Demihypercube – Wikipedia

Polytop aus Wechsel eines Hyperwürfels

Wechsel der n-würfel ergibt eins von zwei n-demicubes, wie in dieser 3-dimensionalen Darstellung der beiden Tetraeder, die als 3-demicubes des 3-Würfels entstehen.

In der Geometrie Demihyperwürfel (auch genannt n-Demicubes, n-Hemicubes, und Polytope zur Hälfte messen) sind eine Klasse von n-Polytopen, die aus dem Wechsel eines n-Hyperwürfels aufgebaut sind und als bezeichnet sind hγ_n für das Sein halb der Hypercube-Familie, γ_n. Die Hälfte der Eckpunkte wird gelöscht und neue Facetten gebildet. Das 2n Facetten werden 2n (n-1) -Demicubes, und 2ⁿ(n-1) -Simplex Anstelle der gelöschten Eckpunkte werden Facetten gebildet.^[1]

Sie wurden mit einem benannt demi- Präfix für jeden Hypercube-Namen: Demicube, Demitesseract usw. Der Demicube ist identisch mit dem regulären Tetraeder, und der Demitesseract ist identisch mit dem regulären 16-Zellen-Namen. Der Demipenterakt wird berücksichtigt halbregelmäßig für nur regelmäßige Facetten. Höhere Formen haben nicht alle regulären Facetten, sondern sind alle einheitliche Polytope.

Die Eckpunkte und Kanten eines Demihyperwürfels bilden zwei Kopien des halbierten Würfelgraphen.

Ein n-Demicube hat Inversionssymmetrie, wenn n gerade ist.

Entdeckung[edit]

Thorold Gosset beschrieb den Demipenterakt in seiner Veröffentlichung von 1900, in der alle regulären und semiregulären Figuren in n-Dimensionen über 3 aufgelistet waren. Er nannte ihn a 5-ic halb regelmäßig. Es existiert auch innerhalb des semiregularen k₂₁ Polytop-Familie.

Die Demihyperwürfel können durch erweiterte Schläfli-Symbole der Form h {4,3, …, 3} als die Hälfte der Eckpunkte von {4,3, …, 3} dargestellt werden. Die Scheitelpunktfiguren von Demihyperwürfeln sind gleichgerichtete n-Simplexe.

Konstruktionen[edit]

Sie werden durch Coxeter-Dynkin-Diagramme von drei konstruktiven Formen dargestellt:

1. … (Als alternatives Orthotop) s {2^{1,1 …, 1}}}
2. … (Als alternierender Hyperwürfel) h {4,3^n-1}}
3. …. (Als Demihyperwürfel) {3^{1, n-3,1}}}

HSM Coxeter bezeichnete auch die dritten Bifurkationsdiagramme als 1_k1 Darstellen der Länge der 3 Zweige und geführt von dem ringförmigen Zweig.

Ein n-Demicube, n größer als 2, hat n * (n-1) / 2 Kanten treffen sich an jedem Scheitelpunkt. Die folgenden Grafiken zeigen weniger Kanten an jedem Scheitelpunkt aufgrund überlappender Kanten in der Symmetrieprojektion.

n	1k1	Petrie Polygon	Schläfli-Symbol	Coxeter-Diagramme EIN1n B.n D.n	Elemente										Facetten: Demihypercubes & Simplexe	Scheitelpunktfigur
					Eckpunkte	Kanten	Gesichter	Zellen	4 Gesichter	5 Gesichter	6 Gesichter	7 Gesichter	8 Gesichter	9 Gesichter
2	1−1,1	demisquare (Digon)	s {2} h {4} {31, -1,1,1}}		2	2									2 Kanten	– –
3	101	Demicube (Tetraeder)	s {21,1}} h {4,3} {31,0,1}}		4	6	4								(6 Digons) 4 Dreiecke	Dreieck (Gleichgerichtetes Dreieck)
4	111	Demitesseract (16 Zellen)	s {21,1,1}} h {4,3,3} {31,1,1}}		8	24	32	16							8 Demicubes (Tetraeder) 8 Tetraeder	Oktaeder (Gleichgerichtetes Tetraeder)
5	121	demipenteract	s {21,1,1,1}} h {4,33}{31,2,1}}		16	80	160	120	26						10 16-Zellen 16 5-Zellen	Rektifizierte 5-Zellen
6	131	Demihexeract	s {21,1,1,1,1}} h {4,34}{31,3,1}}		32	240	640	640	252	44					12 Demipenterakte 32 5-simplices	Korrigiertes Hexateron
7	141	Demihepterakt	s {21,1,1,1,1,1}} h {4,35}{31,4,1}}		64	672	2240	2800	1624	532	78				14 Demihexerakte 64 6-Simplices	Korrigierter 6-Simplex
8	151	Demiocteract	s {21,1,1,1,1,1,1}} h {4,36}{31,5,1}}		128	1792	7168	10752	8288	4032	1136	144			16 Demihepterakte 128 7-Simplices	Korrigierter 7-Simplex
9	161	demienneract	s {21,1,1,1,1,1,1,1}} h {4,37}{31,6,1}}		256	4608	21504	37632	36288	23520	9888	2448	274		18 Demiocteracts 256 8-Simplices	Korrigierter 8-Simplex
10	171	Demidekeract	s {21,1,1,1,1,1,1,1,1}} h {4,38}{31,7,1}}		512	11520	61440	122880	142464	115584	64800	24000	5300	532	20 Demiennerakte 512 9-Simplices	Korrigierter 9-Simplex
…
n	1n-3,1	n-Demicube	s {21,1, …, 1}} h {4,3n-2}{31, n-3,1}}	… … …	2n-1										2n (n-1) -Demicubes 2n-1 (n-1) -Einfache	Gleichgerichteter (n-1) -Simplex

Im Allgemeinen können die Elemente eines Demicubes aus dem ursprünglichen n-Cube bestimmt werden: (Mit C._{n, m} = m^th-face count in n-cube = 2^nm* n! / (m! * (nm)!))

• Eckpunkte: D._{n, 0} = 1/2 * C._{n, 0} = 2^n-1 (Die Hälfte der n-Würfel-Eckpunkte bleibt erhalten)
• Kanten: D._{n, 1} = C._{n, 2} = 1/2 n (n-1) 2^n-2 (Alle ursprünglichen Kanten gehen verloren, jede quadratische Fläche erzeugt eine neue Kante.)
• Gesichter: D._{n, 2} = 4 * C._{n, 3} = 2/3 n (n-1) (n-2) 2^n-3 (Alle ursprünglichen Flächen verloren, jeder Würfel erstellt 4 neue dreieckige Flächen)
• Zellen: D._{n, 3} = C._{n, 3} + 2³C._{n, 4} (Tetraeder aus ursprünglichen Zellen plus neue)
• Hyperzellen: D._{n, 4} = C._{n, 4} + 2⁴C._{n, 5} (16 Zellen bzw. 5 Zellen)
• …
• [For m=3…n-1]: D._{n, m} = C._{n, m} + 2^mC._{n, m + 1} (m-Demicubes bzw. m-Simplexe)
• …
• Facetten: D._{n, n-1} = 2n + 2^n-1 ((n-1) -Demicubes bzw. (n-1) -Einfache)

Symmetriegruppe[edit]

Der Stabilisator des Demihyperwürfels in der hyperoktaedrischen Gruppe (der Coxeter-Gruppe)

[4,3^n-1]) hat Index 2. Es ist die Coxeter-Gruppe

[3^n-3,1,1] der Ordnung

und wird durch Permutationen der Koordinatenachsen und Reflexionen entlang erzeugt Paare von Koordinatenachsen.^[2]

Orthotope Konstruktionen[edit]

Das rhombische Disphenoid innerhalb eines Quaders

Konstruktionen als alternierende Orthotope haben die gleiche Topologie, können jedoch mit unterschiedlichen Längen in gedehnt werden nSymmetrieachsen.

Das rhombische Disphenoid ist das dreidimensionale Beispiel als alternierter Quader. Es hat drei Sätze von Kantenlängen und Skalenendreieckflächen.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• T. Gosset: Auf den regulären und semi-regulären Figuren im Raum von n Dimensionen, Bote der Mathematik, Macmillan, 1900
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Die Symmetrien der Dinge 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitel 26. S. 409: Hemicubes: 1_n1)
• Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von HSM Coxeter, herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papier 24) HSM Coxeter, Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

Externe Links[edit]