Darstellungstheorie – Wikipedia

Zweig der Mathematik, der abstrakte algebraische Strukturen untersucht

Die Darstellungstheorie untersucht, wie algebraische Strukturen auf Objekte „wirken“. Ein einfaches Beispiel ist, wie die Symmetrien regulärer Polygone, die aus Reflexionen und Rotationen bestehen, das Polygon transformieren.

Darstellungstheorie ist ein Zweig der Mathematik, der abstrakte algebraische Strukturen von studiert Darstellen ihre Elemente als lineare Transformationen von Vektorräumen,[1] und studiert Module über diese abstrakten algebraischen Strukturen.[2][3] Im Wesentlichen macht eine Darstellung ein abstraktes algebraisches Objekt konkreter, indem ihre Elemente durch Matrizen und ihre algebraischen Operationen (z. B. Matrixaddition, Matrixmultiplikation) beschrieben werden. Die Theorie der Matrizen und linearen Operatoren ist gut verstanden, daher hilft die Darstellung abstrakterer Objekte in Bezug auf bekannte lineare Algebra-Objekte dabei, Eigenschaften zu ermitteln und manchmal Berechnungen für abstraktere Theorien zu vereinfachen.

Die algebraischen Objekte, die einer solchen Beschreibung zugänglich sind, umfassen Gruppen, assoziative Algebren und Lie-Algebren. Die bekannteste davon (und historisch die erste) ist die Darstellungstheorie von Gruppen, in der Elemente einer Gruppe durch invertierbare Matrizen so dargestellt werden, dass die Gruppenoperation eine Matrixmultiplikation ist.[4][5]

Die Darstellungstheorie ist eine nützliche Methode, da sie Probleme in der abstrakten Algebra auf Probleme in der linearen Algebra reduziert, ein Thema, das gut verstanden wird.[6] Darüber hinaus kann der Vektorraum, auf dem eine Gruppe (zum Beispiel) dargestellt wird, unendlich dimensional sein, und indem man zulässt, dass es sich beispielsweise um einen Hilbert-Raum handelt, können Analysemethoden auf die Gruppentheorie angewendet werden.[7][8] Die Darstellungstheorie ist auch in der Physik wichtig, weil sie beispielsweise beschreibt, wie die Symmetriegruppe eines physikalischen Systems die Lösungen von Gleichungen beeinflusst, die dieses System beschreiben.[9]

Die Repräsentationstheorie ist aus zwei Gründen in allen Bereichen der Mathematik verbreitet. Erstens sind die Anwendungen der Darstellungstheorie vielfältig:[10] Repräsentationstheorie zusätzlich zu ihren Auswirkungen auf die Algebra:

Zweitens gibt es verschiedene Ansätze zur Darstellungstheorie. Dieselben Objekte können mit Methoden aus algebraischer Geometrie, Modultheorie, analytischer Zahlentheorie, Differentialgeometrie, Operatortheorie, algebraischer Kombinatorik und Topologie untersucht werden.[14]

Der Erfolg der Darstellungstheorie hat zu zahlreichen Verallgemeinerungen geführt. Eine der allgemeinsten ist in der Kategorietheorie.[15] Die algebraischen Objekte, für die die Darstellungstheorie gilt, können als bestimmte Arten von Kategorien angesehen werden, und die Darstellungen als Funktoren von der Objektkategorie zur Kategorie der Vektorräume.[5] Diese Beschreibung weist auf zwei offensichtliche Verallgemeinerungen hin: Erstens können die algebraischen Objekte durch allgemeinere Kategorien ersetzt werden; Zweitens kann die Zielkategorie der Vektorräume durch andere gut verstandene Kategorien ersetzt werden.

Definitionen und Konzepte[edit]

Lassen V. sei ein Vektorraum über einem Feld F..[6] Nehmen wir zum Beispiel an V. ist R.n oder C.n, Der Standard n-dimensionaler Raum von Spaltenvektoren über den reellen bzw. komplexen Zahlen. In diesem Fall besteht die Idee der Darstellungstheorie darin, abstrakte Algebra konkret unter Verwendung von zu machen n × n Matrizen von reellen oder komplexen Zahlen.

Es gibt drei Hauptarten von algebraischen Objekten, für die dies durchgeführt werden kann: Gruppen, assoziative Algebren und Lie-Algebren.[16][5]

Dies verallgemeinert sich auf jedes Feld F. und jeden Vektorraum V. Über F., wobei lineare Karten Matrizen ersetzen und die Zusammensetzung die Matrixmultiplikation ersetzt: Es gibt eine Gruppe GL (V.,F.) von Automorphismen von V., ein assoziatives Algebra-EndeF.(V.) aller Endomorphismen von V.und eine entsprechende Lie-Algebra gl(V.,F.).

Definition[edit]

Es gibt zwei Möglichkeiten zu sagen, was eine Darstellung ist.[17] Der erste verwendet die Idee einer Aktion und verallgemeinert die Art und Weise, wie Matrizen durch Matrixmultiplikation auf Spaltenvektoren wirken. Eine Darstellung einer Gruppe G oder (assoziative oder Lie) Algebra EIN auf einem Vektorraum V. ist eine Karte

mit zwei Eigenschaften. Erstens für jeden G im G (oder ein im EIN), die Karte

ist linear (über F.). Zweitens, wenn wir die Notation einführen G · · v zum

Φ{ displaystyle Phi}

(G, v), dann für jeden G1, G2 im G und v im V.::

wo e ist das Identitätselement von G und G1G2 ist das Produkt in G. Die Anforderung für assoziative Algebren ist analog, außer dass assoziative Algebren nicht immer ein Identitätselement haben. In diesem Fall wird Gleichung (1) ignoriert. Gleichung (2) ist ein abstrakter Ausdruck der Assoziativität der Matrixmultiplikation. Dies gilt nicht für den Matrixkommutator und es gibt auch kein Identitätselement für den Kommutator. Daher ist für Lie-Algebren die einzige Voraussetzung, dass für jede x1, x2 im EIN und v im V.::

wo [x1, x2] ist die Lie-Klammer, die den Matrixkommutator verallgemeinert MN – – NM.

Die zweite Möglichkeit, eine Darstellung zu definieren, konzentriert sich auf die Karte φ Senden G im G zu einer linearen Karte φ(G): V.V., was befriedigt

und ähnlich in den anderen Fällen. Dieser Ansatz ist sowohl prägnanter als auch abstrakter. Von diesem Standpunkt aus betrachtet:

Terminologie[edit]

Der Vektorraum V. heißt das Repräsentationsraum von φ und seine Dimension (wenn endlich) heißt die Abmessungen der Darstellung (manchmal Grad, wie in [18]). Es ist auch üblich, sich darauf zu beziehen V. selbst als Darstellung beim Homomorphismus φ ist aus dem Kontext klar; sonst die Notation (V.,φ) kann verwendet werden, um eine Darstellung zu bezeichnen.

Wann V. ist von endlicher Dimension nkann man eine Basis wählen für V. zu identifizieren V. mit F.nund somit eine Matrixdarstellung mit Einträgen in das Feld wiederherstellen F..

Eine effektive oder getreue Darstellung ist eine Darstellung (V.,φ), für die der Homomorphismus φ ist injektiv.

Äquivariante Karten und Isomorphismen[edit]

Wenn V. und W. sind Vektorräume vorbei F., ausgestattet mit Darstellungen φ und ψ einer Gruppe G, dann ein äquivariante Karte von V. zu W. ist eine lineare Karte α:: V.W. so dass

für alle G im G und v im V.. Bezüglich φ:: G → GL (V.) und ψ:: G → GL (W.), das heisst

für alle G im GDas heißt, das folgende Diagramm pendelt:

Kommutatives Diagramm der äquivarianten Karte.png

Äquivariante Karten für Darstellungen einer assoziativen oder Lie-Algebra sind ähnlich definiert. Wenn α ist invertierbar, dann soll es sich in diesem Fall um einen Isomorphismus handeln V. und W. (oder genauer gesagt, φ und ψ) sind isomorphe Darstellungen, auch formuliert als äquivalente Darstellungen. Eine äquivariante Karte wird oft als bezeichnet Karte ineinander verschlingen von Darstellungen. Auch im Fall einer Gruppe Gwird es gelegentlich a genannt G-Karte.

Isomorphe Darstellungen sind aus praktischen Gründen „gleich“; Sie liefern die gleichen Informationen über die dargestellte Gruppe oder Algebra. Die Repräsentationstheorie versucht daher, Repräsentationen bis zum Isomorphismus zu klassifizieren.

Unterrepräsentationen, Quotienten und irreduzible Repräsentationen[edit]

Wenn

(V.,ψ){ displaystyle (V, psi)}

ist eine Darstellung einer Gruppe

G{ displaystyle G}

, und

W.{ displaystyle W}

ist ein linearer Unterraum von

V.{ displaystyle V}

das wird durch die Aktion von erhalten

G{ displaystyle G}

in dem Sinne, dass für alle

wW.{ displaystyle w in W}

und

GG{ displaystyle g in G}

,

GW.W.{ displaystyle g cdot W in W}

(Serre nennt das

W.{ displaystyle W}

stabil unter

G{ displaystyle G}

[18]), dann

W.{ displaystyle W}

heißt a Unterrepräsentation: durch definieren

ϕ::GAut(W.){ displaystyle phi: G to { text {Aut}} (W)}

wo

ϕ(G){ displaystyle phi (g)}

ist die Einschränkung von

ψ(G){ displaystyle psi (g)}

zu

W.{ displaystyle W}

,

(W.,ϕ){ displaystyle (W, phi)}

ist eine Darstellung von

G{ displaystyle G}

und die Aufnahme von

W.V.{ displaystyle W hookrightarrow V}

ist eine äquivariante Karte. Der Quotientenraum

V./.W.{ displaystyle V / W}

kann auch in eine Darstellung von gemacht werden

G{ displaystyle G}

. Wenn

V.{ displaystyle V}

hat genau zwei Unterrepräsentationen, nämlich den trivialen Unterraum {0} und

V.{ displaystyle V}

selbst, dann soll die Darstellung sein irreduzibel;; wenn

V.{ displaystyle V}

hat eine richtige nichttriviale Unterrepräsentation, die Repräsentation soll sein reduzierbar.[19]

Die Definition einer irreduziblen Darstellung impliziert Schurs Lemma: eine äquivariante Karte

α::(V.,ψ)(V.,ψ){ displaystyle alpha: (V, psi) bis (V ‚, psi‘)}

zwischen irreduziblen Darstellungen befindet sich entweder die Nullkarte oder ein Isomorphismus, da sein Kernel und sein Bild Unterrepräsentationen sind. Insbesondere wenn

V.=V.{ displaystyle V = V ‚}

Dies zeigt, dass die äquivarianten Endomorphismen von

V.{ displaystyle V}

bilden eine assoziative Divisionsalgebra über dem zugrunde liegenden Feld F.. Wenn F. algebraisch geschlossen ist, sind die einzigen äquivarianten Endomorphismen einer irreduziblen Darstellung die skalaren Vielfachen der Identität. Irreduzible Repräsentationen sind die Bausteine ​​der Repräsentationstheorie für viele Gruppen: wenn eine Repräsentation

V.{ displaystyle V}

ist nicht irreduzibel, dann wird es aus einer Unterrepräsentation und einem Quotienten aufgebaut, die beide in gewissem Sinne „einfacher“ sind; zum Beispiel, wenn

V.{ displaystyle V}

ist endlichdimensional, dann haben sowohl die Unterrepräsentation als auch der Quotient eine kleinere Dimension. Es gibt Gegenbeispiele, bei denen eine Darstellung eine Unterrepräsentation aufweist, jedoch nur eine nicht triviale irreduzible Komponente. Zum Beispiel die additive Gruppe

(R.,+){ displaystyle ( mathbb {R}, +)}

als zweidimensionale Darstellung

ϕ(ein)=[1a01]{ displaystyle phi (a) = { begin {bmatrix} 1 & a \ 0 & 1 end {bmatrix}}}

Diese Gruppe hat den Vektor

[10]T.{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 end {bmatrix}} ^ {T}}

durch diesen Homomorphismus behoben, aber der Komplement-Unterraum wird zugeordnet

[01][a1]{ displaystyle { begin {bmatrix} 0 \ 1 end {bmatrix}} mapsto { begin {bmatrix} a \ 1 end {bmatrix}}}

nur eine irreduzible Unterrepräsentation geben. Dies gilt für alle unipotenten Gruppen[20]S. 112.

Direkte Summen und nicht zusammensetzbare Darstellungen[edit]

Wenn (V.,φ) und (W.,ψ) sind Darstellungen einer Gruppe G, dann die direkte Summe von V. und W. ist eine kanonische Darstellung über die Gleichung

Die direkte Summe zweier Darstellungen enthält keine weiteren Informationen über die Gruppe G als die beiden Darstellungen einzeln. Wenn eine Darstellung die direkte Summe von zwei richtigen nichttrivialen Unterrepräsentationen ist, wird sie als zerlegbar bezeichnet. Ansonsten soll es nicht zusammensetzbar sein.

Vollständige Reduzierbarkeit[edit]

Unter günstigen Umständen ist jede endlich dimensionale Darstellung eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen: Solche Darstellungen werden als halb einfach bezeichnet. In diesem Fall reicht es aus, nur die irreduziblen Darstellungen zu verstehen. Beispiele, bei denen dieses Phänomen der „vollständigen Reduzierbarkeit“ auftritt, sind endliche Gruppen (siehe Maschkes Theorem), kompakte Gruppen und halbeinfache Lie-Algebren.

In Fällen, in denen keine vollständige Reduzierbarkeit vorliegt, muss man verstehen, wie nicht zusammensetzbare Darstellungen aus irreduziblen Darstellungen als Erweiterung eines Quotienten durch eine Unterrepräsentation aufgebaut werden können.

Tensorprodukte von Darstellungen[edit]

Annehmen

ϕ1::GGL.(V.1){ displaystyle phi _ {1}: G rightarrow mathrm {GL} (V_ {1})}

und

ϕ2::GGL.(V.2){ displaystyle phi _ {2}: G rightarrow mathrm {GL} (V_ {2})}

sind Darstellungen einer Gruppe

G{ displaystyle G}

. Dann können wir eine Darstellung bilden

ϕ1ϕ2{ displaystyle phi _ {1} otimes phi _ {2}}

von G wirkt auf den Tensorproduktvektorraum

V.1V.2{ displaystyle V_ {1} otimes V_ {2}}

wie folgt:[21]

Wenn

ϕ1{ displaystyle phi _ {1}}

und

ϕ2{ displaystyle phi _ {2}}

Sind Darstellungen einer Lie-Algebra, dann ist die richtige Formel zu verwenden[22]

Dieses Produkt kann als Nebenprodukt einer Kohlegebra erkannt werden. Im Allgemeinen ist das Tensorprodukt irreduzibler Darstellungen nicht irreduzibel; Der Prozess der Zersetzung eines Tensorprodukts als direkte Summe irreduzibler Darstellungen ist als Clebsch-Gordan-Theorie bekannt.

Im Fall der Darstellungstheorie der Gruppe SU (2) (oder gleichwertig ihrer komplexierten Lie-Algebra)

sl(2;;C.){ displaystyle mathrm {sl} (2; mathbb {C})}

) ist die Zersetzung leicht zu erarbeiten.[23] Die irreduziblen Darstellungen sind durch einen Parameter gekennzeichnet

l{ displaystyle l}

das ist eine nicht negative ganze oder halbe ganze Zahl; Die Darstellung hat dann Dimension

2l+1{ displaystyle 2l + 1}

. Angenommen, wir nehmen das Tensorprodukt der Darstellung zweier Darstellungen mit Bezeichnungen

l1{ displaystyle l_ {1}}

und

l2,{ displaystyle l_ {2},}

wo wir annehmen

l1l2{ displaystyle l_ {1} geq l_ {2}}

. Dann zerfällt das Tensorprodukt als direkte Summe von einer Kopie jeder Darstellung mit Etikett

l{ displaystyle l}

, wo

l{ displaystyle l}

reicht von

l1– –l2{ displaystyle l_ {1} -l_ {2}}

zu

l1+l2{ displaystyle l_ {1} + l_ {2}}

in Schritten von 1. Wenn zum Beispiel

l1=l2=1{ displaystyle l_ {1} = l_ {2} = 1}

, dann die Werte von

l{ displaystyle l}

die auftreten, sind 0, 1 und 2. Somit ist die Tensorproduktdarstellung der Dimension

3×3=9{ displaystyle 3 times 3 = 9}

zerlegt sich als direkte Summe einer eindimensionalen Darstellung

(l=0),{ displaystyle (l = 0),}

eine dreidimensionale Darstellung

(l=1),{ displaystyle (l = 1),}

und eine 5-dimensionale Darstellung

(l=2){ displaystyle (l = 2)}

.

Branchen und Themen[edit]

Die Darstellungstheorie ist bemerkenswert für die Anzahl der Zweige und die Vielfalt der Ansätze zur Untersuchung von Darstellungen von Gruppen und Algebren. Obwohl alle Theorien die bereits diskutierten Grundkonzepte gemeinsam haben, unterscheiden sie sich im Detail erheblich. Die Unterschiede sind mindestens dreifach:

  1. Die Darstellungstheorie hängt von der Art des dargestellten algebraischen Objekts ab. Es gibt verschiedene Klassen von Gruppen, assoziative Algebren und Lie-Algebren, und ihre Darstellungstheorien haben alle einen individuellen Geschmack.
  2. Die Darstellungstheorie hängt von der Art des Vektorraums ab, auf dem das algebraische Objekt dargestellt wird. Die wichtigste Unterscheidung besteht zwischen endlichdimensionalen und unendlichdimensionalen Darstellungen. Im unendlichdimensionalen Fall sind zusätzliche Strukturen wichtig (z. B. ob der Raum ein Hilbert-Raum, ein Banach-Raum usw. ist oder nicht). Zusätzliche algebraische Strukturen können auch im endlichdimensionalen Fall auferlegt werden.
  3. Die Darstellungstheorie hängt von der Art des Feldes ab, über das der Vektorraum definiert ist. Die wichtigsten Fälle sind das Feld komplexer Zahlen, das Feld reeller Zahlen, endlicher Felder und Felder p-adischer Zahlen. Zusätzliche Schwierigkeiten ergeben sich für Felder mit positiven Eigenschaften und für Felder, die nicht algebraisch geschlossen sind.

Endliche Gruppen[edit]

Gruppendarstellungen sind ein sehr wichtiges Instrument bei der Untersuchung endlicher Gruppen.[24] Sie entstehen auch bei der Anwendung der Finite-Gruppen-Theorie auf Geometrie und Kristallographie.[25] Darstellungen endlicher Gruppen weisen viele Merkmale der allgemeinen Theorie auf und weisen den Weg zu anderen Zweigen und Themen der Darstellungstheorie.

Über ein Feld der charakteristischen Null die Darstellung einer endlichen Gruppe G hat eine Reihe von praktischen Eigenschaften. Erstens die Darstellungen von G sind halb einfach (vollständig reduzierbar). Dies ist eine Folge des Satzes von Maschke, der besagt, dass jede Unterrepräsentation V. von a G-Darstellung W. hat ein G-invariante Ergänzung. Ein Beweis ist die Wahl einer beliebigen Projektion π von W. zu V. und ersetzen Sie es durch seinen Durchschnitt πG definiert von

πG ist äquivariante und sein Kernel ist die erforderliche Ergänzung.

Das Endliche G-Darstellungen können unter Verwendung der Zeichentheorie verstanden werden: der Charakter einer Darstellung φ:: G → GL (V.) ist die Klassenfunktion χφ:: GF. definiert von

wo

T.r{ displaystyle mathrm {Tr}}

ist die Spur. Eine irreduzible Darstellung von G wird vollständig durch seinen Charakter bestimmt.

Maschkes Satz gilt allgemeiner für Felder mit positiven Eigenschaften p, wie die endlichen Felder, solange die Primzahl p ist Koprime in der Reihenfolge von G. Wann p und |G| haben einen gemeinsamen Faktor, den es gibt G-Darstellungen, die nicht einfach sind und in einer Unterbranche untersucht werden, die als modulare Darstellungstheorie bezeichnet wird.

Mittelungstechniken zeigen auch, dass wenn F. ist die reelle oder komplexe Zahl, dann jede G-Darstellung bewahrt ein inneres Produkt

,{ displaystyle langle cdot, cdot rangle}

auf V. in dem Sinne, dass

für alle G im G und v, w im W.. Daher keine G-Darstellung ist einheitlich.

Einheitliche Darstellungen sind automatisch semisimple, da Maschkes Ergebnis durch die orthogonale Ergänzung einer Unterdarstellung bewiesen werden kann. Wenn Sie Darstellungen von Gruppen untersuchen, die nicht endlich sind, bieten die einheitlichen Darstellungen eine gute Verallgemeinerung der realen und komplexen Darstellungen einer endlichen Gruppe.

Ergebnisse wie das Maschke-Theorem und die einheitliche Eigenschaft, die auf der Mittelung beruhen, können durch Ersetzen des Durchschnitts durch ein Integral auf allgemeinere Gruppen verallgemeinert werden, vorausgesetzt, ein geeigneter Begriff des Integrals kann definiert werden. Dies kann für kompakte topologische Gruppen (einschließlich kompakter Lie-Gruppen) unter Verwendung des Haar-Maßes durchgeführt werden, und die resultierende Theorie ist als abstrakte harmonische Analyse bekannt.

Über beliebige Felder sind die endlichen Gruppen vom Lie-Typ eine weitere Klasse endlicher Gruppen, die eine gute Darstellungstheorie haben. Wichtige Beispiele sind lineare algebraische Gruppen über endlichen Feldern. Die Darstellungstheorie linearer algebraischer Gruppen und Lie-Gruppen erweitert diese Beispiele auf unendlich dimensionale Gruppen, wobei letztere eng mit Lie-Algebra-Darstellungen verbunden sind. Die Bedeutung der Zeichentheorie für endliche Gruppen hat ein Analogon in der Theorie der Gewichte für Darstellungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren.

Darstellungen einer endlichen Gruppe G werden auch über die Gruppenalgebra direkt mit Algebra-Darstellungen verknüpft F.[G], das ist ein Vektorraum über F. mit den Elementen von G als Basis ausgestattet mit der Multiplikationsoperation, die durch die Gruppenoperation, die Linearität und die Anforderung definiert ist, dass die Gruppenoperation und die skalare Multiplikation pendeln.

Modulare Darstellungen[edit]

Modulare Darstellungen einer endlichen Gruppe G sind Darstellungen über einem Feld, dessen Charakteristik nicht gleichzeitig mit | istG, so dass Maschkes Satz nicht mehr gilt (weil |G| ist nicht invertierbar in F. und so kann man nicht dadurch teilen).[26] Trotzdem erweiterte Richard Brauer einen Großteil der Charaktertheorie auf modulare Darstellungen, und diese Theorie spielte eine wichtige Rolle für den frühen Fortschritt bei der Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen, insbesondere für einfache Gruppen, deren Charakterisierung aufgrund ihres Sylow 2 rein gruppentheoretischen Methoden nicht zugänglich war -Untergruppen waren „zu klein“.[27]

Modulare Darstellungen finden sich nicht nur in der Gruppentheorie, sondern auch in anderen Bereichen der Mathematik, wie der algebraischen Geometrie, der Codierungstheorie, der Kombinatorik und der Zahlentheorie.

Einheitliche Darstellungen[edit]

Eine einheitliche Darstellung einer Gruppe G ist eine lineare Darstellung φ von G auf einem realen oder (normalerweise) komplexen Hilbert-Raum V. so dass φ(G) ist ein einheitlicher Operator für jeden GG. Solche Darstellungen sind in der Quantenmechanik seit den 1920er Jahren weit verbreitet, insbesondere dank des Einflusses von Hermann Weyl,[28] und dies hat die Entwicklung der Theorie inspiriert, insbesondere durch die Analyse der Darstellungen der Poincaré-Gruppe durch Eugene Wigner.[29] Einer der Pioniere bei der Konstruktion einer allgemeinen Theorie einheitlicher Darstellungen (für jede Gruppe) G George Mackey war nicht nur für bestimmte Gruppen, die für Anwendungen nützlich sind, sondern auch eine umfassende Theorie, die in den 1950er und 1960er Jahren von Harish-Chandra und anderen entwickelt wurde.[30]

Ein Hauptziel ist es, das „einheitliche Dual“ zu beschreiben, den Raum irreduzibler einheitlicher Darstellungen von G.[31] Die Theorie ist in diesem Fall am besten entwickelt G ist eine lokal kompakte (Hausdorff) topologische Gruppe und die Darstellungen sind stark kontinuierlich.[11] Zum G abelian, das einheitliche dual ist nur der raum der zeichen, während für G kompakt zeigt das Peter-Weyl-Theorem, dass die irreduziblen einheitlichen Darstellungen endlichdimensional und das einheitliche Dual diskret sind.[32] Zum Beispiel wenn G ist die Kreisgruppe S.1Dann werden die Zeichen durch ganze Zahlen angegeben, und das einheitliche Dual ist Z..

Für nicht kompakte GDie Frage, welche Darstellungen einheitlich sind, ist subtil. Obwohl irreduzible einheitliche Darstellungen „zulässig“ sein müssen (als Harish-Chandra-Module) und es leicht zu erkennen ist, welche zulässigen Darstellungen eine nicht entartete invariante sesquilineare Form haben, ist es schwierig zu bestimmen, wann diese Form positiv bestimmt ist. Eine effektive Beschreibung des einheitlichen Duals, selbst für relativ gut erzogene Gruppen wie reale reduktive Lie-Gruppen (siehe unten), bleibt ein wichtiges offenes Problem in der Darstellungstheorie. Es wurde für viele bestimmte Gruppen gelöst, wie z. B. SL (2,R.) und die Lorentz-Gruppe.[33]

Harmonische Analyse[edit]

Die Dualität zwischen der Kreisgruppe S.1 und die ganzen Zahlen Z.oder allgemeiner zwischen einem Torus T.n und Z.n ist in der Analyse als Theorie der Fourier-Reihen bekannt, und die Fourier-Transformation drückt in ähnlicher Weise die Tatsache aus, dass der Raum von Zeichen auf einem realen Vektorraum der duale Vektorraum ist. Somit sind die Theorie der einheitlichen Repräsentation und die Analyse der Harmonischen eng miteinander verbunden, und die Analyse der abstrakten Harmonischen nutzt diese Beziehung aus, indem sie die Analyse von Funktionen auf lokal kompakten topologischen Gruppen und verwandten Räumen entwickelt.[11]

Ein Hauptziel ist es, eine allgemeine Form der Fourier-Transformation und des Plancherel-Theorems bereitzustellen. Dies geschieht durch Konstruktion eines Maßes für das einheitliche Dual und eines Isomorphismus zwischen der regulären Darstellung von G auf dem Raum L.2(G) von quadratisch integrierbaren Funktionen auf G und seine Darstellung auf dem Raum von L.2 Funktionen auf dem einheitlichen Dual. Die Pontrjagin-Dualität und das Peter-Weyl-Theorem erreichen dies für abelisch und kompakt G beziehungsweise.[32][34]

Ein anderer Ansatz besteht darin, alle einheitlichen Darstellungen zu berücksichtigen, nicht nur die irreduziblen. Diese bilden eine Kategorie, und die Tannaka-Kerin-Dualität bietet eine Möglichkeit, eine kompakte Gruppe aus ihrer Kategorie einheitlicher Darstellungen wiederherzustellen.

Wenn die Gruppe weder abelsch noch kompakt ist, ist keine allgemeine Theorie mit einem Analogon des Plancherel-Theorems oder der Fourier-Inversion bekannt, obwohl Alexander Grothendieck die Tannaka-Kerin-Dualität auf eine Beziehung zwischen linearen algebraischen Gruppen und tannakischen Kategorien erweiterte.

Die Oberschwingungsanalyse wurde auch von der Analyse der Funktionen einer Gruppe erweitert G Funktionen auf homogenen Räumen für G. Die Theorie ist besonders gut für symmetrische Räume entwickelt und liefert eine Theorie automorpher Formen (siehe unten).

Lügengruppen[edit]

Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die auch eine glatte Mannigfaltigkeit ist. Viele klassische Gruppen von Matrizen über die reellen oder komplexen Zahlen sind Lie-Gruppen.[35] Viele der in Physik und Chemie wichtigen Gruppen sind Lie-Gruppen, und ihre Darstellungstheorie ist entscheidend für die Anwendung der Gruppentheorie in diesen Bereichen.[9]

Die Darstellungstheorie von Lie-Gruppen kann zunächst unter Berücksichtigung der kompakten Gruppen entwickelt werden, für die Ergebnisse der kompakten Darstellungstheorie gelten.[31] Diese Theorie kann mit Weyls einheitlichem Trick auf endliche dimensionale Darstellungen von halb-einfachen Lie-Gruppen erweitert werden: jede halb-einfache reale Lie-Gruppe G hat eine Komplexifizierung, die eine komplexe Lie-Gruppe ist Gcund diese komplexe Lie-Gruppe hat eine maximal kompakte Untergruppe K.. Die endlichdimensionalen Darstellungen von G entsprechen denen von K..

Eine allgemeine Lie-Gruppe ist ein halbdirektes Produkt einer lösbaren Lie-Gruppe und einer halb-einfachen Lie-Gruppe (Levi-Zerlegung).[36] Die Klassifizierung von Darstellungen lösbarer Lie-Gruppen ist im Allgemeinen nicht möglich, in praktischen Fällen jedoch häufig einfach. Darstellungen von halbdirekten Produkten können dann anhand der genannten allgemeinen Ergebnisse analysiert werden Mackey-TheorieDies ist eine Verallgemeinerung der Methoden, die bei der Klassifizierung von Darstellungen der Poincaré-Gruppe durch Wigner verwendet wurden.

Lügenalgebren[edit]

Eine Lügenalgebra über einem Feld F. ist ein Vektorraum vorbei F. Ausgestattet mit einer schrägsymmetrischen bilinearen Operation namens Lie-Klammer, die die Jacobi-Identität erfüllt. Lie-Algebren entstehen insbesondere als Tangentenräume für Lie-Gruppen am Identitätselement, was zu ihrer Interpretation als „infinitesimale Symmetrien“ führt.[36] Ein wichtiger Ansatz zur Darstellungstheorie von Lie-Gruppen besteht darin, die entsprechende Darstellungstheorie von Lie-Algebren zu untersuchen, aber auch Darstellungen von Lie-Algebren haben ein intrinsisches Interesse.[37]

Lie-Algebren haben wie Lie-Gruppen eine Levi-Zerlegung in halbeinfache und lösbare Teile, wobei die Darstellungstheorie lösbarer Lie-Algebren im Allgemeinen unlösbar ist. Im Gegensatz dazu sind die endlichdimensionalen Darstellungen von halb-einfachen Lie-Algebren nach der Arbeit von Élie Cartan vollständig verstanden. Eine Darstellung einer semisimple Lie-Algebra 𝖌 wird analysiert, indem eine Cartan-Subalgebra ausgewählt wird, die im Wesentlichen eine generische maximale Subalgebra al von 𝖌 ist, bei der die Lie-Klammer Null ist („abelian“). Die Darstellung von 𝖌 kann in Gewichtsräume zerlegt werden, die Eigenräume für die Wirkung von 𝖍 und das infinitesimale Analogon von Zeichen sind. Die Struktur von halb-einfachen Lie-Algebren reduziert dann die Analyse von Darstellungen auf eine leicht verständliche Kombinatorik der möglichen Gewichte, die auftreten können.[36]

Unendlich dimensionale Lie-Algebren[edit]

Es gibt viele Klassen von unendlichdimensionalen Lie-Algebren, deren Darstellungen untersucht wurden. Eine wichtige Klasse sind die Kac-Moody-Algebren.[38] Sie sind nach Victor Kac und Robert Moody benannt, die sie unabhängig voneinander entdeckten. Diese Algebren bilden eine Verallgemeinerung von endlichdimensionalen semisimple Lie-Algebren und teilen viele ihrer kombinatorischen Eigenschaften. Dies bedeutet, dass sie eine Klasse von Darstellungen haben, die auf die gleiche Weise wie Darstellungen von halb-einfachen Lie-Algebren verstanden werden können.

Affine Lie-Algebren sind ein Sonderfall von Kac-Moody-Algebren, die in der Mathematik und theoretischen Physik von besonderer Bedeutung sind, insbesondere in der konformen Feldtheorie und der Theorie genau lösbarer Modelle. Kac entdeckte einen eleganten Beweis für bestimmte kombinatorische Identitäten, Macdonald-Identitäten, der auf der Darstellungstheorie affiner Kac-Moody-Algebren basiert.

Liege Superalgebren[edit]

Lie-Superalgebren sind Verallgemeinerungen von Lie-Algebren, in denen der zugrunde liegende Vektorraum a hat Z.2-grading- und Skew-Symmetrie- und Jacobi-Identitätseigenschaften der Lie-Klammer werden durch Vorzeichen modifiziert. Ihre Darstellungstheorie ähnelt der Darstellungstheorie der Lie-Algebren.[39]

Lineare algebraische Gruppen[edit]

Lineare algebraische Gruppen (oder allgemeiner affine Gruppenschemata) sind Analoga in der algebraischen Geometrie von Lie-Gruppen, jedoch über allgemeinere Felder als nur R. oder C.. Insbesondere über endlichen Feldern entstehen endliche Gruppen vom Lie-Typ. Obwohl lineare algebraische Gruppen eine Klassifikation haben, die der von Lie-Gruppen sehr ähnlich ist, ist ihre Darstellungstheorie ziemlich unterschiedlich (und viel weniger gut verstanden) und erfordert unterschiedliche Techniken, da die Zariski-Topologie relativ schwach ist und Techniken aus der Analyse nicht mehr vorhanden sind verfügbar.[40]

Invariante Theorie[edit]

Die invariante Theorie untersucht Aktionen an algebraischen Varietäten unter dem Gesichtspunkt ihrer Auswirkung auf Funktionen, die Repräsentationen der Gruppe bilden. Klassischerweise befasste sich die Theorie mit der Frage der expliziten Beschreibung von Polynomfunktionen, die sich nicht ändern oder ändern invariantunter den Transformationen aus einer gegebenen linearen Gruppe. Der moderne Ansatz analysiert die Zerlegung dieser Darstellungen in irreduzible Werte.[41]

Die invariante Theorie unendlicher Gruppen ist untrennbar mit der Entwicklung der linearen Algebra verbunden, insbesondere mit den Theorien quadratischer Formen und Determinanten. Ein weiteres Thema mit starker gegenseitiger Beeinflussung ist die projektive Geometrie, bei der die Invarianten-Theorie zur Organisation des Subjekts verwendet werden kann. In den 1960er Jahren wurde dem Thema von David Mumford in Form seiner geometrischen Invarianten-Theorie neues Leben eingehaucht.[42]

Die Darstellungstheorie semisimple Lie-Gruppen hat ihre Wurzeln in der invarianten Theorie[35] und die starken Verbindungen zwischen Darstellungstheorie und algebraischer Geometrie weisen viele Parallelen in der Differentialgeometrie auf, beginnend mit Felix Kleins Erlangen-Programm und Élie Cartans Verbindungen, die Gruppen und Symmetrie in den Mittelpunkt der Geometrie stellen.[43] Moderne Entwicklungen verbinden Repräsentationstheorie und Invarianten-Theorie mit so unterschiedlichen Bereichen wie Holonomie, Differentialoperatoren und der Theorie mehrerer komplexer Variablen.

Automorphe Formen und Zahlentheorie[edit]

Automorphe Formen sind eine Verallgemeinerung modularer Formen auf allgemeinere analytische Funktionen, möglicherweise mehrerer komplexer Variablen, mit ähnlichen Transformationseigenschaften.[44] Die Verallgemeinerung beinhaltet das Ersetzen der modularen Gruppe PSL2 (R.) und eine ausgewählte Kongruenz-Untergruppe durch eine halb-einfache Lie-Gruppe G und eine diskrete Untergruppe Γ. Ebenso können modulare Formen als Differentialformen auf einem Quotienten des oberen Halbraums betrachtet werden H. = PSL2 (R.) / SO (2) können automorphe Formen als Differentialformen (oder ähnliche Objekte) betrachtet werden Γ.G/.K., wo K. ist (typischerweise) eine maximal kompakte Untergruppe von G. Es ist jedoch einige Sorgfalt erforderlich, da der Quotient typischerweise Singularitäten aufweist. Der Quotient einer halb-einfachen Lie-Gruppe durch eine kompakte Untergruppe ist ein symmetrischer Raum, und daher ist die Theorie der automorphen Formen eng mit der Analyse der Harmonischen auf symmetrischen Räumen verbunden.

Vor der Entwicklung der allgemeinen Theorie wurden viele wichtige Sonderfälle im Detail ausgearbeitet, darunter die Hilbert-Modulformen und die Siegel-Modulformen. Wichtige Ergebnisse der Theorie sind die Selberg-Spurenformel und die Erkenntnis von Robert Langlands, dass das Riemann-Roch-Theorem angewendet werden könnte, um die Dimension des Raums automorpher Formen zu berechnen. Der nachfolgende Begriff der „automorphen Darstellung“ hat sich für die Behandlung des Falles als von großem technischen Wert erwiesen G ist eine algebraische Gruppe, die als adelische algebraische Gruppe behandelt wird. Infolgedessen hat sich das Langlands-Programm als ganze Philosophie um die Beziehung zwischen Repräsentation und zahlentheoretischen Eigenschaften automorpher Formen entwickelt.[45]

Assoziative Algebren[edit]

In gewissem Sinne verallgemeinern assoziative Algebra-Darstellungen sowohl Darstellungen von Gruppen als auch Lie-Algebren. Eine Darstellung einer Gruppe induziert eine Darstellung eines entsprechenden Gruppenrings oder einer Gruppenalgebra, während Darstellungen einer Lie-Algebra bijektiv Darstellungen ihrer universellen Hüllalgebra entsprechen. Die Darstellungstheorie allgemeiner assoziativer Algebren hat jedoch nicht alle schönen Eigenschaften der Darstellungstheorie von Gruppen und Lie-Algebren.

Modultheorie[edit]

Wenn man Darstellungen einer assoziativen Algebra betrachtet, kann man das zugrunde liegende Feld vergessen und die assoziative Algebra einfach als Ring und ihre Darstellungen als Module betrachten. Dieser Ansatz ist überraschend fruchtbar: Viele Ergebnisse in der Darstellungstheorie können als Sonderfälle von Ergebnissen über Module über einen Ring interpretiert werden.

Hopf-Algebren und Quantengruppen[edit]

Hopf-Algebren bieten eine Möglichkeit, die Darstellungstheorie assoziativer Algebren zu verbessern, während die Darstellungstheorie von Gruppen und Lie-Algebren als Sonderfälle beibehalten werden. Insbesondere ist das Tensorprodukt zweier Darstellungen eine Darstellung, ebenso wie der duale Vektorraum.

Die Hopf-Algebren, die Gruppen zugeordnet sind, haben eine kommutative Algebra-Struktur, und so werden allgemeine Hopf-Algebren als Quantengruppen bezeichnet, obwohl dieser Begriff häufig auf bestimmte Hopf-Algebren beschränkt ist, die als Deformationen von Gruppen oder deren universelle Hüllalgebren auftreten. Die Darstellungstheorie von Quantengruppen hat der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und Lie-Algebren überraschende Erkenntnisse hinzugefügt, beispielsweise durch die Kristallbasis von Kashiwara.

Verallgemeinerungen[edit]

Mengen-theoretische Darstellungen[edit]

EIN satztheoretische Darstellung (auch als Gruppenaktion bekannt oder Permutationsdarstellung) einer Gruppe G am Set X. ist durch eine Funktion gegeben ρ von G zu X.X., der Satz von Funktionen aus X. zu X., so dass für alle G1, G2 im G und alles x im X.::

Diese Bedingung und die Axiome für eine Gruppe implizieren dies ρ(G) ist eine Bijektion (oder Permutation) für alle G im G. Somit können wir eine Permutationsdarstellung äquivalent als Gruppenhomomorphismus von G zur symmetrischen Gruppe S definierenX. von X..

Darstellungen in anderen Kategorien[edit]

Jede Gruppe G kann als Kategorie mit einem einzelnen Objekt angezeigt werden; Morphismen in dieser Kategorie sind nur die Elemente von G. Gegeben eine beliebige Kategorie C., ein Darstellung von G im C. ist ein Funktor aus G zu C.. Ein solcher Funktor wählt ein Objekt aus X. im C. und ein Gruppenhomomorphismus aus G zu Aut (X.), die Automorphismusgruppe von X..

In dem Fall wo C. ist VectF., die Kategorie der Vektorräume über einem Feld F.Diese Definition entspricht einer linearen Darstellung. Ebenso ist eine satztheoretische Darstellung nur eine Darstellung von G in der Kategorie der Sätze.

Betrachten Sie als weiteres Beispiel die Kategorie der topologischen Räume: oben. Vertretungen in oben sind Homomorphismen aus G zur Homöomorphismusgruppe eines topologischen Raumes X..

Zwei Arten von Darstellungen, die eng mit linearen Darstellungen verwandt sind, sind:

Darstellungen von Kategorien[edit]

Da Gruppen Kategorien sind, kann man auch die Darstellung anderer Kategorien in Betracht ziehen. Die einfachste Verallgemeinerung sind Monoide, die Kategorien mit einem Objekt sind. Gruppen sind Monoide, für die jeder Morphismus invertierbar ist. Allgemeine Monoide haben Darstellungen in jeder Kategorie. In der Kategorie der Mengen sind dies monoide Aktionen, aber monoide Darstellungen auf Vektorräumen und anderen Objekten können untersucht werden.

Allgemeiner kann man die Annahme lockern, dass die dargestellte Kategorie nur ein Objekt hat. Im Allgemeinen ist dies einfach die Theorie der Funktoren zwischen Kategorien, und es kann wenig gesagt werden.

Ein Sonderfall hatte erhebliche Auswirkungen auf die Darstellungstheorie, nämlich die Darstellungstheorie der Köcher.[15] Ein Köcher ist einfach ein gerichteter Graph (mit Schleifen und mehreren Pfeilen erlaubt), aber er kann durch Berücksichtigung von Pfaden im Graph zu einer Kategorie (und auch zu einer Algebra) gemacht werden. Darstellungen solcher Kategorien / Algebren haben verschiedene Aspekte der Darstellungstheorie beleuchtet, beispielsweise indem sie es ermöglichten, Fragen der nicht-semisimple-Darstellungstheorie über eine Gruppe in einigen Fällen auf Fragen der semisimple-Darstellungstheorie über einen Köcher zu reduzieren.

Siehe auch[edit]

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Verweise[edit]

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Externe Links[edit]