaystyle n_ {i}}

là mật độ số nguyên tử ở trạng thái i thì sự thay đổi trong mật độ số nguyên tử ở trạng thái 2 trên một đơn vị thời gian do phát xạ tự phát sẽ là

( d n 2 d t ) tự phát = – 21 n 2 . { displaystyle left ({ frac {dn_ {2}} {dt}} right) _ { text {tự phát}} = – A_ { 21} n_ {2}.}

Quá trình tương tự dẫn đến sự gia tăng dân số của bang 1:

( d n 1 d t ) tự phát = A 21 [196590] 2 . { displaystyle left ({ frac {dn_ {1}} {dt}} right) _ { text {tự phát}} = A_ {21} n_ {2}.}

Phát xạ kích thích [ chỉnh sửa ]

Phát xạ kích thích (còn gọi là phát xạ kích thích) electron được cảm ứng để nhảy từ mức năng lượng cao hơn xuống mức thấp hơn bởi sự hiện diện của bức xạ điện từ tại (hoặc gần) tần số của quá trình chuyển đổi. Từ quan điểm nhiệt động lực học, quá trình này phải được coi là hấp thụ âm. Quá trình này được mô tả bởi hệ số Einstein

B 21 { displaystyle B_ {21}}

(J ¹ m ³ s ² ), đưa ra xác suất trên mỗi đơn vị thời gian trên một đơn vị mật độ năng lượng quang phổ của trường bức xạ mà một electron ở trạng thái 2 có năng lượng

E 2 [19659040] { displaystyle E_ {2}}

sẽ phân rã thành trạng thái 1 với năng lượng

E 1 { displaystyle E_ {1}}

phát ra một photon có năng lượng E ₂ – E ₁ = hv . Sự thay đổi mật độ số nguyên tử ở trạng thái 1 trên một đơn vị thời gian do phát xạ cảm ứng sẽ là

( d n 1 d t ) neg. hấp thụ. = B 21 n 2 ρ ( ν ) ({ frac {dn_ {1}} {dt}} phải) _ { text {neg. hấp thụ.}} = B_ {21} n_ {2} rho ( nu),}

trong đó

ρ ( ν { displaystyle rho ( nu)}

biểu thị mật độ năng lượng quang phổ của trường bức xạ đẳng hướng ở tần số của quá trình chuyển đổi (xem định luật Planck).

Phát xạ kích thích là một trong những quá trình cơ bản dẫn đến sự phát triển của laser. Tuy nhiên, bức xạ laser là rất xa so với trường hợp hiện tại của bức xạ đẳng hướng.

Sự hấp thụ photon [ chỉnh sửa ]

Hấp thụ là quá trình mà một photon bị nguyên tử hấp thụ, làm cho electron nhảy xuống từ mức thấp hơn mức năng lượng lên mức cao hơn. Quá trình này được mô tả bởi hệ số Einstein

B 12 { displaystyle B_ {12}}

(J ¹ m ^{] ] { displaystyle E_ {1}}}

sẽ hấp thụ một photon có năng lượng E ₂ – E ₁ = hv và nhảy sang trạng thái 2 bằng năng lượng

E 2 { displaystyle E_ {2}}

. Sự thay đổi mật độ số nguyên tử ở trạng thái 1 trên một đơn vị thời gian do sự hấp thụ sẽ là

( d n 1 d t ) pos. hấp thụ. = – B 12 n 1 ρ ( ν [1965929] 19659235] { displaystyle left ({ frac {dn_ {1}} {dt}} right) _ { text {pos. hấp thụ.}} = – B_ {12} n_ {1} rho ( nu).}

Cân bằng chi tiết [ chỉnh sửa ]

Các hệ số Einstein là xác suất cố định mỗi lần liên kết với mỗi nguyên tử và không phụ thuộc vào trạng thái của khí mà các nguyên tử khu vực; phần. Do đó, bất kỳ mối quan hệ nào mà chúng ta có thể rút ra giữa các hệ số tại, giả sử, trạng thái cân bằng nhiệt động sẽ có giá trị phổ biến. . Đối với các chuyển đổi ràng buộc ràng buộc, chúng tôi cũng sẽ có cân bằng chi tiết, trong đó nêu rõ rằng trao đổi ròng giữa bất kỳ hai cấp độ sẽ được cân bằng. Điều này là do xác suất của quá trình chuyển đổi có thể bị ảnh hưởng bởi sự hiện diện hoặc vắng mặt của các nguyên tử bị kích thích khác. Cân bằng chi tiết (chỉ có giá trị ở trạng thái cân bằng) yêu cầu sự thay đổi thời gian của số lượng nguyên tử ở cấp 1 do ba quá trình trên bằng không:

0 = A 21 n 2 + B 21 n 2 [ ] ( ν ) – B 12 n 1 ρ ( 19659112] { displaystyle 0 = A_ {21} n_ {2} + B_ {21} n_ {2} rho ( nu) -B_ {12} n_ {1} rho ( nu) , }

với sự cân bằng chi tiết, ở nhiệt độ T chúng ta có thể sử dụng kiến ​​thức về sự phân bố năng lượng cân bằng của các nguyên tử, như đã nêu trong phân bố Maxwell của Boltzmann và phân bố cân bằng của các photon, như đã nêu trong định luật Planck của bức xạ cơ thể màu đen để rút ra mối quan hệ phổ quát giữa các hệ số Einstein.

Từ phân phối Boltzmann, chúng ta có số lượng các nguyên tử bị kích thích i :

n i n = g i e – E i [1965916] k T Z { displaystyle { frac {n_ {i}} {n}} = { frac {g_ {i} e ^ {- E_ {i} / kT}} { Z}}}

trong đó n là tổng mật độ số của các loài nguyên tử, bị kích thích và không bị kích thích, k là Hằng số của Boltzmann, T là nhiệt độ,

g 19659404] { displaystyle g_ {i}}

là sự suy biến (còn được gọi là bội số) của nhà nước i và Z là chức năng phân vùng. Từ định luật bức xạ vật đen của Planck ở nhiệt độ T chúng ta có mật độ năng lượng quang phổ ở tần số ν

ρ ν T ) = F ( ν ) 1 e h / k T – 1 { displaystyle rho _ { nu} ( nu, T) = F ( nu) { frac {1} {e ^ {h nu / kT} -1}}}

trong đó:

F ( ν ) = 8 π h ν 3 { displaystyle F ( nu) = { frac {8 pi h nu ^ {3}} {c ^ {3}}}}

^[17]

trong đó

c { displaystyle c}

là tốc độ ánh sáng và

h { displaystyle h}

là hằng số của Planck.

Thay thế các biểu thức này vào phương trình cân bằng chi tiết và ghi nhớ rằng E ₂ – E ₁ =

A 21 g 2 e – h ν / + B 21 g 2 e – h ν [1965992] T F ( ν ) e h ν / k – 1 = B 12 g 1 F ( ν ) [1965929] 19659056] ν / k T – 1 { displaystyle A_ {21} g_ {2} e ^ {- h nu / kT} + B_ {21} g_ {2} e ^ {- h nu / kT} { frac {F ( nu)} {e ^ {h nu / kT} -1}} = B_ {12} g_ { 1} { frac {F ( nu)} {e ^ {h nu / kT} -1}}}

tách thành:

A 21 g 2 ( e h ν / k – 1 ) + B 21 g 2 F ( ν 19659102] B 12 g 1 e h ν / k T ν ) { displaystyle A_ {21} g_ {2} (e ^ {h nu / kT} -1) + B_ {21} g_ {2} F ( nu) = B_ {12} g_ {1} e ^ {h nu / kT} F ( nu) ,}

Phương trình trên phải giữ ở bất kỳ nhiệt độ nào , vì thế

B 21 g 2 = B 12 g 1 { displaystyle B_ g_ {2} = B_ {12} g_ {1},}

và

– A 21 g 2 + B 21 g 2 ( ν ) = 0 { displaystyle -A_ {21} g_ {2} + B_ {21} g_ {2} F ( nu) = 0 , }

Do đó, ba hệ số Einstein có liên quan đến nhau bởi:

A 21 B 21 = F ( ν ) { displaystyle { frac {A_ } {B_ {21}}} = F ( nu)}

và

B 21 B 12 = g 1 g 2 { displaystyle { frac {B_ {21} } {B_ {12}}} = { frac {g_ {1}} {g_ {2}}}}

Khi mối quan hệ này được đưa vào phương trình ban đầu, người ta cũng có thể tìm thấy mối quan hệ giữa

A 21 [19659040] { displaystyle A_ {21}}

và

B 12 { displaystyle B_ {12}}

, liên quan đến luật của Planck.

Cường độ dao động [ chỉnh sửa ]

Cường độ dao động

f 12 { displaystyle f_ {12}}

σ { displaystyle sigma}

cho sự hấp thụ: ^[15]

σ e 2 4 ε 0 m e c f 12 ϕ [19459] ν = π e 2 2 ε 0 m e [1965938] f 12 ω { displaystyle sigma = { frac {e ^ {2}} {4 varepsilon _ {0} m_ {e} c}} , f_ {12} , phi _ { nu} = { frac { pi e ^ {2}} {2 varepsilon _ {0} m_ {e} c}} , f_ { 12} , phi _ { omega}}

trong đó

e { displaystyle e}

là điện tích của điện tử,

m e { displaystyle m_ {e}}

là khối lượng electron và

ν { displaystyle phi _ { nu}}

và

ϕ { displaystyle phi _ { omega}}

là các hàm phân phối chuẩn hóa theo tần số và tần số góc tương ứng. Điều này cho phép cả ba hệ số Einstein được biểu thị dưới dạng cường độ dao động đơn liên quan đến vạch phổ nguyên tử cụ thể:

B 12 = e 2 4 ε 0 m e ν f 12 { displaystyle B_ {12} = { frac {e ^ {2}} {4 varepsilon _ {0} m_ {e} h nu}} , f_ {12}}

B e 2 4 0 m e h ν g 2 f 12 { displaystyle B_ {21} = { frac {e ^ {2}} {4 varepsilon _ {0} m_ { e} h nu}} ~ { frac {g_ {1}} {g_ {2}}} ~ f_ {12}}

[1 9459034] A 21 = 2 π ν 2 19659039] 2 0 m e c 3 g 1 19659719] f 12 { displaystyle A_ {21} = { frac {2 pi nu ^ {2} e ^ {2}} { varepsilon _ {0} m_ {e } c ^ {3}}} ~ { frac {g_ {1}} {g_ {2}}} ~ f_ {12}}

Xem thêm ]

Tài liệu tham khảo [ chỉnh sửa ]