Fabry-Pérot-Interferometer – Wikipedia

Posted on December 30, 2020 by lordneo

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In der Optik a Fabry-Pérot-Interferometer ((FPI) oder etalon ist ein optischer Hohlraum aus zwei parallel reflektierenden Oberflächen (dh dünnen Spiegeln). Optische Wellen können den optischen Hohlraum nur dann passieren, wenn sie mit ihm in Resonanz stehen. Es ist nach Charles Fabry und Alfred Perot benannt, die das Instrument 1899 entwickelten.^[1]^[2]^[3]Etalon ist aus dem Französischen étalonBedeutung “Messgerät” oder “Standard”.^[4]

Etalons werden häufig in der Telekommunikation, in Lasern und in der Spektroskopie verwendet, um die Wellenlängen von Licht zu steuern und zu messen. Jüngste Fortschritte in der Herstellungstechnik ermöglichen die Herstellung sehr präzise abstimmbarer Fabry-Pérot-Interferometer. Das Gerät ist technisch gesehen ein Interferometer, wenn der Abstand zwischen den beiden Oberflächen (und damit die Resonanzlänge) geändert werden kann, und ein Etalon, wenn der Abstand festgelegt ist (die beiden Begriffe werden jedoch häufig synonym verwendet).

Table of Contents

Grundlegende Beschreibung[edit]

Fabry-Pérot-Interferometer mit zwei teilweise reflektierenden, leicht verkeilten optischen Abflachungen. Der Keilwinkel ist in dieser Abbildung stark übertrieben; Tatsächlich ist nur ein Bruchteil eines Grades erforderlich, um Geisterstreifen zu vermeiden. Bilder mit niedriger und hoher Finesse entsprechen Spiegelreflexionsvermögen von 4% (blankes Glas) und 95%.

Das Herzstück des Fabry-Pérot-Interferometers sind zwei teilweise reflektierende optische Glasflächen, die im Abstand von Mikrometern bis Zentimetern angeordnet sind und deren reflektierende Oberflächen einander zugewandt sind. (Alternativ ein Fabry-Pérot etalon verwendet eine einzelne Platte mit zwei parallel reflektierenden Oberflächen.) Die Abflachungen in einem Interferometer sind häufig keilförmig ausgeführt, um zu verhindern, dass die hinteren Oberflächen Interferenzstreifen erzeugen. Die Rückseiten sind häufig auch mit einer Antireflexbeschichtung versehen.

In einem typischen System wird die Beleuchtung durch eine diffuse Quelle bereitgestellt, die in der Brennebene einer Kollimationslinse angeordnet ist. Eine Fokussierlinse nach dem Paar von Wohnungen würde ein invertiertes Bild der Quelle erzeugen, wenn die Wohnungen nicht vorhanden wären; Das gesamte von einem Punkt auf der Quelle emittierte Licht wird auf einen einzelnen Punkt in der Bildebene des Systems fokussiert. In der beigefügten Abbildung wird nur ein Strahl verfolgt, der von Punkt A auf der Quelle emittiert wird. Wenn der Strahl durch die gepaarten Ebenen geht, wird er mehrfach reflektiert, um mehrere durchgelassene Strahlen zu erzeugen, die von der Fokussierlinse gesammelt und auf den Punkt A ‘auf dem Bildschirm gebracht werden. Das vollständige Interferenzmuster sieht aus wie ein Satz konzentrischer Ringe. Die Schärfe der Ringe hängt vom Reflexionsvermögen der Wohnungen ab. Wenn das Reflexionsvermögen hoch ist, was zu einem hohen Q-Faktor führt, erzeugt monochromatisches Licht einen Satz schmaler heller Ringe vor einem dunklen Hintergrund. Ein Fabry-Pérot-Interferometer mit hohem Q soll hoch sein Finesse.

Anwendungen[edit]

Ein kommerzielles Fabry-Perot-Gerät

Telekommunikationsnetze, die Wellenlängenmultiplex verwenden, haben Add-Drop-Multiplexer mit Bänken aus miniaturisiertem Quarzglas oder Diamant-Etalons. Dies sind kleine schillernde Würfel mit einer Seitenlänge von etwa 2 mm, die in kleinen hochpräzisen Gestellen montiert sind. Die Materialien werden ausgewählt, um stabile Spiegel-zu-Spiegel-Abstände aufrechtzuerhalten und um stabile Frequenzen auch bei Temperaturschwankungen aufrechtzuerhalten. Diamant wird bevorzugt, weil er eine größere Wärmeleitung und dennoch einen niedrigen Ausdehnungskoeffizienten aufweist. Im Jahr 2005 begannen einige Telekommunikationsausrüstungsunternehmen, feste Etalons zu verwenden, die selbst optische Fasern sind. Dies beseitigt die meisten Montage-, Ausrichtungs- und Kühlungsschwierigkeiten.
Dichroitische Filter werden hergestellt, indem eine Reihe von Etalonic-Schichten durch Aufdampfen auf einer optischen Oberfläche abgeschieden werden. Diese optischen Filter haben normalerweise genauere Reflexions- und Durchlassbänder als Absorptionsfilter. Bei richtiger Auslegung laufen sie kühler als Absorptionsfilter, da sie unerwünschte Wellenlängen reflektieren können. Dichroitische Filter werden häufig in optischen Geräten wie Lichtquellen, Kameras, astronomischen Geräten und Lasersystemen verwendet.
Optische Wellenmesser und einige optische Spektrumanalysatoren verwenden Fabry-Pérot-Interferometer mit unterschiedlichen freien Spektralbereichen, um die Wellenlänge des Lichts mit großer Präzision zu bestimmen.
Laserresonatoren werden häufig als Fabry-Pérot-Resonatoren bezeichnet, obwohl bei vielen Lasertypen das Reflexionsvermögen eines Spiegels nahezu 100% beträgt, wodurch er einem Gires-Tournois-Interferometer ähnlicher wird. Halbleiterdiodenlaser verwenden manchmal eine echte Fabry-Pérot-Geometrie, da es schwierig ist, die Endfacetten des Chips zu beschichten. Quantenkaskadenlaser verwenden häufig Fabry-Pérot-Hohlräume, um das Lasern aufrechtzuerhalten, ohne dass aufgrund der hohen Verstärkung des aktiven Bereichs Facettenbeschichtungen erforderlich sind.^[5]
Etalons werden häufig im Laserresonator platziert, wenn Einmodenlaser konstruiert werden. Ohne Etalon erzeugt ein Laser im Allgemeinen Licht über einen Wellenlängenbereich, der einer Reihe von Hohlraummoden entspricht, die den Fabry-Pérot-Moden ähnlich sind. Das Einsetzen eines Etalons in den Laserresonator mit gut gewählter Finesse und freiem Spektralbereich kann alle Hohlraummoden bis auf einen unterdrücken und somit den Betrieb des Lasers von Multimode zu Single-Mode ändern.
Fabry-Pérot-Etalons können verwendet werden, um die Wechselwirkungslänge bei Laserabsorptionsspektrometrie-, insbesondere Hohlraum-Ring-Down-Techniken zu verlängern.
Ein Fabry-Pérot-Etalon kann verwendet werden, um ein Spektrometer herzustellen, das den Zeeman-Effekt beobachten kann, wobei die Spektrallinien viel zu nahe beieinander liegen, um mit einem normalen Spektrometer unterschieden zu werden.
In der Astronomie wird ein Etalon verwendet, um einen einzelnen Atomübergang für die Bildgebung auszuwählen. Am häufigsten ist die H-Alpha-Linie der Sonne. Die Ca-K-Linie von der Sonne wird üblicherweise auch unter Verwendung von Etalons abgebildet.
Der Methansensor für den Mars (MSM) an Bord der indischen Mangalyaan ist ein Beispiel für ein Fabry-Perot-Instrument. Es war das erste Fabry Perot-Instrument im Weltraum, als Mangalyaan startete.^[6] Da die von Methan absorbierte Strahlung nicht von der von Kohlendioxid und anderen Gasen absorbierten Strahlung unterschieden wurde, wurde sie später als Albedo-Mapper bezeichnet.^[7]
Bei der Detektion von Gravitationswellen wird ein Fabry-Pérot-Hohlraum verwendet Geschäft Photonen für fast eine Millisekunde, während sie zwischen den Spiegeln auf und ab springen. Dies erhöht die Zeit, in der eine Gravitationswelle mit dem Licht interagieren kann, was zu einer besseren Empfindlichkeit bei niedrigen Frequenzen führt. Dieses Prinzip wird von Detektoren wie LIGO und Virgo angewendet, die aus einem Michelson-Interferometer mit einem Fabry-Pérot-Hohlraum mit einer Länge von mehreren Kilometern in beiden Armen bestehen. Kleinere Hohlräume, normalerweise genannt Modusreinigerwerden zur räumlichen Filterung und Frequenzstabilisierung des Hauptlasers verwendet.

Resonatorverluste, ausgekoppeltes Licht, Resonanzfrequenzen und Spektrallinienformen[edit]

Die spektrale Antwort eines Fabry-Pérot-Resonators basiert auf einer Interferenz zwischen dem in ihn eingebrachten Licht und dem im Resonator zirkulierenden Licht. Konstruktive Interferenzen treten auf, wenn die beiden Strahlen in Phase sind, was zu einer resonanten Verstärkung des Lichts im Resonator führt. Wenn die beiden Strahlen phasenverschoben sind, wird nur ein kleiner Teil des abgegebenen Lichts im Resonator gespeichert. Das gespeicherte, durchgelassene und reflektierte Licht ist im Vergleich zum einfallenden Licht spektral modifiziert.

Angenommen, ein Fabry-Pérot-Resonator mit zwei Spiegeln und geometrischer Länge

{ displaystyle ell}

$ell$ , homogen gefüllt mit einem Medium mit Brechungsindex

{ displaystyle n}

$n$ . Bei normalem Einfall wird Licht in den Resonator eingeleitet. Die Hin- und Rückfahrt

{ displaystyle t _ { rm {RT}}}

${ displaystyle t _ { rm {RT}}}$ von Licht, das sich im Resonator mit Geschwindigkeit bewegt

{ displaystyle c = c_ {0} / n}

${ displaystyle c = c_ {0} / n}$ , wo

{ displaystyle c_ {0}}

$c_ {0}$ ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und der freie Spektralbereich

{ displaystyle Delta nu _ { rm {FSR}}}

${ displaystyle Delta nu _ { rm {FSR}}}$ sind gegeben durch

{ displaystyle t _ { rm {RT}} = { frac {1} { Delta nu _ { rm {FSR}}} = { frac {2 ell} {c}}.}

Das Reflexionsvermögen des elektrischen Feldes und der Intensität

{ displaystyle r_ {i}}

$r_ {i}$ und

{ displaystyle R_ {i}}

$R_ {i}$ jeweils am Spiegel

{ displaystyle i}

$ich$ sind

{ displaystyle | r_ {i} | ^ {2} = R_ {i}.}

Wenn keine anderen Resonatorverluste auftreten, wird der Abfall der Lichtintensität pro Umlauf durch die Konstante der Auskopplungsabklingrate quantifiziert

{ displaystyle 1 / tau _ { rm {out}},}

${ displaystyle 1 / tau _ { rm {out}},}$

{ displaystyle R_ {1} R_ {2} = e ^ {- t _ { rm {RT}} / tau _ { rm {out}}},}

und die Photonenzerfallszeit

{ displaystyle tau _ {c}}

$tau_c$ des Resonators ist dann gegeben durch^[8]

{ displaystyle { frac {1} { tau _ {c}}} = { frac {1} { tau _ { rm {out}}} = { frac {- ln {(R_ { 1} R_ {2})}} {t _ { rm {RT}}}.}

Mit

{ displaystyle phi ( nu)}

${ displaystyle phi ( nu)}$ Quantifizierung der Single-Pass-Phasenverschiebung, die Licht bei der Ausbreitung von einem Spiegel zum anderen zeigt, der Round-Trip-Phasenverschiebung bei der Frequenz

{ displaystyle nu}

$nu$ sammelt sich zu^[8]

{ displaystyle 2 phi ( nu) = 2 pi nu t _ { rm {RT}}.}

Resonanzen treten bei Frequenzen auf, bei denen Licht nach einer Rundreise konstruktive Interferenzen zeigt. Jeder Resonatormodus mit seinem Modusindex

{ displaystyle q}

$q$ , wo

{ displaystyle q}

$q$ ist eine Ganzzahl im Intervall [

{displaystyle -infty }

${displaystyle -infty }$ , …, −1, 0, 1, …,

{displaystyle infty }

$infty$ ]ist mit einer Resonanzfrequenz verbunden

{ displaystyle nu _ {q}}

${ displaystyle nu _ {q}}$ und Wellenzahl

{ displaystyle k_ {q}}

${ displaystyle k_ {q}}$ ,

{ displaystyle nu _ {q} = q Delta nu _ { rm {FSR}} Rightarrow k_ {q} = { frac {2 pi q Delta nu _ { rm {FSR}} } {c}}.}

Zwei Modi mit entgegengesetzten Werten

{ displaystyle pm q}

${ displaystyle pm q}$ und

{ displaystyle pm k}

${ displaystyle pm k}$ des Modalindex bzw. der Wellenzahl, die physikalisch entgegengesetzte Ausbreitungsrichtungen darstellen, treten bei demselben absoluten Wert auf

{ displaystyle left | nu _ {q} right |}

${ displaystyle left | nu _ {q} right |}$ Der Häufigkeit.^[9]

Das abklingende elektrische Feld bei Frequenz

{ displaystyle nu _ {q}}

${ displaystyle nu _ {q}}$ wird durch eine gedämpfte harmonische Schwingung mit einer Anfangsamplitude von dargestellt

{ displaystyle E_ {q, s}}

${ displaystyle E_ {q, s}}$ und eine Abklingzeitkonstante von

{ displaystyle 2 tau _ {c}}

${ displaystyle 2 tau _ {c}}$ . In der Zeiger-Notation kann es ausgedrückt werden als^[8]

{ displaystyle { tilde { gamma}} _ {q} ( nu) = { frac {1} { tau _ {c}}} left | { frac {{ tilde {E}} _ {q} ( nu)} {E_ {q, s}}} right | ^ {2} = { frac {1} { tau _ {c}}} { frac {1} {(2 tau _ {c}) ^ {- 2} +4 pi ^ {2} ( nu – nu _ {q}) ^ {2}}},}

dessen Frequenzintegral ist Einheit. Einführung der FWHM-Linienbreite (Full-Width-at-Half-Maximum)

{ displaystyle Delta nu _ {c}}

${ displaystyle Delta nu _ {c}}$ der Lorentzschen Spektrallinienform erhalten wir

{ displaystyle Delta nu _ {c} = { frac {1} {2 pi tau _ {c}}} Rightarrow { tilde { gamma}} _ {q} ( nu) = { frac {1} { pi}} { frac { Delta nu _ {c} / 2} {( Delta nu _ {c} / 2) ^ {2} + ( nu – nu _ {q}) ^ {2}}} = { frac {2} { pi}} { frac { Delta nu _ {c}} {( Delta nu _ {c}) ^ {2} +4 ( nu – nu _ {q}) ^ {2}}},}

ausgedrückt entweder als Linienbreite mit halber Breite bei halbem Maximum (HWHM)

{ displaystyle Delta nu _ {c} / 2}

${ displaystyle Delta nu _ {c} / 2}$ oder die FWHM-Linienbreite

{ displaystyle Delta nu _ {c}}

${ displaystyle Delta nu _ {c}}$ . Auf eine maximale Höhe der Einheit kalibriert, erhalten wir die Lorentzschen Linien:

{ displaystyle gamma _ {q, L} ( nu) = { frac { pi} {2}} Delta nu _ {c} { tilde { gamma}} _ {q} ( nu ) = { frac {( Delta nu _ {c} / 2) ^ {2}} {( Delta nu _ {c} / 2) ^ {2} + ( nu – nu _ {q }) ^ {2}}} = { frac {( Delta nu _ {c}) ^ {2}} {( Delta nu _ {c}) ^ {2} +4 ( nu – nu _ {q}) ^ {2}}}.}

Bei Wiederholung der obigen Fourier-Transformation für alle Modi mit Modusindex

{ displaystyle q}

$q$ im Resonator erhält man das volle Modenspektrum des Resonators.

Da die Linienbreite

{ displaystyle Delta nu _ {c}}

${ displaystyle Delta nu _ {c}}$ und der freie Spektralbereich

{ displaystyle Delta nu _ { rm {FSR}}}

${ displaystyle Delta nu _ { rm {FSR}}}$ sind frequenzunabhängig, während im Wellenlängenraum die Linienbreite nicht richtig definiert werden kann und der freie Spektralbereich von der Wellenlänge abhängt und da die Resonanzfrequenzen

{ displaystyle nu _ {q}}

${ displaystyle nu _ {q}}$ Skala proportional zur Frequenz, die spektrale Antwort eines Fabry-Pérot-Resonators wird natürlich analysiert und im Frequenzraum angezeigt.

Generische Luftverteilung: Der interne Resonanzverstärkungsfaktor[edit]

Elektrische Felder in einem Fabry-Pérot-Resonator.^[8] Die Reflexionsgrade der elektrischen Feldspiegel sind

{ displaystyle r_ {1}}

Die Reaktion des Fabry-Pérot-Resonators auf ein auf Spiegel 1 einfallendes elektrisches Feld wird durch mehrere Airy-Verteilungen (benannt nach dem Mathematiker und Astronomen George Biddell Airy) beschrieben, die die Lichtintensität in Ausbreitungsrichtung vorwärts oder rückwärts an verschiedenen Positionen innerhalb oder außerhalb quantifizieren der Resonator entweder in Bezug auf die Intensität des eingebrachten oder des einfallenden Lichts. Die Reaktion des Fabry-Pérot-Resonators lässt sich am einfachsten mithilfe des Zirkulationsfeldansatzes ableiten.^[10] Dieser Ansatz nimmt einen stationären Zustand an und bezieht die verschiedenen elektrischen Felder miteinander (siehe Abbildung) “Elektrische Felder in einem Fabry-Pérot-Resonator”).

Das Feld

{ displaystyle E _ { rm {circ}}}

${ displaystyle E _ { rm {circ}}}$ kann auf das Feld bezogen werden

{ displaystyle E _ { rm {laun}}}

${ displaystyle E _ { rm {laun}}}$ das wird in den Resonator von gestartet

{ displaystyle E _ { rm {circ}} = E _ { rm {laun}} + E _ { rm {RT}} = E _ { rm {laun}} + r_ {1} r_ {2} e ^ { -i2 phi} E _ { rm {circ}} Rightarrow { frac {E _ { rm {circ}} {E _ { rm {laun}}} = { frac {1} {1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 phi}}}.}

Die generische Airy-Verteilung, die ausschließlich die physikalischen Prozesse berücksichtigt, die das Licht im Resonator zeigt, ergibt sich dann aus der Intensität, die im Resonator im Verhältnis zur ausgelösten Intensität zirkuliert.^[8]

{ displaystyle A _ { rm {circ}} = { frac {I _ { rm {circ}}} {I _ { rm {laun}}} = { frac { left | E _ { rm {circ }} right | ^ {2}} { left | E _ { rm {laun}} right | ^ {2}}} = { frac {1} { left | 1-r_ {1} r_ { 2} e ^ {- i2 phi} right | ^ {2}}} = { frac {1} { left ({1 – { sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} right ) ^ {2} +4 { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} sin ^ {2} ( phi)}}.}

{ displaystyle A _ { rm {circ}}}

${ displaystyle A _ { rm {circ}}}$ stellt die spektral abhängige interne Resonanzverstärkung dar, die der Resonator dem in ihn eingebrachten Licht liefert (siehe Abbildung) “Resonanzverstärkung in einem Fabry-Pérot-Resonator”). Bei den Resonanzfrequenzen

{ displaystyle nu _ {q}}

${ displaystyle nu _ {q}}$ , wo

{ displaystyle sin ( phi)}

${ displaystyle sin ( phi)}$ gleich Null ist der interne Resonanzverstärkungsfaktor

{ displaystyle A _ { rm {circ}} ( nu _ {q}) = { frac {1} { left (1 – { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} right) ^ {2}}}.}

Andere Airy-Distributionen[edit]

Sobald die interne Resonanzverbesserung, die generische Airy-Verteilung, festgelegt ist, können alle anderen Airy-Verteilungen durch einfache Skalierungsfaktoren abgeleitet werden.^[8] Da die in den Resonator eingebrachte Intensität gleich dem durchgelassenen Anteil der auf Spiegel 1 einfallenden Intensität ist,

{ displaystyle I _ { text {laun}} = left (1-R_ {1} right) I _ { text {inc}},}

und die Intensitäten, die durch den Spiegel 2 übertragen, am Spiegel 2 reflektiert und durch den Spiegel 1 übertragen werden, sind die übertragenen und reflektierten / übertragenen Anteile der Intensität, die innerhalb des Resonators zirkulieren,

{ displaystyle { begin {align} I _ { text {trans}} & = left (1-R_ {2} right) I _ { text {circ}}, \ I _ { text {b-circ }} & = R_ {2} I _ { text {circ}}, \ I _ { text {back}} & = left (1-R_ {1} right) I _ { text {b-circ} }, end {align}}}

jeweils die anderen Airy-Distributionen

{ displaystyle A}

$EIN$ in Bezug auf die Intensität gestartet

{ displaystyle I _ { text {laun}}}

${ displaystyle I _ { text {laun}}}$ und

{ displaystyle A ^ { prime}}

${ displaystyle A ^ { prime}}$ in Bezug auf die Intensität des Vorfalls

{ displaystyle I _ { text {inc}}}

${ displaystyle I _ { text {inc}}}$ sind^[8]

{ displaystyle { begin {align} A _ { text {circ}} & = { frac {1} {R_ {2}}} A _ { text {b-circ}} = { frac {1} { R_ {1} R_ {2}}} A _ { text {RT}} = { frac {1} {1-R_ {2}}} A _ { text {trans}} = { frac {1} { (1-R_ {1}) R_ {2}}} A _ { text {back}} = { frac {1} {1-R_ {1} R_ {2}}} A _ { text {emit}} , \ A _ { text {circ}} ‘& = { frac {1} {R_ {2}}} A _ { text {b-circ}}’ = { frac {1} {R_ {1} R_ {2}}} A _ { text {RT}} ‘= { frac {1} {1-R_ {2}}} A _ { text {trans}}’ = { frac {1} {(1 -R_ {1}) R_ {2}}} A _ { text {back}} ‘= { frac {1} {1-R_ {1} R_ {2}}} A _ { text {emit}}’ , \ A _ { text {circ}} ‘& = left (1-R_ {1} right) A _ { text {circ}}. End {align}}}

Der Index “emittieren” bezeichnet luftige Verteilungen, die die Summe der auf beiden Seiten des Resonators emittierten Intensitäten berücksichtigen.

Die rückübertragene Intensität

{ displaystyle I _ { text {back}}}

${ displaystyle I _ { text {back}}}$ kann nicht gemessen werden, da auch das anfänglich zurückreflektierte Licht zum sich rückwärts ausbreitenden Signal beiträgt. Der messbare Fall der Intensität, die sich aus der Interferenz beider sich rückwärts ausbreitenden elektrischen Felder ergibt, führt zur Luftverteilung^[8]

{ displaystyle A _ { text {refl}} ^ { prime} = { frac {I _ { text {refl}}} {I _ { text {inc}}} = { frac { left | E_ { text {refl}} right | ^ {2}} { left | E _ { text {inc}} right | ^ {2}}} = { frac { left ({{ sqrt {R_ {1}}} – { sqrt {R_ {2}}}} right) ^ {2} +4 { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} sin ^ {2} ( phi) } { left ({1 – { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} right) ^ {2} +4 { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} sin ^ { 2} ( phi)}}.}

Es kann leicht gezeigt werden, dass in einem Fabry-Pérot-Resonator trotz des Auftretens konstruktiver und destruktiver Interferenzen Energie bei allen Frequenzen erhalten bleibt:

{ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime} + A _ { text {refl}} ^ { prime} = { frac {I _ { text {trans}} + I _ { text {refl }}} {I _ { text {inc}}}} = 1.}

Der externe Resonanzverstärkungsfaktor (siehe Abbildung “Resonanzverstärkung in einem Fabry-Pérot-Resonator”) ist^[8]

{ displaystyle A _ { text {circ}} ^ { prime} = { frac {I _ { text {circ}}} {I _ { text {inc}}} = (1-R_ {1}) A _ { text {circ}} = { frac {1-R_ {1}} { left ({1 – { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} right) ^ {2} + 4 { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} sin ^ {2} ( phi)}}.}

Bei den Resonanzfrequenzen

{ displaystyle nu _ {q}}

${ displaystyle nu _ {q}}$ , wo

{ displaystyle sin ( phi)}

${ displaystyle sin ( phi)}$ gleich Null ist der externe Resonanzverstärkungsfaktor

{ displaystyle A _ { text {circ}} ^ { prime} ( nu _ {q}) = { frac {1-R_ {1}} { left (1 – { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} right) ^ {2}}}.}

Luftige Verteilung

{ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime}}

Normalerweise wird Licht durch einen Fabry-Pérot-Resonator übertragen. Daher ist eine häufig angewandte Airy-Verteilung^[8]

{ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime} = { frac {I _ { text {trans}}} {I _ { text {inc}}} = (1-R_ {1}) (1-R_ {2}) A _ { text {circ}} = { frac {(1-R_ {1}) (1-R_ {2})} { left ({1 – { sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} right) ^ {2} +4 { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} sin ^ {2} ( phi)}}.}

Es beschreibt die Fraktion

{ displaystyle I _ { text {trans}}}

${ displaystyle I _ { text {trans}}}$ der Intensität

{ displaystyle I _ { text {inc}}}

${ displaystyle I _ { text {inc}}}$ einer auf den Spiegel 1 einfallenden Lichtquelle, die durch den Spiegel 2 übertragen wird (siehe Abbildung) “Luftige Verteilung

{ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime}}

${ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime}}$ “). Sein Spitzenwert bei den Resonanzfrequenzen

{ displaystyle nu _ {q}}

${ displaystyle nu _ {q}}$ ist

{ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime} ( nu _ {q}) = { frac {(1-R_ {1}) (1-R_ {2})} { left ( {1 – { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} right) ^ {2}}}.}

Zum

{ displaystyle R_ {1} = R_ {2}}

${ displaystyle R_ {1} = R_ {2}}$ der Spitzenwert ist gleich Eins, dh alles auf den Resonator einfallende Licht wird übertragen; folglich wird kein Licht reflektiert,

{ displaystyle A _ { text {refl}} ^ { prime} = 0}

${ displaystyle A _ { text {refl}} ^ { prime} = 0}$ infolge destruktiver Interferenz zwischen den Feldern

{ displaystyle E _ {{ text {refl}}, 1}}

${ displaystyle E _ {{ text {refl}}, 1}}$ und

{ displaystyle E _ { text {back}}}

${ displaystyle E _ { text {back}}}$ .

{ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime}}

${ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime}}$ wurde im Zirkulationsfeldansatz abgeleitet^[10] unter Berücksichtigung einer zusätzlichen Phasenverschiebung von

{ displaystyle e ^ {i pi / 2}}

${ displaystyle e ^ {i pi / 2}}$ während jeder Übertragung durch einen Spiegel,

{ displaystyle { begin {align} E _ { text {circ}} & = it_ {1} E _ { text {inc}} + r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 phi} E_ { text {circ}} Rightarrow { frac {E _ { text {circ}}} {E _ { text {inc}}} = { frac {it_ {1}} {1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 phi}}}, \ E _ { text {trans}} & = it_ {2} E _ { text {circ}} e ^ {- i phi} Rightarrow { frac {E _ { text {trans}}} {E _ { text {inc}}} = { frac {-t_ {1} t_ {2} e ^ {- i phi}} {1-r_ { 1} r_ {2} e ^ {- i2 phi}}}, end {align}}}

ergebend

{ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime} = { frac {I _ { text {trans}}} {I _ { text {inc}}} = { frac { left | E_ { text {trans}} right | ^ {2}} { left | E _ { text {inc}} right | ^ {2}}} = { frac { left | -t_ {1} t_ {2} e ^ {- i phi} rechts | ^ {2}} { links | 1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 phi} rechts | ^ {2}}} = { frac {(1-R_ {1}) (1-R_ {2})} { left ({1 – { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} right) ^ {2 } +4 { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} sin ^ {2} ( phi)}}.}

Alternative,

{ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime}}

${ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime}}$ kann über den Round-Trip-Decay-Ansatz erhalten werden^[11] durch Verfolgung der unendlichen Anzahl von Umläufen, die das einfallende elektrische Feld

{ displaystyle E _ { text {inc}}}

${ displaystyle E _ { text {inc}}}$ Exponate nach Eintritt in den Resonator und Akkumulation des elektrischen Feldes

{ displaystyle E _ { text {trans}}}

${ displaystyle E _ { text {trans}}}$ in allen Rundreisen übertragen. Das nach der ersten Ausbreitung übertragene Feld und die nach jeder aufeinanderfolgenden Ausbreitung durch den Resonator übertragenen immer kleineren Felder sind

{ displaystyle { begin {align} E _ { text {trans, 1}} & = E _ { text {inc}} it_ {1} it_ {2} e ^ {- i phi} = – E _ { text {inc}} t_ {1} t_ {2} e ^ {- i phi}, \ E _ {{ text {trans}}, m + 1} & = E _ {{ text {trans}}, m} r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 phi}, end {align}}}

beziehungsweise. Ausnutzen

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} x ^ {m} = { frac {1} {1-x}} Rightarrow E _ { text {trans}} = sum _ {m = 1} ^ { infty} E _ {{ text {trans}}, m} = E _ { text {inc}} { frac {-t_ {1} t_ {2} e ^ {- i phi} } {1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 phi}}}

führt zu dem gleichen

{ displaystyle E _ { text {trans}} / E _ { text {inc}}}

${ displaystyle E _ { text {trans}} / E _ { text {inc}}}$ wie oben, daher die gleiche Airy-Verteilung

{ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime}}

${ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime}}$ leitet ab. Dieser Ansatz ist jedoch physikalisch irreführend, da davon ausgegangen wird, dass eine Interferenz zwischen den ausgekoppelten Strahlen nach dem Spiegel 2 außerhalb des Resonators und nicht zwischen den abgegebenen und zirkulierenden Strahlen nach dem Spiegel 1 innerhalb des Resonators stattfindet. Da es die Interferenz ist, die den Spektralinhalt modifiziert, wäre die spektrale Intensitätsverteilung innerhalb des Resonators dieselbe wie die einfallende spektrale Intensitätsverteilung, und es würde keine Resonanzverstärkung innerhalb des Resonators auftreten.

Luftige Verteilung als Summe von Modenprofilen[edit]

Physikalisch ist die Airy-Verteilung die Summe der Modenprofile der longitudinalen Resonatormoden.^[8] Ausgehend vom elektrischen Feld

{ displaystyle E_ {circ}}

${ displaystyle E_ {circ}}$ Wenn man im Resonator zirkuliert, betrachtet man den exponentiellen zeitlichen Abfall dieses Feldes durch beide Spiegel des Resonators. Fourier transformiert ihn in den Frequenzraum, um die normalisierten Spektrallinienformen zu erhalten

{ displaystyle { tilde { gamma}} _ {q} ( nu)}

${ displaystyle { tilde { gamma}} _ {q} ( nu)}$ , teilt es durch die Hin- und Rückfahrtzeit

{ displaystyle t _ { rm {RT}}}

${ displaystyle t _ { rm {RT}}}$ um zu berücksichtigen, wie die gesamte Intensität des zirkulierenden elektrischen Feldes im Resonator in Längsrichtung verteilt und pro Zeiteinheit herausgekoppelt wird, was zu den emittierten Modenprofilen führt,

{ displaystyle gamma _ {q, { rm {emit}}} ( nu) = { frac {1} {t _ { rm {RT}}} { tilde { gamma}} _ {q } ( nu),}

und summiert dann über die emittierten Modenprofile aller longitudinalen Moden^[8]

{ displaystyle sum _ {q = – infty} ^ { infty} gamma _ {q, { rm {emit}}} ( nu) = { frac {1-R_ {1} R_ {2 }} { left ({1 – { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} right) ^ {2} +4 { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} sin ^ {2} ( phi)}} = A _ { rm {emit}},}

Dies entspricht der Airy-Verteilung

{ displaystyle A _ { rm {emit}}}

${ displaystyle A _ { rm {emit}}}$ .

Dieselben einfachen Skalierungsfaktoren, die die Beziehungen zwischen den einzelnen Airy-Verteilungen liefern, liefern auch die Beziehungen zwischen

{ displaystyle gamma _ {q, { rm {emit}}} ( nu)}

${ displaystyle gamma _ {q, { rm {emit}}} ( nu)}$ und die anderen Modusprofile:^[8]

{ displaystyle gamma _ {q, { rm {circ}}} = { frac {1} {R_ {2}}} gamma _ {q, { text {b-circ}}} = { frac {1} {R_ {1} R_ {2}}} gamma _ {q, { rm {RT}}} = { frac {1} {1-R_ {2}}} gamma _ {q , { rm {trans}}} = { frac {1} {(1-R_ {1}) R_ {2}}} gamma _ {q, { rm {back}}} = { frac { 1} {1-R_ {1} R_ {2}}} gamma _ {q, { rm {emit}}},}

{ displaystyle gamma _ {q, { rm {circ}}} ^ { prime} = { frac {1} {R_ {2}}} gamma _ {q, { text {b-circ} }} ^ { prime} = { frac {1} {R_ {1} R_ {2}}} gamma _ {q, { rm {RT}}} ^ { prime} = { frac {1 } {1-R_ {2}}} gamma _ {q, { rm {trans}}} ^ { prime} = { frac {1} {(1-R_ {1}) R_ {2}} } gamma _ {q, { rm {back}}} ^ { prime} = { frac {1} {1-R_ {1} R_ {2}}} gamma _ {q, { rm { emit}}} ^ { prime},}

{ displaystyle gamma _ {q, { rm {circ}}} ^ { prime} = (1-R_ {1}) gamma _ {q, { rm {circ}}}.}

Charakterisierung des Fabry-Pérot-Resonators: Lorentzsche Linienbreite und Finesse[edit]

Das Taylor-Kriterium der spektralen Auflösung schlägt vor, dass zwei Spektrallinien aufgelöst werden können, wenn sich die einzelnen Linien mit halber Intensität kreuzen. Wenn Licht in den Fabry-Pérot-Resonator eingeleitet wird, kann durch Messen der Airy-Verteilung der Gesamtverlust des Fabry-Pérot-Resonators durch Neuberechnung der Lorentzschen Linienbreite abgeleitet werden

{ displaystyle Delta nu _ {c}}

${ displaystyle Delta nu _ {c}}$ , angezeigt (blaue Linie) relativ zum freien Spektralbereich in der Abbildung “Lorentzsche Linienbreite und Finesse versus Airy-Linienbreite und Finesse eines Fabry-Pérot-Resonators”.

Die zugrunde liegenden Lorentzschen Linien können aufgelöst werden, solange das Taylor-Kriterium eingehalten wird (siehe Abbildung) “Die physikalische Bedeutung der Lorentzschen Finesse”). Folglich kann man die Lorentzsche Finesse eines Fabry-Pérot-Resonators definieren:^[8]

{ displaystyle { mathcal {F}} _ {c} = { frac { Delta nu _ { rm {FSR}}} { Delta nu _ {c}}} = { frac {2 pi} {- ln (R_ {1} R_ {2})}}.}

Es wird in der Abbildung als blaue Linie angezeigt “Die physikalische Bedeutung der Lorentzschen Finesse”. Die Lorentzsche Finesse

{ displaystyle { mathcal {F}} _ {c}}

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {c}}$ hat eine grundlegende physikalische Bedeutung: Sie beschreibt, wie gut die der Airy-Verteilung zugrunde liegenden Lorentz-Linien bei der Messung der Airy-Verteilung aufgelöst werden können. An dem Punkt, an dem

{ displaystyle Delta nu _ {c} = Delta nu _ { rm {FSR}} Rightarrow R_ {1} R_ {2} = e ^ {- 2 pi} ca. 0,001867,}

gleichwertig

{ displaystyle { mathcal {F}} _ {c} = 1}

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {c} = 1}$ ist das Taylor-Kriterium für die spektrale Auflösung einer einzelnen Airy-Verteilung erreicht. Unter diesem Punkt

{ displaystyle { mathcal {F}} _ {c} <1}

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {c}<1}$ können zwei Spektrallinien nicht unterschieden werden. Bei gleichen Spiegelreflexionsgraden tritt dieser Punkt auf, wenn

{ displaystyle R_ {1} = R_ {2} ca. 4,32 %}

${ displaystyle R_ {1} = R_ {2} ca. 4,32 %}$ . Daher kann die Linienbreite der Lorentzschen Linien, die der Airy-Verteilung eines Fabry-Pérot-Resonators zugrunde liegen, durch Messen der Airy-Verteilung aufgelöst werden, sodass die Resonatorverluste bis zu diesem Punkt spektroskopisch bestimmt werden können.

Scannen des Fabry-Pérot-Resonators: Luftige Linienbreite und Finesse[edit]

Beispiel eines Fabry-Pérot-Resonators mit (oben) frequenzabhängigem Spiegelreflexionsvermögen und (unten) den resultierenden verzerrten Modenprofilen

{ displaystyle gamma _ {q, { rm {trans}}} ^ { prime}}

Wenn der Fabry-Pérot-Resonator als Abtastinterferometer verwendet wird, dh bei variierender Resonatorlänge (oder Einfallswinkel), kann man Spektrallinien bei verschiedenen Frequenzen innerhalb eines freien Spektralbereichs spektroskopisch unterscheiden. Mehrere Airy-Distributionen

{ displaystyle A _ { rm {trans}} ^ { prime} ( nu)}

${ displaystyle A _ { rm {trans}} ^ { prime} ( nu)}$ muss jeweils durch eine einzelne Spektrallinie erzeugt werden. Daher wird die Airy-Verteilung zur zugrunde liegenden Grundfunktion und die Messung liefert eine Summe der Airy-Verteilungen. Die Parameter, die diese Situation richtig quantifizieren, sind die Airy-Linienbreite

{ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}}}

${ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}}}$ und die luftige Finesse

{ displaystyle { mathcal {F}} _ { rm {Airy}}}

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { rm {Airy}}}$ . Die FWHM-Linienbreite

{ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}}}

${ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}}}$ der Airy-Distribution

{ displaystyle A _ { rm {trans}} ^ { prime} ( nu)}

${ displaystyle A _ { rm {trans}} ^ { prime} ( nu)}$ ist^[8]

{ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}} = Delta nu _ { rm {FSR}} { frac {2} { pi}} arcsin left ({ frac {1- { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} {2 { sqrt[{4}]{R_ {1} R_ {2}}}}} right).}

Die Airy-Linienbreite

{ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}}}

${ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}}}$ wird in der Abbildung als grüne Kurve angezeigt “Lorentzsche Linienbreite und Finesse versus Airy-Linienbreite und Finesse eines Fabry-Pérot-Resonators”.

Das Konzept der Definition der Linienbreite der Airy-Peaks bei FWHM bricht zusammen

{ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}} = Delta nu _ { rm {FSR}}}

${ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}} = Delta nu _ { rm {FSR}}}$ (durchgezogene rote Linie in der Abbildung “Luftige Verteilung

{ displaystyle A _ { rm {trans}} ^ { prime}}

${ displaystyle A _ { rm {trans}} ^ { prime}}$ “), weil zu diesem Zeitpunkt die Airy-Linienbreite sofort auf einen unendlichen Wert für springt

{ displaystyle arcsin}

${ displaystyle arcsin}$ Funktion. Für niedrigere Reflektivitätswerte von

{ displaystyle R_ {1} R_ {2}}

${ displaystyle R_ {1} R_ {2}}$ ist die FWHM-Linienbreite der Airy-Peaks undefiniert. Der Grenzfall tritt bei auf

{ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}} = Delta nu _ { rm {FSR}} Rightarrow { frac {1 – { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} } {2 { sqrt[{4}]{R_ {1} R_ {2}}}} = 1 Rightarrow R_ {1} R_ {2} ca. 0,02944.}

Bei gleichen Spiegelreflexionsgraden ist dieser Punkt erreicht, wenn

{ displaystyle R_ {1} = R_ {2} ca. 17,2 %}

${ displaystyle R_ {1} = R_ {2} ca. 17,2 %}$ (durchgezogene rote Linie in der Abbildung “Luftige Verteilung

{ displaystyle A _ { rm {trans}} ^ { prime}}

${ displaystyle A _ { rm {trans}} ^ { prime}}$ “).

Die Finesse der Airy-Verteilung eines Fabry-Pérot-Resonators, die in der Abbildung als grüne Kurve dargestellt ist “Lorentzsche Linienbreite und Finesse versus Airy-Linienbreite und Finesse eines Fabry-Pérot-Resonators” im direkten Vergleich mit der Lorentzschen Finesse

{ displaystyle { mathcal {F}} _ {c}}

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {c}}$ , ist definiert als^[8]

{ displaystyle { mathcal {F}} _ { rm {Airy}} = { frac { Delta nu _ { rm {FSR}}} { Delta nu _ { rm {Airy}}} } = { frac { pi} {2}} left[arcsin left({frac {1-{sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{sqrt[{4}]{R_ {1} R_ {2}}}} right) right]^ {- 1}.}

Beim Scannen der Länge des Fabry-Pérot-Resonators (oder des Einfallswinkels) quantifiziert die Airy-Finesse die maximale Anzahl von Airy-Verteilungen, die durch Licht bei einzelnen Frequenzen erzeugt werden

{ displaystyle nu _ {m}}

${ displaystyle nu _ {m}}$ innerhalb des freien Spektralbereichs des Fabry-Pérot-Resonators, dessen benachbarte Peaks spektroskopisch eindeutig unterschieden werden können, dh sie überlappen sich bei ihrer FWHM nicht (siehe Abbildung) “Die physikalische Bedeutung der Airy-Finesse”). Diese Definition der Airy-Finesse stimmt mit dem Taylor-Kriterium der Auflösung eines Spektrometers überein. Da bricht das Konzept der FWHM-Linienbreite bei zusammen

{ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}} = Delta nu _ { rm {FSR}}}

${ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}} = Delta nu _ { rm {FSR}}}$ Folglich ist die Airy-Finesse nur bis definiert

{ displaystyle { mathcal {F}} _ { rm {Airy}} = 1}

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { rm {Airy}} = 1}$ siehe die Abbildung “Lorentzsche Linienbreite und Finesse versus Airy-Linienbreite und Finesse eines Fabry-Pérot-Resonators”.

Oft die unnötige Annäherung

{ displaystyle sin {( phi)} approx phi}

${ displaystyle sin {( phi)} approx phi}$ wird gemacht, wenn abgeleitet von

{ displaystyle A _ { rm {trans}} ^ { prime}}

${ displaystyle A _ { rm {trans}} ^ { prime}}$ die luftige Linienbreite

{ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}}}

${ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}}}$ . Im Gegensatz zur obigen exakten Lösung führt dies zu

{ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}} approx Delta nu _ { rm {FSR}} { frac {1} { pi}} { frac {1 – { sqrt { R_ {1} R_ {2}}}} { sqrt[{4}]{R_ {1} R_ {2}}} Rightarrow { mathcal {F}} _ { rm {Airy}} = { frac { Delta nu _ { rm {FSR}}} { Delta nu _ { rm {Airy}}}} approx pi { frac { sqrt[{4}]{R_ {1} R_ {2}}} {1 – { sqrt {R_ {1} R_ {2}}}}.}

Diese Annäherung an die Airy-Linienbreite wird in der Abbildung als rote Kurve angezeigt “Lorentzsche Linienbreite und Finesse versus Airy-Linienbreite und Finesse eines Fabry-Pérot-Resonators”, weicht bei niedrigen Reflektivitäten von der korrekten Kurve ab und bricht fälschlicherweise nicht zusammen, wenn

{ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}}> Delta nu _ { rm {FSR}}}

${ displaystyle Delta nu _ { rm {Airy}}> Delta nu _ { rm {FSR}}}”/></span>. Diese Annäherung wird dann typischerweise auch zur Berechnung der Airy-Finesse verwendet. </p> <h3><span class=$ Frequenzabhängige Spiegelreflexionsgrade[edit]

Der allgemeinere Fall eines Fabry-Pérot-Resonators mit frequenzabhängigen Spiegelreflexionsgraden kann mit den gleichen Gleichungen wie oben behandelt werden, außer dass die Photonenabklingzeit

{ displaystyle tau _ {c} ( nu)}

${ displaystyle tau _ {c} ( nu)}$ und Linienbreite

{ displaystyle Delta nu _ {c} ( nu)}

${ displaystyle Delta nu _ {c} ( nu)}$ Jetzt werden lokale Funktionen der Frequenz. Während die Photonenabklingzeit immer noch eine genau definierte Größe ist, verliert die Linienbreite ihre Bedeutung, da sie einer spektralen Bandbreite ähnelt, deren Wert sich nun innerhalb dieser Bandbreite ändert. Auch in diesem Fall ist jede Airy-Verteilung die Summe aller zugrunde liegenden Modusprofile, die stark verzerrt sein können.^[8] Ein Beispiel für die Airy-Distribution

{ displaystyle A _ { rm {trans}} ^ { prime}}

${ displaystyle A _ { rm {trans}} ^ { prime}}$ und einige der zugrunde liegenden Modusprofile

{ displaystyle gamma _ {q, { rm {trans}}} ^ { prime} ( nu)}

${ displaystyle gamma _ {q, { rm {trans}}} ^ { prime} ( nu)}$ ist in der Abbildung angegeben “Beispiel eines Fabry-Pérot-Resonators mit frequenzabhängigem Spiegelreflexionsvermögen”.

Fabry-Pérot-Resonator mit intrinsischen optischen Verlusten[edit]

Die intrinsischen Ausbreitungsverluste innerhalb des Resonators können durch einen Intensitätsverlustkoeffizienten quantifiziert werden

{ displaystyle alpha _ { rm {loss}}}

${ displaystyle alpha _ { rm {loss}}}$ pro Längeneinheit oder äquivalent durch den intrinsischen Round-Trip-Verlust

{ displaystyle L _ { rm {RT}},}

${ displaystyle L _ { rm {RT}},}$ so dass^[12]

{ displaystyle 1-L _ { rm {RT}} = e ^ {- alpha _ { rm {loss}} 2 ell} = e ^ {- t _ { rm {RT}} / tau _ { rm {Verlust}}}.}

Der zusätzliche Verlust verkürzt die Photonenzerfallszeit

{ displaystyle tau _ {c}}

$tau_c$ des Resonators:^[12]

{ displaystyle { frac {1} { tau _ {c}}} = { frac {1} { tau _ { rm {out}}} + { frac {1} { tau _ { rm {loss}}}} = { frac {- ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{rm {RT}})]}} {t _ { rm {RT}}}} = { frac {- ln {[R_{1}R_{2}]}} {t _ { rm {RT}}}} + c alpha _ { rm {loss}}.}

{ displaystyle c}

$c$ ist die Lichtgeschwindigkeit im Hohlraum. Die generische Airy-Verteilung oder der interne Resonanzverstärkungsfaktor

{ displaystyle A _ { rm {circ}}}

${ displaystyle A _ { rm {circ}}}$ wird dann wie oben abgeleitet, indem die Ausbreitungsverluste über den Amplitudenverlustkoeffizienten einbezogen werden

{ displaystyle alpha _ { rm {loss}} / 2}

${ displaystyle alpha _ { rm {loss}} / 2}$ ::^[12]

{ displaystyle E _ { rm {circ}} = E _ { rm {laun}} + E _ { rm {RT}} = E _ { rm {laun}} + r_ {1} r_ {2} e ^ { – ( alpha _ { rm {loss}} / 2) 2 ell} e ^ {- i2 phi} E _ { rm {circ}} Rightarrow { frac {E _ { rm {circ}}} {E _ { rm {laun}}}} = { frac {1} {1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- alpha _ { rm {loss}} ell} e ^ {- i2 phi}}} Rightarrow}

{ displaystyle A _ { rm {circ}} = { frac {I _ { rm {circ}}} {I _ { rm {laun}}} = { frac { left | E _ { rm {circ }} right | ^ {2}} { left | E _ { rm {laun}} right | ^ {2}}} = { frac {1} { left | 1-r_ {1} r_ { 2} e ^ {- alpha _ { rm {loss}} ell} e ^ {- i2 phi} right | ^ {2}} = { frac {1} { left ({1- { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} e ^ {- alpha _ { rm {loss}} ell}} right) ^ {2} +4 { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} e ^ {- alpha _ { rm {loss}} ell} sin ^ {2} ( phi)}}.}

Die anderen Airy-Verteilungen können dann wie oben abgeleitet werden, indem zusätzlich die Ausbreitungsverluste berücksichtigt werden. Insbesondere wird die Übertragungsfunktion mit Verlust^[12]

{ displaystyle A _ { text {trans}} ^ { prime} = { frac {I _ { rm {trans}}} {I _ { rm {inc}}} = (1-R_ {1}) (1-R_ {2}) e ​​^ {- alpha _ { rm {loss}} ell} A _ { rm {circ}} = { frac {(1-R_ {1}) (1-R_ {2}) e ​​^ {- alpha _ { rm {loss}} ell}} { left ({1 – { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} e ^ {- alpha _ { rm {loss}} ell}} right) ^ {2} +4 { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} e ^ {- alpha _ { rm {loss}} ell } sin ^ {2} ( phi)}}.}

Beschreibung des Fabry-Perot-Resonators im Wellenlängenraum[edit]

Ein Fabry-Pérot-Etalon. Licht tritt in das Etalon ein und erfährt mehrere interne Reflexionen.

Die Übertragung eines Etalons als Funktion der Wellenlänge. Ein Etalon mit hoher Finesse (rote Linie) zeigt schärfere Peaks und niedrigere Transmissionsminima als ein Etalon mit niedriger Finesse (blau).

Finesse als Funktion des Reflexionsvermögens. Sehr hohe Finessefaktoren erfordern stark reflektierende Spiegel.

Transiente Analyse eines Siliziums (n = 3.4) Fabry-Pérot-Etalon bei normaler Inzidenz. Die obere Animation ist für die Dicke des Etalons vorgesehen, um eine maximale Transmission zu erzielen, während die untere Animation für eine Dicke vorgesehen ist, die für eine minimale Transmission ausgewählt wurde.

Falscher Farbübergang für eine dielektrische Platte mit hohem Brechungsindex in Luft. Die Dicke / Frequenzen wurden so gewählt, dass Rot (oben) und Blau (unten) eine maximale Transmission erfahren, während Grün (Mitte) eine minimale Transmission erfährt.

Die variierende Transmissionsfunktion eines Etalons wird durch Interferenz zwischen den Mehrfachreflexionen des Lichts zwischen den beiden reflektierenden Oberflächen verursacht. Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn die durchgelassenen Strahlen in Phase sind, und dies entspricht einer Spitze mit hoher Transmission des Etalons. Wenn die gesendeten Strahlen phasenverschoben sind, tritt eine destruktive Interferenz auf und dies entspricht einem Übertragungsminimum. Ob die mehrfach reflektierten Strahlen in Phase sind oder nicht, hängt von der Wellenlänge (λ) des Lichts (im Vakuum), dem Winkel, den das Licht durch das Etalon (θ) bewegt, der Dicke des Etalons (ℓ) und den Brechungsindex des Materials zwischen den reflektierenden Oberflächen (n).

Die Phasendifferenz zwischen jedem aufeinanderfolgenden übertragenen Paar (dh T.₂ und T₁ im Diagramm) ist gegeben durch^[13]

{ displaystyle delta = left ({ frac {2 pi} { lambda}} right) 2n ell cos theta.}

Wenn beide Oberflächen ein Reflexionsvermögen haben R.ist die Transmissionsfunktion des Etalons gegeben durch

{ displaystyle T_ {e} = { frac {(1-R) ​​^ {2}} {1-2R cos delta + R ^ {2}}} = { frac {1} {1 + F sin ^ {2} left ({ frac { delta} {2}} right)}},}

{ displaystyle F = { frac {4R} {(1-R) ​​^ {2}}}}

ist der Finesse-Koeffizient.

Maximale Übertragung (

{ displaystyle T_ {e} = 1}

$T_e = 1$ ) tritt auf, wenn die optische Weglängendifferenz (

{ displaystyle 2nl cos theta}

$2 nl cos theta$ ) zwischen jedem gesendeten Strahl befindet sich ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge. In Abwesenheit von Absorption das Reflexionsvermögen des Etalons R._e ist das Komplement der Durchlässigkeit, so dass

{ displaystyle T_ {e} + R_ {e} = 1}

$T_e + R_e = 1$ . Das maximale Reflexionsvermögen ist gegeben durch

{ displaystyle R _ { max} = 1 – { frac {1} {1 + F}} = { frac {4R} {(1 + R) ^ {2}}},}

und dies tritt auf, wenn die Weglängendifferenz gleich einem halben ungeraden Vielfachen der Wellenlänge ist.

Die Wellenlängentrennung zwischen benachbarten Transmissionspeaks wird als freier Spektralbereich (FSR) des Etalons Δλ bezeichnet und ist gegeben durch:

{ displaystyle Delta lambda = { frac { lambda _ {0} ^ {2}} {2n _ { mathrm {g}} ell cos theta + lambda _ {0}} ungefähr { frac { lambda _ {0} ^ {2}} {2n _ { mathrm {g}} ell cos theta}},}

wo λ₀ ist die zentrale Wellenlänge des nächsten Transmissionspeaks und

{ displaystyle n _ { mathrm {g}}}

$n _ {{ mathrm {g}}}$ ist der Gruppenbrechungsindex.^[14] Der FSR bezieht sich auf das Halbmaximum δλ in voller Breite eines Übertragungsbandes um eine als Finesse::

{ displaystyle { mathcal {F}} = { frac { Delta lambda} { delta lambda}} = { frac { pi} {2 arcsin left ({ frac {1} { sqrt {F}}} right)}}.}

Dies wird üblicherweise angenähert (z R. > 0,5) durch

{ displaystyle { mathcal {F}} approx { frac { pi { sqrt {F}}} {2}} = { frac { pi R ^ { frac {1} {2}}} {1-R}}.}

Wenn die beiden Spiegel nicht gleich sind, wird die Finesse

{ displaystyle { mathcal {F}} approx { frac { pi left (R_ {1} R_ {2} right) ^ { frac {1} {4}}} {1- left ( R_ {1} R_ {2} rechts) ^ { frac {1} {2}}}.}

Etalons mit hoher Finesse zeigen schärfere Transmissionsspitzen mit niedrigeren minimalen Transmissionskoeffizienten. Im Fall des schrägen Einfalls hängt die Finesse vom Polarisationszustand des Strahls ab, da der Wert von R., gegeben durch die Fresnel-Gleichungen, ist im Allgemeinen für p- und s-Polarisationen unterschiedlich.

Im Diagramm rechts sind zwei Strahlen dargestellt, von denen einer (T.₀) wird durch das Etalon übertragen, und das andere davon (T.₁) wird vor der Übertragung zweimal reflektiert. Bei jeder Reflexion wird die Amplitude um reduziert

{ displaystyle { sqrt {R}}}

$sqrt {R}$ , während bei jeder Übertragung durch eine Schnittstelle die Amplitude um reduziert wird

{ displaystyle { sqrt {T}}}

${ sqrt {T}}$ . Unter der Annahme, dass keine Absorption erfolgt, ist eine Energieeinsparung erforderlich T. + R. = 1. In der folgenden Ableitung ist n ist der Brechungsindex innerhalb des Etalons und n₀ ist das außerhalb des Etalons. Es wird vermutet, dass n > n₀. Die einfallende Amplitude am Punkt a wird als eins angenommen, und Zeiger werden verwendet, um die Amplitude der Strahlung darzustellen. Die übertragene Amplitude am Punkt b ist dann

{ displaystyle t_ {0} = T , e ^ {ik ell / cos theta},}

{ displaystyle k = 2 pi n / lambda}

${ displaystyle k = 2 pi n / lambda}$ ist die Wellenzahl im Etalon und λ ist die Vakuumwellenlänge. Am Punkt c ist die übertragene Amplitude

{ displaystyle t ‘_ {1} = TR , e ^ {3ik ell / cos theta}.}

Die Gesamtamplitude beider Strahlen ist die Summe der Amplituden der beiden Strahlen, gemessen entlang einer Linie senkrecht zur Richtung des Strahls. Die Amplitude t₀ am Punkt b kann daher zu hinzugefügt werden t‘₁ um einen Betrag in Phase verzögert

{ displaystyle k_ {0} ell _ {0}}

$k_0 ell_0$ , wo

{ displaystyle k_ {0} = 2 pi n_ {0} / lambda}

${ displaystyle k_ {0} = 2 pi n_ {0} / lambda}$ ist die Wellenzahl außerhalb des Etalons. So

{ displaystyle t_ {1} = TR , e ^ { left (3ik ell / cos theta right) -ik_ {0} ell _ {0}},}

wo ℓ₀ ist

{ displaystyle ell _ {0} = 2 ell tan theta sin theta _ {0}.}

Die Phasendifferenz zwischen den beiden Strahlen beträgt

{ displaystyle delta = {2k ell over cos theta} -k_ {0} ell _ {0}.}

Die Beziehung zwischen θ und θ₀ ist durch Snells Gesetz gegeben:

{ displaystyle n sin theta = n_ {0} sin theta _ {0},}

so dass die Phasendifferenz geschrieben werden kann als

{ displaystyle delta = 2k ell , cos theta.}

Innerhalb eines konstanten multiplikativen Phasenfaktors wird die Amplitude des mDer Sendestrahl kann geschrieben werden als

{ displaystyle t_ {m} = TR ^ {m} e ^ {im delta}.}

Die insgesamt übertragene Amplitude ist die Summe aller Amplituden der einzelnen Strahlen:

{ displaystyle t = sum _ {m = 0} ^ { infty} t_ {m} = T sum _ {m = 0} ^ { infty} R ^ {m} , e ^ {im delta }.}

Die Reihe ist eine geometrische Reihe, deren Summe analytisch ausgedrückt werden kann. Die Amplitude kann wie folgt umgeschrieben werden

{ displaystyle t = { frac {T} {1-Re ^ {i delta}}}.}

Die Intensität des Strahls wird gerade sein t mal sein komplexes Konjugat. Da angenommen wurde, dass der einfallende Strahl eine Intensität von eins hat, ergibt dies auch die Übertragungsfunktion:

{ displaystyle T_ {e} = tt ^ {*} = { frac {T ^ {2}} {1 + R ^ {2} -2R cos delta}}.}

Für einen asymmetrischen Hohlraum, dh einen mit zwei verschiedenen Spiegeln, ist die allgemeine Form der Übertragungsfunktion

{ displaystyle T_ {e} = { frac {T_ {1} T_ {2}} {1 + R_ {1} R_ {2} -2 { sqrt {R_ {1} R_ {2}}} cos delta}}.}

Ein Fabry-Pérot-Interferometer unterscheidet sich von einem Fabry-Pérot-Etalon durch die Entfernung ℓ zwischen den Platten kann abgestimmt werden, um die Wellenlängen zu ändern, bei denen Transmissionsspitzen im Interferometer auftreten. Aufgrund der Winkelabhängigkeit der Transmission können die Peaks auch durch Drehen des Etalons in Bezug auf den Strahl verschoben werden.

Ein weiterer Ausdruck für die Übertragungsfunktion wurde bereits in der Beschreibung im Frequenzraum als unendliche Summe aller longitudinalen Modenprofile abgeleitet. Definieren

{ displaystyle gamma = ln left ({ frac {1} {R}} right)}

$gamma = ln left ( frac {1} {R} right)$ Der obige Ausdruck kann geschrieben werden als

{ displaystyle T_ {e} = { frac {T ^ {2}} {1-R ^ {2}}} left ({ frac { sinh gamma} { cosh gamma – cos delta }}Recht).}

Der zweite Term ist proportional zu einer umhüllten Lorentzschen Verteilung, so dass die Übertragungsfunktion als eine Reihe von Lorentzschen Funktionen geschrieben werden kann:

{ displaystyle T_ {e} = { frac {2 pi , T ^ {2}} {1-R ^ {2}}} , sum _ { ell = – infty} ^ { infty } L ( delta -2 pi ell; gamma),}

{ displaystyle L (x; gamma) = { frac { gamma} { pi left (x ^ {2} + gamma ^ {2} right)}}.}

Siehe auch[edit]

^ Perot schrieb seinen Namen in wissenschaftlichen Veröffentlichungen häufig mit einem Akzent – Pérot -, weshalb der Name des Interferometers üblicherweise mit dem Akzent geschrieben wird. Métivier, Françoise (September – Oktober 2006). “Jean-Baptiste Alfred Perot” (PDF). Photoniques (auf Französisch) (25). Archiviert von das Original (PDF) am 10.11.2007. Abgerufen 2007-10-02. Seite 2: “Pérot oder Perot?”
^ Fabry, C; Perot, A (1899). “Theorie und Anwendungen der Nouvelle-Methode der Spektroskopie interferentielle”. Ann. Chim. Phys. 16 (7).
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Verweise[edit]

Externe Links[edit]

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