[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2020\/12\/31\/gaussche-funktion-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2020\/12\/31\/gaussche-funktion-wikipedia\/","headline":"Gau\u00dfsche Funktion – Wikipedia","name":"Gau\u00dfsche Funktion – Wikipedia","description":"before-content-x4 In der Mathematik a Gau\u00dfsche Funktion, oft einfach als bezeichnet Gau\u00dfschist eine Funktion der Form f(x)=ein\u22c5exp\u2061(– –(x– –b)22c2){ displaystyle","datePublished":"2020-12-31","dateModified":"2020-12-31","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/13993a37c117176295fada7cdaa9c1ef1ae769f7","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/13993a37c117176295fada7cdaa9c1ef1ae769f7","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2020\/12\/31\/gaussche-funktion-wikipedia\/","wordCount":21364,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4In der Mathematik a Gau\u00dfsche Funktion, oft einfach als bezeichnet Gau\u00dfschist eine Funktion der Formf(x)=ein\u22c5exp\u2061(– –(x– –b)22c2){ displaystyle f (x) = a  cdot  exp { left (- { frac {(xb) ^ {2}} {2c ^ {2}}}  right)}}  f\u00fcr beliebige reelle Konstanten ein, b  und nicht Null c.  Es ist nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauss benannt.  Der Graph eines Gau\u00dfschen ist eine charakteristische symmetrische “Glockenkurven” -Form.  Der Parameter ein  ist die H\u00f6he des Kurvenpeaks, b  ist die Position der Mitte des Peaks und c  (Die Standardabweichung, manchmal auch als Gau\u00dfsche RMS-Breite bezeichnet) steuert die Breite der “Glocke”.Gau\u00dfsche Funktionen werden h\u00e4ufig verwendet, um die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem erwarteten Wert darzustellen \u03bc = b  und Varianz \u03c32 = c2.  In diesem Fall hat der Gau\u00dfsche die Form:  G(x)=1\u03c32\u03c0exp\u2061(– –12(x– –\u03bc)2\u03c32).{ displaystyle g (x) = { frac {1} { sigma { sqrt {2  pi}}}  exp { left (- { frac {1} {2}} { frac {( x-  mu) ^ {2}} { sigma ^ {2}}}  right)}.}[1]Gau\u00dfsche Funktionen werden h\u00e4ufig in Statistiken verwendet, um die Normalverteilungen zu beschreiben, in der Signalverarbeitung, um Gau\u00dfsche Filter zu definieren, in der Bildverarbeitung, in der zweidimensionale Gau\u00dfsche f\u00fcr Gau\u00dfsche Unsch\u00e4rfen verwendet werden, und in der Mathematik, um W\u00e4rmegleichungen und Diffusionsgleichungen zu l\u00f6sen und die Weierstra\u00dfe zu definieren verwandeln.Table of ContentsEigenschaften[edit]Integral einer Gau\u00dfschen Funktion[edit]Beziehung zum Standard-Gau\u00dfschen Integral[edit]Zweidimensionale Gau\u00dfsche Funktion[edit]Bedeutung der Parameter f\u00fcr die allgemeine Gleichung[edit]Gau\u00dfsche oder Super-Gau\u00dfsche Funktion h\u00f6herer Ordnung[edit]Mehrdimensionale Gau\u00dfsche Funktion[edit]Sch\u00e4tzung von Parametern[edit]Parametergenauigkeit[edit]Diskreter Gau\u00dfscher[edit]Anwendungen[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Eigenschaften[edit]Gau\u00dfsche Funktionen entstehen durch Zusammensetzen der Exponentialfunktion mit einer konkaven quadratischen Funktion:  f(x)=exp\u2061(\u03b1x2+\u03b2x+\u03b3){ displaystyle f (x) =  exp { left ( alpha x ^ {2} +  beta x +  gamma  right)}}wo:\u03b1=– –0,5\/.c2{ displaystyle  alpha = -0,5 \/ c ^ {2}}\u03b2=b\/.c2{ displaystyle  beta = b \/ c ^ {2}}\u03b3=0,5(Log\u2061(ein)– –b2)\/.c2{ displaystyle  gamma = 0,5 ( log (a) -b ^ {2}) \/ c ^ {2}}Die Gau\u00dfschen Funktionen sind somit jene Funktionen, deren Logarithmus eine konkave quadratische Funktion ist.Der Parameter c  bezieht sich auf die volle Breite bei halbem Maximum (FWHM) des Peaks gem\u00e4\u00dfF.W.H.M.=22ln\u20612 c\u22482,35482c.{ displaystyle  mathrm {FWHM} = 2 { sqrt {2  ln 2}}  c  ca. 2.35482c.}Die Funktion kann dann in Form der FWHM ausgedr\u00fcckt werden, dargestellt durch w::f(x)=eine– –4(ln\u20612)(x– –b)2\/.w2{ displaystyle f (x) = ae ^ {- 4 ( ln 2) (xb) ^ {2} \/ w ^ {2}}}Alternativ der Parameter c  kann interpretiert werden, indem gesagt wird, dass die beiden Wendepunkte der Funktion bei auftreten x = b – – c  und x = b + c.Das volle Breite am Zehntel des Maximums (FWTM) f\u00fcr einen Gau\u00dfschen k\u00f6nnte von Interesse sein und istF.W.T.M.=22ln\u206110 c\u22484.29193c.{ displaystyle  mathrm {FWTM} = 2 { sqrt {2  ln 10}}  c  ca. 4.29193c.}Gau\u00dfsche Funktionen sind analytisch und ihre Grenze als x \u2192 \u221e ist 0 (f\u00fcr den obigen Fall von b = 0).Gau\u00dfsche Funktionen geh\u00f6ren zu den Funktionen, die elementar sind, denen jedoch elementare Antiderivative fehlen.  Das Integral der Gau\u00dfschen Funktion ist die Fehlerfunktion.  Trotzdem k\u00f6nnen ihre unpassenden Integrale \u00fcber die gesamte reale Linie unter Verwendung des Gau\u00dfschen Integrals genau ausgewertet werden\u222b– –\u221e\u221ee– –x2dx=\u03c0{ displaystyle  int _ {-  infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2}} , dx = { sqrt { pi}}}und man erh\u00e4lt\u222b– –\u221e\u221eeine– –(x– –b)2\/.(2c2)dx=einc\u22c52\u03c0.{ displaystyle  int _ {-  infty} ^ { infty} ae ^ {- (xb) ^ {2} \/ (2c ^ {2})} , dx = ac  cdot { sqrt {2  pi }}.}Dieses Integral ist genau dann 1 ein=1c2\u03c0{ displaystyle a = { tfrac {1} {c { sqrt {2  pi}}}}  (die Normalisierungskonstante), und in diesem Fall ist der Gau\u00dfsche Wert die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem erwarteten Wert \u03bc = b  und Varianz \u03c32 = c2::G(x)=1\u03c32\u03c0exp(– –(x– –\u03bc)22\u03c32).{ displaystyle g (x) = { frac {1} { sigma { sqrt {2  pi}}} exp  left ({ frac {- (x-  mu) ^ {2}} {2  sigma ^ {2}}}  right).}Diese Gau\u00dfschen sind in der beigef\u00fcgten Abbildung dargestellt.  Normalisierte Gau\u00dfsche Kurven mit erwartetem Wert \u03bc  und Varianz \u03c32.  Die entsprechenden Parameter sind ein=1\u03c32\u03c0{ displaystyle a = { tfrac {1} { sigma { sqrt {2  pi}}}},  b = \u03bc  und c = \u03c3.Bei Null zentrierte Gau\u00dfsche Funktionen minimieren das Fourier-Unsicherheitsprinzip.Das Produkt zweier Gau\u00dfscher Funktionen ist ein Gau\u00dfscher, und die Faltung zweier Gau\u00dfscher Funktionen ist ebenfalls ein Gau\u00dfscher, wobei die Varianz die Summe der urspr\u00fcnglichen Varianzen ist: c2=c12+c22{ displaystyle c ^ {2} = c_ {1} ^ {2} + c_ {2} ^ {2}}.  Das Produkt zweier Gau\u00dfscher Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (PDFs) ist jedoch im Allgemeinen kein Gau\u00dfsches PDF.Nehmen der Fourier-Transformation (einheitliche Winkelfrequenzkonvention) einer Gau\u00dfschen Funktion mit Parametern ein = 1, b = 0 und c  ergibt eine weitere Gau\u00dfsche Funktion mit Parametern c{ displaystyle c}, b = 0 und 1c{ displaystyle { frac {1} {c}}}.[2]  So funktioniert insbesondere der Gau\u00dfsche mit b = 0 und c=1{ displaystyle c = 1}  werden durch die Fourier-Transformation festgehalten (sie sind Eigenfunktionen der Fourier-Transformation mit Eigenwert 1).  Eine physikalische Realisierung ist die des Beugungsmusters: Beispielsweise ist ein fotografischer Objekttr\u00e4ger, dessen Durchl\u00e4ssigkeit eine Gau\u00dfsche Variation aufweist, auch eine Gau\u00dfsche Funktion.Die Tatsache, dass die Gau\u00dfsche Funktion eine Eigenfunktion der kontinuierlichen Fourier-Transformation ist, erm\u00f6glicht es uns, das Folgende Interessante abzuleiten[clarification needed]  Identit\u00e4t aus der Poisson-Summationsformel:\u2211k\u2208Z.exp\u2061(– –\u03c0\u22c5(kc)2)=c\u22c5\u2211k\u2208Z.exp\u2061(– –\u03c0\u22c5(kc)2).{ displaystyle  sum _ {k  in  mathbb {Z}}  exp  left (-  pi  cdot  left ({ frac {k} {c}}  right) ^ {2}  right) = c  cdot  sum _ {k  in  mathbb {Z}}  exp (-  pi  cdot (kc) ^ {2}).}Integral einer Gau\u00dfschen Funktion[edit]Das Integral einer beliebigen Gau\u00dfschen Funktion ist\u222b– –\u221e\u221eeine– –(x– –b)2\/.2c2dx=2ein|c|\u03c0{ displaystyle  int _ {-  infty} ^ { infty} a , e ^ {-  left (xb  right) ^ {2} \/ 2c ^ {2}} , dx = { sqrt {2 }} a ,  left  vert c  right  vert , { sqrt { pi}}}Eine alternative Form ist\u222b– –\u221e\u221eke– –fx2+Gx+hdx=\u222b– –\u221e\u221eke– –f(x– –G\/.(2f))2+G2\/.(4f)+hdx=k\u03c0fexp\u2061(G24f+h){ displaystyle  int _ {-  infty} ^ { infty} k , e ^ {- fx ^ {2} + gx + h} , dx =  int _ {-  infty} ^ { infty} k , e ^ {- f  left (xg \/ (2f)  right) ^ {2} + g ^ {2} \/ (4f) + h} , dx = k , { sqrt { frac {  pi} {f}}} ,  exp  left ({ frac {g ^ {2}} {4f}} + h  right)}wo f muss streng positiv sein, damit das Integral konvergiert.Beziehung zum Standard-Gau\u00dfschen Integral[edit]Das Integral\u222b– –\u221e\u221eeine– –(x– –b)2\/.2c2dx{ displaystyle  int _ {-  infty} ^ { infty} ae ^ {- (xb) ^ {2} \/ 2c ^ {2}} , dx}F\u00fcr einige reelle Konstanten k\u00f6nnen a, b, c> 0 berechnet werden, indem sie in die Form eines Gau\u00dfschen Integrals gebracht werden.  Erstens die Konstante ein kann einfach aus dem Integral herausgerechnet werden.  Als n\u00e4chstes wird die Integrationsvariable von ge\u00e4ndert x zu y = x – – b.ein\u222b– –\u221e\u221ee– –y2\/.2c2dy{ displaystyle a  int _ {-  infty} ^ { infty} e ^ {- y ^ {2} \/ 2c ^ {2}} , dy}und dann zu z=y\/.2c2{ displaystyle z = y \/ { sqrt {2c ^ {2}}}}ein2c2\u222b– –\u221e\u221ee– –z2dz{ displaystyle a { sqrt {2c ^ {2}}}  int _ {-  infty} ^ { infty} e ^ {- z ^ {2}} , dz}Dann unter Verwendung der Gau\u00dfschen Integralidentit\u00e4t\u222b– –\u221e\u221ee– –z2dz=\u03c0{ displaystyle  int _ {-  infty} ^ { infty} e ^ {- z ^ {2}} , dz = { sqrt { pi}}}wir haben\u222b– –\u221e\u221eeine– –(x– –b)2\/.2c2dx=ein2\u03c0c2{ displaystyle  int _ {-  infty} ^ { infty} ae ^ {- (xb) ^ {2} \/ 2c ^ {2}} , dx = a { sqrt {2  pi c ^ {2 }}}}Zweidimensionale Gau\u00dfsche Funktion[edit]  3D-Darstellung einer Gau\u00dfschen Funktion mit einer zweidimensionalen Dom\u00e4ne.In zwei Dimensionen die Kraft, zu der e wird in der Gau\u00dfschen Funktion jede negativ-definierte quadratische Form angehoben.  Folglich sind die Pegels\u00e4tze des Gau\u00dfschen immer Ellipsen.Ein besonderes Beispiel f\u00fcr eine zweidimensionale Gau\u00dfsche Funktion istf(x,y)=EINexp\u2061(– –((x– –x\u00d6)22\u03c3X.2+(y– –y\u00d6)22\u03c3Y.2)).{ displaystyle f (x, y) = A  exp  left (-  left ({ frac {(x-x_ {o}) ^ {2}} {2  sigma _ {X} ^ {2}} } + { frac {(y-y_ {o}) ^ {2}} {2  sigma _ {Y} ^ {2}}}  right)  right).}Hier der Koeffizient EIN ist die Amplitude, x\u00d6y\u00d6 ist das Zentrum und \u03c3x, \u03c3y  sind die x und y Spreads des Blobs.  Die Abbildung rechts wurde mit erstellt EIN = 1, x\u00d6 = 0, y\u00d6 = 0, \u03c3x  = \u03c3y  = 1.Das Volumen unter der Gau\u00dfschen Funktion ist gegeben durchV.=\u222b– –\u221e\u221e\u222b– –\u221e\u221ef(x,y)dxdy=2\u03c0EIN\u03c3X.\u03c3Y..{ displaystyle V =  int _ {-  infty} ^ { infty}  int _ {-  infty} ^ { infty} f (x, y) , dx , dy = 2  pi A  sigma _ {X}  sigma _ {Y}.}Im Allgemeinen wird eine zweidimensionale elliptische Gau\u00dfsche Funktion ausgedr\u00fcckt alsf(x,y)=EINexp\u2061(– –(ein(x– –x\u00d6)2+2b(x– –x\u00d6)(y– –y\u00d6)+c(y– –y\u00d6)2)){ displaystyle f (x, y) = A  exp  left (-  left (a (x-x_ {o}) ^ {2} + 2b (x-x_ {o}) (y-y_ {o} ) + c (y-y_ {o}) ^ {2}  right)  right)}wo die Matrix[abbc]{ displaystyle  left[{begin{matrix}a&b\\b&cend{matrix}}right]}}ist positiv-definitiv.Mit dieser Formulierung kann die Abbildung rechts mit erstellt werden EIN = 1, (x\u00d6, y\u00d6) = (0, 0), ein = c = 1\/2, b = 0.Bedeutung der Parameter f\u00fcr die allgemeine Gleichung[edit]F\u00fcr die allgemeine Form der Gleichung der Koeffizient EIN ist die H\u00f6he des Gipfels und (x\u00d6, y\u00d6) ist die Mitte des Blobs.Wenn wir setzenein=cos2\u2061\u03b82\u03c3X.2+S\u00fcnde2\u2061\u03b82\u03c3Y.2b=– –S\u00fcnde\u20612\u03b84\u03c3X.2+S\u00fcnde\u20612\u03b84\u03c3Y.2c=S\u00fcnde2\u2061\u03b82\u03c3X.2+cos2\u2061\u03b82\u03c3Y.2{ displaystyle { begin {align} a & = { frac { cos ^ {2}  theta} {2  sigma _ {X} ^ {2}}} + { frac { sin ^ {2}  Theta} {2  sigma _ {Y} ^ {2}}} \\[4pt]b & = – { frac { sin 2  theta} {4  sigma _ {X} ^ {2}}} + { frac { sin 2  theta} {4  sigma _ {Y} ^ {2} }} \\[4pt]c & = { frac { sin ^ {2}  theta} {2  sigma _ {X} ^ {2}}} + { frac { cos ^ {2}  theta} {2  sigma _ {Y. } ^ {2}}}  end {align}}}dann drehen wir den Blob im Uhrzeigersinn \u03b8{ displaystyle  theta}  (Umdrehen gegen den Uhrzeigersinn invertieren Sie die Zeichen in der b Koeffizient).[3]  Dies ist in den folgenden Beispielen zu sehen:Mit dem folgenden Oktavcode kann man leicht sehen, wie sich das \u00c4ndern der Parameter auswirktA = 1;x0 = 0; y0 = 0;sigma_X = 1;sigma_Y = 2;[X, Y] = meshgrid(-5:.1:5, -5:.1:5);for theta = 0:pi\/100:pi    a = cos(theta)^2\/(2*sigma_X^2) + sin(theta)^2\/(2*sigma_Y^2);    b = -sin(2*theta)\/(4*sigma_X^2) + sin(2*theta)\/(4*sigma_Y^2);    c = sin(theta)^2\/(2*sigma_X^2) + cos(theta)^2\/(2*sigma_Y^2);    Z = A*exp( - (a*(X-x0).^2 + 2*b*(X-x0).*(Y-y0) + c*(Y-y0).^2));surf(X,Y,Z);shading interp;view(-36,36)waitforbuttonpressendSolche Funktionen werden h\u00e4ufig in der Bildverarbeitung und in Rechenmodellen der visuellen Systemfunktion verwendet – siehe Artikel \u00fcber Skalenraum und affine shn.Siehe auch multivariate Normalverteilung.Gau\u00dfsche oder Super-Gau\u00dfsche Funktion h\u00f6herer Ordnung[edit]Eine allgemeinere Formulierung einer Gau\u00dfschen Funktion mit einem Flat-Top- und einem Gau\u00dfschen Abfall kann durch Erh\u00f6hen des Inhalts des Exponenten auf eine Potenz erfolgen. P.{ displaystyle P}::f(x)=EINexp\u2061(– –((x– –x\u00d6)22\u03c3X.2)P.).{ displaystyle f (x) = A  exp  left (-  left ({ frac {(x-x_ {o}) ^ {2}} {2  sigma _ {X} ^ {2}}}  rechts) ^ {P}  rechts).}Diese Funktion ist als Super-Gau\u00df-Funktion bekannt und wird h\u00e4ufig f\u00fcr die Gau\u00df-Strahlformulierung verwendet.[4]  In einer zweidimensionalen Formulierung folgt eine Gau\u00dfsche Funktion x{ displaystyle x}  und y{ displaystyle y}  kann mit potenziell unterschiedlichen kombiniert werden P.X.{ displaystyle P_ {X}}  und P.Y.{ displaystyle P_ {Y}}  um eine elliptische Gau\u00dfsche Verteilung zu bilden,f(x,y)=EINexp\u2061(– –((x– –x\u00d6)22\u03c3X.2+(y– –y\u00d6)22\u03c3Y.2)P.){ displaystyle f (x, y) = A  exp  left (-  left ({ frac {(x-x_ {o}) ^ {2}} {2  sigma _ {X} ^ {2}} } + { frac {(y-y_ {o}) ^ {2}} {2  sigma _ {Y} ^ {2}}}  right) ^ {P}  right)}  oder eine rechteckige Gau\u00dfsche Verteilung, f(x,y)=EINexp\u2061(– –((x– –x\u00d6)22\u03c3X.2)P.X.– –((y– –y\u00d6)22\u03c3Y.2)P.Y.){ displaystyle f (x, y) = A  exp  left (-  left ({ frac {(x-x_ {o}) ^ {2}} {2  sigma _ {X} ^ {2}} }  right) ^ {P_ {X}} –  left ({ frac {(y-y_ {o}) ^ {2}} {2  sigma _ {Y} ^ {2}}}  right) ^ {P_ {Y}}  right)}.[5]Mehrdimensionale Gau\u00dfsche Funktion[edit]In einem (n n{ displaystyle n}-dimensionaler Raum, als den eine Gau\u00dfsche Funktion definiert werden kannf(x)=exp\u2061(– –xT.C.x),{ displaystyle f (x) =  exp (-x ^ {T} Cx) ;,}wo x={x1,\u2026,xn}}{ displaystyle x =  {x_ {1},  dots, x_ {n} }}  ist eine Spalte von n{ displaystyle n}  Koordinaten, C.{ displaystyle C}  ist eine positiv-definitive n\u00d7n{ displaystyle n  times n}  Matrix und T.{ displaystyle {} ^ {T}}  bezeichnet die Matrixtransposition.Das Integral dieser Gau\u00dfschen Funktion \u00fcber das Ganze n{ displaystyle n}-dimensionaler Raum ist gegeben als\u222bR.nexp\u2061(– –xT.C.x)dx=\u03c0ndetC..{ displaystyle  int _ { mathbb {R} ^ {n}}  exp (-x ^ {T} Cx) , dx = { sqrt { frac { pi ^ {n}} { det C. }}} ;.}Sie kann leicht durch Diagonalisierung der Matrix berechnet werden C.{ displaystyle C}  und \u00c4ndern der Integrationsvariablen in die Eigenvektoren von  C.{ displaystyle C}.Allgemeiner wird eine verschobene Gau\u00dfsche Funktion definiert alsf(x)=exp\u2061(– –xT.C.x+sT.x),{ displaystyle f (x) =  exp (-x ^ {T} Cx + s ^ {T} x) ;,}wo s={s1,\u2026,sn}}{ displaystyle s =  {s_ {1},  dots, s_ {n} }}  ist der Verschiebungsvektor und die Matrix C.{ displaystyle C}  kann als symmetrisch angenommen werden, C.T.=C.{ displaystyle C ^ {T} = C}und positiv-definitiv.  Die folgenden Integrale mit dieser Funktion k\u00f6nnen mit derselben Technik berechnet werden:\u222bR.ne– –xT.C.x+vT.xdx=\u03c0ndetC.exp\u2061(14vT.C.– –1v)\u2261M..\u222bR.ne– –xT.C.x+vT.x(einT.x)dx=(einT.u)\u22c5M., wo u=12C.– –1v.\u222bR.ne– –xT.C.x+vT.x(xT.D.x)dx=(uT.D.u+12tr\u2061(D.C.– –1))\u22c5M..\u222bR.ne– –xT.C.‘x+s‘T.x(– –\u2202\u2202x\u039b\u2202\u2202x)e– –xT.C.x+sT.xdx=(2tr\u2061(C.‘\u039bC.B.– –1)+4uT.C.‘\u039bC.u– –2uT.(C.‘\u039bs+C.\u039bs‘)+s‘T.\u039bs)\u22c5M.,wo u=12B.– –1v,v=s+s‘,B.=C.+C.‘.{ displaystyle { begin {align} &  int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- x ^ {T} Cx + v ^ {T} x} , dx = { sqrt {  frac { pi ^ {n}} { det {C}}}  exp  left ({ frac {1} {4}} v ^ {T} C ^ {- 1} v  right)  \u00e4quiv. { mathcal {M}}  ;. \\[6pt]&  int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- x ^ {T} Cx + v ^ {T} x}  left (a ^ {T} x  right) , dx = ( a ^ {T} u)  cdot { mathcal {M}} ;, { text {where}} u = { frac {1} {2}} C ^ {- 1} v  ;. \\[6pt]&  int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- x ^ {T} Cx + v ^ {T} x} (x ^ {T} Dx) , dx =  left (u ^ {T} Du + { frac {1} {2}}  operatorname {tr} (DC ^ {- 1})  right)  cdot { mathcal {M}}  ;. \\[6pt]&  int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- x ^ {T} C’x + s ‘^ {T} x}  left (- { frac { partiell} { partiell x}}  Lambda { frac { partiell} { partiell x}}  rechts) e ^ {- x ^ {T} Cx + s ^ {T} x} , dx \\[6pt]= {} &  left (2  operatorname {tr} (C ‘ Lambda CB ^ {- 1}) + 4u ^ {T} C’  Lambda Cu-2u ^ {T} (C ‘ Lambda s + C.  Lambda s ‘) + s’ ^ {T}  Lambda s  rechts)  cdot { mathcal {M}}  ;, \\[6pt]& { text {where}} u = { frac {1} {2}} B ^ {- 1} v, v = s + s ‘, B = C + C’  ;.  end {align}} }}Sch\u00e4tzung von Parametern[edit]Eine Reihe von Feldern wie Sternphotometrie, Gau\u00dfsche Strahlcharakterisierung und Emissions- \/ Absorptionslinienspektroskopie arbeiten mit abgetasteten Gau\u00dfschen Funktionen und m\u00fcssen die H\u00f6hen-, Positions- und Breitenparameter der Funktion genau absch\u00e4tzen.  Es gibt drei unbekannte Parameter f\u00fcr eine 1D-Gau\u00df-Funktion (ein, b, c) und f\u00fcnf f\u00fcr eine 2D-Gau\u00df-Funktion (EIN;;x0,y0;;\u03c3X.,\u03c3Y.){ displaystyle (A; x_ {0}, y_ {0};  sigma _ {X},  sigma _ {Y})}.Die gebr\u00e4uchlichste Methode zur Sch\u00e4tzung der Gau\u00dfschen Parameter besteht darin, den Logarithmus der Daten zu nehmen und eine Parabel an den resultierenden Datensatz anzupassen.[6][7]  W\u00e4hrend dies ein einfaches Kurvenanpassungsverfahren bereitstellt, kann der resultierende Algorithmus durch \u00fcberm\u00e4\u00dfige Gewichtung kleiner Datenwerte verzerrt werden, was zu gro\u00dfen Fehlern bei der Profilsch\u00e4tzung f\u00fchren kann.  Man kann dieses Problem teilweise durch eine Sch\u00e4tzung der gewichteten kleinsten Quadrate kompensieren und das Gewicht kleiner Datenwerte reduzieren, aber auch dies kann verzerrt werden, indem man zul\u00e4sst, dass der Schwanz des Gau\u00dfschen die Anpassung dominiert.  Um die Verzerrung zu beseitigen, kann stattdessen ein iterativ neu gewichtetes Verfahren der kleinsten Quadrate verwendet werden, bei dem die Gewichte bei jeder Iteration aktualisiert werden.[7]Es ist auch m\u00f6glich, eine nichtlineare Regression direkt an den Daten durchzuf\u00fchren, ohne die logarithmische Datentransformation einzubeziehen.  Weitere Optionen finden Sie unter Anpassen der Wahrscheinlichkeitsverteilung.Parametergenauigkeit[edit]Sobald man einen Algorithmus zum Sch\u00e4tzen der Gau\u00dfschen Funktionsparameter hat, ist es auch wichtig zu wissen, wie genau diese Sch\u00e4tzungen sind.  Jeder Sch\u00e4tzalgorithmus f\u00fcr kleinste Quadrate kann numerische Sch\u00e4tzungen f\u00fcr die Varianz jedes Parameters liefern (dh die Varianz der gesch\u00e4tzten H\u00f6he, Position und Breite der Funktion).  Man kann auch die Cram\u00e9r-Rao-gebundene Theorie verwenden, um einen analytischen Ausdruck f\u00fcr die Untergrenze der Parametervarianzen zu erhalten, wenn bestimmte Annahmen \u00fcber die Daten gegeben sind.[8][9]Das Rauschen im gemessenen Profil ist entweder iid Gau\u00dfsch oder das Rauschen ist Poisson-verteilt.Der Abstand zwischen jeder Abtastung (dh der Abstand zwischen Pixeln, die die Daten messen) ist gleichm\u00e4\u00dfig.Der Peak ist “gut abgetastet”, so dass weniger als 10% der Fl\u00e4che oder des Volumens unter dem Peak (Fl\u00e4che bei einem 1D-Gau\u00dfschen, Volumen bei einem 2D-Gau\u00dfschen) au\u00dferhalb des Messbereichs liegen.Die Breite des Peaks ist viel gr\u00f6\u00dfer als der Abstand zwischen den Probenorten (dh die Detektorpixel m\u00fcssen mindestens f\u00fcnfmal kleiner sein als das Gau\u00dfsche FWHM).Wenn diese Annahmen erf\u00fcllt sind, wird die folgende Kovarianzmatrix K. gilt f\u00fcr die 1D-Profilparameter ein{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, und c{ displaystyle c}  unter iid Gau\u00dfschem Rauschen und unter Poisson-Rauschen:[8]K.Gau\u00df=\u03c32\u03c0\u03b4X.Q.2(32c0– –1ein02cein20– –1ein02cein2) ,K.Poiss=12\u03c0(3ein2c0– –120cein0– –120c2ein) ,{ displaystyle  mathbf {K} _ { text {Gauss}} = { frac { sigma ^ {2}} {{ sqrt { pi}}  delta _ {X} Q ^ {2}}} { begin {pmatrix} { frac {3} {2c}} & 0 & { frac {-1} {a}} \\ 0 & { frac {2c} {a ^ {2}}} & 0 \\ { frac {-1} {a}} & 0 & { frac {2c} {a ^ {2}}}  end {pmatrix}} ,  qquad  mathbf {K} _ { text {Poiss}} = { frac {1} { sqrt {2  pi}}} { begin {pmatrix} { frac {3a} {2c}} & 0 & – { frac {1} {2}} \\ 0 & { frac {c } {a}} & 0 \\ – { frac {1} {2}} & 0 & { frac {c} {2a}}  end {pmatrix}} ,}wo \u03b4X.{ displaystyle  delta _ {X}}  ist die Breite der Pixel, die zum Abtasten der Funktion verwendet werden. Q.{ displaystyle Q}  ist die Quanteneffizienz des Detektors und \u03c3{ displaystyle  sigma}  gibt die Standardabweichung des Messrauschens an.  Somit sind die einzelnen Varianzen f\u00fcr die Parameter im Fall des Gau\u00dfschen Rauschensvar\u2061(ein)=3\u03c322\u03c0\u03b4X.Q.2cvar\u2061(b)=2\u03c32c\u03b4X.\u03c0Q.2ein2var\u2061(c)=2\u03c32c\u03b4X.\u03c0Q.2ein2{ displaystyle { begin {align}  operatorname {var} (a) & = { frac {3  sigma ^ {2}} {2 { sqrt { pi}} ,  delta _ {X} Q. ^ {2} c}} \\ operatorname {var} (b) & = { frac {2  sigma ^ {2} c} { delta _ {X} { sqrt { pi}} , Q. ^ {2} a ^ {2}}} \\ operatorname {var} (c) & = { frac {2  sigma ^ {2} c} { delta _ {X} { sqrt { pi} } , Q ^ {2} a ^ {2}}}  end {align}}}und im Poisson-Rauschfallvar\u2061(ein)=3ein22\u03c0cvar\u2061(b)=c2\u03c0einvar\u2061(c)=c22\u03c0ein.{ displaystyle { begin {align}  operatorname {var} (a) & = { frac {3a} {2 { sqrt {2  pi}} , c}} \\ operatorname {var} (b ) & = { frac {c} {{ sqrt {2  pi}} , a}} \\ operatorname {var} (c) & = { frac {c} {2 { sqrt {2  pi}} , a}}.  end {align}}}F\u00fcr die 2D-Profilparameter unter Angabe der Amplitude EIN{ displaystyle A}Position (x0,y0){ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}und Breite (\u03c3X.,\u03c3Y.){ displaystyle ( sigma _ {X},  sigma _ {Y})}  F\u00fcr das Profil gelten die folgenden Kovarianzmatrizen:[9]K.Gau\u00df=\u03c32\u03c0\u03b4X.\u03b4Y.Q.2(2\u03c3X.\u03c3Y.00– –1EIN\u03c3Y.– –1EIN\u03c3X.02\u03c3X.EIN2\u03c3Y.000002\u03c3Y.EIN2\u03c3X.00– –1EIN\u03c3y002\u03c3X.EIN2\u03c3y0– –1EIN\u03c3X.0002\u03c3Y.EIN2\u03c3X.)K.Poisson=12\u03c0(3EIN\u03c3X.\u03c3Y.00– –1\u03c3Y.– –1\u03c3X.0\u03c3X.EIN\u03c3Y.00000\u03c3Y.EIN\u03c3X.00– –1\u03c3Y.002\u03c3X.3EIN\u03c3Y.13EIN– –1\u03c3X.0013EIN2\u03c3Y.3EIN\u03c3X.).{ displaystyle { begin {align}  mathbf {K} _ { text {Gauss}} = { frac { sigma ^ {2}} { pi  delta _ {X}  delta _ {Y} Q. ^ {2}}} & { begin {pmatrix} { frac {2} { sigma _ {X}  sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & { frac {-1} {A  sigma _ {Y} }} & { frac {-1} {A  sigma _ {X}}} \\ 0 & { frac {2  sigma _ {X}} {A ^ {2}  sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { frac {2  sigma _ {Y}} {A ^ {2}  sigma _ {X}}} & 0 & 0 \\ { frac {-1} {A  sigma _ {y}}} & 0 & 0 & { frac {2  sigma _ {X}} {A ^ {2}  sigma _ {y}}} & 0 \\ { frac {-1} {A  sigma _ {X}}} & 0 & 0 & 0 & { frac {2  sigma _ {Y}} {A ^ {2}  sigma _ {X}}}  end {pmatrix}} \\[6pt] mathbf {K} _ { operatorname {Poisson}} = { frac {1} {2  pi}} & { begin {pmatrix} { frac {3A} { sigma _ {X}  sigma _ { Y}}} & 0 & 0 & { frac {-1} { sigma _ {Y}}} & { frac {-1} { sigma _ {X}}} \\ 0 & { frac { sigma _ {X. }} {A  sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { frac { sigma _ {Y}} {A  sigma _ {X}}} & 0 & 0 \\ { frac {-1} { sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & { frac {2  sigma _ {X}} {3A  sigma _ {Y}}} & { frac {1} {3A}} \\ { frac {-1} {  sigma _ {X}}} & 0 & 0 & { frac {1} {3A}} & { frac {2  sigma _ {Y}} {3A  sigma _ {X}}}  end {pmatrix}}.  Ende {ausgerichtet}}}wobei die einzelnen Parametervarianzen durch die diagonalen Elemente der Kovarianzmatrix gegeben sind.Diskreter Gau\u00dfscher[edit]  Man kann nach einem diskreten Analogon zum Gau\u00dfschen fragen;  Dies ist bei diskreten Anwendungen erforderlich, insbesondere bei der digitalen Signalverarbeitung.  Eine einfache Antwort besteht darin, den kontinuierlichen Gau\u00dfschen Kern abzutasten und den abgetasteten Gau\u00dfschen Kern zu erhalten.  Diese diskrete Funktion weist jedoch nicht die diskreten Analoga der Eigenschaften der kontinuierlichen Funktion auf und kann zu unerw\u00fcnschten Effekten f\u00fchren, wie in der Raumimplementierung im Artikelma\u00dfstab beschrieben.Ein alternativer Ansatz ist die Verwendung des diskreten Gau\u00dfschen Kernels:[10]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2020\/12\/31\/gaussche-funktion-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Gau\u00dfsche Funktion – Wikipedia"}}]}]