Trong cấu trúc liên kết, một phức hợp CW là một loại không gian tôpô được giới thiệu bởi J. H. C. Whitehead để đáp ứng nhu cầu của lý thuyết đồng luân. Lớp không gian này rộng hơn và có một số thuộc tính phân loại tốt hơn các phức hợp đơn giản, nhưng vẫn giữ được tính chất tổ hợp cho phép tính toán (thường có phức tạp nhỏ hơn nhiều).

Công thức [ chỉnh sửa ]

Nói một cách đơn giản, một phức hợp CW được tạo thành từ các khối xây dựng cơ bản gọi là các ô . Định nghĩa chính xác quy định làm thế nào các tế bào có thể được tô pô dán lại với nhau . C là viết tắt của "đóng cửa hữu hạn" và W cho cấu trúc liên kết "yếu".

Một ô khép kín hai chiều n là hình ảnh của một quả bóng khép kín n dưới một bản đồ đính kèm. Ví dụ, một đơn giản là một ô kín và nói chung, một đa giác lồi là một ô kín. Một ô mở rộng hai chiều n là một không gian tôpô tương đồng với n bóng mở rộng hai chiều. Một ô mở 0 chiều (và đóng) là một không gian đơn. Đóng cửa hữu hạn có nghĩa là mỗi ô kín được bao phủ bởi một liên kết hữu hạn của các ô mở (hoặc chỉ đáp ứng chính xác nhiều ô khác ^[1]).

Một phức hợp CW là một không gian Hausdorff X cùng với một phân vùng X thành các ô mở (có lẽ có kích thước khác nhau) thỏa mãn hai thuộc tính bổ sung:

• Với mỗi n ô mở rộng hai chiều C trong phân vùng của X tồn tại bản đồ liên tục f n – bóng kín hai chiều đến X sao cho
  • sự hạn chế của f đối với phần bên trong của quả bóng kín là sự đồng nhất vào tế bào C và
  • hình ảnh của ranh giới của quả bóng kín được chứa trong sự kết hợp của một số phần tử hữu hạn của phân vùng, mỗi phần có kích thước ô nhỏ hơn n .
• Một tập hợp con của X được đóng nếu và chỉ nếu nó đáp ứng việc đóng từng ô trong một tập đóng.

Các phức CW thường xuyên [ chỉnh sửa ]

Một phức hợp CW được gọi là thường xuyên nếu cho mỗi n – ô mở rộng hai chiều C trong phân vùng của X bản đồ liên tục f từ n bóng kín đến X là sự đồng nhất hóa đối với việc đóng cửa ô C .

Các phức hợp CW tương đối [ chỉnh sửa ]

Nói một cách đơn giản, một phức hợp CW tương đối khác với một phức hợp CW mà không nhất thiết phải có cấu trúc tế bào. Khối bổ sung này có thể được coi là một ô có kích thước (-1) theo định nghĩa trước đây. ^[2][3][4]

Cấu trúc quy nạp của các phức hợp CW [ chỉnh sửa ]

Nếu kích thước lớn nhất của bất kỳ của các ô là n sau đó phức hợp CW được cho là có kích thước n . Nếu không có ràng buộc với kích thước ô thì nó được gọi là chiều vô hạn. n -skbie của một phức hợp CW là sự kết hợp của các ô có kích thước nhiều nhất là n . Nếu liên kết của một tập hợp các ô được đóng lại, thì liên kết này tự nó là một phức hợp CW, được gọi là một subcomplex. Do đó, n -sk MP là subcomplex lớn nhất về kích thước n hoặc ít hơn.

Một phức hợp CW thường được xây dựng bằng cách xác định skeleta của nó theo cách tự cảm bằng cách 'gắn' các ô có kích thước tăng dần. Bằng một 'tập tin đính kèm' của n -cell vào một không gian tôpô X người ta có nghĩa là một không gian điều chỉnh

$] { displaystyle B cup _ {f} X}$

trong đó f là bản đồ liên tục từ ranh giới của n bóng hai chiều

${ displaystyle B subset R ^ {n}}$

đến X . Để xây dựng một phức hợp CW, hãy bắt đầu với một phức hợp CW hai chiều 0 nghĩa là một không gian riêng biệt

${ displaystyle X_ {0}}$

. Đính kèm 1 -cells vào

${ displaystyle X_ {0}}$

để có được 1 phức hợp CW có chiều cao

${ displaystyle X_ {1}}$

. Đính kèm 2 -cells vào

${ displaystyle X_ {1}}$

để có được 2 phức hợp CW -dimensional

${ displaystyle X_ {2}}$

. Tiếp tục theo cách này, chúng tôi có được một chuỗi các phức hợp CW lồng nhau

${ displaystyle X_ {0} subset X_ {1} subset cdots X_ {n} subset cdots}$

về kích thước tăng dần sao cho nếu

${ displaystyle i leq j}$

sau đó

${ displaystyle X_ {i}}$

là i -sk MP của

${ displaystyle X_ {j}}$

.

Lên đến đẳng cấu mỗi n phức hợp CW hai chiều có thể được lấy từ ( n – 1) -sk MP thông qua việc gắn n -cell mọi phức hợp CW chiều hữu hạn có thể được xây dựng theo quy trình trên. Điều này đúng ngay cả với các phức không giới hạn, với sự hiểu rằng kết quả của quá trình vô hạn là giới hạn trực tiếp của skeleta: một tập hợp được đóng trong X khi và chỉ khi nó gặp mỗi bộ xương trong một đóng bộ.

Ví dụ [ chỉnh sửa ]

• Cấu trúc CW tiêu chuẩn trên các số thực có 0-skeleton các số nguyên
  ${\displaystyle \mathbb{Z}}$

  

  ${ displaystyle {[n,n+1]: n in mathbb {Z} }}$

  . Tương tự, cấu trúc CW tiêu chuẩn trên

  ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$

  có các ô hình khối là các sản phẩm của 0 và 1 ô từ

  ${ displaystyle mathbb {R}}$

  . Đây là cấu trúc ô tiêu chuẩn trên

  ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$

  .

• Một khối đa diện tự nhiên là phức hợp CW.
• Đồ thị là phức hợp CW 1 chiều. Đồ thị hóa trị ba có thể được coi là chung phức hợp CW 1 chiều. Cụ thể, nếu X là phức hợp CW 1 chiều, bản đồ đính kèm cho ô 1 là bản đồ từ không gian hai điểm đến X
  ${ displaystyle f: {0,1 } to X}$

  . Bản đồ này có thể bị nhiễu loạn khi tách rời khỏi bộ xương 0 của X khi và chỉ khi

  ${ displaystyle f (0 )}$

  và

  ${ displaystyle f (1)}$

  không phải là đỉnh 0 hóa trị của X .

• Một không gian Hilbert vô hạn không phải là phức hợp CW: đó là không gian Baire và do đó không thể được viết thành một liên kết có thể đếm được của n -skeletons, mỗi bộ là một bộ kín với nội thất trống. Đối số này mở rộng ra nhiều không gian vô hạn khác.
• Thuật ngữ cho phức hợp CW 2 chiều chung là một bóng . ^[5]
• hình cầu thừa nhận cấu trúc CW có hai ô, một ô 0 và một ô n. Ở đây, tế bào n được đính kèm bởi ánh xạ không đổi từ
  ${ displaystyle S ^ {n-1}}$

  thành 0 ô. Có một sự phân rã tế bào thay thế phổ biến, kể từ khi đưa vào xích đạo

  ${ display ^ {n-1} to S ^ {n}}$

  có bổ sung hai quả bóng: hình cầu hemi trên và dưới. Theo cách tự nhiên, điều này mang lại cho

  ${ displaystyle S ^ {n}}$

  một phân tách CW với hai ô ở mọi chiều k sao cho

  ${ displaystyle 0 leq k leq n}$

  .

• Không gian chiếu thực tế hai chiều thừa nhận cấu trúc CW với một ô ở mỗi chiều.
• Đa tạp Grassmannian thừa nhận cấu trúc CW có tên là Các tế bào Schubert .
• Các loại đa tạp, đại số và phép chiếu khác nhau của các phức hợp CW.
• Sự nén chặt một điểm của một đa tạp hyperbol bị cắt có một phân rã CW chính tắc chỉ với một ô 0 (điểm nén) được gọi là Phân tích Epstein-Penner . Các phân tách tế bào như vậy thường được gọi là phân rã đa diện lý tưởng và được sử dụng trong các phần mềm máy tính phổ biến, chẳng hạn như SnapPea.
• Không gian
  

  có kiểu đồng âm của phức hợp CW (nó có thể hợp đồng) nhưng nó không thừa nhận sự phân hủy CW, vì nó không phải là hợp đồng cục bộ.

• Bông tai Hawaii là một ví dụ về một không gian tôpô không có kiểu đồng phân của phức hợp CW.

Homology và cohomology của các phức hợp CW [ chỉnh sửa ]

S tương đồng nội bào và cohomology của phức hợp CW có thể dễ dàng tính toán thông qua tương đồng tế bào. Hơn nữa, trong danh mục phức hợp CW và bản đồ di động, tương đồng tế bào có thể được hiểu là một lý thuyết tương đồng. Để tính toán một lý thuyết tương đồng (đồng) bất thường cho một phức hợp CW, chuỗi phổ Atiyah-Hirzebruch là tương tự của tương đồng tế bào.

Một số ví dụ:

• Đối với hình cầu,
  ${\displaystyle S^n}$

  phân hủy tế bào với hai ô: một ô 0 và một ô duy nhất n -cell. Tổ hợp chuỗi tương đồng tế bào

  ${ displaystyle C _ {*}}$

  và tương đồng được đưa ra bởi:

${ displaystyle C_ {k} = { started {case} mathbb {Z} & k in {0, n } 0 & k notin {0, n } end {case}} quad H_ {k} = { started {case} mathbb {Z} & k in {0, n } 0 & k notin { 0, n } end {case}}}$

vì tất cả các vi phân đều bằng không.

Ngoài ra, nếu chúng ta sử dụng phân rã xích đạo với hai ô ở mọi chiều

${ displaystyle C_ {k} = { started {case} mathbb {Z} ^ {2} & 0 leqslant k leqslant n 0 & { text {nếu không} } end {case}}}$

và các vi phân là các ma trận có dạng

${ displaystyle left ({ started {smallmatrix} 1 & -1 1 & -1 end {smallmatrix}} right).}$