Verkürzte 24-Zellen – Wikipedia

In der Geometrie a verkürzte 24-Zellen ist ein einheitliches 4-Polytop (4-dimensionales einheitliches Polytop), das als Verkürzung der regulären 24-Zellen gebildet wird.

Es gibt zwei Kürzungsgrade, einschließlich einer Bitkürzung.

Verkürzte 24-Zellen[edit]

Schlegel halbfest verkürzt 24-zell.png
Schlegel-Diagramm
Verkürzte 24-Zellen
Art Einheitliches 4-Polytop
Schläfli-Symbole t {3,4,3}
tr {3,3,4} =
Coxeter-Diagramm CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel-Knoten 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 11.pngCDel-Knoten 1.png
Zellen 48 24 4.6.6 Oktaeder abgeschnitten.png
24 4.4.4 Hexahedron.png
Gesichter 240 144 {4}
96 {6}
Kanten 384
Eckpunkte 192
Scheitelpunktfigur Verkürzte 24-Zellen verf.png
gleichseitige dreieckige Pyramide
Symmetriegruppe F.4 [3,4,3], Bestellung 1152
Untergruppe Rotation [3,4,3]+, Bestellung 576
Kommutator-Untergruppe [3+,4,3+], Bestellung 288
Eigenschaften konvex
Einheitlicher Index 23 24 25

Das verkürzte 24-Zellen oder verkürztes Icositetrachoron ist ein einheitliches 4-dimensionales Polytop (oder einheitliches 4-Polytop), das von 48 Zellen begrenzt wird: 24 Würfel und 24 abgeschnittene Oktaeder. Jeder Scheitelpunkt verbindet drei abgeschnittene Oktaeder und einen Würfel in einer gleichseitigen dreieckigen Pyramidenscheitelpunktfigur.

Konstruktion[edit]

Das verkürzte 24-Zellen kann aus Polytopen mit drei Symmetriegruppen konstruiert werden:

Coxeter-Gruppe
Schläfli-Symbol t {3,4,3} tr {3,3,4} t {31,1,1}}
Auftrag 1152 384 192
Voll
Symmetrie
Gruppe
[3,4,3] [4,3,3] <[3,31,1]> = [4,3,3]
[3[31,1,1]]= [3,4,3]
Coxeter-Diagramm CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.png CDel-Knoten 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 11.pngCDel-Knoten 1.png
Facetten 3: CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
1: CDel-Knoten 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
2: CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.png
1: CDel node.pngCDel 4.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.png
1: CDel node.pngCDel 4.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 2.pngCDel-Knoten 1.png
1,1,1: CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.png
1: CDel-Knoten 1.pngCDel 2.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 2.pngCDel-Knoten 1.png
Scheitelpunktfigur Verkürzte 24-Zellen verf.png Cantitruncated 16-cell verf.png Omnitruncated demitesseract verf.png

Zonotop[edit]

Es ist auch ein Zonotop: Es kann als Minkowski-Summe der sechs Liniensegmente gebildet werden, die entgegengesetzte Paare zwischen den zwölf Permutationen des Vektors verbinden (+ 1, −1,0,0).

Kartesischen Koordinaten[edit]

Die kartesischen Koordinaten der Eckpunkte einer abgeschnittenen 24-Zelle mit der Kantenlänge sqrt (2) sind alle Koordinatenpermutationen und Vorzeichenkombinationen von:

(0,1,2,3) [4!×23 = 192 vertices]

Die duale Konfiguration hat Koordinaten bei allen Koordinatenpermutationen und Vorzeichen von

(1,1,1,5) [4×24 = 64 vertices]
(1,3,3,3) [4×24 = 64 vertices]
(2,2,2,4) [4×24 = 64 vertices]

Struktur[edit]

Die 24 kubischen Zellen sind über ihre quadratischen Flächen mit den abgeschnittenen Oktaedern verbunden; und die 24 abgeschnittenen Oktaeder sind über ihre sechseckigen Flächen miteinander verbunden.

Projektionen[edit]

Die parallele Projektion der abgeschnittenen 24-Zellen in den dreidimensionalen Raum, zuerst das abgeschnittene Oktaeder, hat das folgende Layout:

  • Die Projektionshüllkurve ist ein abgeschnittenes Kuboktaeder.
  • Zwei der abgeschnittenen Oktaeder projizieren auf ein abgeschnittenes Oktaeder, das in der Mitte der Hülle liegt.
  • Sechs quaderförmige Volumina verbinden die quadratischen Flächen dieses zentralen Oktaederstumpfes mit der Mitte der achteckigen Flächen des großen Rhombikuboktaeders. Dies sind die Bilder von 12 der kubischen Zellen, ein Zellenpaar zu jedem Bild.
  • Die 12 quadratischen Flächen des großen Rhombikuboktaeders sind die Bilder der verbleibenden 12 Würfel.
  • Die 6 achteckigen Flächen des großen Rhombikuboktaeders sind die Bilder von 6 der abgeschnittenen Oktaeder.
  • Die 8 (ungleichmäßigen) abgeschnittenen oktaedrischen Volumina, die zwischen den hexagonalen Flächen der Projektionshülle und dem zentralen abgeschnittenen Oktaeder liegen, sind die Bilder der verbleibenden 16 abgeschnittenen Oktaeder, ein Zellenpaar für jedes Bild.

Bilder[edit]

Netze
Abgeschnittenes 24-Zellen-Netz.png
Verkürzte 24-Zellen
Dual tico net.png
Duale bis abgeschnittene 24-Zellen

Verwandte Polytope[edit]

Die konvexe Hülle der verkürzten 24-Zellen und ihrer Doppelhülle (unter der Annahme, dass sie kongruent sind) ist ein ungleichmäßiges Polychoron, das aus 480 Zellen besteht: 48 Würfel, 144 quadratische Antiprismen, 288 Tetraeder (als tetragonale Disphenoide) und 384 Eckpunkte. Seine Scheitelpunktfigur ist eine dreieckige Hexakis-Kuppel.

Bitruncatotetracontaoctachoron vertex figure.png
Scheitelpunktfigur

Bitruncated 24-cell[edit]

Bitruncated 24-cell
Bitruncated 24-cell Schlegel halfsolid.png
Schlegel-Diagramm, zentriert auf abgeschnittenem Würfel, mit versteckten alternativen Zellen
Art Einheitliches 4-Polytop
Schläfli-Symbol 2t {3,4,3}
Coxeter-Diagramm CDel node.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 4.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Zellen 48 (3.8.8) Abgeschnittenes Hexaeder.png
Gesichter 336 192 {3}
144 {8}
Kanten 576
Eckpunkte 288
Kantenfigur 3.8.8
Scheitelpunktfigur Bitruncated 24-cell vertex figure.png
tetragonales Disphenoid
Doppelpolytop Disphenoidale 288-Zellen
Symmetriegruppe Aut (F.4), [[3,4,3]]Bestellung 2304
Eigenschaften konvex, isogonal, isotoxal, isochor
Einheitlicher Index 26 27 28

Das bitruncated 24-cell. 48 Zellen, oder Tetracontoctachoron ist ein 4-dimensionales einheitliches Polytop (oder einheitliches 4-Polytop), das von der 24-Zelle abgeleitet ist.

EL Elte identifizierte es 1912 als semireguläres Polytop.

Es wird durch Bitabschneiden der 24-Zellen konstruiert (Abschneiden auf halbem Weg bis zur Tiefe, die die doppelte 24-Zellen ergeben würde).

Als einheitliches 4-Polytop ist es vertextransitiv. Darüber hinaus ist es zelltransitiv, bestehend aus 48 abgeschnittenen Würfeln und auch kantentransitiv, mit 3 abgeschnittenen Würfelzellen pro Kante und mit einem Dreieck und zwei Achtecken um jede Kante.

Die 48 Zellen der bitgeschnittenen 24-Zellen entsprechen den 24 Zellen und 24 Eckpunkten der 24-Zellen. Als solche bilden die Zentren der 48 Zellen das Wurzelsystem vom Typ F.4.

Seine Scheitelpunktzahl ist a tetragonales Disphenoidein Tetraeder mit 2 gegenüberliegenden Kanten Länge 1 und allen 4 Seitenkanten Länge √ (2 + √2).

Alternative Namen[edit]

  • Bitruncated 24-cell (Norman W. Johnson)
  • 48-Zellen als zelltransitives 4-Polytop
  • Bitruncated icositetrachoron
  • Bitruncated Polyoctaedron
  • Tetracontaoctachoron (Fortsetzung) (Jonathan Bowers)

Struktur[edit]

Die abgeschnittenen Würfel sind über ihre achteckigen Flächen miteinander verbunden Anti Orientierung; ich. zwei benachbarte abgeschnittene Würfel werden um 45 Grad relativ zueinander gedreht, so dass keine zwei dreieckigen Flächen eine Kante teilen.

Die Folge von abgeschnittenen Würfeln, die über gegenüberliegende achteckige Flächen miteinander verbunden sind, bildet einen Zyklus von 8. Jeder abgeschnittene Würfel gehört zu 3 solchen Zyklen. Andererseits bildet die Folge von abgeschnittenen Würfeln, die über gegenüberliegende dreieckige Flächen miteinander verbunden sind, einen Zyklus von 6. Jeder abgeschnittene Würfel gehört zu 4 solchen Zyklen.

In einer Konfigurationsmatrix werden alle Inzidenzzählungen zwischen Elementen angezeigt. Die diagonalen f-Vektornummern werden durch die Wythoff-Konstruktion abgeleitet, wobei die vollständige Gruppenreihenfolge einer Untergruppenreihenfolge durch Entfernen jeweils eines Spiegels geteilt wird. Kanten existieren an 4 Symmetriepositionen. Quadrate existieren an 3 Positionen, Sechsecke an 2 Positionen und Achtecke an einer. Schließlich existieren die 4 Zelltypen, die an den 4 Ecken des fundamentalen Simplex zentriert sind.[1]

Koordinaten[edit]

Die kartesischen Koordinaten einer bitgeschnittenen 24-Zelle mit der Kantenlänge 2 sind alle Permutationen von Koordinaten und Vorzeichen von:

(0, 2 + √2, 2 + √2, 2 + 2√2)
(1, 1 + √2, 1 + √2, 3 + 2√2)

Projektionen[edit]

Projektion auf 2 Dimensionen[edit]

Projektion auf 3 Dimensionen[edit]

Orthographisch Perspektive
Die folgende Animation zeigt die orthografische Projektion der bitgeschnittenen 24-Zellen in 3 Dimensionen. Die Animation selbst ist eine perspektivische Projektion vom statischen 3D-Bild in 2D, wobei eine Drehung hinzugefügt wird, um die Struktur deutlicher zu machen.
Bitruncated-24cell-parallelproj-01.gif
Die Bilder der 48 abgeschnittenen Würfel sind wie folgt aufgebaut:

  • Der zentrale abgeschnittene Würfel ist die Zelle, die dem 4D-Ansichtspunkt am nächsten liegt und hervorgehoben ist, um die Anzeige zu erleichtern. Um die visuelle Unordnung zu verringern, wurden die Eckpunkte und Kanten, die auf diesem zentralen abgeschnittenen Würfel liegen, weggelassen.
  • Um diesen zentralen abgeschnittenen Würfel herum befinden sich 6 abgeschnittene Würfel, die über die achteckigen Flächen angebracht sind, und 8 abgeschnittene Würfel, die über die dreieckigen Flächen angebracht sind. Diese Zellen wurden transparent gemacht, so dass die zentrale Zelle sichtbar ist.
  • Die 6 äußeren quadratischen Flächen der Projektionshüllkurve sind die Bilder von weiteren 6 abgeschnittenen Würfeln, und die 12 länglichen achteckigen Flächen der Projektionshüllkurve sind die Bilder von weiteren 12 abgeschnittenen Würfeln.
  • Die verbleibenden Zellen wurden ausgesondert, weil sie auf der anderen Seite der bitgeschnittenen 24-Zellen liegen und vom 4D-Standpunkt aus verdeckt sind. Dazu gehören der antipodale Würfelstumpf, der auf das gleiche Volumen wie der hervorgehobene Würfelstumpf projiziert worden wäre, wobei 6 andere Würfelstümpfe ihn umgeben, die über achteckige Flächen befestigt sind, und 8 andere Würfelstümpfe, die ihn umgeben, über Dreiecksflächen befestigt sind.
Die folgende Animation zeigt die perspektivische Projektion der Bit-abgeschnittenen 24-Zellen in drei Dimensionen. Seine Struktur ist die gleiche wie bei der vorherigen Animation, außer dass es aufgrund der perspektivischen Projektion zu einer Verkürzung kommt.

Bitruncated 24cell Perspektive 04.gif

Verwandte regelmäßige Schrägpolyeder[edit]

Das reguläre Schrägpolyeder {8,4 | 3} existiert im 4-Raum mit 4 Achtecken um jeden Scheitelpunkt in einer nicht planaren Zick-Zack-Scheitelpunktfigur. Diese achteckigen Flächen sind auf den bitgeschnittenen 24-Zellen mit allen 576 Kanten und 288 Eckpunkten zu sehen. Die 192 dreieckigen Flächen der bitgeschnittenen 24-Zellen können als entfernt angesehen werden. Das doppelte reguläre Schrägpolyeder {4,8 | 3} ist in ähnlicher Weise mit den quadratischen Flächen der runcinierten 24-Zellen verwandt.

Disphenoidale 288-Zellen[edit]

Disphenoidale 288-Zellen
Art perfekt[2] Polychoron
Symbol f1,2F.4[2]
(1,0,0,0)F.4 ⊕ (0,0,0,1)F.4[3]
Coxeter CDel node.pngCDel 3.pngCDel-Knoten f1.pngCDel 4.pngCDel-Knoten f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Zellen Disphenoid tetrahedron.png
288 kongruente tetragonale Disphenoide
Gesichter 576 kongruente gleichschenklige
(2 kurze Kanten)
Kanten 336 192 der Länge
Eckpunkte 48
Scheitelpunktfigur Disphenoidale 288-Zellen-Vertex-Figur.png
(Triakis-Oktaeder)
Dual Bitruncated 24-cell
Coxeter-Gruppe Aut (F.4), [[3,4,3]]Bestellung 2304
Umlaufbahnvektor (1, 2, 1, 1)
Eigenschaften konvex, isochor

Das disphenoidale 288-Zellen ist das Dual der bitgeschnittenen 24-Zellen. Es ist ein 4-dimensionales Polytop (oder Polychoron), das aus der 24-Zellen-Zelle stammt. Es wird konstruiert, indem die 24-Zellen verdoppelt und gedreht werden und dann die konvexe Hülle konstruiert wird.

Als Dual eines einheitlichen Polychors ist es zelltransitiv und besteht aus 288 kongruenten tetragonalen Disphenoiden. Außerdem ist es unter der Gruppe Aut (F) vertextransitiv4).[3]

Bilder[edit]

Geometrie[edit]

Die Eckpunkte der 288-Zelle sind genau die 24 Hurwitz-Einheitsquaternionen mit Normquadrat 1, die mit den 24 Eckpunkten der dualen 24-Zelle mit Normquadrat 2 vereinigt sind und auf die Einheit 3-Kugel projiziert werden. Diese 48 Eckpunkte entsprechen der binären oktaedrischen Gruppe, <2,3,4>, Bestellung 48.

Somit ist die 288-Zelle das einzige nicht reguläre 4-Polytop, das die konvexe Hülle einer quaternionischen Gruppe ist, wobei die unendlich vielen dizyklischen (wie binären Dieder) Gruppen außer Acht gelassen werden. Die regulären sind die 24-Zellen (≘ 2T, <2,3,3>, Ordnung 24) und die 120-Zellen (≘ 2I, <2,3,5>, Bestellung 120). (Die 16-Zellen entsprechen der binären Diedergruppe 2D2, <2,2,2>, Bestellung 16.)

Die beschriftete 3-Kugel hat einen Radius von 1/2 +2/ 4 ≈ 0,853553 und berührt die 288-Zelle in den Zentren der 288-Tetraeder, die die Eckpunkte der doppelt bitgeschnittenen 24-Zelle sind.

Die Eckpunkte können in zwei Farben gefärbt werden, z. B. Rot und Gelb, wobei die 24 Hurwitz-Einheiten in Rot und die 24 Duals in Gelb sind, wobei die gelben 24-Zellen mit den roten übereinstimmen. Somit ist das Produkt von 2 gleichfarbigen Quaternionen rot und das Produkt von 2 in gemischten Farben ist gelb.

Es gibt 192 lange Kanten mit der Länge 1, die gleiche Farben verbinden, und 144 kurze Kanten mit der Länge 2–2 ≈ 0,765367, die gemischte Farben verbinden. 192 * 2/48 = 8 lang und 144 * 2/48 = 6 kurz, dh zusammen 14 Kanten treffen sich an jedem Scheitelpunkt.

Die 576 Flächen sind gleichschenklig mit 1 langen und 2 kurzen Kanten, alle kongruent. Die Winkel an der Basis sind Arccos (4+8/ 4) ≤ 49,210 °. 576 * 3/48 = 36 Flächen treffen sich an einem Scheitelpunkt, 576 * 1/192 = 3 an einer langen Kante und 576 * 2/144 = 8 an einer kurzen Kante.

Die 288 Zellen sind Tetraeder mit 4 kurzen Kanten und 2 antipodalen und senkrechten langen Kanten, von denen eine 2 rote und die andere 2 gelbe Eckpunkte verbindet. Alle Zellen sind kongruent. 288 * 4/48 = 24 Zellen treffen sich an einem Scheitelpunkt. 288 * 2/192 = 3 Zellen treffen sich an einer langen Kante, 288 * 4/144 = 8 an einer kurzen Kante. 288 * 4/576 = 2 Zellen treffen sich an einem Dreieck.

Region Schicht Breite rot Gelb
Nördliche Hemisphäre 3 1 1 0
2 2/ 2 0 6
1 1/2 8 0
Äquator 0 0 6 12
Südlichen Hemisphäre –1 –1/2 8 0
–2 – –2/ 2 0 6
-3 –1 1 0
Gesamt 24 24

Wenn Sie einen festen roten Scheitelpunkt am Nordpol (1,0,0,0) platzieren, befinden sich 6 gelbe Scheitelpunkte im nächst tieferen „Breitengrad“ bei (2/ 2, x, y, z), gefolgt von 8 roten Eckpunkten im Breitengrad bei (1/2, x, y, z). Der nächst tiefere Breitengrad ist die Äquator-Hyperebene, die die 3-Kugel in einer 2-Kugel schneidet, die von 6 roten und 12 gelben Eckpunkten besetzt ist.

Schicht 2 ist eine 2-Kugel, die ein reguläres Oktaeder umschreibt, dessen Kanten die Länge 1 haben. Ein Tetraeder mit Scheitelpunkt-Nordpol hat 1 dieser Kanten als lange Kante, deren 2 Eckpunkte durch kurze Kanten mit dem Nordpol verbunden sind. Eine weitere lange Kante verläuft vom Nordpol in die Schicht 1 und 2 kurze Kanten von dort in die Schicht 2.

Verwandte Polytope[edit]

B.4 Familie einheitlicher Polytope:

F.4 Familie einheitlicher Polytope:

Verweise[edit]

  1. ^ Klitzing, Richard. „o3x4x3o – cont“.
  2. ^ ein b Auf perfekten 4-Polytopen Gabor Gévay Beiträge zur Algebra und Geometrie Band 43 (2002), Nr. 1, 243-259]Tabelle 2, Seite 252
  3. ^ ein b Quaternionische Konstruktion der W (F4) -Polytope mit ihren Doppelpolytopen und Verzweigung unter den Untergruppen W (B4) und W (B3) × W (A1) Mehmet Koca 1, Mudhahir Al-Ajmi 2 und Nazife Ozdes Koca 3, Fachbereich Physik, Hochschule für Wissenschaft, Sultan Qaboos Universität Postfach 36, Al-Khoud 123, Maskat, Sultanat Oman, S.18. 5.7 Doppelpolytop des Polytops (0, 1, 1, 0) F.4 = W (F.4) (ω2+ ω3)
  • HSM Coxeter:
    • Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von HSM Coxeter, herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
      • (Papier 22) HSM Coxeter, Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope I., [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
      • (Papier 23) HSM Coxeter, Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
      • (Papier 24) HSM Coxeter, Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • Norman Johnson Einheitliche PolytopeManuskript (1991)
    • NW Johnson: Die Theorie der einheitlichen Polytope und Waben, Ph.D. (1966)
  • Klitzing, Richard. „4D einheitliche Polytope (Polychora)“. x3x4o3o = x3x3x4o – tico, o3x4x3o – cont
  • 3. Konvexe einheitliche Polychora basierend auf dem Icositetrachoron (24 Zellen) – Modell 24, 27George Olshevsky.