[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2020\/12\/31\/24-zellen-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2020\/12\/31\/24-zellen-wikipedia\/","headline":"24 Zellen – Wikipedia","name":"24 Zellen – Wikipedia","description":"before-content-x4 24 Zellen Art Konvexes regul\u00e4res 4-Polytop Schl\u00e4fli-Symbol {3,4,3}r {3,3,4} = {33,4}}{ displaystyle left {{ begin {array} {l} 3 \\","datePublished":"2020-12-31","dateModified":"2020-12-31","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/7\/77\/Schlegel_wireframe_24-cell.png\/240px-Schlegel_wireframe_24-cell.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/7\/77\/Schlegel_wireframe_24-cell.png\/240px-Schlegel_wireframe_24-cell.png","height":"227","width":"240"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2020\/12\/31\/24-zellen-wikipedia\/","wordCount":39432,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x424 ZellenArtKonvexes regul\u00e4res 4-PolytopSchl\u00e4fli-Symbol{3,4,3}r {3,3,4} = {33,4}}{ displaystyle  left  {{ begin {array} {l} 3 \\ 3,4  end {array}}  right }}{31,1,1} = {333}}{ displaystyle  left  {{ begin {array} {l} 3 \\ 3 \\ 3  end {array}}  right }}  Coxeter-Diagramm  oder   oder Zellen24 {3,4} Gesichter96 {3}Kanten96Eckpunkte24ScheitelpunktfigurW\u00fcrfelPetrie PolygonZw\u00f6lfeckCoxeter-GruppeF.4, [3,4,3], Bestellung 1152B.4, [4,3,3], Bestellung 384D.4, [31,1,1], Bestellung 192DualSelf-DualEigenschaftenkonvex, isogonal, isotoxal, isohedrischEinheitlicher Index22  In der vierdimensionalen Geometrie ist die 24 Zellen ist das konvexe regul\u00e4re 4-Polytop mit dem Schl\u00e4fli-Symbol {3,4,3}.  Es wird auch genannt C.24, oder der icositetrachoron,Octaplex (kurz f\u00fcr “oktaedrischer Komplex”), icosatetrahedroid,Octacube, Hyper-Diamant oder Polyoktaeder, aus oktaedrischen Zellen aufgebaut.Die Grenze der 24-Zellen besteht aus 24 oktaedrischen Zellen, wobei sich sechs an jedem Scheitelpunkt und drei an jeder Kante treffen.  Zusammen haben sie 96 dreieckige Fl\u00e4chen, 96 Kanten und 24 Eckpunkte.  Die Scheitelpunktfigur ist ein W\u00fcrfel.  Die 24-Zellen sind Self-Dual.[a]  Es und der Tesserakt sind die einzigen konvexen regul\u00e4ren 4-Polytope, bei denen die Kantenl\u00e4nge dem Radius entspricht.[b]  Die 24-Zellen haben kein regul\u00e4res Analogon in 3 Dimensionen.  Es ist das einzige der sechs konvexen regul\u00e4ren 4-Polytope, das nicht das vierdimensionale Analogon eines der f\u00fcnf regul\u00e4ren platonischen K\u00f6rper ist.  Es kann jedoch als Analogon eines Paares unregelm\u00e4\u00dfiger K\u00f6rper angesehen werden: des Kuboktaeders und seines dualen rhombischen Dodekaeders.\u00dcbersetzte Kopien des 24-Zellen-Raums k\u00f6nnen den vierdimensionalen Raum von Angesicht zu Angesicht kacheln und so die 24-Zellen-Wabe bilden.  Als Polytop, das durch Translation gekachelt werden kann, ist die 24-Zelle ein Beispiel f\u00fcr ein Parallelotop, das einfachste, das nicht auch ein Zonotop ist.Table of ContentsGeometrie[edit]Koordinaten[edit]Quadrate[edit]Sechsecke[edit]Dreiecke[edit]Hyperkubische Akkorde[edit]Geod\u00e4ten[edit]Konstruktionen[edit]Reziproke Konstruktionen aus 8-Zellen und 16-Zellen[edit]Verminderungen[edit]8 Zellen[edit]16 Zellen[edit]Tetraedrische Konstruktionen[edit]Beziehungen zwischen inneren Polytopen[edit]Grenzzellen[edit]Als Konfiguration[edit]Symmetrien, Wurzelsysteme und Tessellationen[edit]Quaternionische Interpretation[edit]Voronoi-Zellen[edit]Radial gleichseitige Wabe[edit]Rotationen[edit]Projektionen[edit]Parallele Projektionen[edit]Perspektivische Projektionen[edit]Orthogonale Projektionen[edit]Visualisierung[edit]Drei Coxeter-Gruppenkonstruktionen[edit]Verwandte komplexe Polygone[edit]Verwandte 4-Polytope[edit]Verwandte einheitliche Polytope[edit]Siehe auch[edit]Zitate[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Geometrie[edit]Die 24-Zellen enthalten die Geometrien jedes konvexen regul\u00e4ren Polytops in den ersten vier Dimensionen, mit Ausnahme der 5-Zellen und derjenigen mit einer 5 oder h\u00f6her in ihrem Schl\u04d3fli-Symbol.[c]  Es ist besonders n\u00fctzlich, die 24-Zellen zu untersuchen, da man die geometrischen Beziehungen zwischen all diesen regul\u00e4ren Polytopen in einer einzelnen 24-Zellen oder ihrer Wabe sehen kann.  Die 24-Zellen sind die vierten in der Folge von 6 konvexen regul\u00e4ren 4-Polytopen (in der Reihenfolge ihrer Gr\u00f6\u00dfe und Komplexit\u00e4t).[d]  Es kann in 3 \u00fcberlappende Instanzen seines Vorg\u00e4ngers, des Tesseract (8-Zellen), dekonstruiert werden, da die 8-Zellen in 2 \u00fcberlappende Instanzen seines Vorg\u00e4ngers, der 16-Zellen, dekonstruiert werden k\u00f6nnen.  Das umgekehrte Verfahren zum Konstruieren jeder dieser Instanzen aus einer Instanz ihres Vorg\u00e4ngers beh\u00e4lt den Radius des Vorg\u00e4ngers bei, erzeugt jedoch im Allgemeinen einen Nachfolger mit einer anderen Kantenl\u00e4nge.[e]Koordinaten[edit]Quadrate[edit]Die 24-Zelle ist die konvexe H\u00fclle ihrer Eckpunkte, die als die 24-Koordinaten-Permutationen von:(\u00b11,\u00b11,0,0)\u2208R.4{ displaystyle ( pm 1,  pm 1,0,0)  in  mathbb {R} ^ {4}}.Diese Koordinaten k\u00f6nnen wie folgt konstruiert werden , Berichtigung der 16-Zellen, mit 8 Eckpunkten Permutationen von (\u00b1 2,0,0,0).  Die Scheitelpunktfigur einer 16-Zelle ist das Oktaeder;  Das Schneiden der Eckpunkte der 16-Zellen am Mittelpunkt ihrer einfallenden Kanten erzeugt somit 8 oktaedrische Zellen.  Dieser Prozess korrigiert auch die tetraedrischen Zellen der 16-Zellen, die zu 16-Oktaedern werden, wodurch die 24-Zellen-24-Oktaeder-Zellen erhalten werden.In dieser Form hat die 24-Zelle L\u00e4ngenkanten \u221a2  und ist in eine 3-Kugel mit Radius eingeschrieben \u221a2.  Bemerkenswerterweise entspricht die Kantenl\u00e4nge dem Umfang, wie im Sechseck oder im Kuboktaeder.  Solche Polytope sind radial gleichseitig.[b]Die 24 Eckpunkte k\u00f6nnen als Eckpunkte von 6 orthogonal angesehen werden[f]  \u00e4quatoriale Quadrate[g]  die sich schneiden[h]  nur in ihrem gemeinsamen Zentrum.Sechsecke[edit]  Die 24 Quaternionselemente der bin\u00e4ren tetraedrischen Gruppe stimmen mit den Eckpunkten der 24-Zellen \u00fcberein.  In 4-facher Symmetrieprojektion gesehen: * 1 Ordnung-1: 1 * 1 Ordnung-2: -1 * 6 Ordnung-4: \u00b1 i, \u00b1 j, \u00b1 k * 8 Ordnung-6: (+ 1 \u00b1 i \u00b1 j \u00b1 k) \/ 2 * 8 Ordnung -3: (-1 \u00b1 i \u00b1 j \u00b1 k) \/ 2.Die 24-Zellen sind selbst-dual und haben die gleiche Anzahl von Eckpunkten (24) wie Zellen und die gleiche Anzahl von Kanten (96) wie Fl\u00e4chen.Ist das Dual der oben genannten 24-Zellen der Kantenl\u00e4nge \u221a2  wird genommen, indem man es \u00fcber seine hin- und herbewegt bezeichnet Kugel wird eine weitere 24-Zelle gefunden, die Kantenl\u00e4nge und Umfang 1 hat und deren Koordinaten mehr Struktur zeigen.  In dieser Form k\u00f6nnen die Eckpunkte der 24-Zellen wie folgt angegeben werden:8 Eckpunkte erhalten durch Permutieren der ganze Zahl Koordinaten:(\u00b1 1, 0, 0, 0)und 16 Eckpunkte mit halbe ganze Zahl Koordinaten des Formulars:(\u00b11\/.2\u00b11\/.2\u00b11\/.2\u00b11\/.2)Alle 24 liegen im Abstand 1 vom Ursprung.Als Quaternionen betrachtet, sind dies die Einheit Hurwitz Quaternionen.Die 24-Zellen haben einen Einheitsradius und eine Einheitskantenl\u00e4nge[b]  in diesem Koordinatensystem.  Wir bezeichnen das System als Einheitsradiuskoordinaten um es von anderen zu unterscheiden, wie dem \u221a2  oben verwendete Radiuskoordinaten.[i]Die 24 Eckpunkte k\u00f6nnen als Eckpunkte von 4 orthogonalen \u00e4quatorialen Sechsecken angesehen werden[j]  die sich schneiden[h]  nur in ihrem gemeinsamen Zentrum.[k]Dreiecke[edit]Die 24 Eckpunkte k\u00f6nnen als Eckpunkte von 8 liegenden gleichseitigen Dreiecken angesehen werden[l]  in 4 orthogonalen \u00c4quatorialebenen[m]  die sich nur in ihrem gemeinsamen Zentrum schneiden.Hyperkubische Akkorde[edit]  Scheitelpunktgeometrie des radial gleichseitigen[b]  24-Zellen, zeigt die 3 Gro\u00dfkreispolygone und die 4 Akkordl\u00e4ngen von Scheitelpunkt zu Scheitelpunkt.Die 24 Eckpunkte der 24-Zellen sind verteilt[8]  bei vier verschiedenen Akkordl\u00e4ngen voneinander: \u221a1, \u221a2,  \u221a3  und \u221a4.Jeder Scheitelpunkt ist mit 8 anderen verbunden[n]  durch eine Kante der L\u00e4nge 1, die 60 \u00b0 \u00fcberspannt = \u03c0\/.3  des Bogens.  Am n\u00e4chsten sind 6 Eckpunkte[o]  befindet sich 90 \u00b0 = \u03c0\/.2  weg, entlang eines inneren Akkords von L\u00e4nge \u221a2.  Weitere 8 Eckpunkte liegen bei 120 \u00b0 = 2\u03c0\/.3  weg, entlang eines inneren Akkords von L\u00e4nge \u221a3.  Der entgegengesetzte Scheitelpunkt ist 180 \u00b0 = \u03c0  entlang eines Durchmessers der L\u00e4nge 2 entfernt. Schlie\u00dflich kann, da die 24-Zelle radial gleichseitig ist, ihr Zentrum behandelt werden[p]  als 25. kanonischer Scheitelpunkt,[q]  Das ist 1 Kantenl\u00e4nge von allen anderen entfernt.Beachten Sie die vier Akkordl\u00e4ngen (wie unten beschrieben), um zu veranschaulichen, wie die inneren Polytope der 24-Zellen zusammenpassen (wie unten beschrieben).\u221a1, \u221a2, \u221a3, \u221a4) sind die langen Durchmesser der Hyperw\u00fcrfel der Dimensionen 1 bis 4: der lange Durchmesser des Quadrats ist \u221a2;;  Der lange Durchmesser des W\u00fcrfels ist \u221a3;;  und der lange Durchmesser des Tesserakts ist \u221a4.[r]  Dar\u00fcber hinaus betr\u00e4gt der lange Durchmesser des Oktaeders \u221a2  wie das Quadrat;  und der lange Durchmesser der 24-Zelle selbst ist \u221a4  wie der Tesseract.Geod\u00e4ten[edit]Die Scheitelpunktakkorde der 24-Zellen sind in geod\u00e4tischen Gro\u00dfkreisen angeordnet, die in S\u00e4tzen orthogonaler Ebenen liegen.  Der geod\u00e4tische Abstand zwischen zwei 24-Zellen-Eckpunkten entlang eines Pfades von \u221a1  Kanten ist immer 1, 2 oder 3, und es ist 3 nur f\u00fcr entgegengesetzte Eckpunkte.[s]Das \u221a1  Kanten treten in 16 hexagonalen Gro\u00dfkreisen auf (4 S\u00e4tze von 4 orthogonalen[k]  Ebenen), von denen sich 4 an jedem Scheitelpunkt kreuzen.[u]  Die 96 unterscheiden sich \u221a1  Kanten teilen die Oberfl\u00e4che in 96 dreieckige Fl\u00e4chen und 24 oktaedrische Zellen: eine 24-Zellen.Das \u221a2  Akkorde treten in 18 quadratischen Gro\u00dfkreisen auf (3 S\u00e4tze von 6 orthogonal[f]  Ebenen), von denen sich 3 an jedem Scheitelpunkt kreuzen.[v]  Die 72 unterscheiden sich \u221a2  Akkorde laufen nicht in den gleichen Ebenen wie die sechseckigen Gro\u00dfkreise;  Sie folgen nicht den R\u00e4ndern der 24 Zellen, sondern durchlaufen ihre Zellzentren unterhalb einer ihrer Mittelkanten.[w]Das \u221a3  Akkorde treten in 32 dreieckigen Gro\u00dfkreisen in 16 Ebenen (4 S\u00e4tze von 4 orthogonalen Ebenen) auf, von denen sich 4 an jedem Scheitelpunkt kreuzen.[x]  Die 96 unterscheiden sich \u221a3  Akkorde verlaufen von Scheitelpunkt zu Scheitelpunkt in den gleichen Ebenen wie die sechseckigen Gro\u00dfkreise.[l]Das \u221a4  Akkorde treten als 12 Scheitelpunkt-zu-Scheitelpunkt-Durchmesser (3 S\u00e4tze mit 4 orthogonalen Achsen) auf, die 24 Radien um den 25. zentralen Scheitelpunkt.[q]Das \u221a1  Kanten treten in 48 parallelen Paaren auf, \u221a3  ein Teil.  Das \u221a2  Akkorde kommen in 36 parallelen Paaren vor, \u221a2  ein Teil.  Das \u221a3  Akkorde kommen in 48 parallelen Paaren vor, \u221a1  ein Teil.[y]Jede Gro\u00dfkreisebene schneidet sich[h]  mit jeder der anderen Gro\u00dfkreisebenen oder Fl\u00e4chenebenen, zu denen es nur im Mittelpunkt orthogonal ist, und mit jeder der anderen, zu denen es an keiner einzelnen Kante orthogonal ist.  In jedem Fall ist diese Kante einer der Scheitelpunktakkorde der 24-Zellen.[aa]Konstruktionen[edit]Dreiecke und Quadrate kommen in der 24-Zellen-Zelle auf einzigartige Weise zusammen, um als innere Merkmale Folgendes zu erzeugen:[p]  Alle regelm\u00e4\u00dfigen konvexen Polytope mit Dreiecks- und Quadratgesicht in den ersten vier Dimensionen (mit Einschr\u00e4nkungen f\u00fcr die 5-Zellen- und die 600-Zellen-Zelle).[ab]  Folglich gibt es zahlreiche M\u00f6glichkeiten, die 24-Zellen zu konstruieren oder zu dekonstruieren.Reziproke Konstruktionen aus 8-Zellen und 16-Zellen[edit]Die 8 ganzzahligen Scheitelpunkte (\u00b1 1, 0, 0, 0) sind die Scheitelpunkte einer regul\u00e4ren 16-Zellen- und die 16 halb ganzzahligen Scheitelpunkte (\u00b1)1\/.2\u00b11\/.2\u00b11\/.2\u00b11\/.2) sind die Eckpunkte seines Dualen, des Tesseracts (8 Zellen).  Der Tesseract gibt Gossets Konstruktion der 24-Zellen, was dem Schneiden eines Tesseracts in 8 kubische Pyramiden und dem anschlie\u00dfenden Anbringen an den Facetten eines zweiten Tesseracts entspricht.  Die analoge Konstruktion im 3-Raum ergibt das rhombische Dodekaeder, das jedoch nicht regelm\u00e4\u00dfig ist.  Die 16-Zellen geben die wechselseitige Konstruktion der 24-Zellen-Konstruktion von Cesaro an, die der Gleichrichtung einer 16-Zellen entspricht (Abschneiden ihrer Ecken an den Mittelkanten, wie oben beschrieben).  Die analoge Konstruktion im 3-Raum ergibt das Kuboktaeder (Dual des rhombischen Dodekaeders), das jedoch nicht regelm\u00e4\u00dfig ist.  Der Tesseract und die 16-Zellen sind die einzigen regul\u00e4ren 4-Polytope in den 24-Zellen.[13]Wir k\u00f6nnen die 16 Eckpunkte mit ganzzahligen Zahlen weiter in zwei Gruppen unterteilen: diejenigen, deren Koordinaten eine gerade Anzahl von Minuszeichen (-) enthalten, und diejenigen mit einer ungeraden Anzahl.  Jede dieser Gruppen von 8 Eckpunkten definiert auch eine regul\u00e4re 16-Zellen.  Dies zeigt, dass die Eckpunkte der 24-Zellen in drei disjunkte Achtergruppen gruppiert werden k\u00f6nnen, wobei jede Gruppe eine regul\u00e4re 16-Zelle definiert und das Komplement den dualen Tesserakt definiert.EIN_und_Abb_8.2B._42-0 “class =” reference “> A._und_Abb_8.2B.-42 “>[14]  Dies zeigt auch, dass die Symmetrien der 16-Zellen eine Untergruppe des Index 3 der Symmetriegruppe der 24-Zellen bilden.Verminderungen[edit]Wir k\u00f6nnen die 24-Zellen durch Schneiden abschneiden[ac]  durch innere Zellen, die durch Scheitelpunktakkorde begrenzt sind, um Scheitelpunkte zu entfernen, wodurch die Facetten der inneren 4-Polytope freigelegt werden, die in die 24-Zellen eingeschrieben sind.  Man kann eine 24-Zellen-Zelle durch jedes planare Sechseck mit 6 Eckpunkten, jedes planare Rechteck mit 4 Eckpunkten oder jedes Dreieck mit 3 Eckpunkten in zwei Teile schneiden.  Die Gro\u00dfkreisebenen (oben) sind nur einige dieser Ebenen.  Hier werden wir einige der anderen aufdecken: die Gesichtsebenen[ad]  von inneren Polytopen, die die 24-Zellen in zwei ungleiche Teile teilen.[ae]8 Zellen[edit]Entfernen Sie ausgehend von einer vollst\u00e4ndigen 24-Zellen-Zelle 8 orthogonale Eckpunkte (4 gegen\u00fcberliegende Paare auf 4 senkrechten Achsen) und die 8 Kanten, die von jeder ausstrahlen, indem Sie 8 kubische Zellen durchschneiden, die durch begrenzt sind \u221a1  Kanten zum Entfernen von 8 kubischen Pyramiden, deren Scheitelpunkte die zu entfernenden Eckpunkte sind.  Dadurch werden 4 Kanten von jedem sechseckigen Gro\u00dfkreis entfernt (wobei nur ein gegen\u00fcberliegendes Kantenpaar erhalten bleibt), sodass keine durchgehenden sechseckigen Gro\u00dfkreise \u00fcbrig bleiben.  Jetzt treffen sich 3 senkrechte Kanten und bilden die Ecke eines W\u00fcrfels an jedem der 16 verbleibenden Eckpunkte.[af]  und die 32 verbleibenden Kanten teilen die Oberfl\u00e4che in 24 quadratische Fl\u00e4chen und 8 kubische Zellen: ein Tesserakt.  Es gibt drei M\u00f6glichkeiten, dies zu tun (w\u00e4hlen Sie einen Satz von 8 orthogonalen Eckpunkten aus 24), sodass drei solcher Tesserakte in die 24-Zellen-Zelle eingeschrieben sind.  Sie \u00fcberlappen sich, aber die meisten ihrer Elements\u00e4tze sind nicht zusammenh\u00e4ngend: Sie teilen eine gewisse Scheitelpunktzahl, aber keine Kantenl\u00e4nge, Fl\u00e4che oder Zellvolumen.  Sie teilen 4-Inhalte, ihren gemeinsamen Kern.[ag]16 Zellen[edit]Beginnen Sie mit einer vollst\u00e4ndigen 24-Zellen-Zelle und entfernen Sie die 16 Eckpunkte eines Tesserakts (wobei Sie die 8 oben entfernten Eckpunkte beibehalten), indem Sie 16 tetraedrische Zellen durchschneiden, die durch begrenzt sind \u221a2  Akkorde zum Entfernen von 16 tetraedrischen Pyramiden, deren Scheitelpunkte die zu entfernenden Eckpunkte sind.  Dies entfernt 12 quadratische Gro\u00dfkreise (wobei nur ein orthogonaler Satz erhalten bleibt) und alle \u221a1  Kanten, belichten \u221a2  Akkorde als neue Kanten.  Jetzt kreuzen sich die verbleibenden 6 quadratischen Gro\u00dfkreise senkrecht, 3 an jedem der 8 verbleibenden Eckpunkte.[ah]  und ihre 24 Kanten teilen die Oberfl\u00e4che in 32 dreieckige Fl\u00e4chen und 16 tetraedrische Zellen: eine 16-Zellen.  Es gibt drei M\u00f6glichkeiten, wie Sie dies tun k\u00f6nnen (entfernen Sie 1 von 3 S\u00e4tzen von Tesseract-Eckpunkten), sodass drei solcher 16-Zellen in die 24-Zellen eingeschrieben sind.  Sie \u00fcberlappen sich, aber die meisten ihrer Elements\u00e4tze sind nicht zusammenh\u00e4ngend: Sie teilen keine Scheitelpunktzahl, Kantenl\u00e4nge oder Fl\u00e4chenfl\u00e4che, aber sie teilen das Zellvolumen.  Sie teilen auch 4-Inhalte, ihren gemeinsamen Kern.[ag]Tetraedrische Konstruktionen[edit]Die 24-Zellen k\u00f6nnen radial aus 96 gleichseitigen Dreiecken mit Kantenl\u00e4nge aufgebaut werden \u221a1  die sich in der Mitte des Polytops treffen und jeweils zwei Radien und eine Kante beitragen.[b]  Sie bilden 96 \u221a1  Tetraeder, die alle den 25. zentralen Scheitelpunkt teilen.  Diese bilden 24 oktaedrische Pyramiden (Halb-16-Zellen) mit ihren Spitzen in der Mitte.Die 24-Zellen k\u00f6nnen aus 96 gleichseitigen Dreiecken mit Kantenl\u00e4nge aufgebaut werden \u221a2, wobei sich die drei Eckpunkte jedes Dreiecks um 90 \u00b0 befinden = \u03c0\/.2  voneinander weg.  Sie bilden 48 \u221a2  Tetraeder (die Zellen der drei 16-Zellen), zentriert auf den 24 Mittelradien der 24-Zellen.Beziehungen zwischen inneren Polytopen[edit]Die 24-Zellen-, drei Tesseracts und drei 16-Zellen sind tief um ihr gemeinsames Zentrum verwoben und schneiden sich in einem gemeinsamen Kern.[ag]  Die Tesserakte sind in die 24-Zellen eingeschrieben[ai]  so dass ihre Eckpunkte und Kanten \u00e4u\u00dfere Elemente der 24-Zelle sind, aber ihre quadratischen Fl\u00e4chen und kubischen Zellen innerhalb der 24-Zelle liegen (sie sind keine Elemente der 24-Zelle).  Die 16 Zellen sind in die 24 Zellen eingeschrieben[aj]  so dass nur ihre Eckpunkte \u00e4u\u00dfere Elemente der 24-Zelle sind: ihre Kanten, dreieckigen Fl\u00e4chen und tetraedrischen Zellen liegen innerhalb der 24-Zelle.  Der Innenraum[ak]  16-Zellen-Kanten haben L\u00e4nge \u221a2.  Keplers Zeichnung von Tetraedern, die in den W\u00fcrfel eingeschrieben sind.Die 16-Zellen sind auch in die Tesserakte eingeschrieben: ihre \u221a2  Kanten sind die Gesichtsdiagonalen des Tesserakts, und ihre 8 Eckpunkte belegen jeden zweiten Scheitelpunkt des Tesserakts.  In jedem Tesserakt sind zwei 16-Zellen eingeschrieben (die die gegen\u00fcberliegenden Eckpunkte und Gesichtsdiagonalen einnehmen), sodass jede 16-Zelle in zwei der drei 8-Zellen eingeschrieben ist.  Dies erinnert an die Art und Weise, wie in drei Dimensionen zwei Tetraeder in einen W\u00fcrfel eingeschrieben werden k\u00f6nnen, wie Kepler entdeckt hat.  Tats\u00e4chlich ist es die exakte dimensionale Analogie (die Demihyperw\u00fcrfel), und die 48 tetraedrischen Zellen sind auf genau diese Weise in die 24 kubischen Zellen eingeschrieben.Die 24-Zellen-Zelle umschlie\u00dft die drei Tesserakte in ihrer H\u00fclle aus oktaedrischen Facetten und l\u00e4sst an einigen Stellen einen vierdimensionalen Raum zwischen ihrer H\u00fclle und der W\u00fcrfelh\u00fclle jedes Tesserakts.  Jeder Tesserakt umschlie\u00dft zwei der drei 16-Zellen und l\u00e4sst an einigen Stellen einen 4-dimensionalen Raum zwischen seiner H\u00fclle und der Tetraederh\u00fclle jeder 16-Zelle.  Somit gibt es messbare 4-dimensionale Zwischenr\u00e4ume[al]  zwischen den 24-Zellen-, 8-Zellen- und 16-Zellen-Umschl\u00e4gen.  Die Formen, die diese L\u00fccken f\u00fcllen, sind 4-Pyramiden,[am]  oben erw\u00e4hnt.Grenzzellen[edit]Trotz der 4-dimensionalen Zwischenr\u00e4ume zwischen 24-Zellen-, 8-Zellen- und 16-Zellen-H\u00fcllkurven \u00fcberlappen sich ihre 3-dimensionalen Volumina.  Die verschiedenen Umschl\u00e4ge sind an einigen Stellen getrennt und an anderen Stellen in Kontakt (wo keine 4-Pyramide zwischen ihnen liegt).  Wo sie in Kontakt stehen, verschmelzen sie und teilen das Zellvolumen: Sie sind an diesen Stellen dieselbe 3-Membran, nicht zwei getrennte, sondern benachbarte dreidimensionale Schichten.  Da es insgesamt 7 Umschl\u00e4ge gibt, gibt es Orte, an denen mehrere Umschl\u00e4ge zusammenkommen und das Volumen zusammenf\u00fchren, sowie Orte, an denen sich Umschl\u00e4ge gegenseitig durchdringen (von innen nach au\u00dfen kreuzen).Einige innere Merkmale liegen im 3-Raum der (\u00e4u\u00dferen) Grenzh\u00fclle der 24-Zelle selbst: Jede oktaedrische Zelle wird durch drei senkrechte Quadrate (eines von jedem der Tesserakte) und die Diagonalen dieser Quadrate (die sich kreuzen) halbiert einander senkrecht in der Mitte des Oktaeders) sind 16-Zellen-Kanten (eine von jeder 16-Zellen).  Jedes Quadrat halbiert ein Oktaeder in zwei quadratische Pyramiden und verbindet zwei benachbarte kubische Zellen eines Tesserakts als gemeinsame Fl\u00e4che.Wie wir oben gesehen haben, 16-Zellen \u221a2  Tetraederzellen sind in Tesseract eingeschrieben \u221a1  kubische Zellen, die das gleiche Volumen teilen.  24 Zellen \u221a1  Oktaederzellen \u00fcberlappen ihr Volumen mit \u221a1  kubische Zellen: Sie werden durch eine quadratische Fl\u00e4che in zwei quadratische Pyramiden geteilt, deren Spitzen ebenfalls an einem Scheitelpunkt eines W\u00fcrfels liegen.[ao]  Die Oktaeder teilen das Volumen nicht nur mit den W\u00fcrfeln, sondern auch mit den darin eingeschriebenen Tetraedern;  Somit teilen sich die 24-Zellen, Tesserakte und 16-Zellen alle ein gewisses Grenzvolumen.[ap]Als Konfiguration[edit]Diese Konfigurationsmatrix repr\u00e4sentiert die 24 Zellen.  Die Zeilen und Spalten entsprechen Eckpunkten, Kanten, Fl\u00e4chen und Zellen.  Die diagonalen Zahlen geben an, wie viele Elemente in der gesamten 24-Zellen-Zelle vorkommen.  Die nicht diagonalen Zahlen geben an, wie viele Elemente der Spalte im oder am Element der Zeile vorkommen.[2481262963333962612824]{ displaystyle { begin {bmatrix} { begin {matrix} 24 & 8 & 12 & 6 \\ 2 & 96 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 96 & 2 \\ 6 & 12 & 8 & 24  end {matrix}}  end {bmatrix}}}Da die 24-Zellen selbst dual sind, ist ihre Matrix identisch mit ihrer 180-Grad-Drehung.Symmetrien, Wurzelsysteme und Tessellationen[edit]  Die 24 Eckpunkte der 24 Zellen (rote Knoten) und ihrer dualen (gelbe Knoten) repr\u00e4sentieren die 48 Wurzelvektoren des F.4 Gruppe, wie in dieser F gezeigt4 Coxeter-EbenenprojektionDie 24 Wurzelvektoren des D.4 Das Wurzelsystem der einfachen Lie-Gruppe SO (8) bildet die Eckpunkte einer 24-Zellen.  Die Eckpunkte sind in 3 Hyperebenen zu sehen.[aq]  mit den 6 Eckpunkten einer Oktaederzelle auf jeder der \u00e4u\u00dferen Hyperebenen und 12 Eckpunkten eines Kuboktaeders auf einer zentralen Hyperebene.  Diese Eckpunkte repr\u00e4sentieren zusammen mit den 8 Eckpunkten der 16-Zellen die 32 Wurzelvektoren des B.4 und C4 einfache L\u00fcgengruppen.Die 48 Eckpunkte (oder genau genommen ihre Radiusvektoren) der Vereinigung der 24-Zellen und ihrer Dualen bilden das Wurzelsystem vom Typ F.4.  Die 24 Eckpunkte der urspr\u00fcnglichen 24-Zellen bilden ein Wurzelsystem vom Typ D.4;;  seine Gr\u00f6\u00dfe hat das Verh\u00e4ltnis \u221a2: 1.  Dies gilt ebenfalls f\u00fcr die 24 Eckpunkte seines Duals.  Die vollst\u00e4ndige Symmetriegruppe der 24-Zellen ist die Weyl-Gruppe von F.4, die durch Reflexionen durch die zu F orthogonalen Hyperebenen erzeugt wird4 Wurzeln.  Dies ist eine l\u00f6sbare Gruppe der Ordnung 1152. Die Rotationssymmetriegruppe der 24-Zellen liegt in der Ordnung 576.Quaternionische Interpretation[edit]Bei der Interpretation als Quaternionen wird das F.4Das Wurzelgitter (das die integrale Spanne der Eckpunkte der 24-Zellen ist) wird unter Multiplikation geschlossen und ist daher ein Ring.  Dies ist der Ring der integralen Hurwitz-Quaternionen.  Die Eckpunkte der 24-Zellen bilden die Gruppe der Einheiten (dh die Gruppe der invertierbaren Elemente) im Hurwitz-Quaternionsring (diese Gruppe wird auch als bin\u00e4re tetraedrische Gruppe bezeichnet).  Die Eckpunkte der 24-Zellen sind genau die 24 Hurwitz-Quaternionen mit dem Normquadrat 1, und die Eckpunkte der dualen 24-Zellen sind diejenigen mit dem Normquadrat 2. Das D.4 Wurzelgitter ist das Dual des F.4 und wird durch den Subring von Hurwitz-Quaternionen mit gerader Norm im Quadrat gegeben.Eckpunkte anderer konvexer regul\u00e4rer 4-Polytope bilden ebenfalls multiplikative Gruppen von Quaternionen, aber nur wenige von ihnen erzeugen ein Wurzelgitter.Voronoi-Zellen[edit]Die Voronoi-Zellen des D.4 Wurzelgitter sind regul\u00e4re 24-Zellen.  Die entsprechende Voronoi-Tessellation ergibt die Tessellation des 4-dimensionalen euklidischen Raums durch regul\u00e4re 24-Zellen, die 24-Zellen-Wabe.  Die 24 Zellen sind am D zentriert4 Gitterpunkte (Hurwitz-Quaternionen mit gerader Norm im Quadrat), w\u00e4hrend die Eckpunkte am F liegen4 Gitterpunkte mit ungerader Norm im Quadrat.  Jede 24-Zelle dieser Tessellation hat 24 Nachbarn.  Mit jedem von diesen teilt es ein Oktaeder.  Es hat auch 24 andere Nachbarn, mit denen es nur einen einzigen Scheitelpunkt teilt.  Acht 24-Zellen treffen sich an einem bestimmten Scheitelpunkt in dieser Tessellation.  Das Schl\u00e4fli-Symbol f\u00fcr diese Tessellation ist {3,4,3,3}.  Es ist eine von nur drei regelm\u00e4\u00dfigen Tessellationen von R.4.Die in die 24 Zellen dieser Tessellation eingeschriebenen Einheitskugeln f\u00fchren zu der dichtesten bekannten Gitterpackung von Hypersph\u00e4ren in 4 Dimensionen.  Es wurde auch gezeigt, dass die Scheitelpunktkonfiguration der 24-Zellen die h\u00f6chstm\u00f6gliche Kusszahl in 4 Dimensionen ergibt.Radial gleichseitige Wabe[edit]Die doppelte Tessellation der 24-zelligen Wabe {3,4,3,3} ist die 16-zellige Wabe {3,3,4,3}.  Die dritte regul\u00e4re Tessellation des vierdimensionalen Raums ist die tesseraktische Wabe {4,3,3,4}, deren Eckpunkte durch kartesische 4-Ganzzahl-Koordinaten beschrieben werden k\u00f6nnen.  Die kongruenten Beziehungen zwischen diesen drei Tessellationen k\u00f6nnen bei der Visualisierung der 24-Zellen hilfreich sein, insbesondere der radialen gleichseitigen Symmetrie, die sie mit dem Tesserakt teilt.[b]Eine Wabe aus 24 Zellen mit Einheitskantenl\u00e4nge kann einer Wabe aus Tesserakten mit Einheitskantenl\u00e4nge \u00fcberlagert werden, so dass jeder Scheitelpunkt eines Tesserakts (jede 4-Ganzzahl-Koordinate) auch der Scheitelpunkt einer 24-Zellen-Einheit (und eines Tesserakts) ist Kanten sind auch Kanten mit 24 Zellen), und jedes Zentrum einer 24-Zellen-Zelle ist auch das Zentrum eines Tesserakts.  Die 24-Zellen sind doppelt so gro\u00df wie die Tesserakte durch 4-dimensionalen Inhalt (Hypervolumen), so dass es insgesamt zwei Tesserakte f\u00fcr jede 24-Zelle gibt, von denen nur die H\u00e4lfte in eine 24-Zelle eingeschrieben ist.  Wenn diese Tesserakte schwarz gef\u00e4rbt sind und ihre benachbarten Tesserakte (mit denen sie eine kubische Facette teilen) rot gef\u00e4rbt sind, ergibt sich ein 4-dimensionales Schachbrett.  Von den 24 Radien von Mitte zu Scheitelpunkt[ar]  von jeder 24-Zelle sind 16 auch die Radien eines schwarzen Tesserakts, der in die 24-Zelle eingeschrieben ist.  Die anderen 8 Radien erstrecken sich au\u00dferhalb des schwarzen Tesserakts (durch die Zentren seiner kubischen Facetten) bis zu den Zentren der 8 benachbarten roten Tesserakte.  Somit fallen die 24-Zellen-Wabe und die tesseraktische Wabe auf besondere Weise zusammen: 8 der 24 Eckpunkte jeder 24-Zellen-Welle treten nicht an einem Scheitelpunkt eines Tesserakts auf (sie treten stattdessen in der Mitte eines Tesserakts auf).  Jeder schwarze Tesserakt wird aus einer 24-Zellen-Zelle herausgeschnitten, indem er an diesen 8 Eckpunkten abgeschnitten wird und 8 kubische Pyramiden abgeschnitten werden (wie bei der Umkehrung von Gossets Konstruktion, aber anstatt entfernt zu werden, werden die Pyramiden einfach rot gef\u00e4rbt und an Ort und Stelle belassen).  Acht 24-Zellen treffen sich in der Mitte jedes roten Tesserakts: Jede trifft ihr Gegenteil an diesem gemeinsamen Scheitelpunkt und die sechs anderen an einer gemeinsamen oktaedrischen Zelle.Die roten Tesserakte sind gef\u00fcllte Zellen (sie enthalten einen zentralen Scheitelpunkt und Radien);  Die schwarzen Tesserakte sind leere Zellen.  Der Scheitelpunktsatz dieser Vereinigung zweier Waben enth\u00e4lt die Scheitelpunkte aller 24 Zellen und Tesserakte sowie die Zentren der roten Tesserakte.  Das Hinzuf\u00fcgen der 24-Zellen-Zentren (die auch die schwarzen Tesseract-Zentren sind) zu dieser Wabe ergibt eine 16-Zellen-Wabe, deren Scheitelpunktsatz alle Scheitelpunkte und Zentren aller 24-Zellen und Tesseracts enth\u00e4lt.  Die ehemals leeren Zentren benachbarter 24-Zellen werden zu entgegengesetzten Eckpunkten einer 16-Zellen-Einheitskantenl\u00e4nge.  24 Halb-16-Zellen (oktaedrische Pyramiden) treffen sich an jedem ehemals leeren Zentrum, um jede 24-Zelle zu f\u00fcllen, und ihre oktaedrischen Basen sind die 6-Vertex-Oktaeder-Facetten der 24-Zelle (gemeinsam mit einer benachbarten 24-Zelle).Rotationen[edit]Es gibt drei verschiedene Ausrichtungen der tesseraktischen Wabe, die auf diese Weise mit der 24-Zellen-Wabe zusammenfallen k\u00f6nnten, abh\u00e4ngig davon, welcher der drei disjunkten S\u00e4tze von 24 Zellen mit 8 orthogonalen Eckpunkten (welcher Satz von 4 senkrechten Achsen) gew\u00e4hlt wurde um es auszurichten, so wie drei Tesserakte in die 24-Zellen eingeschrieben werden k\u00f6nnen, die gegeneinander gedreht sind.  Der Abstand von einer dieser Orientierungen zu einer anderen ist eine isokline Drehung um 60 Grad (eine doppelte Drehung von 60 Grad in jedem Paar orthogonaler Achsenebenen um einen einzelnen Fixpunkt).[at]  Diese Drehung ist am deutlichsten in den sechseckigen Mittelebenen zu sehen, in denen sich das Sechseck dreht, um zu \u00e4ndern, welcher seiner drei Durchmesser mit einer Koordinatensystemachse ausgerichtet ist.[j]Projektionen[edit]Parallele Projektionen[edit]  Projektionsh\u00fcllkurven der 24-Zellen.  (Jede Zelle wird mit verschiedenfarbigen Fl\u00e4chen gezeichnet, invertierte Zellen werden nicht gezeichnet.)Das Scheitelpunkt zuerst Die parallele Projektion der 24-Zellen in den dreidimensionalen Raum weist eine rhombische dodekaedrische H\u00fclle auf.  Zw\u00f6lf der 24 oktaedrischen Zellen projizieren paarweise auf sechs quadratische Dipyramiden, die sich im Zentrum des rhombischen Dodekaeders treffen.  Die verbleibenden 12 oktaedrischen Zellen projizieren auf die 12 rhombischen Fl\u00e4chen des rhombischen Dodekaeders.Das Zelle zuerst Die parallele Projektion der 24-Zellen in den dreidimensionalen Raum hat eine kuboktaedrische H\u00fclle.  Zwei der oktaedrischen Zellen, die dem Betrachter am n\u00e4chsten und weiter entfernt sind w-Achse, projizieren Sie auf ein Oktaeder, dessen Eckpunkte in der Mitte der quadratischen Fl\u00e4chen des Kuboktaeders liegen.  Um dieses zentrale Oktaeder herum liegen die Projektionen von 16 anderen Zellen mit 8 Paaren, die jeweils auf eines der 8 Volumina projizieren, die zwischen einer dreieckigen Fl\u00e4che des zentralen Oktaeders und der n\u00e4chsten dreieckigen Fl\u00e4che des Kuboktaeders liegen.  Die verbleibenden 6 Zellen ragen auf die quadratischen Fl\u00e4chen des Kuboktaeders.  Dies entspricht der Zerlegung des Kuboktaeders in ein regul\u00e4res Oktaeder und 8 unregelm\u00e4\u00dfige, aber gleiche Oktaeder, von denen jedes die Form der konvexen H\u00fclle eines W\u00fcrfels hat, wobei zwei gegen\u00fcberliegende Eckpunkte entfernt sind.Das Rand zuerst Parallelprojektion hat eine l\u00e4ngliche hexagonale dipyramidale H\u00fclle, und die Gesicht zuerst Die parallele Projektion hat eine ungleichm\u00e4\u00dfige hexagonale bi-antiprismische H\u00fclle.Perspektivische Projektionen[edit]Das Scheitelpunkt zuerst Die perspektivische Projektion der 24-Zellen in den dreidimensionalen Raum hat eine hexaedrische Tetrakis-H\u00fclle.  Das Layout der Zellen in diesem Bild \u00e4hnelt dem Bild bei paralleler Projektion.Die folgende Bildsequenz zeigt die Struktur der perspektivischen Projektion der 24 Zellen in drei Dimensionen.  Der 4D-Ansichtspunkt befindet sich in einem Abstand von dem F\u00fcnffachen des Scheitelpunkt-Radius der 24-Zellen.Cell-First-PerspektivprojektionIn diesem Bild wird die n\u00e4chste Zelle rot dargestellt, und die verbleibenden Zellen befinden sich in Randumrissen.  Aus Gr\u00fcnden der Klarheit wurden Zellen, die vom 4D-Standpunkt weg weisen, ausgesondert.In diesem Bild sind vier der 8 Zellen, die die n\u00e4chste Zelle umgeben, gr\u00fcn dargestellt.  Die vierte Zelle befindet sich unter diesem Gesichtspunkt hinter der zentralen Zelle (leicht erkennbar, da die rote Zelle halbtransparent ist).Schlie\u00dflich werden alle 8 Zellen angezeigt, die die n\u00e4chste Zelle umgeben, wobei die letzten vier in Magenta dargestellt sind.Beachten Sie, dass diese Bilder keine Zellen enthalten, die vom 4D-Standpunkt weg zeigen.  Daher sind hier nur 9 Zellen gezeigt.  Auf der anderen Seite der 24-Zellen befinden sich weitere 9 Zellen in identischer Anordnung.  Die verbleibenden 6 Zellen liegen am “\u00c4quator” der 24-Zellen und \u00fcberbr\u00fccken die beiden Zellens\u00e4tze.Orthogonale Projektionen[edit]Visualisierung[edit]Die 24-Zellen werden von 24 oktaedrischen Zellen begrenzt.  F\u00fcr Visualisierungszwecke ist es zweckm\u00e4\u00dfig, dass das Oktaeder gegen\u00fcberliegende parallele Fl\u00e4chen aufweist (eine Eigenschaft, die es mit den Zellen des Tesseracts und der 120-Zellen teilt).  Man kann Oktaeder von Angesicht zu Angesicht in einer geraden Linie stapeln, die in der 4. Richtung zu einem gro\u00dfen Kreis mit einem Umfang von 6 Zellen gebogen ist.  Die Zellpositionen eignen sich f\u00fcr eine hypersph\u00e4rische Beschreibung.  W\u00e4hlen Sie eine beliebige Zelle und bezeichnen Sie sie als “Nordpol”.  Acht Gro\u00dfkreismeridiane (zwei Zellen lang) strahlen dreidimensional aus und laufen an der 3. “S\u00fcdpol” -Zelle zusammen.  Dieses Skelett macht 18 der 24 Zellen aus (2 +) 8\u00d72).  Siehe die folgende Tabelle.In der 24-Zellen gibt es einen weiteren verwandten Gro\u00dfkreis, den Dualen des obigen.  Ein Pfad, der 6 Eckpunkte ausschlie\u00dflich entlang der Kanten durchquert, befindet sich im Dual dieses Polytops, das selbst ist, da es selbst dual ist.  Dies sind die oben beschriebenen hexagonalen Geod\u00e4ten.  Diesen Weg kann man leicht in einer Darstellung des \u00e4quatorialen Kuboktaederquerschnitts verfolgen.Ausgehend vom Nordpol k\u00f6nnen wir die 24-Zellen in 5 Breitenschichten aufbauen.  Mit Ausnahme der Pole repr\u00e4sentiert jede Schicht eine separate 2-Kugel, wobei der \u00c4quator eine gro\u00dfe 2-Kugel ist.  Die in der folgenden Tabelle als \u00e4quatorial bezeichneten Zellen sind interstitiell zu den Meridian-Gro\u00dfkreiszellen.  Die interstitiellen “\u00e4quatorialen” Zellen ber\u00fchren die Meridianzellen an ihren Gesichtern.  Sie ber\u00fchren sich und die Polzellen an ihren Eckpunkten.  Diese letztere Untergruppe von acht Nicht-Meridian- und Polzellen hat dieselbe relative Position zueinander wie die Zellen in einem Tesserakt (8 Zellen), obwohl sie sich an ihren Eckpunkten anstatt an ihren Gesichtern ber\u00fchren.Layer #Anzahl der ZellenBeschreibungColatitudeRegion11 ZelleNordpol0 \u00b0N\u00f6rdliche Hemisph\u00e4re28 ZellenErste Schicht von Meridianzellen60 \u00b036 ZellenNichtmeridian \/ Interstitial90 \u00b0\u00c4quator48 ZellenZweite Schicht von Meridianzellen120 \u00b0S\u00fcdlichen Hemisph\u00e4re51 ZelleS\u00fcdpol180 \u00b0Gesamt24 Zellen  Eine perspektivische Projektion mit Randmitte, die einen von vier Ringen mit 6 Oktaedern um den \u00c4quator zeigtDie 24-Zellen k\u00f6nnen in disjunkte S\u00e4tze von vier dieser 6-Zellen-Gro\u00dfkreisringe unterteilt werden, wodurch eine diskrete Hopf-Fibration von vier ineinandergreifenden Ringen gebildet wird.  Ein Ring ist “vertikal” und umfasst die Polzellen und vier Meridianzellen.  Die anderen drei Ringe umfassen jeweils zwei \u00c4quatorzellen und vier Meridianzellen, zwei aus der n\u00f6rdlichen Hemisph\u00e4re und zwei aus der s\u00fcdlichen.Beachten Sie, dass dieser Sechskant-Gro\u00dfkreispfad impliziert, dass der Innen- \/ Diederwinkel zwischen benachbarten Zellen 180 – 360\/6 = 120 Grad betr\u00e4gt.  Dies legt nahe, dass Sie nebeneinander genau drei 24-Zellen in einer Ebene stapeln und eine 4-D-Wabe aus 24 Zellen bilden k\u00f6nnen, wie zuvor beschrieben.Man kann auch einer Gro\u00dfkreisroute durch die gegen\u00fcberliegenden Eckpunkte der Oktaeder folgen, die vier Zellen lang ist.  Dies sind die quadratischen Geod\u00e4ten entlang vier \u221a2  oben beschriebene Akkorde.  Dieser Weg entspricht einer diagonalen Durchquerung der Quadrate im Kuboktaederquerschnitt.  Die 24-Zellen-Zelle ist das einzige regul\u00e4re Polytop in mehr als zwei Dimensionen, bei dem Sie einen Gro\u00dfkreis nur durch gegen\u00fcberliegende Eckpunkte (und das Innere) jeder Zelle durchqueren k\u00f6nnen.  Dieser gro\u00dfe Kreis ist selbst dual.  Dieser Pfad wurde oben in Bezug auf den Satz von 8 Nicht-Meridian- (\u00c4quatorial-) und Polzellen angesprochen.  Die 24-Zellen k\u00f6nnen in drei 8-Zellen-Teilmengen aufgeteilt werden, die jeweils die Organisation eines Tesserakts haben.  Jede dieser Untergruppen kann weiter in zwei ineinandergreifende Gro\u00dfkreis-Ketten mit vier Zellen L\u00e4nge aufgeteilt werden.  Zusammen erzeugen diese drei Untergruppen jetzt eine weitere diskrete Hopf-Fibration mit sechs Ringen.Drei Coxeter-Gruppenkonstruktionen[edit]Es gibt zwei Formen mit niedrigerer Symmetrie der 24-Zellen, abgeleitet als gleichgerichtete 16-Zellen, mit B4 oder [3,3,4] Symmetrie zweifarbig gezeichnet mit 8 und 16 oktaedrischen Zellen.  Schlie\u00dflich kann es aus D konstruiert werden4 oder [31,1,1] Symmetrie und dreifarbig mit jeweils 8 Oktaedern gezeichnet.Drei Netze der 24 Zellen mit durch D gef\u00e4rbten Zellen4B.4und F.4 SymmetrieKorrigierter DemitesseraktKorrigierte 16-ZellenRegelm\u00e4\u00dfige 24-ZellenD.4, [31,1,1], Bestellung 192B.4, [3,3,4], Bestellung 384F.4, [3,4,3], Bestellung 1152Drei S\u00e4tze von 8 gleichgerichteten tetraedrischen ZellenEin Satz von 16 gleichgerichteten tetraedrischen Zellen und ein Satz von 8 oktaedrischen Zellen.Ein Satz von 24 oktaedrischen ZellenScheitelpunktfigur(Jede Kante entspricht einer dreieckigen Fl\u00e4che, die durch Symmetrieanordnung gef\u00e4rbt ist.)Verwandte komplexe Polygone[edit]Das regul\u00e4re komplexe Polygon 4{3}4,   oder   enth\u00e4lt die 24 Eckpunkte der 24-Zellen und 24 4-Kanten, die den zentralen Quadraten von 24 von 48 oktaedrischen Zellen entsprechen.  Seine Symmetrie ist 4[3]4, Bestellung 96.Das regul\u00e4re komplexe Polytop 3{4}3,   oder , im C.2{ displaystyle  mathbb {C} ^ {2}}  hat eine reale Darstellung als 24-Zellen im 4-dimensionalen Raum. 3{4}3 hat 24 Eckpunkte und 24 3-Kanten.  Seine Symmetrie ist 3[4]3, Bestellung 72.Verwandte Figuren in orthogonalen ProjektionenName{3,4,3}, 4{3}4, 3{4}3, Symmetrie[3,4,3], , Bestellung 11524[3]4, , Bestellung 963[4]3, , Bestellung 72Eckpunkte242424Kanten96 2-Kanten24 4-Rand24 3-KantenBild24 Zellen in der F4-Coxeter-Ebene mit 24 Eckpunkten in zwei Ringen mit 12 und 96 Kanten.4{3}4,   hat 24 Eckpunkte und 32 4-Kanten, hier mit 8 roten, gr\u00fcnen, blauen und gelben quadratischen 4-Kanten.3{4}3 oder   hat 24 Eckpunkte und 24 3-Kanten, hier gezeigt mit 8 roten, 8 gr\u00fcnen und 8 blauen quadratischen 3-Kanten, wobei blaue Kanten gef\u00fcllt sind.Verwandte 4-Polytope[edit]Durch Verk\u00fcrzung k\u00f6nnen mehrere einheitliche 4-Polytope aus den 24-Zellen abgeleitet werden:Die 96 Kanten der 24-Zellen k\u00f6nnen in den goldenen Schnitt unterteilt werden, um die 96 Eckpunkte der 24-Zellen-Snub zu erzeugen.  Dies erfolgt, indem zuerst Vektoren entlang der Kanten der 24 Zellen so platziert werden, dass jede zweidimensionale Fl\u00e4che durch einen Zyklus begrenzt wird, und dann jede Kante in \u00e4hnlicher Weise entlang der Richtung ihres Vektors in den goldenen Schnitt unterteilt wird.  Eine analoge Modifikation eines Oktaeders erzeugt ein Ikosaeder oder “Stupsoktaeder”.Die 24-Zellen-Zelle ist das einzigartige konvexe selbst-duale regul\u00e4re euklidische Polytop, das weder ein Polygon noch ein Simplex ist.  Die Lockerung des Konvexit\u00e4tszustands l\u00e4sst zwei weitere Zahlen zu: die gro\u00dfen 120-Zellen- und die gro\u00dfartigen 120-Zellen-Sternchen.  Mit sich selbst kann es eine Polytopverbindung bilden: die Verbindung von zwei 24-Zellen.Verwandte einheitliche Polytope[edit]D.4 einheitliche Polychora{3,31,1}}h {4,3,3}2r {3,31,1}}h3{4,3,3}t {3,31,1}}h2{4,3,3}2t {3,31,1}}h2,3{4,3,3}r {3,31,1}}{31,1,1} = {3,4,3}rr {3,31,1}}r {31,1,1} = r {3,4,3}tr {3,31,1}}t {31,1,1} = t {3,4,3}sr {3,31,1}}s {31,1,1} = s {3,4,3}Polytope der 24-Zell-FamilieName24 Zellenverk\u00fcrzte 24-ZellenStups 24-Zellenkorrigierte 24-ZellenCantellated 24-Zellenbitruncated 24-cellcantitruncated 24-cellruncinierte 24-Zellenruncitruncated 24-cellomnitruncated 24-cellSchl\u00e4fliSymbol{3,4,3}t0,1{3,4,3}t {3,4,3}s {3,4,3}t1{3,4,3}r {3,4,3}t0,2{3,4,3}rr {3,4,3}t1,2{3,4,3}2t {3,4,3}t0,1,2{3,4,3}tr {3,4,3}t0,3{3,4,3}t0,1,3{3,4,3}t0,1,2,3{3,4,3}CoxeterDiagrammSchlegelDiagrammF.4B.4B.3(ein)B.3(b)B.2Die 24-Zellen k\u00f6nnen auch als gleichgerichtete 16-Zellen abgeleitet werden:B4-SymmetriepolytopeNameTesseractkorrigiertTesseractgek\u00fcrztTesseractkantelliertTesseractrunciniertTesseractbitruncatedTesseractcantitruncatedTesseractruncitruncatedTesseractomnitruncatedTesseractCoxeterDiagramm= = Schl\u00e4fliSymbol{4,3,3}t1{4,3,3}r {4,3,3}t0,1{4,3,3}t {4,3,3}t0,2{4,3,3}rr {4,3,3}t0,3{4,3,3}t1,2{4,3,3}2t {4,3,3}t0,1,2{4,3,3}tr {4,3,3}t0,1,3{4,3,3}t0,1,2,3{4,3,3}SchlegelDiagrammB.4Name16 Zellenkorrigiert16 Zellengek\u00fcrzt16 Zellenkantelliert16 Zellenrunciniert16 Zellenbitruncated16 Zellencantitruncated16 Zellenruncitruncated16 Zellenomnitruncated16 ZellenCoxeterDiagramm= = = = = = Schl\u00e4fliSymbol{3,3,4}t1{3,3,4}r {3,3,4}t0,1{3,3,4}t {3,3,4}t0,2{3,3,4}rr {3,3,4}t0,3{3,3,4}t1,2{3,3,4}2t {3,3,4}t0,1,2{3,3,4}tr {3,3,4}t0,1,3{3,3,4}t0,1,2,3{3,3,4}SchlegelDiagrammB.4{3,p, 3} PolytopeRaumS.3H.3BildenEndlichKompaktParakompaktNicht kompakt{3,p,3}{3,3,3}{3,4,3}{3,5,3}{3,6,3}{3,7,3}{3,8,3}… {3, \u221e, 3}BildZellen{3,3}{3,4}{3,5}{3,6}{3,7}{3,8}{3, \u221e}ScheitelZahl{3,3}{4,3}{5,3}{6,3}{7,3}{8,3}{\u221e, 3}Siehe auch[edit]^ Die 24-Zellen sind eines von nur drei selbst-dualen regul\u00e4ren euklidischen Polytopen, die weder ein Polygon noch ein Simplex sind.  Die anderen beiden sind ebenfalls 4-Polytope, aber nicht konvex: die gro\u00dfartigen 120-Zellen und die gro\u00dfen 120-Zellen.^ ein b c d e f G Der lange Radius (Mitte zum Scheitelpunkt) der 24-Zellen entspricht ihrer Kantenl\u00e4nge.  somit betr\u00e4gt sein langer Durchmesser (Scheitelpunkt zum gegen\u00fcberliegenden Scheitelpunkt) 2 Kantenl\u00e4ngen.  Nur wenige einheitliche Polytope haben diese Eigenschaft, einschlie\u00dflich des vierdimensionalen 24-Zellen- und Tesserakts, des dreidimensionalen Kuboktaeders und des zweidimensionalen Sechsecks.  (Das Kuboktaeder ist der \u00e4quatoriale Querschnitt der 24-Zellen, und das Sechseck ist der \u00e4quatoriale Querschnitt des Kuboktaeders.) Radial gleichseitig Polytope sind solche, die mit ihren langen Radien aus gleichseitigen Dreiecken konstruiert werden k\u00f6nnen, die sich in der Mitte des Polytops treffen und jeweils zwei Radien und eine Kante beitragen.^ Die konvexen regelm\u00e4\u00dfigen Polytope in den ersten vier Dimensionen mit einer 5 im Schl\u04d3fli-Symbol sind das F\u00fcnfeck {5}, das Dodekaeder {5, 3}, das 600-Zellen {3,3,5} und das 120-Zellen {5, 3,3}.  Mit anderen Worten, die 24-Zellen besitzen alle der dreieckigen und quadratischen Merkmale, die in vier Dimensionen mit Ausnahme der regul\u00e4ren 5-Zellen existieren, aber keiner der f\u00fcnfeckigen Merkmale.^ Die konvexen regul\u00e4ren 4-Polytope k\u00f6nnen nach Gr\u00f6\u00dfe als Ma\u00df f\u00fcr den 4-dimensionalen Gehalt (Hypervolumen) bei gleichem Radius geordnet werden.  Jedes gr\u00f6\u00dfere Polytop in der Sequenz ist runder als sein Vorg\u00e4nger, mehr Inhalt innerhalb des gleichen Radius einschlie\u00dfen.  Der 4-Simplex (5-Zellen) ist der kleinste Grenzfall und der 120-Zellen-Fall der gr\u00f6\u00dfte.  Die Komplexit\u00e4t (gemessen durch Vergleichen der Konfigurationsmatrizen oder einfach der Anzahl der Eckpunkte) folgt der gleichen Reihenfolge.  Dies bietet ein alternatives numerisches Benennungsschema f\u00fcr regul\u00e4re Polytope, bei denen die 24-Zelle das 24-Punkt-4-Polytop ist: das vierte in der aufsteigenden Sequenz, die vom 5-Punkt-4-Polytop zum 600-Punkt-4-Polytop verl\u00e4uft.^ Die Kantenl\u00e4nge ist immer unterschiedlich, es sei denn, Vorg\u00e4nger und Nachfolger sind es beide radial gleichseitig, dh ihre Kantenl\u00e4nge ist die gleich als ihr Radius (so bleiben beide erhalten).  Da radial gleichseitige Polytope[b]  sind selten, es scheint, dass die einzige solche Konstruktion (in jeder Dimension) von 8-Zellen bis 24-Zellen besteht, was die 24-Zellen zum einzigartigen regul\u00e4ren Polytop (in jeder Dimension) macht, das die gleiche Kantenl\u00e4nge wie sein Vorg\u00e4nger hat mit dem gleichen Radius.^ ein b Bis zu 6 Ebenen k\u00f6nnen in 4 Dimensionen zueinander orthogonal sein.  Der dreidimensionale Raum nimmt nur 3 senkrechte Achsen und 3 senkrechte Ebenen durch einen einzelnen Punkt auf.  Im 4-dimensionalen Raum k\u00f6nnen wir 4 senkrechte Achsen und 6 senkrechte Ebenen durch einen Punkt haben (aus dem gleichen Grund, aus dem der Tetraeder 6 Kanten hat, nicht 4): Es gibt 6 M\u00f6glichkeiten, 4 Dimensionen 2 gleichzeitig zu nehmen.  Drei solcher Paare (senkrechte Ebenen) treffen sich an jedem Scheitelpunkt (aus demselben Grund, aus dem sich drei Kanten des Tetraeders an jedem Scheitelpunkt treffen).^ Die Kanten der Quadrate sind an den Gitterlinien dieses Koordinatensystems ausgerichtet.  Zum Beispiel:(  0, \u20131,  1,  0)   (  0,  1,  1,  0)(  0, \u20131, \u20131,  0)   (  0,  1, \u20131,  0)ist das Quadrat in der xy Flugzeug.  Die Kanten der Quadrate sind keine Kanten mit 24 Zellen, sondern innere Akkorde, die zwei Eckpunkte 90 verbinden\u00d6 voneinander entfernt;  Die Quadrate sind also lediglich unsichtbare Konfigurationen von vier Eckpunkten der 24-Zellen, keine sichtbaren 24-Zellen-Merkmale.^ ein b c d Zwei Ebenen im 4-dimensionalen Raum k\u00f6nnen vier m\u00f6gliche wechselseitige Positionen haben: (1) sie k\u00f6nnen zusammenfallen (genau dieselbe Ebene sein);  (2) sie k\u00f6nnen parallel sein (der einzige Weg, auf dem sie sich \u00fcberhaupt nicht schneiden k\u00f6nnen);  (3) sie k\u00f6nnen sich in einer einzigen Linie schneiden, wie es zwei nicht parallele Ebenen im dreidimensionalen Raum tun;  oder (4) Sie k\u00f6nnen sich in einem einzigen Punkt schneiden: und sie Muss, wenn und nur wenn sie vollst\u00e4ndig sind[z]  aufrecht;;  Dies ist die \u00fcberraschende, nicht intuitive Sache dar\u00fcber, wie sich Ebenen im 4-Raum schneiden.^ Die Kanten der orthogonalen \u00e4quatorialen Quadrate sind nicht ausgerichtet mit den Gitterlinien des Einheitsradius-Koordinatensystems.  Die Quadrate liegen in den 6 orthogonalen Ebenen des Koordinatensystems, aber ihre Kanten sind die \u221a2 Diagonalen von Einheitskantenl\u00e4ngenquadraten des Koordinatengitters.  Zum Beispiel:(  0,  0,  1,  0)(  0, \u20131,  0,  0)   (  0,  1,  0,  0)(  0,  0, \u20131,  0)ist das Quadrat in der xy Flugzeug.  Beachten Sie, dass die 8 ganze Zahl Koordinaten umfassen die Eckpunkte der 6 orthogonalen Quadrate.^ ein b c Die senkrechten Sechsecke sind in Bezug auf die orthogonalen Ebenen des Einheitsradius-Koordinatensystems geneigt (geneigt).  Jedes Sechseck besteht aus 3 Paaren gegen\u00fcberliegender Eckpunkte (drei 24-Zellen-Durchmesser): einem gegen\u00fcberliegenden Paar von ganze Zahl Koordinatenscheitelpunkte (eine der vier Koordinatenachsen) und zwei gegen\u00fcberliegende Paare von halbe ganze Zahl Koordinatenscheitelpunkte (keine Koordinatenachsen).  Zum Beispiel:(  0,  0,  1,  0)(  1\/.2, –1\/.2,  1\/.2, –1\/.2)   (  1\/.2,  1\/.2,  1\/.2,  1\/.2)(-1\/.2, –1\/.2, –1\/.2, –1\/.2)   (-1\/.2,  1\/.2, –1\/.2,  1\/.2)(  0,  0, \u20131,  0)ist ein Sechseck auf der y Achse.  im Gegensatz zu den \u221a2  Quadrate, die Sechsecke bestehen tats\u00e4chlich aus 24-Zellen-Kanten, so dass sie sichtbare Merkmale der 24-Zellen sind.^ ein b Es ist nat\u00fcrlich schwierig, vier hexagonale Ebenen zu visualisieren, die alle senkrecht zueinander stehen.  Man kann sie im Kuboktaeder sehen (eine Projektion der 24-Zellen in 3-Dimensionen), wo sie in einem Winkel von 60 Grad zueinander zu stehen scheinen.  In der dreidimensionalen Projektion scheinen sich zwei von vier nicht orthogonalen Sechsecken an jedem der 12 Eckpunkte zu schneiden, aber dies sind tats\u00e4chlich 16 Sechsecke und 24 Eckpunkte.  In 4 Dimensionen schneiden sich 4 nicht orthogonale Sechsecke an jedem Scheitelpunkt, aber auch vier orthogonale Sechsecke schneiden sich nur in ihrem gemeinsamen Zentrum, so dass jedes von ihnen einen disjunkten Satz von 6 der 24 Scheitelpunkte durchl\u00e4uft.^ ein b Diese Dreiecke liegen in denselben orthogonalen Ebenen, die die Sechsecke enthalten.[j]  zwei Dreiecke mit Kantenl\u00e4nge \u221a3  sind in jedes Sechseck eingeschrieben.  Zum Beispiel in Einheitsradiuskoordinaten:(  0,  0,  1,  0)(  1\/.2, –1\/.2,  1\/.2, –1\/.2)   (  1\/.2,  1\/.2,  1\/.2,  1\/.2)(-1\/.2, –1\/.2, –1\/.2, –1\/.2)   (-1\/.2,  1\/.2, –1\/.2,  1\/.2)(  0,  0, \u20131,  0)sind zwei gegen\u00fcberliegende zentrale Dreiecke auf der y Achse, wobei jedes Dreieck durch die Eckpunkte in abwechselnden Reihen gebildet wird.  Im Gegensatz zu den Sechsecken ist die \u221a3  Dreiecke bestehen nicht aus tats\u00e4chlichen 24-Zellen-Kanten, daher sind sie unsichtbare Merkmale der 24-Zellen-Kanten wie die \u221a2  Quadrate.^ Dies sind nicht die orthogonalen Ebenen des Koordinatensystems;  Die Kanten dieser Dreiecke sind die Diagonalen der kubischen Zellen des Koordinatengitters des Einheitsradius der L\u00e4nge \u221a3.^ Sie umgeben den Scheitelpunkt (im dreidimensionalen Raum der Grenzfl\u00e4che der 24 Zellen) so, wie die 8 Ecken eines W\u00fcrfels seine Mitte umgeben.  (Die Scheitelpunktzahl der 24-Zellen ist ein W\u00fcrfel.)^ Sie umgeben den Scheitelpunkt im dreidimensionalen Raum so, wie die 6 Ecken eines Oktaeders seine Mitte umgeben.^ ein b Innenmerkmale werden nicht als Elemente des Polytops betrachtet.  Zum Beispiel ist das Zentrum einer 24-Zellen-Zelle ein bemerkenswertes Merkmal (ebenso wie ihre langen Radien), aber diese inneren Merkmale z\u00e4hlen nicht als Elemente in ihrer Konfigurationsmatrix, die nur elementare Merkmale z\u00e4hlt (diejenigen, die sich nicht in einem anderen befinden) Merkmal einschlie\u00dflich des Polytops selbst).  Innenausstattung wird in den meisten Diagrammen und Abbildungen in diesem Artikel nicht gerendert (sie sind normalerweise unsichtbar).  In Abbildungen, die Innenmerkmale zeigen, zeichnen wir Innenkanten immer als gestrichelte Linien, um sie von Elementarkanten zu unterscheiden.^ ein b Der zentrale Scheitelpunkt ist a kanonische Spitze weil es eine Kantenl\u00e4nge ist, die \u00e4quidistant von den gew\u00f6hnlichen Eckpunkten in der 4. Dimension ist, da die Spitze einer kanonischen Pyramide eine Kantenl\u00e4nge \u00e4quidistant von ihren anderen Eckpunkten ist.^ Also (\u221a1, \u221a2, \u221a3, \u221a4) sind die Vertex-Akkordl\u00e4ngen des Tesseracts sowie der 24-Zellen.  Sie sind auch die Durchmesser des Tesserakts (von kurz bis lang), jedoch nicht der 24-Zellen.^ Wenn der pythagoreische Abstand zwischen zwei beliebigen Eckpunkten ist \u221a1betr\u00e4gt ihre geod\u00e4tische Entfernung 1;  Sie k\u00f6nnen zwei benachbarte Scheitelpunkte (im gekr\u00fcmmten 3-Raum der Oberfl\u00e4che) oder ein Scheitelpunkt und das Zentrum (im 4-Raum) sein.  Wenn ihre pythagoreische Entfernung ist \u221a2betr\u00e4gt ihre geod\u00e4tische Entfernung 2 (ob \u00fcber 3-Raum oder 4-Raum, da der Pfad entlang der Kanten dieselbe gerade Linie mit einer 90 ist\u00d6 biegen Sie es als den Weg durch die Mitte).  Wenn ihre pythagoreische Entfernung ist \u221a3betr\u00e4gt ihre geod\u00e4tische Entfernung immer noch 2 (ob auf einem sechseckigen Gro\u00dfkreis nach einer 60)\u00d6 Biegung oder als gerade Linie mit einer 60\u00d6 biegen Sie es durch die Mitte).  Schlie\u00dflich, wenn ihre pythagoreische Entfernung ist \u221a4Ihre geod\u00e4tische Entfernung betr\u00e4gt immer noch 2 im 4-Raum (direkt durch die Mitte), aber sie erreicht 3 im 3-Raum (indem sie sich auf halber Strecke um einen sechseckigen Gro\u00dfkreis bewegt).^ ein b c d e Die Scheitelpunktfigur ist die Facette, die durch Abschneiden eines Scheitelpunkts erstellt wird.  kanonisch an den auf den Scheitelpunkt einfallenden Mittelkanten.  Man kann jedoch \u00e4hnliche Scheitelpunktfiguren mit unterschiedlichen Radien erstellen, indem man an einem beliebigen Punkt entlang dieser Kanten abschneidet, bis einschlie\u00dflich an den benachbarten Scheitelpunkten, um a zu schneiden volle Gr\u00f6\u00dfe Scheitelpunktfigur.  Das dient hier dem veranschaulichenden Zweck.^ Acht \u221a1  Kanten konvergieren im dreidimensionalen Raum von den Ecken der kubischen Scheitelpunktfigur der 24 Zellen[t]  und treffen sich in seiner Mitte (dem Scheitelpunkt), wo sie 4 gerade Linien bilden, die sich dort kreuzen.  Die 8 Eckpunkte des W\u00fcrfels sind die acht n\u00e4chstgelegenen anderen Eckpunkte der 24-Zellen.  Die geraden Linien sind Geod\u00e4ten: zwei \u221a1-L\u00e4ngensegmente einer scheinbar geraden Linie (im 3-Raum der gekr\u00fcmmten Oberfl\u00e4che der 24-Zelle), die in der 4. Dimension zu einem Gro\u00dfkreis-Sechseck (im 4-Raum) gebogen ist.  Aus diesem gekr\u00fcmmten 3-Raum heraus sind die Biegungen in den Sechsecken unsichtbar.  Von au\u00dfen (wenn wir die 24-Zellen im 4-Raum betrachten k\u00f6nnten) w\u00fcrden sich die geraden Linien in der 4. Dimension an den W\u00fcrfelzentren verbiegen, da das Zentrum in der 4. Dimension au\u00dferhalb der definierten Hyperebene nach au\u00dfen verschoben ist durch die Eckpunkte des W\u00fcrfels.  Somit ist der Scheitelpunktw\u00fcrfel tats\u00e4chlich eine kubische Pyramide.^ Sechs \u221a2  Akkorde konvergieren im 3-Raum von den Gesichtsmitten der kubischen Scheitelpunktfigur der 24 Zellen[t]  und treffen sich in seiner Mitte (dem Scheitelpunkt), wo sie 3 gerade Linien bilden, die sich dort senkrecht kreuzen.  Die 8 Eckpunkte des W\u00fcrfels sind die acht n\u00e4chstgelegenen anderen Eckpunkte der 24-Zellen und acht \u221a1  Kanten konvergieren von dort, aber lassen Sie uns sie jetzt ignorieren, da 7 gerade Linien, die sich in der Mitte kreuzen, verwirrend sind, um alle auf einmal zu visualisieren.  Jeder der sechs \u221a2  Akkorde verlaufen von der Mitte dieses W\u00fcrfels (dem Scheitelpunkt) durch eine Gesichtsmitte zur Mitte eines benachbarten (fl\u00e4chengebundenen) W\u00fcrfels, der ein weiterer Scheitelpunkt der 24-Zellen ist: kein n\u00e4chster Scheitelpunkt (an den W\u00fcrfelecken), sondern einer befindet sich 90 \u00b0 entfernt in einer zweiten konzentrischen Schale von sechs \u221a2-entfernte Eckpunkte, die die erste Schale von acht umgeben \u221a1-entfernte Eckpunkte.  Das Gesichtszentrum, durch das die \u221a2  Akkordp\u00e4sse sind der Mittelpunkt des \u221a2  Akkord, so liegt es in der 24-Zellen.^ Man kann die 24-Zellen durch 6 Eckpunkte (in jeder hexagonalen Gro\u00dfkreisebene) oder durch 4 Eckpunkte (in jeder quadratischen Gro\u00dfkreisebene) in zwei gleiche Teile schneiden.  Man kann dies im Kuboktaeder (der zentralen Hyperebene der 24-Zellen) sehen, wo es vier sechseckige Gro\u00dfkreise (entlang der Kanten) und sechs quadratische Gro\u00dfkreise (diagonal \u00fcber die quadratischen Fl\u00e4chen) gibt.^ Acht \u221a3  Akkorde laufen aus den Ecken der kubischen Scheitelpunktfigur der 24 Zellen zusammen[t]  und treffen sich in seiner Mitte (dem Scheitelpunkt), wo sie 4 gerade Linien bilden, die sich dort kreuzen.  Jeder der acht \u221a3  Die Akkorde verlaufen von der Mitte dieses W\u00fcrfels zur Mitte eines diagonal benachbarten (vertexgebundenen) W\u00fcrfels, der ein weiterer Scheitelpunkt der 24-Zellen ist: einer befindet sich 120 \u00b0 entfernt in einer dritten konzentrischen Achtschale \u221a3-entfernte Eckpunkte, die die zweite Sechserschale umgeben \u221a2-entfernte Eckpunkte, die die erste Schale von acht umgeben \u221a1-entfernte Eckpunkte.^ Jedes Paar parallel \u221a1  Kanten verbinden ein Paar von parallelen \u221a3  Akkorde bilden eines von 48 Rechtecken und jedes Paar parallel \u221a2  Akkorde verbinden ein weiteres Paar von Parallelen \u221a2  Akkorde bilden eines von 18 Quadraten.^ ein b Man nennt zwei flache Ebenen A und B eines euklidischen Raumes von vier Dimensionen vollst\u00e4ndig orthogonal genau dann, wenn jede Linie in A orthogonal zu jeder Linie in B ist. In diesem Fall schneiden sich die Ebenen A und B an einem einzelnen Punkt O, so dass sich eine Linie in A mit einer Linie in B schneidet, wenn sie sich bei O schneidet.^ Jede Gro\u00dfkreisebene schneidet sich mit den anderen Gro\u00dfkreisebenen, zu denen sie nicht orthogonal ist \u221a4  Durchmesser der 24-Zellen.  Somit teilen sich zwei nicht orthogonale Quadrate oder Sechsecke zwei gegen\u00fcberliegende Eckpunkte, im Gegensatz zu zwei orthogonalen Gro\u00dfkreispolygonen, die au\u00dfer ihrem gemeinsamen Zentrum keine Punkte gemeinsam haben.  Zwei nicht orthogonale Gro\u00dfkreisdreiecke teilen sich nur einen Scheitelpunkt, da ihnen entgegengesetzte Scheitelpunkte fehlen.^ Die 600-Zellen sind gr\u00f6\u00dfer als die 24-Zellen und enthalten die 24-Zellen als Innenmerkmal.  Die regul\u00e4re 5-Zelle findet im Inneren kein 4-Polytop au\u00dfer der 120-Zelle, obwohl jedes 4-Polytop in unregelm\u00e4\u00dfige 5-Zellen zerlegt werden kann.^ Wir k\u00f6nnen einen Scheitelpunkt mit einem 0-dimensionalen Schneidinstrument (wie der Spitze eines Messers oder dem Kopf eines Rei\u00dfverschlusses) von einem Polygon abschneiden, indem wir ihn entlang einer eindimensionalen Linie streichen und eine neue Kante freigeben.  Wir k\u00f6nnen einen Scheitelpunkt eines Polyeders mit einer eindimensionalen Schneide (wie ein Messer) abschneiden, indem wir ihn durch eine zweidimensionale Gesichtsebene streichen und ein neues Gesicht freigeben.  Wir k\u00f6nnen einen Scheitelpunkt von einem Polychoron (einem 4-Polytop) mit einer zweidimensionalen Schnittebene (wie einem Schneepflug) abschneiden, indem wir ihn durch ein dreidimensionales Zellvolumen streichen und eine neue Zelle freilegen.  Beachten Sie, dass wie innerhalb der neuen Kantenl\u00e4nge des Polygons oder des neuen Fl\u00e4chenbereichs des Polyeders jeder Punkt innerhalb des neuen Zellvolumens jetzt auf der Oberfl\u00e4che des Polychors freigelegt ist.^ Jede Zellfl\u00e4chenebene schneidet sich mit den anderen Gesichtsebenen ihrer Art, zu denen sie an ihrer charakteristischen Scheitelpunktsehnenkante nicht vollst\u00e4ndig orthogonal oder parallel ist.  Es mag paradox erscheinen, dass sich benachbarte Fl\u00e4chenebenen von orthogonal gerichteten Zellen (wie W\u00fcrfel) an einer Kante schneiden (wie dies offensichtlich der Fall ist), da Ebenen sich nicht im 4-Raum schneiden d\u00fcrfen (au\u00dfer an einem einzelnen Punkt). wenn sie vollst\u00e4ndig orthogonal sind.[h]  Die Aufl\u00f6sung dieses offensichtlichen Paradoxons besteht darin, dass benachbarte Fl\u00e4chenebenen solcher 4-Polytopzellen dies nicht sind vollst\u00e4ndig[z]  orthogonal im 4-Raum.  Obwohl ihr Diederwinkel im Grenzraum 3 90 Grad betr\u00e4gt, liegen sie in derselben Hyperebene (sie fallen in der vierten Dimension eher zusammen als senkrecht);  Somit schneiden sie sich in einer Linie, wie es nicht parallele Ebenen in jedem 3-Raum tun.^ Die einzigen Ebenen durch genau 6 Eckpunkte der 24-Zellen (ohne den zentralen Eckpunkt) sind die 16 hexagonalen Gro\u00dfkreise.  Es gibt keine Ebenen durch genau 5 Eckpunkte.  Es gibt verschiedene Arten von Ebenen durch genau 4 Eckpunkte: die 18 \u221a2  quadratische gro\u00dfe Kreise, die 72 \u221a1  quadratische (tesseract) Gesichter und 144 \u221a1  durch \u221a2  Rechtecke.  Die Ebenen durch genau 3 Eckpunkte sind die 96 \u221a2  gleichseitige Dreiecksfl\u00e4chen (16 Zellen) und die 96 \u221a1  gleichseitige Dreiecksfl\u00e4chen (24 Zellen).^ Die kubische Scheitelpunktzahl der 24 Zellen[t]  wurde auf eine tetraedrische Scheitelpunktfigur abgeschnitten (siehe Keplers Zeichnung).  Der Scheitelpunktw\u00fcrfel ist verschwunden, und jetzt gibt es nur noch 4 Ecken der Scheitelpunktfigur, wo es zuvor 8 gab. Vier Tesseraktkanten laufen von den Tetraederscheitelpunkten zusammen und treffen sich in ihrer Mitte, wo sie sich nicht kreuzen (da der Tetraeder keine Gegens\u00e4tze hat) Eckpunkte).^ ein b c Der gemeinsame Kern ist die 24-Zellen-Doppel-24-Zelle mit Kantenl\u00e4nge und Radius 1\/2.  Das Korrigieren einer der drei 16-Zellen zeigt diese kleinere 24-Zelle, die einen 4-Gehalt von nur 1\/8 (1\/16 des 24-Zellen) aufweist.  Seine Eckpunkte liegen in den Zentren der oktaedrischen Zellen der 24 Zellen, die auch die Zentren der quadratischen Fl\u00e4chen der Tesserakte sind, und sind auch die Zentren der Kanten der 16 Zellen.^ Die kubische Scheitelpunktzahl der 24 Zellen[t]  wurde auf eine oktaedrische Scheitelpunktfigur abgeschnitten.  Der Scheitelpunktw\u00fcrfel ist verschwunden, und jetzt gibt es nur noch 6 Ecken der Scheitelpunktfigur, wo vorher 8 waren. Die 6 \u221a2  Akkorde, die fr\u00fcher von W\u00fcrfelfl\u00e4chenzentren konvergierten, konvergieren jetzt von Oktaederscheitelpunkten;  aber nach wie vor treffen sie sich in der Mitte, wo sich 3 gerade Linien senkrecht kreuzen.  Die Oktaederscheitelpunkte befinden sich 90 \u00b0 au\u00dferhalb des verschwundenen W\u00fcrfels an den neuen n\u00e4chstgelegenen Scheitelpunkten.  Vor dem Abschneiden waren dies Scheitelpunkte mit 24 Zellen in der zweiten Schale der umgebenden Scheitelpunkte.^ Die 24 Eckpunkte der 24-Zellen, die jeweils zweimal verwendet werden, sind die Eckpunkte von drei 16-Eckpunkt-Tesserakten.^ Die 24 Eckpunkte der 24-Zellen, die jeweils einmal verwendet werden, sind die Eckpunkte von drei 16-Zellen mit 8 Eckpunkten.^ Die Kanten der 16 Zellen werden in keinem der Renderings in diesem Artikel angezeigt.  Wenn wir Innenkanten zeigen wollten, konnten sie als gestrichelte Linien gezeichnet werden.  Die Kanten der eingeschriebenen Tesserakte sind immer sichtbar, da sie auch Kanten der 24-Zellen sind.^ Der 4-dimensionale Inhalt des Einheits-Kantenl\u00e4ngen-Tesserakts ist 1 (per Definition).  Der Inhalt der 24-Zellen-Einheitskantenl\u00e4nge betr\u00e4gt 2, sodass sich die H\u00e4lfte ihres Inhalts in jedem Tesseract und die H\u00e4lfte zwischen ihren Umschl\u00e4gen befindet.  Jeweils 16 Zellen (Kantenl\u00e4nge \u221a2) schlie\u00dft einen Inhalt von 2\/3 ein, wobei 1\/3 eines einschlie\u00dfenden Tesserakts zwischen ihren Umschl\u00e4gen verbleibt.^ Zwischen der 24-Zellen-H\u00fclle und der 8-Zellen-H\u00fclle befinden sich die 8 kubischen Pyramiden von Gossets Konstruktion.  Zwischen der 8-Zellen-H\u00fclle und der 16-Zellen-H\u00fclle befinden sich 16 rechte tetraedrische Pyramiden, deren Spitzen die Ecken des Tesserakts ausf\u00fcllen.^ ein b Dreidimensionale Rotationen treten um eine Achsenlinie auf.  Vierdimensionale Rotationen k\u00f6nnen um eine Ebene herum auftreten.  In drei Dimensionen k\u00f6nnen wir also Ebenen um eine gemeinsame Linie falten (wie beim Falten eines flachen Netzes von 6 Quadraten zu einem W\u00fcrfel), und in vier Dimensionen k\u00f6nnen wir Zellen um eine gemeinsame Ebene falten (wie beim Falten eines flachen Netzes von 8 W\u00fcrfeln) bis in einen Tesserakt).  Das Falten um ein quadratisches Gesicht ist nur das Falten zwei seiner orthogonalen Kanten gleichzeitig;;  Es gibt nicht genug Platz in drei Dimensionen, um dies zu tun, genauso wie es nicht genug Platz in zwei Dimensionen gibt, um um eine Linie zu falten (nur genug, um um einen Punkt zu falten).^ Dies scheint zun\u00e4chst winkellos unm\u00f6glich zu sein, und tats\u00e4chlich w\u00e4re es in einem flachen Raum von nur drei Dimensionen.  Wenn zwei W\u00fcrfel in einem gew\u00f6hnlichen dreidimensionalen Raum (z. B. auf der Oberfl\u00e4che eines Tisches in einem gew\u00f6hnlichen dreidimensionalen Raum) von Angesicht zu Angesicht ruhen, passt ein Oktaeder so in sie hinein, dass vier seiner sechs Eckpunkte an den vier liegen Ecken der quadratischen Fl\u00e4che zwischen den beiden W\u00fcrfeln;  Aber dann liegen die anderen beiden oktaedrischen Eckpunkte nicht an einer W\u00fcrfelecke (sie fallen in das Volumen der beiden W\u00fcrfel, aber nicht an einen W\u00fcrfelscheitelpunkt).  In vier Dimensionen sind jedoch die Grenz-3-R\u00e4ume von 4-Polytopen gebogen.  Die 3-Mannigfaltigkeit der Grenze des Tesserakts (eine Tessellation der 3-Kugel durch 8 W\u00fcrfel) ist um seine quadratischen Fl\u00e4chenebenen gefaltet.[an]  so dass die benachbarten fl\u00e4chengebundenen W\u00fcrfel relativ zueinander ausgerichtet sind, so dass alle 6 Eckpunkte des Oktaeders am Scheitelpunkt eines W\u00fcrfels liegen.^ Betrachten Sie die drei senkrecht \u221a2  lange Durchmesser der oktaedrischen Zelle.  Zwei davon sind die Gesichtsdiagonalen der quadratischen Fl\u00e4che zwischen zwei W\u00fcrfeln;  jeder ist ein \u221a2Akkord, der zwei Eckpunkte dieser 8-Zellen-W\u00fcrfel \u00fcber eine quadratische Fl\u00e4che verbindet, zwei Eckpunkte von zwei 16-Zellen-Tetraedern (in die W\u00fcrfel eingeschrieben) und zwei gegen\u00fcberliegende Eckpunkte eines 24-Zellen-Oktaeders (diagonal \u00fcber zwei der drei) verbindet orthogonale quadratische Mittelabschnitte).  Der dritte senkrechte lange Durchmesser des Oktaeders macht genau das Gleiche (durch Symmetrie);  So verbindet es auch zwei Eckpunkte eines W\u00fcrfelpaares \u00fcber ihre gemeinsame quadratische Fl\u00e4che (aber ein anderes W\u00fcrfelpaar als eines der anderen Tesserakte in der 24-Zellen-Zelle).^ Eine M\u00f6glichkeit, das zu visualisieren n-dimensionale Hyperebenen ist wie die n-spaces, die definiert werden k\u00f6nnen durch n + 1 Punkte.  Ein Punkt ist der 0-Raum, der durch 1 Punkt definiert ist.  Eine Linie ist der 1-Raum, der durch 2 Punkte definiert ist, die nicht zusammenfallen.  Eine Ebene ist der 2-Raum, der durch 3 Punkte definiert ist, die nicht kolinear sind (ein beliebiges Dreieck).  Im 4-Raum ist eine 3-dimensionale Hyperebene der 3-Raum, der durch 4 Punkte definiert ist, die nicht koplanar sind (irgendein Tetraeder).  Im 5-Raum ist eine 4-dimensionale Hyperebene der 4-Raum, der durch 5 Punkte definiert ist, die nicht cocellular sind (jede 5-Zellen).  Diese Simplex-Figuren teilen die Hyperebene in zwei Teile (innerhalb und au\u00dferhalb der Figur), aber zus\u00e4tzlich teilen sie das Universum (den umschlie\u00dfenden Raum) in zwei Teile (\u00fcber und unter der Hyperebene).  Das n Punkte gebunden eine endliche Simplexfigur (von au\u00dfen), und sie definieren eine unendliche Hyperebene (von innen).  Diese beiden Unterteilungen sind orthogonal, so dass der definierende Simplex den Raum in sechs Bereiche unterteilt: innerhalb des Simplex und in der Hyperebene, innerhalb des Simplex, aber \u00fcber oder unter der Hyperebene, au\u00dferhalb des Simplex, aber in der Hyperebene und au\u00dferhalb des Simplex \u00fcber oder unter dem Hyperebene.^ Es ist wichtig, die Radien nur als unsichtbare innere Merkmale der 24-Zellen (gestrichelte Linien) zu visualisieren, da sie keine Kanten der Wabe sind.  Ebenso ist das Zentrum der 24-Zellen leer (kein Scheitelpunkt der Wabe).^ Es gibt (mindestens) zwei Arten korrekter Dimensionsanalogien: die \u00fcbliche Art zwischen Dimensionen n und Dimension n + 1 und die viel seltenere und weniger offensichtliche Art zwischen den Dimensionen n und Dimension n + 2. Ein Beispiel f\u00fcr Letzteres ist, dass Rotationen im 4-Raum um einen einzelnen Punkt stattfinden k\u00f6nnen, ebenso wie Rotationen im 2-Raum.  Ein anderer ist der n-Sph\u00e4renregel, dass die Oberfl\u00e4che der Kugel eingebettet in n+2 Dimensionen sind genau 2\u03c0 r mal die Volumen eingeschlossen von der Kugel eingebettet in n Dimensionen, die bekanntesten Beispiele sind, dass der Umfang eines Kreises 2 ist\u03c0 r mal 1, und die Oberfl\u00e4che der gew\u00f6hnlichen Kugel ist 2\u03c0 r mal 2r.  Coxeter f\u00fchrt dies als einen Fall an, in dem uns die dimensionale Analogie als Methode scheitern kann, aber es ist wirklich unser Versagen, zu erkennen, ob eine ein- oder zweidimensionale Analogie die geeignete Methode ist.^ Rotationen in vier Dimensionen k\u00f6nnen um eine Ebene herum auftreten, beispielsweise wenn benachbarte Zellen um ihre Schnittebene gefaltet werden (analog zu der Art und Weise, wie benachbarte Fl\u00e4chen um ihre Schnittlinie gefaltet werden).[an]  In vier Dimensionen gibt es jedoch noch eine andere M\u00f6glichkeit, wie Rotationen auftreten k\u00f6nnen, die als Doppelrotation bezeichnet wird.  Doppelrotationen sind ein emergentes Ph\u00e4nomen in der vierten Dimension und haben in drei Dimensionen keine Analogie: Das Aufklappen quadratischer Fl\u00e4chen und das Aufklappen kubischer Zellen sind Beispiele f\u00fcr einfache Rotationen, die einzige Art, die in weniger als vier Dimensionen auftritt.  Bei dreidimensionalen Rotationen bleiben die Punkte in einer Linie w\u00e4hrend der Rotation fest, w\u00e4hrend sich jeder andere Punkt bewegt.  Bei vierdimensionalen einfachen Rotationen bleiben die Punkte in einer Ebene w\u00e4hrend der Rotation fixiert, w\u00e4hrend sich jeder zweite Punkt bewegt. Bei 4-dimensionalen Doppelrotationen bleibt ein Punkt w\u00e4hrend der Rotation fest und jeder zweite Punkt bewegt sich (wie bei einer zweidimensionalen Rotation!).  Dies ist eines von mehreren \u00fcberraschenden, kontraintuitiven Dingen \u00fcber Rotationen im 4-Raum.[as]Zitate[edit]^ Coxeter 1973, p.  298, Tabelle V: Die Verteilung der Eckpunkte vierdimensionaler Polytope in parallelen festen Abschnitten (\u00a713.1);  (i) Abschnitte von {3,4,3} (Kante 2), die mit einem Scheitelpunkt beginnen;  siehe Spalte ein.^ Coxeter 1973, p.  302, Tabelle VI (ii) II = {3,4,3}, Ergebnisspalte."},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2020\/12\/31\/24-zellen-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"24 Zellen – Wikipedia"}}]}]