Phân tích định lượng tái phát – Wikipedia

Phân tích định lượng tái phát (RQA) là một phương pháp phân tích dữ liệu phi tuyến (lý thuyết hỗn loạn) để điều tra các hệ thống động lực. Nó định lượng số lượng và thời gian tái phát của một hệ động lực được trình bày bởi quỹ đạo không gian pha của nó.

Bối cảnh [ chỉnh sửa ]

Phân tích định lượng tái phát (RQA) được phát triển để định lượng các lô tái phát (RP) khác nhau, dựa trên các cấu trúc quy mô nhỏ ở đó. Các sơ đồ lặp lại là các công cụ trực quan hóa hành vi lặp lại của quỹ đạo không gian pha

{ displaystyle { vec {x}} (i) }

${ vec {x}} (i)$ của các hệ thống động lực:

{ displaystyle mathbf {R} (i, j) = Theta ( varepsilon – | { vec {x}} (i) – { vec {x}} ( j) |)}

Chúng chủ yếu chứa các dấu chấm đơn và đường thẳng song song với đường chéo trung bình ( danh tính LOI) hoặc dọc / ngang. Các đường song song với LOI được gọi là các đường chéo và các cấu trúc dọc là các đường thẳng đứng . Bởi vì RP thường là đối xứng, các đường ngang và dọc tương ứng với nhau và do đó, chỉ các đường thẳng đứng được xem xét. Các đường tương ứng với một hành vi điển hình của quỹ đạo không gian pha: trong khi các đường chéo đại diện cho các phân đoạn đó của quỹ đạo không gian pha chạy song song trong một thời gian, các đường thẳng đứng biểu thị các phân đoạn vẫn ở cùng một vùng không gian pha trong một thời gian.

Nếu chỉ có một chuỗi thời gian khả dụng, không gian pha có thể được xây dựng lại bằng cách sử dụng nhúng thời gian trễ (xem định lý của Takens):

{ displaystyle { {x}} (i) = (u (i), u (i + tau), ldots, u (i + tau (m-1)),}

trong đó

{ displaystyle u (i)}

$u (i)$ là chuỗi thời gian,

{ displaystyle m}

$m$ kích thước nhúng và

{ displaystyle tau}

$tau$ thời gian trễ.

RQA định lượng các cấu trúc quy mô nhỏ của các lô tái phát, trong đó trình bày số lượng và thời gian của các đợt tái phát của một hệ thống động lực. Các biện pháp được giới thiệu cho RQA đã được phát triển theo phương pháp heuristur từ năm 1992 đến 2002 (Zbilut & Webber 1992; Webber & Zbilut 1994; Marwan et al. 2002). Chúng thực sự là các biện pháp phức tạp. Ưu điểm chính của phân tích định lượng tái phát là nó có thể cung cấp thông tin hữu ích ngay cả đối với dữ liệu ngắn và không cố định, khi các phương pháp khác thất bại.

RQA có thể được áp dụng cho hầu hết mọi loại dữ liệu. Nó được sử dụng rộng rãi trong sinh lý học, nhưng cũng được áp dụng thành công trên các vấn đề từ kỹ thuật, hóa học, khoa học Trái đất, v.v.

Các biện pháp RQA [ chỉnh sửa ]

Biện pháp đơn giản nhất là tỷ lệ tái phát là mật độ của các điểm tái phát trong âm mưu tái phát:

{displaystyle {text{RR}}={frac {1}{N^{2}}}sum _{i,j=1}^{N}mathbf {R} (i,j).}

Tỷ lệ tái phát tương ứng với xác suất cụ thể nhà nước sẽ tái diễn. Nó gần như tương đương với định nghĩa của tổng tương quan trong đó LOI được loại trừ khỏi tính toán.

Biện pháp tiếp theo là tỷ lệ phần trăm của các điểm tái phát tạo thành các đường chéo trong biểu đồ lặp lại có độ dài tối thiểu

{ displaystyle ell _ { min}}

$ell _ { phút}$ :

{displaystyle {text{DET}}={frac {sum _{ell =ell _{min }}^{N}ell ,P(ell )}{sum _{ell =1}^{N}ell P(ell )}},}

trong đó

{ displaystyle P ( ell)}

$P ( ell) [19659012] là phân phối tần số <a href=$ của các độ dài

{displaystyle ell }

$ell$ của các đường chéo (nghĩa là, nó đếm có bao nhiêu trường hợp có độ dài

{ displaystyle ell}

$ell [19659040]). Biện pháp này được gọi là tính xác định <b> </b> và có liên quan đến khả năng dự đoán <a href=$ của hệ động lực, bởi vì nhiễu trắng có biểu đồ lặp lại với hầu hết các chấm đơn và rất ít đường chéo, trong khi đó quá trình xác định có sự tái phát cốt truyện với rất ít dấu chấm đơn nhưng nhiều đường chéo dài.

Số lượng điểm tái phát tạo thành các đường thẳng đứng có thể được định lượng theo cùng một cách:

{displaystyle {text{LAM}}={frac {sum _{v=v_{min }}^{N}vP(v)}{sum _{v=1}^{N}vP(v)}},}

trong đó

{ displaystyle P (v)}

$P (v)$ là phân bố tần số của các độ dài

{ displaystyle v}

$v$ của các đường thẳng đứng, có ít nhất một độ dài của

{ displaystyle v _ { min}}

$v_ min$ . Biện pháp này được gọi là độ dẻo và có liên quan đến số lượng pha trong hệ thống (không liên tục).

Cũng có thể đo chiều dài của các đường chéo và đường thẳng đứng. chiều dài đường chéo trung bình

{ displaystyle { text {L}} = { frac { sum _ { ell = ell _ { min}} ^ {N} ell , P ( ell)} { sum _ { ell = ell _ { min}} ^ {N} P ( ell)}}}

có liên quan đến thời gian dự đoán của hệ thống động lực và thời gian bẫy đo chiều dài trung bình của các đường thẳng đứng,

{displaystyle TT={frac {sum _{v=v_{min }}^{N}vP(v)}{sum _{v=v_{min }}^{N}P(v)}}}

có liên quan đến thời gian sử dụng của hệ thống động lực, tức là thời gian hệ thống duy trì ở trạng thái cụ thể.

Bởi vì độ dài của các đường chéo có liên quan đến thời gian các phân đoạn của quỹ đạo không gian pha chạy song song, nghĩa là về hành vi phân kỳ của các quỹ đạo, đôi khi người ta đã nói rằng sự đối ứng của độ dài tối đa của các đường chéo (không có LOI) sẽ là một công cụ ước tính cho số mũ Lyapunov cực đại dương của hệ động lực. Do đó, độ dài đường chéo tối đa

{ displaystyle L _ { max}}

$L _ { max}$ hoặc phân kỳ D I V = 1 L max { displaystyle DIV = { frac {1} {L _ { max}}}} [196592] DIV = { frac {1} {L _ { max}}} “/>

cũng là các biện pháp của RQA. Tuy nhiên, mối quan hệ giữa các biện pháp này với số mũ Lyapunov cực đại dương không dễ dàng như đã nêu, nhưng thậm chí còn phức tạp hơn (để tính toán số mũ Lyapunov từ một RP, toàn bộ phân phối tần số của các đường chéo phải được xem xét). Sự phân kỳ có thể có xu hướng của số mũ Lyapunov cực đại dương, nhưng không nhiều hơn. Hơn nữa, RP của các quá trình nhiễu trắng có thể có một đường chéo thực sự dài, mặc dù rất hiếm khi, chỉ bằng một xác suất hữu hạn. Do đó, sự phân kỳ không thể phản ánh số mũ Lyapunov tối đa.

Xác suất
${displaystyle p(ell )}$
$p ( ell)$ dòng có độ dài chính xác
${ displaystyle ell}$
$ell$ có thể được ước tính từ phân phối tần số
${ displaystyle P ( ell)}$
$P ( ell)$ với
${ displaystyle p ( ell) = { frac {P ( ell)} { sum _ { ell = l _ { min }} ^ {N} P ( ell)}}}$ $p ( ell) = { frac {P ( ell)} { sum _ {{ ell = l _ { min}}} ^ {N} P ( ell)}}$ . Entropy Shannon của xác suất này,

$văn bản {ENTR}} = – sum _ { ell = ell _ { min}} ^ {N} p ( ell) ln p ( ell),}$

phản ánh mức độ phức tạp của cấu trúc xác định trong hệ thống. Tuy nhiên, entropy này phụ thuộc một cách hợp lý vào số thùng và do đó, có thể khác nhau đối với việc thực hiện khác nhau của cùng một quy trình, cũng như cho các chuẩn bị dữ liệu khác nhau.

Biện pháp cuối cùng của RQA định lượng độ mỏng của âm mưu tái phát. Xu hướng là hệ số hồi quy của mối quan hệ tuyến tính giữa mật độ các điểm tái phát trong một đường thẳng song song với LOI và khoảng cách của nó với LOI. Chính xác hơn, chúng ta hãy xem xét tỷ lệ tái phát theo một đường chéo song song với LOI của khoảng cách k ( tỷ lệ tái phát theo đường chéo ):

${ displaystyle { text {RR}} _ {k} = { frac {1} {Nk}} sum _ {ji = k} ^ {Nk} mathbf {R} (i, j ),}$

thì xu hướng được xác định bởi

${ displaystyle { text {TREND}} = { frac { sum _ { i = 1} ^ { tilde {N}} (i – { tilde {N}} / 2) (RR_ {i} – langle RR_ {i} rangle)} { sum _ {i = 1} ^ { tilde {N}} (i – { tilde {N}} / 2) ^ {2}}},}$

với
${ displaystyle langle cdot rangle} [19659424] langle cdot rangle “/> là giá trị trung bình và$ ${ displaystyle { tilde {N}} <N}$