[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2021\/01\/01\/elliptische-rationale-funktionen-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2021\/01\/01\/elliptische-rationale-funktionen-wikipedia\/","headline":"Elliptische rationale Funktionen – Wikipedia","name":"Elliptische rationale Funktionen – Wikipedia","description":"Darstellung der elliptischen rationalen Funktionen f\u00fcr x zwischen -1 und 1 f\u00fcr die Ordnungen 1,2,3 und 4 mit dem Unterscheidungsfaktor","datePublished":"2021-01-01","dateModified":"2021-01-01","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/8\/82\/Rational_Elliptic_Functions_%28n%3D1%2C2%2C3%2C4%2C_x%3D--1%2C1-%29.svg\/300px-Rational_Elliptic_Functions_%28n%3D1%2C2%2C3%2C4%2C_x%3D--1%2C1-%29.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/8\/82\/Rational_Elliptic_Functions_%28n%3D1%2C2%2C3%2C4%2C_x%3D--1%2C1-%29.svg\/300px-Rational_Elliptic_Functions_%28n%3D1%2C2%2C3%2C4%2C_x%3D--1%2C1-%29.svg.png","height":"192","width":"300"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2021\/01\/01\/elliptische-rationale-funktionen-wikipedia\/","wordCount":16304,"articleBody":"  Darstellung der elliptischen rationalen Funktionen f\u00fcr x zwischen -1 und 1 f\u00fcr die Ordnungen 1,2,3 und 4 mit dem Unterscheidungsfaktor \u03be = 1,1.  Alle sind zwischen -1 und 1 begrenzt und haben den Wert 1 bei x = 1.In der Mathematik ist die elliptische rationale Funktionen sind eine Folge von rationalen Funktionen mit reellen Koeffizienten.  Elliptische rationale Funktionen werden h\u00e4ufig beim Entwurf von elliptischen elektronischen Filtern verwendet.  (Diese Funktionen werden manchmal aufgerufen Chebyshev rationale Funktionennicht zu verwechseln mit bestimmten anderen gleichnamigen Funktionen).  Rationale elliptische Funktionen werden durch eine positive ganzzahlige Reihenfolge identifiziert n und f\u00fcge einen Parameter \u03be \u2265 1 hinzu, der als Selektivit\u00e4tsfaktor.  Eine rationale elliptische Gradfunktion n im x mit Selektivit\u00e4tsfaktor \u03be ist allgemein definiert als:  R.n((\u03be,x)\u2261cd((nK.((1\/.L.n((\u03be))K.((1\/.\u03be)cd– –1((x,1\/.\u03be),1\/.L.n((\u03be)){ displaystyle R_ {n} ( xi, x)  equiv  mathrm {cd}  left (n { frac {K (1 \/ L_ {n} ( xi))} {K (1 \/  xi) }} ,  mathrm {cd} ^ {- 1} (x, 1 \/  xi), 1 \/ L_ {n} ( xi)  right)}wocd () ist die elliptische Jacobi-Kosinusfunktion.K () ist ein vollst\u00e4ndiges elliptisches Integral der ersten Art.L.n((\u03be)=R.n((\u03be,\u03be){ displaystyle L_ {n} ( xi) = R_ {n} ( xi,  xi)}  ist der Diskriminierungsfaktorgleich dem Minimalwert der Gr\u00f6\u00dfe von R.n((\u03be,x){ displaystyle R_ {n} ( xi, x)}  zum |x|\u2265\u03be{ displaystyle | x |  geq  xi}.In vielen F\u00e4llen, insbesondere bei Bestellungen des Formulars n = 2ein3b  wo ein und b Sind ganze Zahlen, k\u00f6nnen die elliptischen rationalen Funktionen nur mit algebraischen Funktionen ausgedr\u00fcckt werden.  Elliptische rationale Funktionen sind eng mit den Chebyshev-Polynomen verwandt: So wie die kreisf\u00f6rmigen trigonometrischen Funktionen Sonderf\u00e4lle der Jacobi-Ellipsenfunktionen sind, so sind die Chebyshev-Polynome Sonderf\u00e4lle der elliptischen rationalen Funktionen.Table of ContentsExpression als Verh\u00e4ltnis von Polynomen[edit]Eigenschaften[edit]Die kanonischen Eigenschaften[edit]Normalisierung[edit]Nistplatz[edit]Grenzwerte[edit]Symmetrie[edit]Equiripple[edit]Inversionsbeziehung[edit]Pole und Nullen[edit]Besondere Werte[edit]Verweise[edit]Expression als Verh\u00e4ltnis von Polynomen[edit]F\u00fcr gerade Ordnungen k\u00f6nnen die elliptischen rationalen Funktionen als Verh\u00e4ltnis von zwei Polynomen beider Ordnungen ausgedr\u00fcckt werden n.  R.n((\u03be,x)=r0\u220fich=1n((x– –xich)\u220fich=1n((x– –xpich){ displaystyle R_ {n} ( xi, x) = r_ {0} , { frac { prod _ {i = 1} ^ {n} (x-x_ {i})} { prod _ { i = 1} ^ {n} (x-x_ {pi})}}}       (f\u00fcr n gerade)wo xich{ displaystyle x_ {i}}  sind die Nullen und xpich{ displaystyle x_ {pi}}  sind die Pole und r0{ displaystyle r_ {0}}  ist eine Normalisierungskonstante, die so gew\u00e4hlt ist, dass R.n((\u03be,1)=1{ displaystyle R_ {n} ( xi, 1) = 1}.  Die obige Form w\u00fcrde auch f\u00fcr gerade Ordnungen gelten, au\u00dfer dass es f\u00fcr ungerade Ordnungen einen Pol bei x = \u221e und eine Null bei x = 0 gibt, so dass die obige Form ge\u00e4ndert werden muss, um zu lesen:R.n((\u03be,x)=r0x\u220fich=1n– –1((x– –xich)\u220fich=1n– –1((x– –xpich){ displaystyle R_ {n} ( xi, x) = r_ {0} , x , { frac { prod _ {i = 1} ^ {n-1} (x-x_ {i})} { prod _ {i = 1} ^ {n-1} (x-x_ {pi})}}       (f\u00fcr n ungerade)Eigenschaften[edit]  Auftragung des Absolutwertes der elliptischen rationalen Funktion dritter Ordnung mit \u03be = 1,4.  Es gibt eine Null bei x = 0 und der Pol im Unendlichen.  Da die Funktion antisymmetrisch ist, gibt es drei Nullen und drei Pole.  Zwischen den Nullen steigt die Funktion auf einen Wert von 1 und zwischen den Polen f\u00e4llt die Funktion auf den Wert des Unterscheidungsfaktors ab L.n  Auftragung des Absolutwertes der elliptischen rationalen Funktion vierter Ordnung mit \u03be = 1,4.  Da die Funktion symmetrisch ist, gibt es vier Nullen und vier Pole.  Zwischen den Nullen steigt die Funktion auf einen Wert von 1 und zwischen den Polen f\u00e4llt die Funktion auf den Wert des Unterscheidungsfaktors ab L.n  Auftragung der Wirkung des Selektivit\u00e4tsfaktors \u03be.  Die elliptische rationale Funktion vierter Ordnung wird mit Werten von \u03be gezeigt, die von nahezu eins bis unendlich variieren.  Die schwarze Kurve, die \u03be = \u221e entspricht, ist das Chebyshev-Polynom der Ordnung 4. Je n\u00e4her der Selektivit\u00e4tsfaktor an der Einheit liegt, desto steiler ist die Steigung im \u00dcbergangsbereich zwischen x = 1 und x = \u03be.Die kanonischen Eigenschaften[edit]R.n2((\u03be,x)\u22641{ displaystyle R_ {n} ^ {2} ( xi, x)  leq 1}  zum |x|\u22641{ displaystyle | x |  leq 1 ,}R.n2((\u03be,x)=1{ displaystyle R_ {n} ^ {2} ( xi, x) = 1}  beim |x|=1{ displaystyle | x | = 1 ,}R.n2((\u03be,– –x)=R.n2((\u03be,x){ displaystyle R_ {n} ^ {2} ( xi, -x) = R_ {n} ^ {2} ( xi, x)}"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2021\/01\/01\/elliptische-rationale-funktionen-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Elliptische rationale Funktionen – Wikipedia"}}]}]