[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/2021\/01\/28\/algebra-wikipedia-2\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/2021\/01\/28\/algebra-wikipedia-2\/","headline":"* -Algebra – Wikipedia","name":"* -Algebra – Wikipedia","description":"before-content-x4 In der Mathematik und insbesondere in der abstrakten Algebra a *-Algebra (oder involutive Algebra) ist eine mathematische Struktur, die","datePublished":"2021-01-28","dateModified":"2021-01-28","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/9\/99\/Wiktionary-logo-en-v2.svg\/40px-Wiktionary-logo-en-v2.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/9\/99\/Wiktionary-logo-en-v2.svg\/40px-Wiktionary-logo-en-v2.svg.png","height":"40","width":"40"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/2021\/01\/28\/algebra-wikipedia-2\/","wordCount":3410,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4In der Mathematik und insbesondere in der abstrakten Algebra a *-Algebra (oder involutive Algebra) ist eine mathematische Struktur, die aus zwei besteht involutive Ringe R. und EIN, wo R. ist kommutativ und EIN hat die Struktur einer assoziativen Algebra \u00fcber R..  Involutive Algebren verallgemeinern die Idee eines Zahlensystems, das mit Konjugation ausgestattet ist, beispielsweise die komplexen Zahlen und die komplexe Konjugation, Matrizen \u00fcber die komplexen Zahlen und die konjugierte Transponierte sowie lineare Operatoren \u00fcber einen Hilbert-Raum und hermitische Adjunkte.  Es kann jedoch vorkommen, dass eine Algebra \u00fcberhaupt keine Involution zul\u00e4sst.Nachschlagen * * oder Star  in Wiktionary, dem kostenlosen W\u00f6rterbuch.  Table of ContentsTerminologie[edit]*-Ring[edit]*-Algebra[edit]Philosophie der * -Operation[edit]Notation[edit]Beispiele[edit]Nicht-Beispiel[edit]Zus\u00e4tzliche Strukturen[edit]Schr\u00e4gstrukturen[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Terminologie[edit]*-Ring[edit]In der Mathematik a *-Ring ist ein Ring mit einer Karte *: EIN \u2192 EIN  das ist ein Antiautomorphismus und eine Involution.Etwas pr\u00e4ziser, * * ist erforderlich, um die folgenden Eigenschaften zu erf\u00fcllen:[1]  (x + y) * = x* + y* *(x y) * = y* *x* *1 * = 1( x*) * = xf\u00fcr alle x, y  im EIN.Dies wird auch als bezeichnet involutiver Ring, unfreiwilliger Ring, und Ring mit Involution.  Beachten Sie, dass das dritte Axiom tats\u00e4chlich redundant ist, da das zweite und vierte Axiom implizieren 1 * ist auch eine multiplikative Identit\u00e4t, und Identit\u00e4ten sind einzigartig.Elemente wie das x* = x  werden genannt selbstadjunkt.[2]Archetypische Beispiele f\u00fcr einen * -Ring sind Felder komplexer Zahlen und algebraischer Zahlen mit komplexer Konjugation als Involution.  Man kann eine sesquilineare Form \u00fcber jedem * -Ring definieren.  Man kann auch * -Versionen von algebraischen Objekten wie Ideal und Subring definieren, wobei die Anforderung * -invariant sein muss: x \u2208 ich \u21d2x* \u2208 ich  usw.*-Algebra[edit]EIN *-Algebra EIN ist ein * -Ring,[a]  mit Involution * ist das eine assoziative Algebra \u00fcber einem kommutativen * -Ring R. mit Involution ‘, so dass (r x) * =r ‘\u2009x * \u2200 r\u2208 R. , x \u2208EIN.[3]Der Basis * -Ring R. sind oft die komplexen Zahlen (wobei * als komplexe Konjugation fungiert).Aus den Axiomen folgt * on EIN ist konjugiert-linear in R.Bedeutung( \u03bb x+\u03bc\u2009y) * = \u03bb ‘\u2009x* + \u03bc ‘\u2009y * *zum \u03bb, \u03bc\u2208 R. , x , y \u2208 EIN.EIN * -Homomorphismus f::EIN\u2192 B.  ist ein Algebra-Homomorphismus, der mit den Involutionen von kompatibel ist EIN und B.dhf(ein*) = f ( ein) * f\u00fcr alle ein im EIN.[2]Philosophie der * -Operation[edit]Die * -Operation an einem * -Ring ist analog zur komplexen Konjugation an den komplexen Zahlen.  Die * -Operation in einer * -Algebra ist analog zu Adjunkten in komplexen Matrixalgebren.Notation[edit]Die * Involution ist eine un\u00e4re Operation, die mit einem nachfixierten Sternzeichen geschrieben ist, das \u00fcber oder nahe der Mittellinie zentriert ist:x \u21a6x* *, oderx\u21a6 x\u2217  (TeX: x^*),aber nicht als “x\u2217“; Einzelheiten finden Sie im Sternchenartikel.Beispiele[edit]Jeder kommutative Ring wird mit der trivialen (identischen) Involution zu einem * -Ring.Das bekannteste Beispiel f\u00fcr einen * -Ring und eine * -Algebra \u00fcber Real ist das Feld komplexer Zahlen C.  Dabei ist * nur eine komplexe Konjugation.Allgemeiner eine Felderweiterung, die durch Zusatz einer Quadratwurzel (wie der imagin\u00e4ren Einheit) hergestellt wird \u221a\u22121) ist eine * -Algebra \u00fcber dem urspr\u00fcnglichen Feld, die als trivialer * -Ring betrachtet wird.  Das * dreht das Zeichen dieser Quadratwurzel um.Ein quadratischer ganzzahliger Ring (f\u00fcr einige D.) ist ein kommutativer * -Ring mit dem *, der auf \u00e4hnliche Weise definiert ist;  quadratische Felder sind * -Algebren \u00fcber geeigneten quadratischen ganzzahligen Ringen.Quaternionen, Split-Complex-Zahlen, Dual-Zahlen und m\u00f6glicherweise andere hyperkomplexe Zahlensysteme bilden * -Ringe (mit ihrer eingebauten Konjugationsoperation) und * -Algebren \u00fcber Real (wobei * trivial ist).  Beachten Sie, dass keine der drei eine komplexe Algebra ist.Hurwitz-Quaternionen bilden mit der Quaternionenkonjugation einen nicht kommutativen * -Ring.Die Matrixalgebra von n\u00d7n Matrizen vorbei R. mit * durch die Umsetzung gegeben.Die Matrixalgebra von n\u00d7n Matrizen vorbei C. mit * gegeben durch die konjugierte Transponierte.Seine Verallgemeinerung, der hermitianische Adjunkt in der Algebra begrenzter linearer Operatoren auf einem Hilbert-Raum, definiert auch eine * -Algebra.Der Polynomring R.[x]  \u00fcber einen kommutativen trivialen – * – Ring R. ist eine * -Algebra vorbei R. mit P.* (x ) = P.(-x ).Wenn (EIN , +, \u00d7, *) ist gleichzeitig ein * -Ring, eine Algebra \u00fcber einem Ring R. (kommutativ) und ( r x ) * = r ( x*) \u2200 r \u2208 R., x \u2208 EIN, dann EIN ist eine * -Algebra vorbei R. (wobei * trivial ist).Als Teilfall ist jeder * -Ring eine * -Algebra \u00fcber ganze Zahlen.Jeder kommutative * -Ring ist eine * -Algebra \u00fcber sich selbst und allgemeiner \u00fcber jeden seiner * -Subringe.F\u00fcr einen kommutativen * -Ring R.ist sein Quotient durch irgendein * -ideal eine * -Algebra vorbei R..Zum Beispiel ist jeder kommutativ trivial – * – Ring eine * -Algebra \u00fcber seinem Ring mit zwei Zahlen, ein * -Ring mitnicht trivial*, weil der Quotient von \u03b5 = 0 macht den urspr\u00fcnglichen Ring.Das gleiche gilt f\u00fcr einen kommutativen Ring K. und sein Polynomring K.[x]: der Quotient von x = 0 stellt wieder her K..In der Hecke-Algebra ist eine Involution f\u00fcr das Kazhdan-Lusztig-Polynom wichtig.Der Endomorphismusring einer elliptischen Kurve wird zu einer * -Algebra \u00fcber den ganzen Zahlen, wobei die Involution durch die duale Isogenese gegeben ist.  Eine \u00e4hnliche Konstruktion funktioniert f\u00fcr abelsche Sorten mit Polarisation. In diesem Fall wird sie als Rosati-Involution bezeichnet (siehe Milnes Vorlesungsunterlagen zu abelschen Sorten).Involutive Hopf-Algebren sind wichtige Beispiele f\u00fcr * -Algebren (mit der zus\u00e4tzlichen Struktur einer kompatiblen Comultiplikation);  Das bekannteste Beispiel ist:Nicht-Beispiel[edit]Nicht jede Algebra l\u00e4sst eine Involution zu:Betrachten Sie die 2×2-Matrizen \u00fcber den komplexen Zahlen.Betrachten Sie die folgende Subalgebra:EIN: ={(einb00)::ein,b\u2208C.}}{ displaystyle { mathcal {A}}: =  left  {{ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & 0  end {pmatrix}}: a, b  in  mathbb {C}  right }}Jeder nichttriviale Antiautomorphismus hat notwendigerweise die Form:\u03c6z[(1000)]=(1z00)\u03c6z[(0100)]=(0000){ displaystyle  varphi _ {z}  left[{begin{pmatrix}1&0\\0&0end{pmatrix}}right]= { begin {pmatrix} 1 & z \\ 0 & 0  end {pmatrix}}  quad  varphi _ {z}  left[{begin{pmatrix}0&1\\0&0end{pmatrix}}right]= { begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0  end {pmatrix}}}f\u00fcr jede komplexe Zahl z\u2208C.{ displaystyle z  in  mathbb {C}}.Daraus folgt, dass ein nicht trivialer Antiautomorphismus nicht idempotent ist:\u03c6z2[(0100)]=(0000)\u2260(0100){ displaystyle  varphi _ {z} ^ {2}  left[{begin{pmatrix}0&1\\0&0end{pmatrix}}right]= { begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0  end {pmatrix}}  neq { begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0  end {pmatrix}}}Schlussfolgerung, dass die Subalgebra keine Involution zul\u00e4sst.Zus\u00e4tzliche Strukturen[edit]Viele Eigenschaften der Transponierung gelten f\u00fcr allgemeine * -Algebren:Die hermitianischen Elemente bilden eine Jordan-Algebra;Die schr\u00e4gen hermitischen Elemente bilden eine Lie-Algebra;Wenn 2 im * -Ring invertierbar ist, dann 1\/.2(1 + *) und 1\/.2(1 – *) sind orthogonale Idempotente,[2]  namens symmetrisierenundAntisymmetrisierungDaher zerlegt sich die Algebra als direkte Summe von Modulen (Vektorr\u00e4ume, wenn der * -Ring ein Feld ist) aus symmetrischen und antisymmetrischen Elementen (Hermitian und Skew Hermitian).  Diese R\u00e4ume bilden im Allgemeinen keine assoziativen Algebren, da die Idempotenten Operatoren und keine Elemente der Algebra sind.Schr\u00e4gstrukturen[edit]Bei einem * -Ring gibt es auch die Karte – *: x\u21a6 –x* *.  Es definiert keine * -Ring-Struktur (es sei denn, das Merkmal ist 2, in diesem Fall – * ist identisch mit dem Original *), als 1 \u21a6 \u22121es ist auch nicht antimultiplikativ, aber es erf\u00fcllt die anderen Axiome (linear, Involution) und ist daher der * -Algebra ziemlich \u00e4hnlich, wo x\u21a6x* *.Durch diese Karte festgelegte Elemente (dh, dass ein= –ein* *) werden genanntHermitian verzerren.F\u00fcr die komplexen Zahlen mit komplexer Konjugation sind die reellen Zahlen die hermitianischen Elemente, und die imagin\u00e4ren Zahlen sind die schiefen hermitischen.Siehe auch[edit]^ Die meisten Definitionen erfordern keine * -Algebra, um die Einheit zu haben, dh eine * -Algebra darf nur ein * -Ring sein.Verweise[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki21\/2021\/01\/28\/algebra-wikipedia-2\/#breadcrumbitem","name":"* -Algebra – Wikipedia"}}]}]