[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/2020\/12\/30\/yuktibha%e1%b9%a3a-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/2020\/12\/30\/yuktibha%e1%b9%a3a-wikipedia\/","headline":"Yuktibh\u0101\u1e63\u0101 – Wikipedia","name":"Yuktibh\u0101\u1e63\u0101 – Wikipedia","description":"before-content-x4 Abhandlung \u00fcber Mathematik und Astronomie after-content-x4 Yuktibh\u0101\u1e63\u0101 (Malayalam: \u0d2f\u0d41\u0d15\u0d4d\u0d24\u0d3f\u0d2d\u0d3e\u0d37, z\u00fcndete. “Begr\u00fcndung”[1]), auch bekannt als Ga\u1e47itany\u0101yasa\u1e45graha ((Kompendium der astronomischen Begr\u00fcndung),[1]","datePublished":"2020-12-30","dateModified":"2020-12-30","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/3e\/Yuktibhasa.svg\/200px-Yuktibhasa.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/3e\/Yuktibhasa.svg\/200px-Yuktibhasa.svg.png","height":"297","width":"200"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/2020\/12\/30\/yuktibha%e1%b9%a3a-wikipedia\/","wordCount":5280,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Abhandlung \u00fcber Mathematik und Astronomie       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Yuktibh\u0101\u1e63\u0101  (Malayalam: \u0d2f\u0d41\u0d15\u0d4d\u0d24\u0d3f\u0d2d\u0d3e\u0d37, z\u00fcndete. “Begr\u00fcndung”[1]), auch bekannt als Ga\u1e47itany\u0101yasa\u1e45graha  ((Kompendium der astronomischen Begr\u00fcndung),[1]  ist eine wichtige Abhandlung \u00fcber Mathematik und Astronomie, die der indische Astronom Jyesthadeva von der Kerala School of Mathematics um 1530 verfasst hat.[1]  Die in Malayalam verfasste Abhandlung ist eine Konsolidierung der Entdeckungen von Madhava aus Sangamagrama, Nilakantha Somayaji, Parameshvara, Jyeshtadeva, Achyuta Pisharati und anderen Astronomen-Mathematikern der Kerala-Schule.Das Werk war f\u00fcr seine Zeit einzigartig, da es Beweise und Ableitungen der von ihm pr\u00e4sentierten Theoreme enthielt;  etwas Ungew\u00f6hnliches f\u00fcr indische Mathematiker dieser Zeit.[2]  Einige seiner wichtigen Themen umfassen die unendlichen Reihenerweiterungen von Funktionen;  Potenzreihen, einschlie\u00dflich von \u03c0 und \u03c0 \/ 4;  trigonometrische Reihen von Sinus, Cosinus, Tangens und Arkustangens;  Taylor-Reihen, einschlie\u00dflich N\u00e4herungen zweiter und dritter Ordnung von Sinus und Cosinus;  Radien, Durchmesser und Umfang;  und Konvergenztests.Yuktibh\u0101\u1e63\u0101 basiert haupts\u00e4chlich auf Nilakantha Tantra Samgraha.[3]  Es wird als fr\u00fcher Text \u00fcber die Ideen des Kalk\u00fcls angesehen, der Jahrhunderte vor Newton und Leibniz liegt.[4][5][6][7][8]  Die Abhandlung blieb au\u00dferhalb Indiens weitgehend unbemerkt, da sie in der Landessprache Malayalam verfasst war.  Es wird oft verallgemeinert, dass fr\u00fchen indischen Gelehrten in Astronomie und Berechnung Beweise fehlten, aber Yuktibh\u0101\u1e63\u0101 zeigt etwas anderes.[9]  In der Neuzeit hat die Welt aufgrund der breiteren internationalen Zusammenarbeit in der Mathematik die Arbeit zur Kenntnis genommen.  Zum Beispiel haben sowohl die Universit\u00e4t Oxford als auch die Royal Society of Great Britain wegweisende mathematische Theoreme indischen Ursprungs zugeschrieben, die vor ihren westlichen Kollegen entstanden sind.[5][6][7][8]       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Table of ContentsInhalt[edit]Mathematik[edit]Astronomie[edit]Moderne Ausgaben[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Inhalt[edit]Yuktibh\u0101\u1e63\u0101 enth\u00e4lt die meisten Entwicklungen der fr\u00fcheren Kerala-Schule, insbesondere Madhava und Nilakantha.  Der Text ist in zwei Teile gegliedert – der erste befasst sich mit der mathematischen Analyse und der zweite mit der Astronomie.[1]Mathematik[edit]  Erkl\u00e4rung der Sinusregel in Yuktibh\u0101\u1e63\u0101Die ersten vier Kapitel der Yuktibh\u0101\u1e63\u0101 enthalten elementare Mathematik wie Division, den Satz von Pythagoras, Quadratwurzeln usw.[10]  Neue Ideen werden erst im sechsten Kapitel \u00fcber den Umfang eines Kreises diskutiert. Yuktibh\u0101\u1e63\u0101 enth\u00e4lt eine Ableitung und einen Beweis f\u00fcr die von Madhava entdeckte Potenzreihe der inversen Tangente.[3]  Im Text beschreibt Jyesthadeva Madhavas Serie folgenderma\u00dfen:       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Der erste Term ist das Produkt aus dem gegebenen Sinus und dem Radius des gew\u00fcnschten Bogens geteilt durch den Cosinus des Bogens.  Die nachfolgenden Terme werden durch einen Iterationsprozess erhalten, wenn der erste Term wiederholt mit dem Quadrat des Sinus multipliziert und durch das Quadrat des Cosinus geteilt wird.  Alle Terme werden dann durch die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, … geteilt. Der Bogen wird erhalten, indem die Terme des ungeraden Ranges und die des geraden Ranges addiert bzw. subtrahiert werden.  Es ist festgelegt, dass der Sinus des Bogens oder der seines Komplements, je nachdem, welcher kleiner ist, hier als gegebener Sinus genommen werden sollte.  Andernfalls tendieren die durch diese obige Iteration erhaltenen Terme nicht zur verschwindenden Gr\u00f6\u00dfe.In der modernen mathematischen Notationr\u03b8=rS\u00fcnde\u2061\u03b8cos\u2061\u03b8– –r3S\u00fcnde3\u2061\u03b8cos3\u2061\u03b8+r5S\u00fcnde5\u2061\u03b8cos5\u2061\u03b8– –r7S\u00fcnde7\u2061\u03b8cos7\u2061\u03b8+\u22ef{ displaystyle r  theta = {r { frac { sin  theta} { cos  theta}} – { frac {r} {3}} { frac { sin ^ {3}  theta} { cos ^ {3}  theta}} + { frac {r} {5}} { frac { sin ^ {5}  theta} { cos ^ {5}  theta}} – { frac {r} {7}} { frac { sin ^ {7}  theta} { cos ^ {7}  theta}} +  cdots}oder, ausgedr\u00fcckt als Tangenten,\u03b8=br\u00e4unen\u2061\u03b8– –13br\u00e4unen3\u2061\u03b8+15br\u00e4unen5\u2061\u03b8– –\u22ef ,{ displaystyle  theta =  tan  theta – { frac {1} {3}}  tan ^ {3}  theta + { frac {1} {5}}  tan ^ {5}  theta –  cdots ,}das zuvor James Gregory zugeschrieben wurde, der es 1667 ver\u00f6ffentlichte.Der Text enth\u00e4lt auch Madhavas unendliche Reihenexpansion von \u03c0, die er aus der Erweiterung der Arcustangensfunktion erhalten hat.\u03c04=1– –13+15– –17+\u22ef+((– –1)n2n+1+\u22ef{ displaystyle { frac { pi} {4}} = 1 – { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} – { frac {1} {7}} +  cdots + { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} +  cdots}Unter Verwendung einer rationalen N\u00e4herung dieser Reihe gab er Werte der Zahl \u03c0 als 3,14159265359, korrekt auf 11 Dezimalstellen, und als 3,1415926535898, korrekt auf 13 Dezimalstellen, an.Der Text beschreibt zwei Methoden zur Berechnung des Wertes von \u03c0.  Erhalten Sie zun\u00e4chst eine schnell konvergierende Reihe, indem Sie die urspr\u00fcngliche unendliche Reihe von \u03c0 transformieren.  Auf diese Weise die ersten 21 Terme der unendlichen Reihe\u03c0=12((1– –13\u22c53+15\u22c532– –17\u22c533+\u22ef){ displaystyle  pi = { sqrt {12}}  left (1- {1  \u00fcber 3  cdot 3} + {1  \u00fcber 5  cdot 3 ^ {2}} – {1  \u00fcber 7  cdot 3 ^ {3}} +  cdots  right)}wurde verwendet, um die Ann\u00e4herung an 11 Dezimalstellen zu berechnen.  Die andere Methode bestand darin, der urspr\u00fcnglichen Reihe von \u03c0 einen Restterm hinzuzuf\u00fcgen.  Die Restlaufzeitn2+14n3+5n{ textstyle { frac {n ^ {2} +1} {4n ^ {3} + 5n}}}  wurde in der unendlichen Serienerweiterung von verwendet \u03c04{ displaystyle { frac { pi} {4}}}  um die Ann\u00e4herung von \u03c0 an 13 Dezimalstellen der Genauigkeit zu verbessern, wenn n= 76.Abgesehen von diesen ist die Yuktibh\u0101\u1e63\u0101 enth\u00e4lt viele elementare und komplexe mathematische Themen, darunter:Astronomie[edit]Die Kapitel sieben bis siebzehn befassen sich mit Themen der Astronomie: Planetenbahnen, Himmelskugeln, Aufstieg, Deklination, Richtungen und Schatten, sph\u00e4rische Dreiecke, Ellipsen und Parallaxenkorrektur.  Die im Buch beschriebene Planetentheorie \u00e4hnelt der sp\u00e4ter vom d\u00e4nischen Astronomen Tycho Brahe \u00fcbernommenen.[11]Moderne Ausgaben[edit]Die Wichtigkeit von Yuktibh\u0101\u1e63\u0101 wurde 1832 von CM Whish durch ein in der Transaktionen der Royal Asiatic Society von Gro\u00dfbritannien und Irland.[9]    Der mathematische Teil des Textes wurde jedoch zusammen mit Notizen in Malayalam erst 1948 von Rama Varma Maru Thampuran und Akhileswara Aiyar ver\u00f6ffentlicht.[1]Zum ersten Mal ver\u00f6ffentlichte Springer 2008 eine Ausgabe des gesamten Malayalam-Textes sowie eine englische \u00dcbersetzung und ausf\u00fchrliche Erl\u00e4uterungen.[12]Ein dritter Band mit einer kritischen Ausgabe des Sanskrit Ganitayuktibhasa wurde 2009 vom Indian Institute of Advanced Study, Shimla, ver\u00f6ffentlicht.[13]Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ ein b c d e KV Sarma;  S. Hariharan (1991). “Yuktibh\u0101\u1e63\u0101 von Jye\u1e63\u1e6dhadeva: Ein Buch \u00fcber Rationales in der indischen Mathematik und Astronomie: Eine analytische Bewertung” (PDF). Indisches Journal f\u00fcr Wissenschaftsgeschichte. 26 (2).  Archiviert von das Original (PDF) am 28. September 2006.  Abgerufen 9. Juli 2006.^ “Jyesthardeva”. Biographie von Jyesthadeva.  Fakult\u00e4t f\u00fcr Mathematik und Statistik Universit\u00e4t St. Andrews, Schottland.  Abgerufen 7. Juli 2006.^ ein b “Die Kerala Schule, Europ\u00e4ische Mathematik und Navigation”. Indische Mathematik.  DP Agrawal – Infinity Foundation.  Abgerufen 9. Juli 2006.^ CK Raju (2001). “Computer, Mathematikunterricht und die alternative Erkenntnistheorie des Kalk\u00fcls im Yuktibh\u0101\u1e63\u0101” (PDF). Philosophie Ost & West. 51 (3): 325\u2013362.  doi:10.1353 \/ pew.2001.0045.  Abgerufen 11. Februar 2020.^ ein b “Weder Newton noch Leibniz – Die Vorgeschichte der Analysis und der Himmelsmechanik im mittelalterlichen Kerala”. MAT 314.  Canisius College.  Archiviert von das Original am 6. August 2006.  Abgerufen 9. Juli 2006.^ ein b “Ein \u00dcberblick \u00fcber die indische Mathematik”. Indische Mathematik.  Fakult\u00e4t f\u00fcr Mathematik und Statistik Universit\u00e4t St. Andrews, Schottland.  Abgerufen 7. Juli 2006.^ ein b c “Wissenschaft und Technologie im freien Indien” (PDF). Regierung von Kerala – Kerala Call, September 2004.  Prof.CGRamachandran Nair.  Archiviert von das Original (PDF) am 21. August 2006.  Abgerufen 9. Juli 2006.^ ein b Charles Whish (1834), “\u00dcber die hinduistische Quadratur des Kreises und die unendliche Reihe des Verh\u00e4ltnisses des Umfangs zum Durchmesser, das in den vier Sastras, dem Tantra Sahgraham, Yucti Bhasha, Carana Padhati und Sadratnamala gezeigt wird”, Transaktionen der Royal Asiatic Society von Gro\u00dfbritannien und Irland, 3 (3): 509\u2013523, doi:10.1017 \/ S0950473700001221, JSTOR 25581775^ ein b Divakaran, PP (2007).  “Das erste Lehrbuch der Analysis:” Yuktibh\u0101\u1e63\u0101“”“. Zeitschrift f\u00fcr indische Philosophie. 35 (5\/6): 417\u2013443.  doi:10.1007 \/ s10781-007-9029-1.  ISSN 0022-1791.  JSTOR 23497280.^ “Der Yuktibhasa-Kalk\u00fcltext” (PDF). Die Vorgeschichte des Kalk\u00fcls und der Himmelsmechanik im mittelalterlichen Kerala.  Dr. Sarada Rajeev.  Abgerufen 9. Juli 2006.^ “Wissenschaft und Mathematik in Indien”. S\u00fcdasiatische Geschichte.  Indien Ressourcen.  Archiviert von das Original am 17. Oktober 2012.  Abgerufen 6. Mai 2020.^ Sarma, KV;  Ramasubramanian, K.;  Srinivas, MD;  Sriram, MS (2008). Ganita-Yukti-Bhasa (Rationales in Mathematical Astronomy) von Jyesthadeva.  Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik und Physik.  Band I: Mathematik Band II: Astronomie (1. Aufl.).  Springer (gemeinsam mit der Hindustan Book Agency, New Delhi).  S. LXVIII, 1084. Bibcode:2008rma..book ….. S..  ISBN 978-1-84882-072-2.  Abgerufen 17. Dezember 2009.^ Sarma, KV (2009). Ganita Yuktibhasa  (in Malayalam und Englisch).  Band III.  Indisches Institut f\u00fcr fortgeschrittene Studien, Shimla, Indien.  ISBN 978-81-7986-052-6.  Archiviert von das Original am 17. M\u00e4rz 2010.  Abgerufen 16. Dezember 2009.Externe Links[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/2020\/12\/30\/yuktibha%e1%b9%a3a-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Yuktibh\u0101\u1e63\u0101 – Wikipedia"}}]}]