* -Algebra – Wikipedia

Posted on January 28, 2021 by lordneo

before-content-x4

In der Mathematik und insbesondere in der abstrakten Algebra a *-Algebra (oder involutive Algebra) ist eine mathematische Struktur, die aus zwei besteht involutive Ringe $R.$ und $EIN$ , wo $R.$ ist kommutativ und $EIN$ hat die Struktur einer assoziativen Algebra über $R.$ . Involutive Algebren verallgemeinern die Idee eines Zahlensystems, das mit Konjugation ausgestattet ist, beispielsweise die komplexen Zahlen und die komplexe Konjugation, Matrizen über die komplexen Zahlen und die konjugierte Transponierte sowie lineare Operatoren über einen Hilbert-Raum und hermitische Adjunkte. Es kann jedoch vorkommen, dass eine Algebra überhaupt keine Involution zulässt.

Nachschlagen * * oder Star in Wiktionary, dem kostenlosen Wörterbuch.

Table of Contents

Terminologie[edit]

*-Ring[edit]

In der Mathematik a *-Ring ist ein Ring mit einer Karte $*: EIN \to EIN$ das ist ein Antiautomorphismus und eine Involution.

Etwas präziser, $* *$ ist erforderlich, um die folgenden Eigenschaften zu erfüllen:^[1]

$(x + y) * = x * + y * *$
$(x y) * = y * * x * *$
$1 * = 1$
$(x *) * = x$

für alle $x, y$ im $EIN$ .

Dies wird auch als bezeichnet involutiver Ring, unfreiwilliger Ring, und Ring mit Involution. Beachten Sie, dass das dritte Axiom tatsächlich redundant ist, da das zweite und vierte Axiom implizieren $1 *$ ist auch eine multiplikative Identität, und Identitäten sind einzigartig.

Elemente wie das $x * = x$ werden genannt selbstadjunkt.^[2]

Archetypische Beispiele für einen * -Ring sind Felder komplexer Zahlen und algebraischer Zahlen mit komplexer Konjugation als Involution. Man kann eine sesquilineare Form über jedem * -Ring definieren.

Man kann auch * -Versionen von algebraischen Objekten wie Ideal und Subring definieren, wobei die Anforderung * -invariant sein muss: $x \in ich \Rightarrow x * \in ich$ usw.

*-Algebra[edit]

EIN *-Algebra $EIN$ ist ein * -Ring,^[a] mit Involution * ist das eine assoziative Algebra über einem kommutativen * -Ring $R.$ mit Involution $‘$ , so dass $(r x) * = r ‘ x * \forall r \in R., x \in EIN$ .^[3]

Der Basis * -Ring $R.$ sind oft die komplexen Zahlen (wobei * als komplexe Konjugation fungiert).

Aus den Axiomen folgt * on $EIN$ ist konjugiert-linear in $R.$ Bedeutung

(λ x + μ y) * = λ ‘ x * + μ ‘ y * *

zum $λ, μ \in R., x, y \in EIN$ .

EIN * -Homomorphismus $f :: EIN \to B.$ ist ein Algebra-Homomorphismus, der mit den Involutionen von kompatibel ist $EIN$ und $B.$ dh

$f (ein *) = f (ein) *$ für alle $ein$ im $EIN$ .^[2]

Philosophie der * -Operation[edit]

Die * -Operation an einem * -Ring ist analog zur komplexen Konjugation an den komplexen Zahlen. Die * -Operation in einer * -Algebra ist analog zu Adjunkten in komplexen Matrixalgebren.

Notation[edit]

Die * Involution ist eine unäre Operation, die mit einem nachfixierten Sternzeichen geschrieben ist, das über oder nahe der Mittellinie zentriert ist:

x \mapsto x * *

, oder

x \mapsto x *

(TeX: x^*),

aber nicht als “ $x *$ “; Einzelheiten finden Sie im Sternchenartikel.

Beispiele[edit]

Jeder kommutative Ring wird mit der trivialen (identischen) Involution zu einem * -Ring.
Das bekannteste Beispiel für einen * -Ring und eine * -Algebra über Real ist das Feld komplexer Zahlen $C.$ Dabei ist * nur eine komplexe Konjugation.
Allgemeiner eine Felderweiterung, die durch Zusatz einer Quadratwurzel (wie der imaginären Einheit) hergestellt wird √−1) ist eine * -Algebra über dem ursprünglichen Feld, die als trivialer * -Ring betrachtet wird. Das * dreht das Zeichen dieser Quadratwurzel um.
Ein quadratischer ganzzahliger Ring (für einige $D.$ ) ist ein kommutativer * -Ring mit dem *, der auf ähnliche Weise definiert ist; quadratische Felder sind * -Algebren über geeigneten quadratischen ganzzahligen Ringen.
Quaternionen, Split-Complex-Zahlen, Dual-Zahlen und möglicherweise andere hyperkomplexe Zahlensysteme bilden * -Ringe (mit ihrer eingebauten Konjugationsoperation) und * -Algebren über Real (wobei * trivial ist). Beachten Sie, dass keine der drei eine komplexe Algebra ist.
Hurwitz-Quaternionen bilden mit der Quaternionenkonjugation einen nicht kommutativen * -Ring.
Die Matrixalgebra von $n \times n$ Matrizen vorbei R. mit * durch die Umsetzung gegeben.
Die Matrixalgebra von $n \times n$ Matrizen vorbei C. mit * gegeben durch die konjugierte Transponierte.
Seine Verallgemeinerung, der hermitianische Adjunkt in der Algebra begrenzter linearer Operatoren auf einem Hilbert-Raum, definiert auch eine * -Algebra.
Der Polynomring $R. [x]$ über einen kommutativen trivialen – * – Ring $R.$ ist eine * -Algebra vorbei $R.$ mit $P. * (x) = P. (- x)$ .
Wenn (EIN , +, ×, *) ist gleichzeitig ein * -Ring, eine Algebra über einem Ring R. (kommutativ) und ( r x ) * = r ( x*) ∀ r ∈ R., x ∈ EIN, dann EIN ist eine * -Algebra vorbei R. (wobei * trivial ist).
- Als Teilfall ist jeder * -Ring eine * -Algebra über ganze Zahlen.
Jeder kommutative * -Ring ist eine * -Algebra über sich selbst und allgemeiner über jeden seiner * -Subringe.
Für einen kommutativen * -Ring R.ist sein Quotient durch irgendein * -ideal eine * -Algebra vorbei R..
- Zum Beispiel ist jeder kommutativ trivial – * – Ring eine * -Algebra über seinem Ring mit zwei Zahlen, ein * -Ring mitnicht trivial*, weil der Quotient von $ε = 0$ macht den ursprünglichen Ring.
- Das gleiche gilt für einen kommutativen Ring $K.$ und sein Polynomring $K. [x]$ : der Quotient von $x = 0$ stellt wieder her $K.$ .
In der Hecke-Algebra ist eine Involution für das Kazhdan-Lusztig-Polynom wichtig.
Der Endomorphismusring einer elliptischen Kurve wird zu einer * -Algebra über den ganzen Zahlen, wobei die Involution durch die duale Isogenese gegeben ist. Eine ähnliche Konstruktion funktioniert für abelsche Sorten mit Polarisation. In diesem Fall wird sie als Rosati-Involution bezeichnet (siehe Milnes Vorlesungsunterlagen zu abelschen Sorten).

Involutive Hopf-Algebren sind wichtige Beispiele für * -Algebren (mit der zusätzlichen Struktur einer kompatiblen Comultiplikation); Das bekannteste Beispiel ist:

Nicht-Beispiel[edit]

Nicht jede Algebra lässt eine Involution zu:

Betrachten Sie die 2×2-Matrizen über den komplexen Zahlen.
Betrachten Sie die folgende Subalgebra:

{ displaystyle { mathcal {A}}: = left {{ begin {pmatrix} a & b \ 0 & 0 end {pmatrix}}: a, b in mathbb {C} right }}

${ displaystyle { mathcal {A}}: = left {{ begin {pmatrix} a & b \ 0 & 0 end {pmatrix}}: a, b in mathbb {C} right }}$

Jeder nichttriviale Antiautomorphismus hat notwendigerweise die Form:

{ displaystyle varphi _ {z} left[{begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}}right]= { begin {pmatrix} 1 & z \ 0 & 0 end {pmatrix}} quad varphi _ {z} left[{begin{pmatrix}0&1\0&0end{pmatrix}}right]= { begin {pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end {pmatrix}}}

${ displaystyle varphi _ {z} left[{begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}}right]= { begin {pmatrix} 1 & z \ 0 & 0 end {pmatrix}} quad varphi _ {z} left[{begin{pmatrix}0&1\0&0end{pmatrix}}right]= { begin {pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end {pmatrix}}}$

für jede komplexe Zahl

{ displaystyle z in mathbb {C}}

$z in mathbb {C}$ .
Daraus folgt, dass ein nicht trivialer Antiautomorphismus nicht idempotent ist:

{ displaystyle varphi _ {z} ^ {2} left[{begin{pmatrix}0&1\0&0end{pmatrix}}right]= { begin {pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end {pmatrix}} neq { begin {pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end {pmatrix}}}

${ displaystyle varphi _ {z} ^ {2} left[{begin{pmatrix}0&1\0&0end{pmatrix}}right]= { begin {pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end {pmatrix}} neq { begin {pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end {pmatrix}}}$

Schlussfolgerung, dass die Subalgebra keine Involution zulässt.

Zusätzliche Strukturen[edit]

Viele Eigenschaften der Transponierung gelten für allgemeine * -Algebren:

Die hermitianischen Elemente bilden eine Jordan-Algebra;
Die schrägen hermitischen Elemente bilden eine Lie-Algebra;
Wenn 2 im * -Ring invertierbar ist, dann 1/.2 $(1 + *)$ und 1/.2 $(1 - *)$ sind orthogonale Idempotente,^[2] namens symmetrisierenundAntisymmetrisierungDaher zerlegt sich die Algebra als direkte Summe von Modulen (Vektorräume, wenn der * -Ring ein Feld ist) aus symmetrischen und antisymmetrischen Elementen (Hermitian und Skew Hermitian). Diese Räume bilden im Allgemeinen keine assoziativen Algebren, da die Idempotenten Operatoren und keine Elemente der Algebra sind.

Schrägstrukturen[edit]

Bei einem * -Ring gibt es auch die Karte $- *: x \mapsto - x * *$ . Es definiert keine * -Ring-Struktur (es sei denn, das Merkmal ist 2, in diesem Fall – * ist identisch mit dem Original *), als $1 \mapsto -1$ es ist auch nicht antimultiplikativ, aber es erfüllt die anderen Axiome (linear, Involution) und ist daher der * -Algebra ziemlich ähnlich, wo $x \mapsto x * *$ .

Durch diese Karte festgelegte Elemente (dh, dass $ein = - ein * *$ ) werden genanntHermitian verzerren.

Für die komplexen Zahlen mit komplexer Konjugation sind die reellen Zahlen die hermitianischen Elemente, und die imaginären Zahlen sind die schiefen hermitischen.

Siehe auch[edit]

^ Die meisten Definitionen erfordern keine * -Algebra, um die Einheit zu haben, dh eine * -Algebra darf nur ein * -Ring sein.

Verweise[edit]

after-content-x4