[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2021\/01\/23\/primzahlfunktion-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2021\/01\/23\/primzahlfunktion-wikipedia\/","headline":"Primz\u00e4hlfunktion – Wikipedia","name":"Primz\u00e4hlfunktion – Wikipedia","description":"before-content-x4 Funktion, die die Anzahl der Primzahlen darstellt, die kleiner oder gleich einer bestimmten Anzahl sind In der Mathematik ist","datePublished":"2021-01-23","dateModified":"2021-01-23","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/d\/dc\/PrimePi.svg\/400px-PrimePi.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/d\/dc\/PrimePi.svg\/400px-PrimePi.svg.png","height":"257","width":"400"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2021\/01\/23\/primzahlfunktion-wikipedia\/","wordCount":25981,"articleBody":" (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Funktion, die die Anzahl der Primzahlen darstellt, die kleiner oder gleich einer bestimmten Anzahl sind In der Mathematik ist die Primz\u00e4hlfunktion ist die Funktion, die die Anzahl der Primzahlen z\u00e4hlt, die kleiner oder gleich einer reellen Zahl sind x.[1][2] Es wird mit bezeichnet \u03c0((x) (unabh\u00e4ngig von der Nummer \u03c0). Die Werte von \u03c0((n) f\u00fcr die ersten 60 positiven ganzen ZahlenTable of Contents Geschichte[edit]Genaue Form[edit]Tabelle \u03c0((x), x \/ ln xund li (x)[edit]Algorithmen zur Bewertung \u03c0((x)[edit]Der Meissel-Lehmer-Algorithmus[edit]Andere Primz\u00e4hlfunktionen[edit]Formeln f\u00fcr Primz\u00e4hlfunktionen[edit]Ungleichungen[edit]Die Riemannsche Hypothese[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Geschichte[edit]Von gro\u00dfem Interesse f\u00fcr die Zahlentheorie ist die Wachstumsrate der Primz\u00e4hlfunktion.[3][4] Es wurde Ende des 18. Jahrhunderts von Gau\u00df und Legendre als ungef\u00e4hr vermutetxln\u2061((x){ displaystyle { frac {x} { ln (x)}}}in dem Sinne, dass limx\u2192\u221e\u03c0((x)x\/.ln\u2061((x)=1.{ displaystyle lim _ {x rightarrow infty} { frac { pi (x)} {x \/ ln (x)}} = 1.}Diese Aussage ist der Primzahlsatz. Eine \u00e4quivalente Aussage istlimx\u2192\u221e\u03c0((x)\/.li\u2061((x)=1{ displaystyle lim _ {x rightarrow infty} pi (x) \/ operatorname {li} (x) = 1 !}Dabei ist li die logarithmische Integralfunktion. Der Primzahlsatz wurde erstmals 1896 von Jacques Hadamard und Charles de la Vall\u00e9e Poussin unabh\u00e4ngig voneinander unter Verwendung der Eigenschaften der 1859 von Riemann eingef\u00fchrten Riemannschen Zetafunktion bewiesen. Es wurden Beweise f\u00fcr den Primzahlsatz gefunden, bei denen die Zetafunktion oder die komplexe Analyse nicht verwendet wurden um 1948 von Atle Selberg und von Paul Erd\u0151s (gr\u00f6\u00dftenteils unabh\u00e4ngig).[5]De la Vall\u00e9e Poussin hat dies 1899 bewiesen (siehe auch Satz 23 von[6])\u03c0((x)=li\u2061((x)+\u00d6((xe– –einln\u2061x)wie x\u2192\u221e{ displaystyle pi (x) = operatorname {li} (x) + O left (xe ^ {- a { sqrt { ln x}}} right) quad { text {as}} x to infty}f\u00fcr eine positive Konstante ein. Hier, \u00d6(…) ist der gro\u00dfe \u00d6 Notation.Genauere Sch\u00e4tzungen von \u03c0((x){ displaystyle pi (x) !} sind jetzt bekannt. Zum Beispiel hat Kevin Ford das im Jahr 2002 bewiesen[7]\u03c0((x)=li\u2061((x)+\u00d6((xexp\u2061((– –0,2098((ln\u2061x)35((ln\u2061ln\u2061x)– –15)){ displaystyle pi (x) = operatorname {li} (x) + O left (x exp left (-0.2098 ( ln x) ^ { frac {3} {5}} ( ln ln x) ^ {- { frac {1} {5}}} right) right)}.Im Jahr 2016 erwies sich Tim Trudgian als explizite Obergrenze f\u00fcr den Unterschied zwischen \u03c0((x){ displaystyle pi (x)} und li\u2061((x){ displaystyle operatorname {li} (x)}::|\u03c0((x)– –li\u2061((x)|\u22640,2795x((ln\u2061x)3\/.4exp\u2061((– –ln\u2061x6.455){ displaystyle { big |} pi (x) – operatorname {li} (x) { big |} leq 0.2795 { frac {x} {( ln x) ^ {3\/4}}} exp left (- { sqrt { frac { ln x} {6.455}}} right)}zum x\u2265229{ displaystyle x geq 229}.[8]F\u00fcr die meisten Werte von x{ displaystyle x} wir sind interessiert an (dh wann x{ displaystyle x} ist nicht unangemessen gro\u00df) li\u2061((x){ displaystyle operatorname {li} (x) !} ist gr\u00f6\u00dfer als \u03c0((x){ displaystyle pi (x) !}. Jedoch, \u03c0((x)– –li\u2061((x){ displaystyle pi (x) – operatorname {li} (x)} ist daf\u00fcr bekannt, das Vorzeichen unendlich oft zu \u00e4ndern. Eine Diskussion hierzu finden Sie unter Skewes ‘Nummer.Genaue Form[edit]Von gro\u00dfer Bedeutung ist, dass Bernhard Riemann bewiesen hat, dass die Primz\u00e4hlfunktion genau ist[9]\u03c0((x)=R.\u2061((x)– –\u2211\u03c1R.\u2061((x\u03c1){ displaystyle pi (x) = operatorname {R} (x) – sum _ { rho} operatorname {R} (x ^ { rho})}woR.\u2061((x)=\u2211n=1\u221e\u03bc((n)nli\u2061((x1\/.n){ displaystyle operatorname {R} (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n}} operatorname {li} (x ^ {1 \/ n})},\u03bc((n) ist die M\u00f6bius-Funktion, li (x) ist die logarithmische Integralfunktion, \u03c1 indiziert jede Null der Riemannschen Zetafunktion und li (x\u03c1 \/ n) wird nicht mit einem Astschnitt ausgewertet, sondern als Ei (\u03c1\/.n ln x) wo Ei (x) ist das Exponentialintegral. Entsprechend, wenn die trivialen Nullen gesammelt und die Summe genommen wird nur \u00fcber die nicht trivialen Nullen \u03c1 der Riemannschen Zeta-Funktion also \u03c0((x) kann geschrieben werden\u03c0((x)=R.\u2061((x)– –\u2211\u03c1R.\u2061((x\u03c1)– –1ln\u2061x+1\u03c0Arctan\u2061\u03c0ln\u2061x{ displaystyle pi (x) = operatorname {R} (x) – sum _ { rho} operatorname {R} (x ^ { rho}) – { frac {1} { ln {x }}} + { frac {1} { pi}} arctan { frac { pi} { ln {x}}}}.Die Riemann-Hypothese legt nahe, dass jede solche nicht triviale Null liegt Re(s) = 1\/.2.Tabelle \u03c0((x), x \/ ln xund li (x)[edit]Die Tabelle zeigt, wie die drei Funktionen funktionieren \u03c0((x), x \/ ln x und li (x) Vergleiche bei Potenzen von 10. Siehe auch,[3][10][11] und[12]x\u03c0((x)\u03c0((x) – x \/ ln xli (x) – \u03c0((x)x \/. \u03c0((x)x \/ ln x% Fehler104\u22120.32.22.500-7,5%102253.35.14.00013,20%10316823105,95213,69%1041,229143178.13711,64%1059,5929063810.4259,45%10678.4986,11613012.7407,79%107664,57944,15833915.0476,64%1085,761,455332,77475417.3575,78%10950,847,5342,592,5921.70119.6675,10%1010455,052,51120.758.0293,10421.9754,56%10114,118,054,813169.923.15911.58824.2834,13%101237,607,912,0181.416.705.19338,26326.5903,77%1013346,065,536,83911.992.858.452108.97128.8963,47%10143,204,941,750,802102,838,308,636314.89031.2023,21%101529.844.570.422.669891,604,962,4521,052,61933.5072,99%1016279,238,341,033,9257,804,289,844,3933,214,63235.8122,79%10172,623,557,157,654,23368.883.734.693.2817,956,58938.1162,63%101824.739.954.287.740.860612.483.070.893.53621.949.55540.4202,48%1019234,057,667,276,344,6075,481,624,169,369,96099.877.77542,7252,34%10202,220,819,602,560,918,84049.347.193.044.659.701222,744,64445.0282,22%102121.127.269.486.018.731.928446.579.871.578.168.707597,394,25447.3322,11%1022201.467.286.689.315.906.2904,060,704,006,019,620,9941,932,355,20849.6362,02%10231,925,320,391,606,803,968,92337.083.513.766.578.631.3097,250,186,21651.9391,93%102418.435.599.767.349.200.867.866339.996.354.713.708.049.06917.146.907.27854.2431,84%1025176.846.309.399.143.769.411.6803,128,516,637,843,038,351,22855.160.980.93956,5461,77%10261,699,246,750,872,437,141,327,60328.883.358.936.853.188.823.261155,891,678,12158.8501,70%102716.352.460.426.841.640.446.427.399267,479,615,610,131,274,163,365508,666,658,00661.1531,64% Grafik mit dem Verh\u00e4ltnis der Primz\u00e4hlfunktion \u03c0((x) zu zwei seiner Ann\u00e4herungen, x\/ ln x und Li (x). Wie x erh\u00f6ht sich (Hinweis x Achse ist logarithmisch), beide Verh\u00e4ltnisse tendieren gegen 1. Das Verh\u00e4ltnis f\u00fcr x\/ ln x konvergiert sehr langsam von oben, w\u00e4hrend das Verh\u00e4ltnis f\u00fcr Li (x) konvergiert schneller von unten.In der Online-Enzyklop\u00e4die der ganzzahligen Sequenzen wird die \u03c0((x) Spalte ist Sequenz OEIS: A006880, \u03c0((x) – x\/ ln x ist Sequenz OEIS: A057835, und li (x) – \u03c0((x) ist Sequenz OEIS: A057752.Der Wert f\u00fcr \u03c0(1024) wurde urspr\u00fcnglich von J. Buethe, J. Franke, A. Jost und T. Kleinjung unter Annahme der Riemann-Hypothese berechnet.[13]Es wurde sp\u00e4ter in einer Berechnung von DJ Platt bedingungslos verifiziert.[14]Der Wert f\u00fcr \u03c0(1025) geht auf J. Buethe, J. Franke, A. Jost und T. Kleinjung zur\u00fcck.[15] Der Wert f\u00fcr \u03c0(1026) wurde von DB Staple berechnet.[16] Alle anderen vorherigen Eintr\u00e4ge in dieser Tabelle wurden im Rahmen dieser Arbeit ebenfalls \u00fcberpr\u00fcft.Der Wert f\u00fcr 1027 wurde 2015 von David Baugh und Kim Walisch ver\u00f6ffentlicht.[17]Algorithmen zur Bewertung \u03c0((x)[edit]Ein einfacher Weg zu finden \u03c0((x){ displaystyle pi (x)}, wenn x{ displaystyle x} ist nicht zu gro\u00df, ist das Sieb von Eratosthenes zu verwenden, um die Primzahlen kleiner oder gleich zu produzieren x{ displaystyle x} und dann, um sie zu z\u00e4hlen.Eine aufw\u00e4ndigere Art zu finden \u03c0((x){ displaystyle pi (x)} ist auf Legendre zur\u00fcckzuf\u00fchren (unter Verwendung des Einschluss-Ausschluss-Prinzips): gegeben x{ displaystyle x}, wenn p1,p2,\u2026,pn{ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {n}} sind verschiedene Primzahlen, dann ist die Anzahl der ganzen Zahlen kleiner oder gleich x{ displaystyle x} die durch Nr. teilbar sind pich{ displaystyle p_ {i}} ist\u230ax\u230b– –\u2211ich\u230axpich\u230b+\u2211ichichx\u230b{ displaystyle lfloor {x} rfloor} bezeichnet die Bodenfunktion). Diese Zahl ist daher gleich\u03c0((x)– –\u03c0((x)+1{ displaystyle pi (x) – pi left ({ sqrt {x}} right) +1}wenn die Zahlen p1,p2,\u2026,pn{ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {n}} sind die Primzahlen kleiner oder gleich der Quadratwurzel von x{ displaystyle x}.Der Meissel-Lehmer-Algorithmus[edit]In einer Reihe von Artikeln, die zwischen 1870 und 1885 ver\u00f6ffentlicht wurden, beschrieb (und verwendete) Ernst Meissel eine praktische kombinatorische Art der Bewertung \u03c0((x){ displaystyle pi (x)}. Lassen p1{ displaystyle p_ {1}}, p2,\u2026,pn{ displaystyle p_ {2}, ldots, p_ {n}} sei der Erste n{ displaystyle n} Primzahlen und bezeichnen mit \u03a6((m,n){ displaystyle Phi (m, n)} die Anzahl der nat\u00fcrlichen Zahlen nicht gr\u00f6\u00dfer als m{ displaystyle m} die durch Nr. teilbar sind pich{ displaystyle p_ {i}}. Dann\u03a6((m,n)=\u03a6((m,n– –1)– –\u03a6((mpn,n– –1).{ displaystyle Phi (m, n) = Phi (m, n-1) – Phi left ({ frac {m} {p_ {n}}}, n-1 right).}Gegeben eine nat\u00fcrliche Zahl m{ displaystyle m}, wenn n=\u03c0((m3){ displaystyle n = pi left ({ sqrt[{3}]{m}} right)} und wenn \u03bc=\u03c0((m)– –n{ displaystyle mu = pi left ({ sqrt {m}} right) -n}, dann\u03c0((m)=\u03a6((m,n)+n((\u03bc+1)+\u03bc2– –\u03bc2– –1– –\u2211k=1\u03bc\u03c0((mpn+k).{ displaystyle pi (m) = Phi (m, n) + n ( mu + 1) + { frac { mu ^ {2} – mu} {2}} – 1- sum _ { k = 1} ^ { mu} pi left ({ frac {m} {p_ {n + k}}} right).}Mit diesem Ansatz berechnete Meissel \u03c0((x){ displaystyle pi (x)}, zum x{ displaystyle x} gleich 5\u00d7105106107und 108.1959 erweiterte und vereinfachte Derrick Henry Lehmer Meissels Methode. Definieren Sie wirklich m{ displaystyle m} und f\u00fcr nat\u00fcrliche Zahlen n{ displaystyle n} und k{ displaystyle k}, P.k((m,n){ displaystyle P_ {k} (m, n)} als die Anzahl der Zahlen nicht gr\u00f6\u00dfer als m mit genau k Primfaktoren, alle gr\u00f6\u00dfer als pn{ displaystyle p_ {n}}. Weiterhin einstellen P.0((m,n)=1{ displaystyle P_ {0} (m, n) = 1}. Dann\u03a6((m,n)=\u2211k=0+\u221eP.k((m,n){ displaystyle Phi (m, n) = sum _ {k = 0} ^ {+ infty} P_ {k} (m, n)}wobei die Summe tats\u00e4chlich nur endlich viele Nicht-Null-Terme hat. Lassen y{ displaystyle y} bezeichnen eine ganze Zahl so, dass m3\u2264y\u2264m{ displaystyle { sqrt[{3}]{m}} leq y leq { sqrt {m}}}und setzen n=\u03c0((y){ displaystyle n = pi (y)}. Dann P.1((m,n)=\u03c0((m)– –n{ displaystyle P_ {1} (m, n) = pi (m) -n} und P.k((m,n)=0{ displaystyle P_ {k} (m, n) = 0} wann k{ displaystyle k} \u2265 3. Daher\u03c0((m)=\u03a6((m,n)+n– –1– –P.2((m,n){ displaystyle pi (m) = Phi (m, n) + n-1-P_ {2} (m, n)}Die Berechnung von P.2((m,n){ displaystyle P_ {2} (m, n)} kann auf diese Weise erhalten werden:P.2((m,n)=\u2211y((mp)– –\u03c0((p)+1){ displaystyle P_ {2} (m, n) = sum _ {y,wo die Summe \u00fcber Primzahlen liegt.Auf der anderen Seite die Berechnung von \u03a6((m,n){ displaystyle Phi (m, n)} kann nach folgenden Regeln durchgef\u00fchrt werden:\u03a6((m,0)=\u230am\u230b{ displaystyle Phi (m, 0) = lfloor m rfloor}\u03a6((m,b)=\u03a6((m,b– –1)– –\u03a6((mpb,b– –1){ displaystyle Phi (m, b) = Phi (m, b-1) – Phi left ({ frac {m} {p_ {b}}}, b-1 right)}Mit seiner Methode und einem IBM 701 konnte Lehmer rechnen \u03c0((1010){ displaystyle pi left (10 ^ {10} right)}.Weitere Verbesserungen dieser Methode wurden von Lagarias, Miller, Odlyzko, Del\u00e9glise und Rivat vorgenommen.[18]Andere Primz\u00e4hlfunktionen[edit]Andere Primz\u00e4hlfunktionen werden ebenfalls verwendet, da sie bequemer zu handhaben sind. Eine davon ist Riemanns Primz\u00e4hlfunktion, die \u00fcblicherweise als bezeichnet wird \u03a00((x){ displaystyle Pi _ {0} (x)} oder J.0((x){ displaystyle J_ {0} (x)}. Dies hat Spr\u00fcnge von 1 \/n f\u00fcr Hauptm\u00e4chte pn, wobei es bei Diskontinuit\u00e4ten einen Wert auf halbem Weg zwischen den beiden Seiten annimmt. Dieses hinzugef\u00fcgte Detail wird verwendet, da dann die Funktion durch eine inverse Mellin-Transformation definiert werden kann. Formal k\u00f6nnen wir definieren \u03a00((x){ displaystyle Pi _ {0} (x)} durch\u03a00((x)=12((\u2211pnx1n){ displaystyle Pi _ {0} (x) = { frac {1} {2}} { bigg (} sum _ {p ^ {n}wo p ist eine Primzahl.Wir k\u00f6nnen auch schreiben\u03a00((x)=\u2211n=2x\u039b((n)ln\u2061n– –12\u039b((x)ln\u2061x=\u2211n=1\u221e1n\u03c00((x1\/.n){ displaystyle Pi _ {0} (x) = sum _ {n = 2} ^ {x} { frac { Lambda (n)} { ln n}} – { frac {1} {2 }} { frac { Lambda (x)} { ln x}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}} pi _ {0} (x ^ {1 \/ n})}wo \u039b((n){ displaystyle Lambda (n)} ist die von Mangoldt-Funktion und\u03c00((x)=lim\u03b5\u21920\u03c0((x– –\u03b5)+\u03c0((x+\u03b5)2.{ displaystyle pi _ {0} (x) = lim _ { varepsilon rightarrow 0} { frac { pi (x- varepsilon) + pi (x + varepsilon)} {2}}.}Die M\u00f6bius-Inversionsformel ergibt dann\u03c00((x)=\u2211n=1\u221e\u03bc((n)n\u03a00((x1\/.n){ displaystyle pi _ {0} (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n}} Pi _ {0} (x ^ { 1 \/ n})}Kenntnis der Beziehung zwischen log der Riemannschen Zeta-Funktion und der von Mangoldt-Funktion \u039b{ displaystyle Lambda}und unter Verwendung der Perron-Formel, die wir habenln\u2061\u03b6((s)=s\u222b0\u221e\u03a00((x)x– –s– –1dx{ displaystyle ln zeta (s) = s int _ {0} ^ { infty} Pi _ {0} (x) x ^ {- s-1} , dx}Die Chebyshev-Funktion gewichtet Primzahlen oder Primzahlen pn von ln (p):\u03b8((x)=\u2211p\u2264xln\u2061p{ displaystyle theta (x) = sum _ {p leq x} ln p}\u03c8((x)=\u2211pn\u2264xln\u2061p=\u2211n=1\u221e\u03b8((x1\/.n)=\u2211n\u2264x\u039b((n).{ displaystyle psi (x) = sum _ {p ^ {n} leq x} ln p = sum _ {n = 1} ^ { infty} theta (x ^ {1 \/ n}) = sum _ {n leq x} Lambda (n).}Formeln f\u00fcr Primz\u00e4hlfunktionen[edit]Es gibt zwei Arten von Formeln f\u00fcr Primz\u00e4hlfunktionen: arithmetische Formeln und analytische Formeln. Analytische Formeln f\u00fcr die Primz\u00e4hlung waren die ersten, die zum Beweis des Primzahlsatzes verwendet wurden. Sie stammen aus der Arbeit von Riemann und von Mangoldt und sind allgemein als explizite Formeln bekannt.[19]Wir haben den folgenden Ausdruck f\u00fcr \u03c8::\u03c80((x)=x– –\u2211\u03c1x\u03c1\u03c1– –ln\u20612\u03c0– –12ln\u2061((1– –x– –2),{ displaystyle psi _ {0} (x) = x- sum _ { rho} { frac {x ^ { rho}} { rho}} – ln 2 pi – { frac {1 } {2}} ln (1-x ^ {- 2}),}wo\u03c80((x)=lim\u03b5\u21920\u03c8((x– –\u03b5)+\u03c8((x+\u03b5)2.{ displaystyle psi _ {0} (x) = lim _ { varepsilon rightarrow 0} { frac { psi (x- varepsilon) + psi (x + varepsilon)} {2}}.}Hier sind \u03c1 die Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion im kritischen Streifen, wobei der Realteil von \u03c1 zwischen Null und Eins liegt. Die Formel gilt f\u00fcr Werte von x gr\u00f6\u00dfer als eins, welches die Region von Interesse ist. Die Summe \u00fcber den Wurzeln ist bedingt konvergent und sollte in der Reihenfolge des zunehmenden Absolutwerts des Imagin\u00e4rteils genommen werden. Beachten Sie, dass dieselbe Summe \u00fcber den trivialen Wurzeln den letzten Subtrahend in der Formel ergibt.Zum \u03a00((x){ displaystyle Pi _ {0} (x)} Wir haben eine kompliziertere Formel\u03a00((x)=li\u2061((x)– –\u2211\u03c1li\u2061((x\u03c1)– –ln\u20612+\u222bx\u221edtt((t2– –1)ln\u2061t.{ displaystyle Pi _ {0} (x) = operatorname {li} (x) – sum _ { rho} operatorname {li} (x ^ { rho}) – ln 2+ int _ {x} ^ { infty} { frac {dt} {t (t ^ {2} -1) ln t}}.} Riemanns explizite Formel unter Verwendung der ersten 200 nicht trivialen Nullen der Zeta-FunktionAuch hier gilt die Formel f\u00fcr x > 1, w\u00e4hrend \u03c1 sind die nichttrivialen Nullen der Zeta-Funktion, die nach ihrem absoluten Wert geordnet sind, und wiederum ist das letztere Integral mit Minuszeichen genau die gleiche Summe, jedoch \u00fcber den trivialen Nullen. Der erste Begriff li (x) ist die \u00fcbliche logarithmische Integralfunktion; der Ausdruck li (x\u03c1) im zweiten Term sollte als Ei (\u03c1 ln x), wobei Ei die analytische Fortsetzung der Exponentialintegralfunktion von negativen Reals zur komplexen Ebene ist, wobei der Zweig entlang der positiven Realen geschnitten ist.Die M\u00f6bius-Inversionsformel gibt uns also[20]\u03c00((x)=R.\u2061((x)– –\u2211\u03c1R.\u2061((x\u03c1)– –1ln\u2061x+1\u03c0Arctan\u2061\u03c0ln\u2061x{ displaystyle pi _ {0} (x) = operatorname {R} (x) – sum _ { rho} operatorname {R} (x ^ { rho}) – { frac {1} { ln x}} + { frac {1} { pi}} arctan { frac { pi} { ln x}}}G\u00fcltig f\u00fcr x > 1, woR.\u2061((x)=\u2211n=1\u221e\u03bc((n)nli\u2061((x1\/.n)=1+\u2211k=1\u221e((ln\u2061x)kk!k\u03b6((k+1){ displaystyle operatorname {R} (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n}} operatorname {li} (x ^ {1 \/ n}) = 1+ sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {( ln x) ^ {k}} {k! k zeta (k + 1)}}}ist Riemanns R-Funktion[21] und \u03bc((n) ist die M\u00f6bius-Funktion. Die letztere Serie daf\u00fcr ist als Gram-Serie bekannt.[22][23] weil ln\u2061((x) 0″\/>Diese Serie konvergiert f\u00fcr alle positiven x im Vergleich zur Serie f\u00fcr ex{ displaystyle e ^ {x}}. \u0394-Funktion (rote Linie) auf der logarithmischen SkalaDie Summe \u00fcber nicht triviale Zeta-Nullen in der Formel f\u00fcr \u03c00((x){ displaystyle pi _ {0} (x)} beschreibt die Schwankungen von \u03c00((x),{ displaystyle pi _ {0} (x),} w\u00e4hrend die \u00fcbrigen Begriffe die geben “glatt” Teil der Primz\u00e4hlfunktion,[24] so kann man verwendenR.\u2061((x)– –1ln\u2061x+1\u03c0Arctan\u2061\u03c0ln\u2061x{ displaystyle operatorname {R} (x) – { frac {1} { ln x}} + { frac {1} { pi}} arctan { frac { pi} { ln x} }}als bester Sch\u00e4tzer von \u03c0((x){ displaystyle pi (x)} zum x > 1.Die Amplitude der “laut” Teil ist heuristisch \u00fcber x\/.ln\u2061x,{ displaystyle { sqrt {x}} \/ ln x,} so k\u00f6nnen die Schwankungen der Verteilung der Primzahlen mit der \u0394-Funktion klar dargestellt werden:\u0394((x)=((\u03c00((x)– –R.\u2061((x)+1ln\u2061x– –1\u03c0Arctan\u2061\u03c0ln\u2061x)ln\u2061xx.{ displaystyle Delta (x) = left ( pi _ {0} (x) – operatorname {R} (x) + { frac {1} { ln x}} – { frac {1} { pi}} arctan { frac { pi} { ln x}} right) { frac { ln x} { sqrt {x}}}.}Eine umfangreiche Tabelle der Werte von \u0394 (x) ist verf\u00fcgbar.[11]Ungleichungen[edit]Hier sind einige n\u00fctzliche Ungleichungen f\u00fcr \u03c0((x).xln\u2061xx{ displaystyle { frac {x} { ln x}} < pi (x) 1. Die Konstante 1.25506 ist 30ln\u2061113113{ displaystyle { frac {30 ln 113} {113}}} bis 5 Dezimalstellen, as \u03c0((x)ln\u2061xx{ displaystyle { frac { pi (x) ln x} {x}}} hat seinen Maximalwert bei x = 113.[25]Pierre Dusart hat 2010 bewiesen:xln\u2061x– –15393{ displaystyle x geq 5393}, und\u03c0((x)1.1{ displaystyle pi (x) ((nln\u2061n)– –1)n){ displaystyle n ( ln (n ln n) -1) zum n \u2265 6.Die linke Ungleichung gilt f\u00fcr n \u2265 2 und die rechte Ungleichung gilt f\u00fcr n \u2265 6.Eine Ann\u00e4herung f\u00fcr die nDie Primzahl istpn=n((ln\u2061((nln\u2061n)– –1)+n((ln\u2061ln\u2061n– –2)ln\u2061n+\u00d6((n((ln\u2061ln\u2061n)2((ln\u2061n)2).{ displaystyle p_ {n} = n ( ln (n ln n) -1) + { frac {n ( ln ln n-2)} { ln n}} + O left ({ frac {n ( ln ln n) ^ {2}} {( ln n) ^ {2}}} right).}Ramanujan[29] bewiesen, dass die Ungleichung\u03c0((x)2((xe){ displaystyle pi (x) ^ {2} n((ln\u2061n+ln\u2061ln\u2061n– –1+ln\u2061ln\u2061n– –2ln\u2061n){ displaystyle p_ {n} leq n left ( ln n + ln ln n-1 + { frac { ln ln n-2} { ln n}} right)} ,und (Satz 6.7), dass z n\u22653{ displaystyle n geq 3},pn\u2265n((ln\u2061n+ln\u2061ln\u2061n– –1+ln\u2061ln\u2061n– –2.1ln\u2061n){ displaystyle p_ {n} geq n left ( ln n + ln ln n-1 + { frac { ln ln n-2.1} { ln n}} right)} .In j\u00fcngerer Zeit Dusart[30]hat bewiesen (Satz 5.1), dass z 1″\/>,\u03c0((x)\u2264xln\u2061x((1+1ln\u2061x+2ln2\u2061x+7.59ln3\u2061x){ displaystyle pi (x) leq { frac {x} { ln x}} left (1 + { frac {1} { ln x}} + { frac {2} { ln ^ {2} x}} + { frac {7.59} { ln ^ {3} x}} right)} ,und das, z x\u226588789{ displaystyle x geq 88789},"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki20\/2021\/01\/23\/primzahlfunktion-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Primz\u00e4hlfunktion – Wikipedia"}}]}]