Verkürzte 24-Zellen – Wikipedia

Bitruncated 24-cell[edit]

Bitruncated 24-cell
Schlegel-Diagramm, zentriert auf abgeschnittenem Würfel, mit versteckten alternativen Zellen
Art	Einheitliches 4-Polytop
Schläfli-Symbol	2t {3,4,3}
Coxeter-Diagramm
Zellen	48 (3.8.8)
Gesichter	336	192 {3} 144 {8}
Kanten	576
Eckpunkte	288
Kantenfigur	3.8.8
Scheitelpunktfigur	tetragonales Disphenoid
Doppelpolytop	Disphenoidale 288-Zellen
Symmetriegruppe	Aut (F.4), [[3,4,3]]Bestellung 2304
Eigenschaften	konvex, isogonal, isotoxal, isochor
Einheitlicher Index	26 27 28

Das bitruncated 24-cell. 48 Zellen, oder Tetracontoctachoron ist ein 4-dimensionales einheitliches Polytop (oder einheitliches 4-Polytop), das von der 24-Zelle abgeleitet ist.

EL Elte identifizierte es 1912 als semireguläres Polytop.

Es wird durch Bitabschneiden der 24-Zellen konstruiert (Abschneiden auf halbem Weg bis zur Tiefe, die die doppelte 24-Zellen ergeben würde).

Als einheitliches 4-Polytop ist es vertextransitiv. Darüber hinaus ist es zelltransitiv, bestehend aus 48 abgeschnittenen Würfeln und auch kantentransitiv, mit 3 abgeschnittenen Würfelzellen pro Kante und mit einem Dreieck und zwei Achtecken um jede Kante.

Die 48 Zellen der bitgeschnittenen 24-Zellen entsprechen den 24 Zellen und 24 Eckpunkten der 24-Zellen. Als solche bilden die Zentren der 48 Zellen das Wurzelsystem vom Typ F.₄.

Seine Scheitelpunktzahl ist a tetragonales Disphenoidein Tetraeder mit 2 gegenüberliegenden Kanten Länge 1 und allen 4 Seitenkanten Länge √ (2 + √2).

Alternative Namen[edit]

• Bitruncated 24-cell (Norman W. Johnson)
• 48-Zellen als zelltransitives 4-Polytop
• Bitruncated icositetrachoron
• Bitruncated Polyoctaedron
• Tetracontaoctachoron (Fortsetzung) (Jonathan Bowers)

Struktur[edit]

Die abgeschnittenen Würfel sind über ihre achteckigen Flächen miteinander verbunden Anti Orientierung; ich. zwei benachbarte abgeschnittene Würfel werden um 45 Grad relativ zueinander gedreht, so dass keine zwei dreieckigen Flächen eine Kante teilen.

Die Folge von abgeschnittenen Würfeln, die über gegenüberliegende achteckige Flächen miteinander verbunden sind, bildet einen Zyklus von 8. Jeder abgeschnittene Würfel gehört zu 3 solchen Zyklen. Andererseits bildet die Folge von abgeschnittenen Würfeln, die über gegenüberliegende dreieckige Flächen miteinander verbunden sind, einen Zyklus von 6. Jeder abgeschnittene Würfel gehört zu 4 solchen Zyklen.

In einer Konfigurationsmatrix werden alle Inzidenzzählungen zwischen Elementen angezeigt. Die diagonalen f-Vektornummern werden durch die Wythoff-Konstruktion abgeleitet, wobei die vollständige Gruppenreihenfolge einer Untergruppenreihenfolge durch Entfernen jeweils eines Spiegels geteilt wird. Kanten existieren an 4 Symmetriepositionen. Quadrate existieren an 3 Positionen, Sechsecke an 2 Positionen und Achtecke an einer. Schließlich existieren die 4 Zelltypen, die an den 4 Ecken des fundamentalen Simplex zentriert sind.^[1]

Koordinaten[edit]

Die kartesischen Koordinaten einer bitgeschnittenen 24-Zelle mit der Kantenlänge 2 sind alle Permutationen von Koordinaten und Vorzeichen von:

(0, 2 + √2, 2 + √2, 2 + 2√2)

(1, 1 + √2, 1 + √2, 3 + 2√2)

Projektionen[edit]

Projektion auf 2 Dimensionen[edit]

Projektion auf 3 Dimensionen[edit]

Orthographisch

Perspektive

Die folgende Animation zeigt die orthografische Projektion der bitgeschnittenen 24-Zellen in 3 Dimensionen. Die Animation selbst ist eine perspektivische Projektion vom statischen 3D-Bild in 2D, wobei eine Drehung hinzugefügt wird, um die Struktur deutlicher zu machen. Die Bilder der 48 abgeschnittenen Würfel sind wie folgt aufgebaut: Der zentrale abgeschnittene Würfel ist die Zelle, die dem 4D-Ansichtspunkt am nächsten liegt und hervorgehoben ist, um die Anzeige zu erleichtern. Um die visuelle Unordnung zu verringern, wurden die Eckpunkte und Kanten, die auf diesem zentralen abgeschnittenen Würfel liegen, weggelassen. Um diesen zentralen abgeschnittenen Würfel herum befinden sich 6 abgeschnittene Würfel, die über die achteckigen Flächen angebracht sind, und 8 abgeschnittene Würfel, die über die dreieckigen Flächen angebracht sind. Diese Zellen wurden transparent gemacht, so dass die zentrale Zelle sichtbar ist. Die 6 äußeren quadratischen Flächen der Projektionshüllkurve sind die Bilder von weiteren 6 abgeschnittenen Würfeln, und die 12 länglichen achteckigen Flächen der Projektionshüllkurve sind die Bilder von weiteren 12 abgeschnittenen Würfeln. Die verbleibenden Zellen wurden ausgesondert, weil sie auf der anderen Seite der bitgeschnittenen 24-Zellen liegen und vom 4D-Standpunkt aus verdeckt sind. Dazu gehören der antipodale Würfelstumpf, der auf das gleiche Volumen wie der hervorgehobene Würfelstumpf projiziert worden wäre, wobei 6 andere Würfelstümpfe ihn umgeben, die über achteckige Flächen befestigt sind, und 8 andere Würfelstümpfe, die ihn umgeben, über Dreiecksflächen befestigt sind.

Die folgende Animation zeigt die perspektivische Projektion der Bit-abgeschnittenen 24-Zellen in drei Dimensionen. Seine Struktur ist die gleiche wie bei der vorherigen Animation, außer dass es aufgrund der perspektivischen Projektion zu einer Verkürzung kommt.

Verwandte regelmäßige Schrägpolyeder[edit]

Das reguläre Schrägpolyeder {8,4 | 3} existiert im 4-Raum mit 4 Achtecken um jeden Scheitelpunkt in einer nicht planaren Zick-Zack-Scheitelpunktfigur. Diese achteckigen Flächen sind auf den bitgeschnittenen 24-Zellen mit allen 576 Kanten und 288 Eckpunkten zu sehen. Die 192 dreieckigen Flächen der bitgeschnittenen 24-Zellen können als entfernt angesehen werden. Das doppelte reguläre Schrägpolyeder {4,8 | 3} ist in ähnlicher Weise mit den quadratischen Flächen der runcinierten 24-Zellen verwandt.

Disphenoidale 288-Zellen[edit]

Disphenoidale 288-Zellen
Art	perfekt[2] Polychoron
Symbol	f1,2F.4[2] (1,0,0,0)F.4 ⊕ (0,0,0,1)F.4[3]
Coxeter
Zellen	288 kongruente tetragonale Disphenoide
Gesichter	576 kongruente gleichschenklige (2 kurze Kanten)
Kanten	336	192 der Länge ${ displaystyle scriptstyle 1}$ 144 der Länge ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {2 – { sqrt {2}}}}$
Eckpunkte	48
Scheitelpunktfigur	(Triakis-Oktaeder)
Dual	Bitruncated 24-cell
Coxeter-Gruppe	Aut (F.4), [[3,4,3]]Bestellung 2304
Umlaufbahnvektor	(1, 2, 1, 1)
Eigenschaften	konvex, isochor

Das disphenoidale 288-Zellen ist das Dual der bitgeschnittenen 24-Zellen. Es ist ein 4-dimensionales Polytop (oder Polychoron), das aus der 24-Zellen-Zelle stammt. Es wird konstruiert, indem die 24-Zellen verdoppelt und gedreht werden und dann die konvexe Hülle konstruiert wird.

Als Dual eines einheitlichen Polychors ist es zelltransitiv und besteht aus 288 kongruenten tetragonalen Disphenoiden. Außerdem ist es unter der Gruppe Aut (F) vertextransitiv₄).^[3]

Bilder[edit]

Geometrie[edit]

Die Eckpunkte der 288-Zelle sind genau die 24 Hurwitz-Einheitsquaternionen mit Normquadrat 1, die mit den 24 Eckpunkten der dualen 24-Zelle mit Normquadrat 2 vereinigt sind und auf die Einheit 3-Kugel projiziert werden. Diese 48 Eckpunkte entsprechen der binären oktaedrischen Gruppe, <2,3,4>, Bestellung 48.

Somit ist die 288-Zelle das einzige nicht reguläre 4-Polytop, das die konvexe Hülle einer quaternionischen Gruppe ist, wobei die unendlich vielen dizyklischen (wie binären Dieder) Gruppen außer Acht gelassen werden. Die regulären sind die 24-Zellen (≘ 2T, <2,3,3>, Ordnung 24) und die 120-Zellen (≘ 2I, <2,3,5>, Bestellung 120). (Die 16-Zellen entsprechen der binären Diedergruppe 2D₂, <2,2,2>, Bestellung 16.)

Die beschriftete 3-Kugel hat einen Radius von 1/2 +√2/ 4 ≈ 0,853553 und berührt die 288-Zelle in den Zentren der 288-Tetraeder, die die Eckpunkte der doppelt bitgeschnittenen 24-Zelle sind.

Die Eckpunkte können in zwei Farben gefärbt werden, z. B. Rot und Gelb, wobei die 24 Hurwitz-Einheiten in Rot und die 24 Duals in Gelb sind, wobei die gelben 24-Zellen mit den roten übereinstimmen. Somit ist das Produkt von 2 gleichfarbigen Quaternionen rot und das Produkt von 2 in gemischten Farben ist gelb.

Es gibt 192 lange Kanten mit der Länge 1, die gleiche Farben verbinden, und 144 kurze Kanten mit der Länge √2–√2 ≈ 0,765367, die gemischte Farben verbinden. 192 * 2/48 = 8 lang und 144 * 2/48 = 6 kurz, dh zusammen 14 Kanten treffen sich an jedem Scheitelpunkt.

Die 576 Flächen sind gleichschenklig mit 1 langen und 2 kurzen Kanten, alle kongruent. Die Winkel an der Basis sind Arccos (√4+√8/ 4) ≤ 49,210 °. 576 * 3/48 = 36 Flächen treffen sich an einem Scheitelpunkt, 576 * 1/192 = 3 an einer langen Kante und 576 * 2/144 = 8 an einer kurzen Kante.

Die 288 Zellen sind Tetraeder mit 4 kurzen Kanten und 2 antipodalen und senkrechten langen Kanten, von denen eine 2 rote und die andere 2 gelbe Eckpunkte verbindet. Alle Zellen sind kongruent. 288 * 4/48 = 24 Zellen treffen sich an einem Scheitelpunkt. 288 * 2/192 = 3 Zellen treffen sich an einer langen Kante, 288 * 4/144 = 8 an einer kurzen Kante. 288 * 4/576 = 2 Zellen treffen sich an einem Dreieck.

Wenn Sie einen festen roten Scheitelpunkt am Nordpol (1,0,0,0) platzieren, befinden sich 6 gelbe Scheitelpunkte im nächst tieferen „Breitengrad“ bei (√2/ 2, x, y, z), gefolgt von 8 roten Eckpunkten im Breitengrad bei (1/2, x, y, z). Der nächst tiefere Breitengrad ist die Äquator-Hyperebene, die die 3-Kugel in einer 2-Kugel schneidet, die von 6 roten und 12 gelben Eckpunkten besetzt ist.

Schicht 2 ist eine 2-Kugel, die ein reguläres Oktaeder umschreibt, dessen Kanten die Länge 1 haben. Ein Tetraeder mit Scheitelpunkt-Nordpol hat 1 dieser Kanten als lange Kante, deren 2 Eckpunkte durch kurze Kanten mit dem Nordpol verbunden sind. Eine weitere lange Kante verläuft vom Nordpol in die Schicht 1 und 2 kurze Kanten von dort in die Schicht 2.

Verwandte Polytope[edit]

D.4 einheitliche Polychora
{3,31,1}} h {4,3,3}	2r {3,31,1}} h3{4,3,3}	t {3,31,1}} h2{4,3,3}	2t {3,31,1}} h2,3{4,3,3}	r {3,31,1}} {31,1,1} = {3,4,3}	rr {3,31,1}} r {31,1,1} = r {3,4,3}	tr {3,31,1}} t {31,1,1} = t {3,4,3}	sr {3,31,1}} s {31,1,1} = s {3,4,3}

B.₄ Familie einheitlicher Polytope:

B4-Symmetriepolytope
Name	Tesseract	korrigiert Tesseract	gekürzt Tesseract	kantelliert Tesseract	runciniert Tesseract	bitruncated Tesseract	cantitruncated Tesseract	runcitruncated Tesseract	omnitruncated Tesseract
Coxeter Diagramm		=				=
Schläfli Symbol	{4,3,3}	t1{4,3,3} r {4,3,3}	t0,1{4,3,3} t {4,3,3}	t0,2{4,3,3} rr {4,3,3}	t0,3{4,3,3}	t1,2{4,3,3} 2t {4,3,3}	t0,1,2{4,3,3} tr {4,3,3}	t0,1,3{4,3,3}	t0,1,2,3{4,3,3}
Schlegel Diagramm
B.4
Name	16 Zellen	korrigiert 16 Zellen	gekürzt 16 Zellen	kantelliert 16 Zellen	runciniert 16 Zellen	bitruncated 16 Zellen	cantitruncated 16 Zellen	runcitruncated 16 Zellen	omnitruncated 16 Zellen
Coxeter Diagramm	=	=	=	=		=	=
Schläfli Symbol	{3,3,4}	t1{3,3,4} r {3,3,4}	t0,1{3,3,4} t {3,3,4}	t0,2{3,3,4} rr {3,3,4}	t0,3{3,3,4}	t1,2{3,3,4} 2t {3,3,4}	t0,1,2{3,3,4} tr {3,3,4}	t0,1,3{3,3,4}	t0,1,2,3{3,3,4}
Schlegel Diagramm
B.4

F.₄ Familie einheitlicher Polytope:

Polytope der 24-Zell-Familie
Name	24 Zellen	verkürzte 24-Zellen	Stups 24-Zellen	korrigierte 24-Zellen	Cantellated 24-Zellen	bitruncated 24-cell	cantitruncated 24-cell	runcinierte 24-Zellen	runcitruncated 24-cell	omnitruncated 24-cell
Schläfli Symbol	{3,4,3}	t0,1{3,4,3} t {3,4,3}	s {3,4,3}	t1{3,4,3} r {3,4,3}	t0,2{3,4,3} rr {3,4,3}	t1,2{3,4,3} 2t {3,4,3}	t0,1,2{3,4,3} tr {3,4,3}	t0,3{3,4,3}	t0,1,3{3,4,3}	t0,1,2,3{3,4,3}
Coxeter Diagramm
Schlegel Diagramm
F.4
B.4
B.3(ein)
B.3(b)
B.2

Verweise[edit]

• HSM Coxeter:
  • Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von HSM Coxeter, herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
    • (Papier 22) HSM Coxeter, Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope I., [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Papier 23) HSM Coxeter, Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Papier 24) HSM Coxeter, Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Norman Johnson Einheitliche PolytopeManuskript (1991)
  • NW Johnson: Die Theorie der einheitlichen Polytope und Waben, Ph.D. (1966)
• Klitzing, Richard. “4D einheitliche Polytope (Polychora)”. x3x4o3o = x3x3x4o – tico, o3x4x3o – cont
• 3. Konvexe einheitliche Polychora basierend auf dem Icositetrachoron (24 Zellen) – Modell 24, 27George Olshevsky.