[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki22\/2020\/12\/31\/banach-mazur-theorem-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki22\/2020\/12\/31\/banach-mazur-theorem-wikipedia\/","headline":"Banach-Mazur-Theorem – Wikipedia","name":"Banach-Mazur-Theorem – Wikipedia","description":"In der Funktionsanalyse ist ein Bereich der Mathematik, der Banach-Mazur-Theorem ist ein Satz, der grob besagt, dass die meisten gut","datePublished":"2020-12-31","dateModified":"2020-12-31","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki22\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki22\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/fb919237f51400494dbe0ffab5ab7fbe7b0fac30","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/fb919237f51400494dbe0ffab5ab7fbe7b0fac30","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki22\/2020\/12\/31\/banach-mazur-theorem-wikipedia\/","wordCount":1143,"articleBody":"In der Funktionsanalyse ist ein Bereich der Mathematik, der Banach-Mazur-Theorem ist ein Satz, der grob besagt, dass die meisten gut benommenen normierten R\u00e4ume Teilr\u00e4ume des Raums kontinuierlicher Pfade sind.  Es ist nach Stefan Banach und Stanis\u0142aw Mazur benannt.Erkl\u00e4rung[edit]  Jeder echte, trennbare Banachraum (X., || \u22c5 ||) ist isometrisch isomorph zu einem geschlossenen Unterraum von C.0([0, 1], R.), der Raum aller stetigen Funktionen vom Einheitsintervall bis zur realen Linie.Einerseits scheint uns das Banach-Mazur-Theorem zu sagen, dass die scheinbar gro\u00dfe Sammlung aller trennbaren Banach-R\u00e4ume nicht so gro\u00df oder schwierig zu bearbeiten ist, da ein trennbarer Banach-Raum “nur” eine Sammlung kontinuierlicher Pfade ist.  Andererseits sagt uns der Satz das C.0([0, 1], R.) ist ein “wirklich gro\u00dfer” Raum, gro\u00df genug, um jeden m\u00f6glichen trennbaren Banach-Raum aufzunehmen.Nicht trennbare Banach-R\u00e4ume k\u00f6nnen nicht isometrisch in den trennbaren Raum eingebettet werden C.0([0, 1], R.), aber f\u00fcr jeden Banachraum X.findet man einen kompakten Hausdorffraum K. und eine isometrische lineare Einbettung j von X. in den Raum C (K.) von skalaren stetigen Funktionen auf K..  Die einfachste Wahl ist zu lassen K. sei die Einheitskugel des kontinuierlichen Duals X. ‘, ausgestattet mit der w * -Topologie.  Diese Einheit Ball K. ist dann nach dem Banach-Alaoglu-Theorem kompakt.  Die Einbettung j wird eingef\u00fchrt, indem man das f\u00fcr jeden sagt x\u2208 X., die kontinuierliche Funktion j(x ) auf K. ist definiert durch  \u2200x‘\u2208K.::j(x)(x‘)=x‘(x).{ displaystyle  forall x ‘ in K:  qquad j (x) (x’) = x ‘(x).}Das Mapping j ist linear und nach dem Hahn-Banach-Theorem isometrisch.Eine weitere Verallgemeinerung wurde von Kleiber und Pervin (1969) gegeben: ein metrischer Dichteraum, der einem unendlichen Kardinal entspricht \u03b1 ist isometrisch zu einem Unterraum von C.0([0,1]\u03b1, R.), der Raum realer stetiger Funktionen auf dem Produkt von \u03b1 Kopien des Einheitsintervalls.St\u00e4rkere Versionen des Satzes[edit]Lass uns schreiben C.k[0, 1]  zum C.k([0, 1], R.).  Im Jahr 1995 bewies Luis Rodr\u00edguez-Piazza, dass die Isometrie ich :: X.\u2192 C.0[0, 1]  kann so gew\u00e4hlt werden, dass jede Nicht-Null-Funktion im Bild funktioniert ich(X. ) ist nirgends differenzierbar.  Anders ausgedr\u00fcckt, wenn D.\u2282 C.0[0, 1]  besteht aus Funktionen, die an mindestens einem Punkt von differenzierbar sind [0, 1], dann ich kann so gew\u00e4hlt werden, dass ich(X. ) \u2229 D. = {0}. Diese Schlussfolgerung gilt f\u00fcr den Raum C.0[0, 1]  selbst, daher existiert eine lineare Karte ich: C.0[0, 1]  \u2192 C.0[0, 1]  das ist eine Isometrie auf seinem Bild, so dass das Bild darunter ich von C.0[0, 1]  (Der Unterraum, der aus Funktionen besteht, die \u00fcberall mit kontinuierlicher Ableitung differenzierbar sind) schneidet sich D. nur bei 0: Somit ist der Raum glatter Funktionen (in Bezug auf den gleichm\u00e4\u00dfigen Abstand) isometrisch isomorph zu einem Raum nirgends differenzierbarer Funktionen.  Beachten Sie, dass der (metrisch unvollst\u00e4ndige) Raum f\u00fcr glatte Funktionen dicht ist C.0[0, 1].  Verweise[edit]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki22\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki22\/2020\/12\/31\/banach-mazur-theorem-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Banach-Mazur-Theorem – Wikipedia"}}]}]