[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2021\/01\/22\/ungleichung-beseitigen-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2021\/01\/22\/ungleichung-beseitigen-wikipedia\/","headline":"Ungleichung beseitigen – Wikipedia","name":"Ungleichung beseitigen – Wikipedia","description":"before-content-x4 In der Mathematik ist die Ungleichung beseitigen, entdeckt vom sowjetischen Mathematiker Evgeny Yakovlevich Remez (Remez 1936), gibt eine Grenze","datePublished":"2021-01-22","dateModified":"2021-01-22","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9054c94d22815b4fc12b69663b6cdd977f9789c5","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9054c94d22815b4fc12b69663b6cdd977f9789c5","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2021\/01\/22\/ungleichung-beseitigen-wikipedia\/","wordCount":7641,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4In der Mathematik ist die Ungleichung beseitigen, entdeckt vom sowjetischen Mathematiker Evgeny Yakovlevich Remez (Remez 1936), gibt eine Grenze f\u00fcr die Sup-Normen bestimmter Polynome, wobei die Grenze durch die Chebyshev-Polynome erreicht wird.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Table of ContentsDie Ungleichung[edit]n[edit]&  geq { frac {1} {2}} { frac {{ textrm {mes}} E} {{ textrm {mes}} J}}  left ({ frac {{ textrm {mes}) } E} {2C  mathrm {mes} J}}  right) ^ {p (n-1)} e ^ {- p  max _ {k} |  Re  lambda _ {k} | ,  mathrm {mes} J}  int _ {x  in J} | p (x) | ^ {p} , { mbox {d}} x,  end {align}}}[edit]{ displaystyle { textrm {mes}}  left  {x  in  mathbb {R} ,  mid , | P (x) |  leq a  right }  leq 4  left ({ frac {a} {2  mathrm {LC} (p)}}  right) ^ {1 \/ n} ~,  quad a> 0 ~.}[edit]Die Ungleichung[edit]Sei \u03c3 eine beliebige feste positive Zahl.  Definieren Sie die Klasse der Polynome \u03c0n(\u03c3) diese Polynome sein p des nth Grad f\u00fcr den       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4|p((x)|\u22641{ displaystyle | p (x) |  leq 1}bei einem Ma\u00dfsatz \u2265 2, der im geschlossenen Intervall enthalten ist [\u22121,\u00a01+\u03c3].  Dann ist die Ungleichung beseitigen besagt, dasssupp\u2208\u03c0n((\u03c3)\u2016p\u2016\u221e=\u2016T.n\u2016\u221e{ displaystyle  sup _ {p  in  pi _ {n} ( sigma)}  | p  | _ { infty} =  | T_ {n}  | _ { infty}}wo T.n((x) ist das Chebyshev-Polynom des Grades nund die Supremum-Norm wird \u00fcber das Intervall \u00fcbernommen [\u22121,\u00a01+\u03c3].Beachten Sie das T.n  nimmt weiter zu        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4[1,+\u221e]{ displaystyle [1,+infty ]}}daher\u2016T.n\u2016\u221e=T.n((1+\u03c3).{ displaystyle  | T_ {n}  | _ { infty} = T_ {n} (1+  sigma).}Das Ri impliziert in Kombination mit einer Sch\u00e4tzung der Chebyshev-Polynome die folgende Folgerung: If J. \u2282 R. ist ein endliches Intervall, und E. \u2282 J. ist also eine beliebige messbare Mengemaxx\u2208J.|p((x)|\u2264((4mesJ.mesE.)nsupx\u2208E.|p((x)|((\u2217){ displaystyle  max _ {x  in J} | p (x) |  leq  left ({ frac {4 , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E. }}  right) ^ {n}  sup _ {x  in E} | p (x) |  qquad  qquad max _ {{x  in J}} | p (x) |  leq  left ({ frac {4 , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E} }  right) ^ {n}  sup _ {{x  in E}} | p (x) |  qquad  qquad  f\u00fcr jedes Polynom pGradn[edit].Erweiterungen: Nazarov-Tur\u00e1n-LemmaUngleichungen \u00e4hnlich (* * ) wurden f\u00fcr verschiedene Funktionsklassen nachgewiesen und sind als Ungleichungen vom Remez-Typ bekannt.  Ein wichtiges Beispiel ist Nazarovs Ungleichung f\u00fcr exponentielle Summen (Nazarov 1993):Nazarovs Ungleichung.Lassenp((x)=\u2211k=1neinke\u03bbk{ displaystyle p (x) =  sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} e ^ { lambda _ {k} x}} p (x) =  sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} e ^ {{ lambda _ {k} x}}sei eine exponentielle Summe (mit beliebiger \u03bbk\u2208 C. ), und lass J. \u2282 R. sei ein endliches Intervall, E.\u2282J.– eine beliebige messbare Menge.  Dannmaxx\u2208J.|p((x)|\u2264emaxk|\u211c\u03bbk|mesJ.((C.mesJ.mesE.)n– –1supx\u2208E.|p((x )|{ displaystyle  max _ {x  in J} | p (x) |  leq e ^ { max _ {k} |  Re  lambda _ {k} | ,  mathrm {mes} J}  left ({ frac {C , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E}}  right) ^ {n-1}  sup _ {x  in E} | p (x) | ~,}  max _ {{x  in J}} | p (x) |  leq e ^ {{ max _ {k} |  Re  lambda _ {k} | , { mathrm {mes}} J} }  left ({ frac {C , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E}}  right) ^ {{n-1}}  sup _ {{x  in E}} | p (x) | ~, woC. > 0 ist eine numerische Konstante.Im besonderen Fall wenn  \u03bb k sind rein imagin\u00e4r und ganzzahlig, und die TeilmengeE. ist selbst ein Intervall, die Ungleichung wurde von P\u00e1l Tur\u00e1n bewiesen und ist als Tur\u00e1ns Lemma bekannt.Diese Ungleichheit erstreckt sich auch aufL.p((T. ),0\u2264p\u2264  { displaystyle L ^ {p} ( mathbb {T}),  0  leq p  leq 2}L ^ {p} ({ mathbb {T}}),  0  leq p  leq 2auf die folgende Weise\u2016p\u2016L.p((T.)\u2264eEIN((n– –1)mes((T.\u2216E.)\u2016p\u2016L.p((E.{ displaystyle  | p  | _ {L ^ {p} ( mathbb {T})}  leq e ^ {A (n-1) { textrm {mes}} ( mathbb {T}  setminus E. )}  | p  | _ {L ^ {p} (E)}}  | p  | _ {{L ^ {p} ({ mathbb {T}})}}  leq e ^ {{A (n-1) { textrm {mes}} ({ mathbb {T} }  setminus E)}}  | p  | _ {{L ^ {p} (E)}}f\u00fcr einige EIN> 0 unabh\u00e4ngig von p, E., undn”.  Wann” alttext ={ displaystyle  mathrm {mes} E.mesE.Log\u2061nn”{ displaystyle  mathrm {mes} E Beweis:”Nazarovs Lemma anwenden auf0}>E.=E.\u03bb={ x::|p((x)|\u2264\u03bb }},\u03bb>  { displaystyle E = E _ { lambda} =  {x  ,:  | p (x) |  leq  lambda },   lambda> 0}E = E _ { lambda} =  {x  ,:  | p (x) |  leq  lambda },   lambda> 0f\u00fchrt zumaxx\u2208J.|p((x)|\u2264emaxk|\u211c\u03bbk|mesJ.((C.mesJ.mesE.\u03bb)n– –1supx\u2208E.\u03bb|p((x)|\u2264emaxk|\u211c\u03bbk|mesJ.((C.mesJ.mesE.\u03bb)n– –1{ displaystyle  max _ {x  in J} | p (x) |  leq e ^ { max _ {k} |  Re  lambda _ {k} | ,  mathrm {mes} J}  left ({ frac {C , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E _ { lambda}}}  right) ^ {n-1}  sup _ {x  in E _ { lambda}} | p (x) |  leq e ^ { max _ {k} |  Re  lambda _ {k} | ,  mathrm {mes} J}  left ({ frac {C. , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E _ { lambda}}}  right) ^ {n-1}  lambda}{ displaystyle  max _ {x  in J} | p (x) |  leq e ^ { max _ {k} |  Re  lambda _ {k} | ,  mathrm {mes} J}  left ({ frac {C , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E _ { lambda}}}  right) ^ {n-1}  sup _ {x  in E _ { lambda}} | p (x) |  leq e ^ { max _ {k} |  Re  lambda _ {k} | ,  mathrm {mes} J}  left ({ frac {C. , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E _ { lambda}}}  right) ^ {n-1}  lambda}somesE.\u03bb\u2264C.mesJ.((\u03bbemaxk|\u211c\u03bbk|mesJ.maxx\u2208J.|p((x)|)1n– –{ displaystyle { textrm {mes}} E _ { lambda}  leq C , , { textrm {mes}} J  left ({ frac { lambda e ^ { max _ {k} |  Re  lambda _ {k} | ,  mathrm {mes} J}} { max _ {x  in J} | p (x) |}}  right) ^ { frac {1} {n-1 }}} { displaystyle { textrm {mes}} E _ { lambda}  leq C , , { textrm {mes}} J  left ({ frac { lambda e ^ { max _ {k} |  Re  lambda _ {k} | ,  mathrm {mes} J}} { max _ {x  in J} | p (x) |}}  right) ^ { frac {1} {n-1 }}}Korrigieren Sie jetzt einen Satz  { displaystyle E} E.und w\u00e4hle  { displaystyle  lambda}  lambdaso dassmesE.\u03bb\u226412mes{ displaystyle { textrm {mes}} E _ { lambda}  leq { tfrac {1} {2}} { textrm {mes}} E}{ displaystyle { textrm {mes}} E _ { lambda}  leq { tfrac {1} {2}} { textrm {mes}} E}, das ist\u03bb=((mesE.2C.mesJ.)n– –1e– –maxk|\u211c\u03bbk|mesJ.maxx\u2208J.|p((x){ displaystyle  lambda =  left ({ frac {{ textrm {mes}} E} {2C  mathrm {mes} J}}  right) ^ {n-1} e ^ {-  max _ {k } |  Re  lambda _ {k} | ,  mathrm {mes} J}  max _ {x  in J} | p (x) |}{ displaystyle  lambda =  left ({ frac {{ textrm {mes}} E} {2C  mathrm {mes} J}}  right) ^ {n-1} e ^ {-  max _ {k } |  Re  lambda _ {k} | ,  mathrm {mes} J}  max _ {x  in J} | p (x) |}Beachten Sie, dass dies impliziert:mesE.\u2216E.\u03bb\u226512mes{ displaystyle { textrm {mes}} E  setminus E _ { lambda}  geq { tfrac {1} {2}} { textrm {mes}} E}"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2021\/01\/22\/ungleichung-beseitigen-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Ungleichung beseitigen – Wikipedia"}}]}]