Primzählfunktion – Wikipedia

Posted on January 23, 2021 by lordneo

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Funktion, die die Anzahl der Primzahlen darstellt, die kleiner oder gleich einer bestimmten Anzahl sind

In der Mathematik ist die Primzählfunktion ist die Funktion, die die Anzahl der Primzahlen zählt, die kleiner oder gleich einer reellen Zahl sind x.^[1]^[2] Es wird mit bezeichnet $π$ ((x) (unabhängig von der Nummer $π$ ).

Die Werte von

π

((n) für die ersten 60 positiven ganzen Zahlen

Table of Contents

Geschichte[edit]

Von großem Interesse für die Zahlentheorie ist die Wachstumsrate der Primzählfunktion.^[3]^[4] Es wurde Ende des 18. Jahrhunderts von Gauß und Legendre als ungefähr vermutet

{ displaystyle { frac {x} { ln (x)}}}

in dem Sinne, dass

{ displaystyle lim _ {x rightarrow infty} { frac { pi (x)} {x / ln (x)}} = 1.}

Diese Aussage ist der Primzahlsatz. Eine äquivalente Aussage ist

{ displaystyle lim _ {x rightarrow infty} pi (x) / operatorname {li} (x) = 1 !}

Dabei ist li die logarithmische Integralfunktion. Der Primzahlsatz wurde erstmals 1896 von Jacques Hadamard und Charles de la Vallée Poussin unabhängig voneinander unter Verwendung der Eigenschaften der 1859 von Riemann eingeführten Riemannschen Zetafunktion bewiesen. Es wurden Beweise für den Primzahlsatz gefunden, bei denen die Zetafunktion oder die komplexe Analyse nicht verwendet wurden um 1948 von Atle Selberg und von Paul Erdős (größtenteils unabhängig).^[5]

De la Vallée Poussin hat dies 1899 bewiesen (siehe auch Satz 23 von^[6])

{ displaystyle pi (x) = operatorname {li} (x) + O left (xe ^ {- a { sqrt { ln x}}} right) quad { text {as}} x to infty}

für eine positive Konstante $ein$ . Hier, $Ö (\dots)$ ist der große $Ö$ Notation.

Genauere Schätzungen von

{ displaystyle pi (x) !}

$pi (x) !$ sind jetzt bekannt. Zum Beispiel hat Kevin Ford das im Jahr 2002 bewiesen^[7]

{ displaystyle pi (x) = operatorname {li} (x) + O left (x exp left (-0.2098 ( ln x) ^ { frac {3} {5}} ( ln ln x) ^ {- { frac {1} {5}}} right) right)}

Im Jahr 2016 erwies sich Tim Trudgian als explizite Obergrenze für den Unterschied zwischen

{ displaystyle pi (x)}

$pi (x)$ und

{ displaystyle operatorname {li} (x)}

${ displaystyle operatorname {li} (x)}$ ::

{ displaystyle { big |} pi (x) – operatorname {li} (x) { big |} leq 0.2795 { frac {x} {( ln x) ^ {3/4}}} exp left (- { sqrt { frac { ln x} {6.455}}} right)}

zum

{ displaystyle x geq 229}

${ displaystyle x geq 229}$ .^[8]

Für die meisten Werte von

{ displaystyle x}

$x$ wir sind interessiert an (dh wann

{ displaystyle x}

$x$ ist nicht unangemessen groß)

{ displaystyle operatorname {li} (x) !}

$operatorname {li} (x) !$ ist größer als

{ displaystyle pi (x) !}

$pi (x) !$ . Jedoch,

{ displaystyle pi (x) – operatorname {li} (x)}

${ displaystyle pi (x) - operatorname {li} (x)}$ ist dafür bekannt, das Vorzeichen unendlich oft zu ändern. Eine Diskussion hierzu finden Sie unter Skewes ‘Nummer.

Genaue Form[edit]

Von großer Bedeutung ist, dass Bernhard Riemann bewiesen hat, dass die Primzählfunktion genau ist^[9]

{ displaystyle pi (x) = operatorname {R} (x) – sum _ { rho} operatorname {R} (x ^ { rho})}

{ displaystyle operatorname {R} (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n}} operatorname {li} (x ^ {1 / n})}

$μ ((n)$ ist die Möbius-Funktion, $li (x)$ ist die logarithmische Integralfunktion, ρ indiziert jede Null der Riemannschen Zetafunktion und $li (x ρ / n)$ wird nicht mit einem Astschnitt ausgewertet, sondern als $Ei (ρ /. n ln x)$ wo $Ei (x)$ ist das Exponentialintegral. Entsprechend, wenn die trivialen Nullen gesammelt und die Summe genommen wird nur über die nicht trivialen Nullen ρ der Riemannschen Zeta-Funktion also $π ((x)$ kann geschrieben werden

{ displaystyle pi (x) = operatorname {R} (x) – sum _ { rho} operatorname {R} (x ^ { rho}) – { frac {1} { ln {x }}} + { frac {1} { pi}} arctan { frac { pi} { ln {x}}}}

Die Riemann-Hypothese legt nahe, dass jede solche nicht triviale Null liegt $Re(s) = 1 /. 2$ .

Tabelle $π$ ((x), x / ln xund li (x)[edit]

Die Tabelle zeigt, wie die drei Funktionen funktionieren $π$ ((x), x / ln x und li (x) Vergleiche bei Potenzen von 10. Siehe auch,^[3]^[10]^[11] und^[12]

x	$π$ ((x)	$π$ ((x) – x / ln x	li (x) – $π$ ((x)	x /. $π$ ((x)	x / ln x% Fehler
10	4	−0.3	2.2	2.500	-7,5%
10²	25	3.3	5.1	4.000	13,20%
10³	168	23	10	5,952	13,69%
10⁴	1,229	143	17	8.137	11,64%
10⁵	9,592	906	38	10.425	9,45%
10⁶	78.498	6,116	130	12.740	7,79%
10⁷	664,579	44,158	339	15.047	6,64%
10⁸	5,761,455	332,774	754	17.357	5,78%
10⁹	50,847,534	2,592,592	1.701	19.667	5,10%
10¹⁰	455,052,511	20.758.029	3,104	21.975	4,56%
10¹¹	4,118,054,813	169.923.159	11.588	24.283	4,13%
10¹²	37,607,912,018	1.416.705.193	38,263	26.590	3,77%
10¹³	346,065,536,839	11.992.858.452	108.971	28.896	3,47%
10¹⁴	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314.890	31.202	3,21%
10¹⁵	29.844.570.422.669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	2,99%
10¹⁶	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	2,79%
10¹⁷	2,623,557,157,654,233	68.883.734.693.281	7,956,589	38.116	2,63%
10¹⁸	24.739.954.287.740.860	612.483.070.893.536	21.949.555	40.420	2,48%
10¹⁹	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	99.877.775	42,725	2,34%
10²⁰	2,220,819,602,560,918,840	49.347.193.044.659.701	222,744,644	45.028	2,22%
10²¹	21.127.269.486.018.731.928	446.579.871.578.168.707	597,394,254	47.332	2,11%
10²²	201.467.286.689.315.906.290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	2,02%
10²³	1,925,320,391,606,803,968,923	37.083.513.766.578.631.309	7,250,186,216	51.939	1,93%
10²⁴	18.435.599.767.349.200.867.866	339.996.354.713.708.049.069	17.146.907.278	54.243	1,84%
10²⁵	176.846.309.399.143.769.411.680	3,128,516,637,843,038,351,228	55.160.980.939	56,546	1,77%
10²⁶	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28.883.358.936.853.188.823.261	155,891,678,121	58.850	1,70%
10²⁷	16.352.460.426.841.640.446.427.399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	1,64%

Grafik mit dem Verhältnis der Primzählfunktion

π

((x) zu zwei seiner Annäherungen, x/ ln x und Li (x). Wie x erhöht sich (Hinweis x Achse ist logarithmisch), beide Verhältnisse tendieren gegen 1. Das Verhältnis für x/ ln x konvergiert sehr langsam von oben, während das Verhältnis für Li (x) konvergiert schneller von unten.

In der Online-Enzyklopädie der ganzzahligen Sequenzen wird die $π$ ((x) Spalte ist Sequenz OEIS: A006880, $π$ ((x) – x/ ln x ist Sequenz OEIS: A057835, und li (x) – $π$ ((x) ist Sequenz OEIS: A057752.

Der Wert für $π$ (10²⁴) wurde ursprünglich von J. Buethe, J. Franke, A. Jost und T. Kleinjung unter Annahme der Riemann-Hypothese berechnet.^[13]

Es wurde später in einer Berechnung von DJ Platt bedingungslos verifiziert.^[14]

Der Wert für $π$ (10²⁵) geht auf J. Buethe, J. Franke, A. Jost und T. Kleinjung zurück.^[15]

Der Wert für $π$ (10²⁶) wurde von DB Staple berechnet.^[16] Alle anderen vorherigen Einträge in dieser Tabelle wurden im Rahmen dieser Arbeit ebenfalls überprüft.

Der Wert für 10²⁷ wurde 2015 von David Baugh und Kim Walisch veröffentlicht.^[17]

Algorithmen zur Bewertung $π$ ((x)[edit]

Ein einfacher Weg zu finden

{ displaystyle pi (x)}

$pi (x)$ , wenn

{ displaystyle x}

$x$ ist nicht zu groß, ist das Sieb von Eratosthenes zu verwenden, um die Primzahlen kleiner oder gleich zu produzieren

{ displaystyle x}

$x$ und dann, um sie zu zählen.

Eine aufwändigere Art zu finden

{ displaystyle pi (x)}

$pi (x)$ ist auf Legendre zurückzuführen (unter Verwendung des Einschluss-Ausschluss-Prinzips): gegeben

{ displaystyle x}

$x$ , wenn

{ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {n}}

$p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {n}$ sind verschiedene Primzahlen, dann ist die Anzahl der ganzen Zahlen kleiner oder gleich

{ displaystyle x}

$x$ die durch Nr. teilbar sind

{ displaystyle p_ {i}}

$Pi}$ ist

{ displaystyle lfloor x rfloor – sum _ {i} left lfloor { frac {x} {p_ {i}}} right rfloor + sum _ {i

(wo

{ displaystyle lfloor {x} rfloor}

${ displaystyle lfloor {x} rfloor}$ bezeichnet die Bodenfunktion). Diese Zahl ist daher gleich

{ displaystyle pi (x) – pi left ({ sqrt {x}} right) +1}

wenn die Zahlen

{ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {n}}

$p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {n}$ sind die Primzahlen kleiner oder gleich der Quadratwurzel von

{ displaystyle x}

$x$ .

Der Meissel-Lehmer-Algorithmus[edit]

In einer Reihe von Artikeln, die zwischen 1870 und 1885 veröffentlicht wurden, beschrieb (und verwendete) Ernst Meissel eine praktische kombinatorische Art der Bewertung

{ displaystyle pi (x)}

$pi (x)$ . Lassen

{ displaystyle p_ {1}}

$p_ {1}$ ,

{ displaystyle p_ {2}, ldots, p_ {n}}

$p_ {2}, ldots, p_ {n}$ sei der Erste

{ displaystyle n}

$n$ Primzahlen und bezeichnen mit

{ displaystyle Phi (m, n)}

$Phi (m, n)$ die Anzahl der natürlichen Zahlen nicht größer als

{ displaystyle m}

$m$ die durch Nr. teilbar sind

{ displaystyle p_ {i}}

$Pi}$ . Dann

{ displaystyle Phi (m, n) = Phi (m, n-1) – Phi left ({ frac {m} {p_ {n}}}, n-1 right).}

Gegeben eine natürliche Zahl

{ displaystyle m}

$m$ , wenn

{ displaystyle n = pi left ({ sqrt[{3}]{m}} right)}

$n = pi left ({ sqrt[{3}]{m}} right)$ und wenn

{ displaystyle mu = pi left ({ sqrt {m}} right) -n}

$mu = pi left ({ sqrt {m}} right) -n$ , dann

{ displaystyle pi (m) = Phi (m, n) + n ( mu + 1) + { frac { mu ^ {2} – mu} {2}} – 1- sum _ { k = 1} ^ { mu} pi left ({ frac {m} {p_ {n + k}}} right).}

Mit diesem Ansatz berechnete Meissel

{ displaystyle pi (x)}

$pi (x)$ , zum

{ displaystyle x}

$x$ gleich 5×10⁵10⁶10⁷und 10⁸.

1959 erweiterte und vereinfachte Derrick Henry Lehmer Meissels Methode. Definieren Sie wirklich

{ displaystyle m}

$m$ und für natürliche Zahlen

{ displaystyle n}

$n$ und

{ displaystyle k}

$k$ ,

{ displaystyle P_ {k} (m, n)}

$P_ {k} (m, n)$ als die Anzahl der Zahlen nicht größer als m mit genau k Primfaktoren, alle größer als

{ displaystyle p_ {n}}

$p_ {n}$ . Weiterhin einstellen

{ displaystyle P_ {0} (m, n) = 1}

$P_ {0} (m, n) = 1$ . Dann

{ displaystyle Phi (m, n) = sum _ {k = 0} ^ {+ infty} P_ {k} (m, n)}

wobei die Summe tatsächlich nur endlich viele Nicht-Null-Terme hat. Lassen

{ displaystyle y}

$y$ bezeichnen eine ganze Zahl so, dass

{ displaystyle { sqrt[{3}]{m}} leq y leq { sqrt {m}}}

${ sqrt[{3}]{m}} leq y leq { sqrt {m}}$ und setzen

{ displaystyle n = pi (y)}

$n = pi (y)$ . Dann

{ displaystyle P_ {1} (m, n) = pi (m) -n}

$P_ {1} (m, n) = pi (m) -n$ und

{ displaystyle P_ {k} (m, n) = 0}

$P_ {k} (m, n) = 0$ wann

{ displaystyle k}

$k$ ≥ 3. Daher

{ displaystyle pi (m) = Phi (m, n) + n-1-P_ {2} (m, n)}

Die Berechnung von

{ displaystyle P_ {2} (m, n)}

$P_ {2} (m, n)$ kann auf diese Weise erhalten werden:

{ displaystyle P_ {2} (m, n) = sum _ {y

wo die Summe über Primzahlen liegt.

Auf der anderen Seite die Berechnung von

{ displaystyle Phi (m, n)}

$Phi (m, n)$ kann nach folgenden Regeln durchgeführt werden:

${ displaystyle Phi (m, 0) = lfloor m rfloor}$
${ displaystyle Phi (m, b) = Phi (m, b-1) – Phi left ({ frac {m} {p_ {b}}}, b-1 right)}$

Mit seiner Methode und einem IBM 701 konnte Lehmer rechnen

{ displaystyle pi left (10 ^ {10} right)}

$pi left (10 ^ {10} right)$ .

Weitere Verbesserungen dieser Methode wurden von Lagarias, Miller, Odlyzko, Deléglise und Rivat vorgenommen.^[18]

Andere Primzählfunktionen[edit]

Andere Primzählfunktionen werden ebenfalls verwendet, da sie bequemer zu handhaben sind. Eine davon ist Riemanns Primzählfunktion, die üblicherweise als bezeichnet wird

{ displaystyle Pi _ {0} (x)}

$Pi _ {0} (x)$ oder

{ displaystyle J_ {0} (x)}

$J_ {0} (x)$ . Dies hat Sprünge von 1 /n für Hauptmächte pⁿ, wobei es bei Diskontinuitäten einen Wert auf halbem Weg zwischen den beiden Seiten annimmt. Dieses hinzugefügte Detail wird verwendet, da dann die Funktion durch eine inverse Mellin-Transformation definiert werden kann. Formal können wir definieren

{ displaystyle Pi _ {0} (x)}

$Pi _ {0} (x)$ durch

{ displaystyle Pi _ {0} (x) = { frac {1} {2}} { bigg (} sum _ {p ^ {n}

wo p ist eine Primzahl.

Wir können auch schreiben

{ displaystyle Pi _ {0} (x) = sum _ {n = 2} ^ {x} { frac { Lambda (n)} { ln n}} – { frac {1} {2 }} { frac { Lambda (x)} { ln x}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}} pi _ {0} (x ^ {1 / n})}

{ displaystyle Lambda (n)}

$Lambda (n)$ ist die von Mangoldt-Funktion und

{ displaystyle pi _ {0} (x) = lim _ { varepsilon rightarrow 0} { frac { pi (x- varepsilon) + pi (x + varepsilon)} {2}}.}

Die Möbius-Inversionsformel ergibt dann

{ displaystyle pi _ {0} (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n}} Pi _ {0} (x ^ { 1 / n})}

Kenntnis der Beziehung zwischen log der Riemannschen Zeta-Funktion und der von Mangoldt-Funktion

{ displaystyle Lambda}

$Lambda$ und unter Verwendung der Perron-Formel, die wir haben

{ displaystyle ln zeta (s) = s int _ {0} ^ { infty} Pi _ {0} (x) x ^ {- s-1} , dx}

Die Chebyshev-Funktion gewichtet Primzahlen oder Primzahlen pⁿ von ln (p):

{ displaystyle theta (x) = sum _ {p leq x} ln p}

{ displaystyle psi (x) = sum _ {p ^ {n} leq x} ln p = sum _ {n = 1} ^ { infty} theta (x ^ {1 / n}) = sum _ {n leq x} Lambda (n).}

Formeln für Primzählfunktionen[edit]

Es gibt zwei Arten von Formeln für Primzählfunktionen: arithmetische Formeln und analytische Formeln. Analytische Formeln für die Primzählung waren die ersten, die zum Beweis des Primzahlsatzes verwendet wurden. Sie stammen aus der Arbeit von Riemann und von Mangoldt und sind allgemein als explizite Formeln bekannt.^[19]

Wir haben den folgenden Ausdruck für ψ::

{ displaystyle psi _ {0} (x) = x- sum _ { rho} { frac {x ^ { rho}} { rho}} – ln 2 pi – { frac {1 } {2}} ln (1-x ^ {- 2}),}

{ displaystyle psi _ {0} (x) = lim _ { varepsilon rightarrow 0} { frac { psi (x- varepsilon) + psi (x + varepsilon)} {2}}.}

Hier sind ρ die Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion im kritischen Streifen, wobei der Realteil von ρ zwischen Null und Eins liegt. Die Formel gilt für Werte von x größer als eins, welches die Region von Interesse ist. Die Summe über den Wurzeln ist bedingt konvergent und sollte in der Reihenfolge des zunehmenden Absolutwerts des Imaginärteils genommen werden. Beachten Sie, dass dieselbe Summe über den trivialen Wurzeln den letzten Subtrahend in der Formel ergibt.

Zum

{ displaystyle Pi _ {0} (x)}

$Pi _ {0} (x)$ Wir haben eine kompliziertere Formel

{ displaystyle Pi _ {0} (x) = operatorname {li} (x) – sum _ { rho} operatorname {li} (x ^ { rho}) – ln 2+ int _ {x} ^ { infty} { frac {dt} {t (t ^ {2} -1) ln t}}.}

Riemanns explizite Formel unter Verwendung der ersten 200 nicht trivialen Nullen der Zeta-Funktion

Auch hier gilt die Formel für x > 1, während ρ sind die nichttrivialen Nullen der Zeta-Funktion, die nach ihrem absoluten Wert geordnet sind, und wiederum ist das letztere Integral mit Minuszeichen genau die gleiche Summe, jedoch über den trivialen Nullen. Der erste Begriff li (x) ist die übliche logarithmische Integralfunktion; der Ausdruck li (x^ρ) im zweiten Term sollte als Ei (ρ ln x), wobei Ei die analytische Fortsetzung der Exponentialintegralfunktion von negativen Reals zur komplexen Ebene ist, wobei der Zweig entlang der positiven Realen geschnitten ist.

Die Möbius-Inversionsformel gibt uns also^[20]

{ displaystyle pi _ {0} (x) = operatorname {R} (x) – sum _ { rho} operatorname {R} (x ^ { rho}) – { frac {1} { ln x}} + { frac {1} { pi}} arctan { frac { pi} { ln x}}}

Gültig für x > 1, wo

{ displaystyle operatorname {R} (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n}} operatorname {li} (x ^ {1 / n}) = 1+ sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {( ln x) ^ {k}} {k! k zeta (k + 1)}}}

ist Riemanns R-Funktion^[21] und $μ$ ((n) ist die Möbius-Funktion. Die letztere Serie dafür ist als Gram-Serie bekannt.^[22]^[23] weil

{ displaystyle ln (x)

${ displaystyle ln (x)<x}$ für alle

{ displaystyle x> 0}

$x> 0″/>Diese Serie konvergiert für alle positiven x im Vergleich zur Serie für <span class=$

{ displaystyle e ^ {x}}

$e ^ {x}$ .

Δ-Funktion (rote Linie) auf der logarithmischen Skala

Die Summe über nicht triviale Zeta-Nullen in der Formel für

{ displaystyle pi _ {0} (x)}

$pi_0 (x)$ beschreibt die Schwankungen von

{ displaystyle pi _ {0} (x),}

${ displaystyle pi _ {0} (x),}$ während die übrigen Begriffe die geben “glatt” Teil der Primzählfunktion,^[24] so kann man verwenden

{ displaystyle operatorname {R} (x) – { frac {1} { ln x}} + { frac {1} { pi}} arctan { frac { pi} { ln x} }}

als bester Schätzer von

{ displaystyle pi (x)}

$pi (x)$ zum x > 1.

Die Amplitude der “laut” Teil ist heuristisch über

{ displaystyle { sqrt {x}} / ln x,}

${ displaystyle { sqrt {x}} / ln x,}$ so können die Schwankungen der Verteilung der Primzahlen mit der Δ-Funktion klar dargestellt werden:

{ displaystyle Delta (x) = left ( pi _ {0} (x) – operatorname {R} (x) + { frac {1} { ln x}} – { frac {1} { pi}} arctan { frac { pi} { ln x}} right) { frac { ln x} { sqrt {x}}}.}

Eine umfangreiche Tabelle der Werte von Δ (x) ist verfügbar.^[11]

Ungleichungen[edit]

Hier sind einige nützliche Ungleichungen für $π$ ((x).

{ displaystyle { frac {x} { ln x}} < pi (x) <1.25506 { frac {x} { ln x}}}

zum x ≥ 17.

Die linke Ungleichung gilt für x ≥ 17 und die rechte Ungleichung gilt für x> 1. Die Konstante 1.25506 ist

{ displaystyle { frac {30 ln 113} {113}}}

${ displaystyle { frac {30 ln 113} {113}}}$ bis 5 Dezimalstellen, as

{ displaystyle { frac { pi (x) ln x} {x}}}

${ displaystyle { frac { pi (x) ln x} {x}}}$ hat seinen Maximalwert bei x = 113.^[25]

Pierre Dusart hat 2010 bewiesen:

{ displaystyle { frac {x} { ln x-1}} < pi (x)}

{ displaystyle pi (x) <{ frac {x} { ln x-1.1}}}

Hier sind einige Ungleichungen für die nth prime, p_n. Die Obergrenze stammt von Rosser (1941),^[27] der untere zu Dusart (1999):^[28]

{ displaystyle n ( ln (n ln n) -1)

$n ( ln (n ln n) -1)<n{ln(nln n)}!$ zum n ≥ 6.

Die linke Ungleichung gilt für n ≥ 2 und die rechte Ungleichung gilt für n ≥ 6.

Eine Annäherung für die nDie Primzahl ist

{ displaystyle p_ {n} = n ( ln (n ln n) -1) + { frac {n ( ln ln n-2)} { ln n}} + O left ({ frac {n ( ln ln n) ^ {2}} {( ln n) ^ {2}}} right).}

Ramanujan^[29] bewiesen, dass die Ungleichung

{ displaystyle pi (x) ^ {2} <{ frac {ex} { log x}} pi { bigg (} { frac {x} {e}} { bigg)}}

gilt für alle ausreichend großen Werte von

{ displaystyle x}

$x$ .

Im,^[26] Dusart bewies (Satz 6.6), dass z

{ displaystyle n geq 688383}

${ displaystyle n geq 688383}$ ,

{ displaystyle p_ {n} leq n left ( ln n + ln ln n-1 + { frac { ln ln n-2} { ln n}} right)}

und (Satz 6.7), dass z

{ displaystyle n geq 3}

$n geq 3$ ,

{ displaystyle p_ {n} geq n left ( ln n + ln ln n-1 + { frac { ln ln n-2.1} { ln n}} right)}

In jüngerer Zeit Dusart^[30]

hat bewiesen (Satz 5.1), dass z

{ displaystyle x> 1}

$x> 1″/>, <dl> <dd><span class=$

{ displaystyle pi (x) leq { frac {x} { ln x}} left (1 + { frac {1} { ln x}} + { frac {2} { ln ^ {2} x}} + { frac {7.59} { ln ^ {3} x}} right)}

${ displaystyle pi (x) leq { frac {x} { ln x}} left (1 + { frac {1} { ln x}} + { frac {2} { ln ^ {2} x}} + { frac {7.59} { ln ^ {3} x}} right)}$ ,

und das, z

{ displaystyle x geq 88789}

${ displaystyle x geq 88789}$ ,

{ displaystyle pi (x)> { frac {x} { ln x}} left (1 + { frac {1} { ln x}} + { frac {2} { ln ^ { 2} x}} right)}

after-content-x4

Primzählfunktion – Wikipedia

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Genaue Form[edit]

Tabelle $π$ ((x), x / ln xund li (x)[edit]

Algorithmen zur Bewertung $π$ ((x)[edit]

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Andere Primzählfunktionen[edit]

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Tabelle $π$ ((x), x / ln xund li (x)[edit]

Algorithmen zur Bewertung $π$ ((x)[edit]