Năng lực phân tích – Wikipedia

Trong phân tích phức tạp, công suất phân tích của một tập hợp nhỏ gọn K của mặt phẳng phức là một số biểu thị "mức độ lớn" của hàm phân tích giới hạn trên C K có thể trở thành. Nói một cách đơn giản, γ ( K ) đo kích thước của quả bóng đơn vị của không gian của các hàm phân tích giới hạn bên ngoài K .

Nó được Ahlfors giới thiệu lần đầu tiên vào những năm 1940 trong khi nghiên cứu khả năng loại bỏ các điểm kỳ dị của các chức năng phân tích bị ràng buộc.

Định nghĩa [ chỉnh sửa ]

Đặt K C nhỏ gọn. Sau đó, khả năng phân tích của nó được xác định là

γ ( K ) = sup { | f ′ ( ] ) | ; f ∈ H ∞ ( C ∖ K ) ‖ f ‖ ∞ ≤ 1 ( ∞ ) = 0 } { displaystyle gamma (K) = sup {| f &#39;( infty) |; f in { mathcal {H}} ^ { infty} ( mathbf {C} setminus K), | f | _ { infty} leq 1, f ( infty) = 0 }} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464d727d1694b6a89392d87af86a7222a430fdd4" aria-hidden="true" alt=" gamma (K) = sup {| f &amp;#39;( infty) |; f in { mathcal {H}} ^ { infty} ({ mathbf {C} } setminus K), | f | _ { infty} leq 1, f ( infty) = 0 } " width="26569.4" height="1295.7">

Tại đây,

H ∞ ( ] U ) { displaystyle { mathcal {H}} ^ { infty} (U)}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb334e4089bc5a46d9eb23134e7a29d93482681b" aria-hidden="true" alt=" { mathcal {H}} ^ { infty} (U) " width="640" height="400">$ den biểu thị tập hợp các hàm phân tích giới hạn U → C bất cứ khi nào U là tập con mở của mặt phẳng phức. Thêm nữa,

f ′ ( ∞ ) : = lim z → 1965 z ( f ( z ) – f ( ∞ ) { displaystyle f &#39;( infty): = lim _ {z to infty} z left (f (z) -f ( infty) right)} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671f858dfd0e11791f6a116b02092ddf358dffc6" aria-hidden="true" alt=" f&amp;#39; ( infty): = lim _ {{z to infty}} z left (f (z) -f ( infty) right) " width="12933.4" height="1726.2">

f ( ∞ [19659009]) : = lim z → ∞ f ( z ) { displaystyle f infty): = lim _ {z to infty} f (z)} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8381894a2ac4f9f08bc7901aa9346470d7857431" aria-hidden="true" alt=" f ( infty): = lim _ {{z to infty}} f (z) " width="7653.4" height="1654.5">

Lưu ý rằng

f ′ ( ∞ ) = g ′ ( 0 [19659] ] { displaystyle f '( infty) = g' (0)}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102b3b828da4b48bd68eddc3d0e9373869fb6c99" aria-hidden="true" alt=" { displaystyle f &#39;( infty) = g&#39; (0)} " width="640" height="400">$ trong đó e

g ( z ) = f ( 1 / z ) displaystyle g (z) = f (1 / z)}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a23113beb86068e39fd08aafee577b9973a771b" aria-hidden="true" alt=" { displaystyle g (z) = f (1 / z)} " width="5861.1" height="1223.9">$ . Tuy nhiên, thường là

f ′ ( ∞ ) ≠ lim z → ] ∞ f ′ ( z ) { displaystyle f '( infty) neq lim _ {z to infty} f' (z )}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20992048873083b935ed6ad011a8fdf30c9916c" aria-hidden="true" alt=" { displaystyle f &#39;( infty) neq lim _ {z to infty} f&#39; (z)} " width="640" height="400">$ .

Nếu A C là một tập hợp tùy ý, thì chúng tôi xác định

γ ( A ) = sup K ⊂ A compact γ ( K ) { displaystyle gamma (A) = sup _ {K subset A, K { text {compact}}} gamma ( K)} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a497dbd077039c3eb3708459f9e5d6f3cad9485" aria-hidden="true" alt=" { displaystyle gamma (A) = sup _ {K subset A, K { text {compact}}} gamma (K)} " width="11166.5" height="2085">

.

Bộ di động và Painlevé vấn đề [ chỉnh sửa ]

Bộ nhỏ gọn K được gọi là có thể tháo rời nếu, bất cứ khi nào Ω là một bộ mở có chứa K mọi hàm được giới hạn và biến hình trên tập hợp Ω K có phần mở rộng phân tích cho tất cả. Theo định lý của Riemann cho các điểm kỳ dị có thể tháo rời, mọi singleton đều có thể tháo rời. Điều này thúc đẩy Painlevé đặt ra một câu hỏi tổng quát hơn vào năm 1880: "Những tập hợp con nào của C có thể tháo rời?"

Dễ dàng nhận thấy rằng K có thể tháo rời khi và chỉ khi ( K ) = 0. Tuy nhiên, khả năng phân tích hoàn toàn phức tạp- khái niệm phân tích, và nhiều công việc cần phải được thực hiện để có được một đặc tính hình học hơn.

Chức năng Ahlfors [ chỉnh sửa ]

Đối với mỗi máy compact K ⊂ C tồn tại một chức năng cực hạn duy nhất, tức là

f ∈ H ∞ ( C ∖ K ) { displaystyle f in { math }} ^ { infty} ( mathbf {C} setminus K)}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deeaaeddf9e145c6b01140a6c087fd8a0e8a5cbb" aria-hidden="true" alt=" f in { mathcal {H}} ^ { infty} ({ mathbf {C}} setminus K) [19659058] sao cho $ ‖ f ‖ ≤ 1 { displaystyle | f | leq 1}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3caa7e79169da15dff4cc2053a27dd97ca07c31" aria-hidden="true" alt=" | leq 1 " width="3386.1" height="1223.9">$ f () = 0 và f () = γ ( K . Hàm này được gọi là Hàm Ahlfors của K . Sự tồn tại của nó có thể được chứng minh bằng cách sử dụng một lập luận gia đình bình thường liên quan đến Định lý Montel.
Khả năng phân tích về kích thước của Hausdorff [ chỉnh sửa ]

Đặt dim _H biểu thị kích thước của Hausdorff và H [19659198BiệnphápHausdorff1chiềuSauđó H ¹ ( K ) = 0 ngụ ý γ ( K ) = 0 trong khi mờ _{] ( K )> 1 đảm bảo γ ( K )> 0. Tuy nhiên, trường hợp khi mờ _H ( K ) = 1 và H ¹ ( K ) (0,] khó khăn hơn.}

Chiều dài dương nhưng khả năng phân tích bằng 0 [ chỉnh sửa ]

Đưa ra sự tương ứng một phần giữa thước đo 1 chiều của một tập con nhỏ gọn của C và phân tích của nó dung lượng, có thể phỏng đoán rằng γ ( K ) = 0 ngụ ý H ¹ ( K ) = 0. Tuy nhiên , phỏng đoán này là sai. Một ví dụ đầu tiên được đưa ra bởi A. G. Vitushkin, và một mẫu đơn giản hơn nhiều của J. Garnett trong bài báo năm 1970 của ông. Ví dụ sau này là bộ bốn góc tuyến tính được xây dựng như sau:

Đặt K ₀: = [0, 1] × [0, 1] là hình vuông đơn vị. Sau đó, K ₁ là sự kết hợp của 4 hình vuông có cạnh dài 1/4 và các hình vuông này nằm ở các góc của K ₀. Nói chung, K _n là liên hiệp của 4 ⁿ hình vuông (ký hiệu là
Q n j { displaystyle Q_ { n} ^ {j}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6a75416d34a64786105f30e07f4d7aa27f6728" aria-hidden="true" alt=" Q_ {n} ^ {j} " width="640" height="400">$ ) có chiều dài cạnh 4 ^{– n}mỗi
Q n j { displaystyle Q_ {n} ^ {j}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6a75416d34a64786105f30e07f4d7aa27f6728" aria-hidden="true" alt=" Q_ {n} ^ {j} " width="640" height="400">$ đang ở trong góc của một số
Q n – ] 1 k { displaystyle Q_ {n-1} ^ {k}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3de21350ff5756b4d59d5dd641060316de513b8" aria-hidden="true" alt=" Q _ {{n-1}} ^ {k} " width="640" height="400">$ . Lấy K làm giao điểm của tất cả K _n sau đó
H 1 ( K [1965900] 19659010] = 2 { displaystyle H ^ {1} (K) = { sqrt {2}}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a5bf3e85f8f32f5e722fc74d158691dfa54f5d" aria-hidden="true" alt=" H ^ {1} (K) = { sqrt {2}} [19659058] nhưng </img> ( K ) = 0. <h3>$ Phỏng đoán của Vitushkin [ chỉnh sửa ]
Đặt K C là một tập hợp nhỏ gọn. Phỏng đoán của Vitushkin nói rằng

$γ ( K ) = 0 ⟺ ∫ 0 1 ( proj θ ⁡ ( K ) ) d = 0 { displaystyle gamma (K) = 0 iff int _ {0} ^ { pi} { mathcal {H}} ^ {1} ( operatorname {proj} _ { theta} (K)) , d theta = 0} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dcdfb01b8790005cc6624126cd689c623ddbf9e" aria-hidden="true" alt=" { displaystyle gamma (K) = 0 iff int _ {0} ^ { pi} { mathcal {H }} ^ {1} ( operatorname {proj} _ { theta} (K)) , d theta = 0} " width="640" height="400">$

trong đó
proj θ ⁡ ([19659008] x y ) : = x cos ⁡ θ + sin θ { displaystyle operatorname {proj} _ { theta} (x, y): = x cos theta + y sin theta}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aacd1b470b1987c8a215153d9f505aff47c642c" aria-hidden="true" alt=" { displaystyle operatorname {proj} _ { theta} (x, y): = x cos theta + y sin theta} " width="12562.3" height="1223.9">$ biểu thị phép chiếu trực giao theo hướng. Theo kết quả được mô tả ở trên, phỏng đoán của Vitushkin là đúng khi mờ _H K 1.

Guy David đã công bố một bằng chứng vào năm 1998 về phỏng đoán của Vitushkin cho trường hợp mờ _H K = 1 và H ¹ ) <. Năm 2002, Xavier Tolsa đã chứng minh rằng khả năng phân tích là bán tự động đáng kể. Đó là, tồn tại một hằng số tuyệt đối C > 0 sao cho K C là một tập hợp nhỏ gọn và
K = [19659310] [K_{i}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61821d29d93578e24bfb9f352661c0ecd623da0" aria-hidden="true" alt=" { displaystyle K = bigcup _ {i = 1} ^ { infty} K_ {i}} " width="640" height="400">$ trong đó mỗi K _i là Borel, sau đó [19659320] γ ( K ) ≤ C ∑ i = 1 [1965946] 19659331] γ ( K i ) { displaystyle gamma (K) leq C sum _ {i = 1} ^ { infty} gamma (K_ {i})}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76138d71c748f24f5a337dab9a4a83f1a089be43" aria-hidden="true" alt=" { displaystyle gamma (K) leq C sum _ {i = 1} ^ { infty} gamma (K_ {i})} " width="8600.7" height="2946.1">$ .

Các định lý của David và Tolsa cùng ngụ ý rằng phỏng đoán của Vitushkin là đúng khi K là H ¹ -sigma-finite. Tuy nhiên, phỏng đoán vẫn mở cho K là 1 chiều chứ không phải H ¹ -sigma-finite.

Tài liệu tham khảo [ chỉnh sửa ]

Mattila, Pertti (1995). Hình học của các bộ và thước đo trong không gian Euclide . Nhà xuất bản Đại học Cambridge. Sđt 0-521-65595-1.

Pajot, Hervé (2002). Năng lực phân tích, khả năng chỉnh lưu, độ cong Menger và tích phân Cauchy . Ghi chú bài giảng môn Toán. Springer-Verlag.

J. Garnett, Chiều dài dương nhưng khả năng phân tích bằng không, Proc. Amer. Môn Toán. Soc. 21 (1970), 696 Tiết699

G. David, 1 bộ không thể xác định có khả năng phân tích biến mất, Rev. Môn Toán. Sê-ri. 14 (1998) 269 Than479

Dudziak, James J. (2010). Phỏng đoán của Vitushkin cho các bộ di động . Đại học. Springer-Verlag. Sê-ri 980-14419-6708-4.

Tolsa, Xavier (2014). Năng lực phân tích, biến đổi Cauchy và lý thuyết Zdergmund không đồng nhất Calderón [Z9009007]. Tiến bộ trong Toán học. Birkhäuser Basel. Sê-ri 980-3-319-00595-9.