Lebesgue-Stieltjes-Integration – Wikipedia

In der messungstheoretischen Analyse und verwandten Zweigen der Mathematik, Lebesgue-Stieltjes-Integration verallgemeinert die Integration von Riemann-Stieltjes und Lebesgue, wobei die vielen Vorteile der ersteren in einem allgemeineren messungstheoretischen Rahmen erhalten bleiben. Das Lebesgue-Stieltjes-Integral ist das gewöhnliche Lebesgue-Integral in Bezug auf ein Maß, das als Lebesgue-Stieltjes-Maß bekannt ist und mit jeder Funktion einer begrenzten Variation auf der realen Linie verbunden sein kann. Das Lebesgue-Stieltjes-Maß ist ein reguläres Borel-Maß, und umgekehrt ist jedes reguläre Borel-Maß auf der realen Linie von dieser Art.

Lebesgue-Stieltjes-Integrale, benannt nach Henri Leon Lebesgue und Thomas Joannes Stieltjes, sind auch bekannt als Lebesgue-Radon-Integrale oder nur Radonintegralenach Johann Radon, dem ein Großteil der Theorie zu verdanken ist. Sie finden gemeinsame Anwendung in Wahrscheinlichkeits- und stochastischen Prozessen sowie in bestimmten Bereichen der Analyse, einschließlich der Potentialtheorie.

Definition[edit]

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral

wird definiert wann

f::[a,b]R.{ displaystyle f: left[a,bright] rightarrow mathbb {R}}

ist Borel-messbar und begrenzt und

G::[a,b]R.{ displaystyle g: left[a,bright] rightarrow mathbb {R}}

ist von begrenzter Variation in [a, b] und rechtskontinuierlich oder wann f ist nicht negativ und G ist monoton und rechtskontinuierlich. Nehmen Sie zunächst an, dass f ist nicht negativ und G ist monoton nicht abnehmend und rechtskontinuierlich. Definieren w((s, t]) = G(t) – G(s) und w({ein}) = 0 (Alternativ arbeitet die Konstruktion für G links durchgehend, w([s,t)) = g(t) − g(s) and w({b}) = 0).

By Carathéodory’s extension theorem, there is a unique Borel measure μg on [a, b] das stimmt mit w in jedem Intervall ich. Die Maßnahme μG ergibt sich aus einem äußeren Maß (in der Tat einem metrischen äußeren Maß), das durch gegeben ist

das Infimum übernahm alle Beläge von E. durch zählbar viele halboffene Intervalle. Diese Maßnahme wird manchmal genannt[1] das Lebesgue-Stieltjes-Maß verknüpft mit G.

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral

ist definiert als das Lebesgue-Integral von f in Bezug auf die Maßnahme μG auf die übliche Weise. Wenn G ist nicht ansteigend, dann definieren

das letztere Integral wird durch die vorhergehende Konstruktion definiert.

Wenn G ist von begrenzter Variation und f begrenzt ist, dann ist es möglich zu schreiben

wo G1(x) = V. x
ein
G
ist die Gesamtvariation von G in der Pause [a, x], und G2(x) = G1(x) – G(x). Beide G1 und G2 sind monoton nicht abnehmend. Nun ist das Lebesgue-Stieltjes-Integral in Bezug auf G ist definiert durch

wobei die beiden letztgenannten Integrale durch die vorhergehende Konstruktion gut definiert sind.

Daniell Integral[edit]

Ein alternativer Ansatz (Hewitt & Stromberg 1965) besteht darin, das Lebesgue-Stieltjes-Integral als das Daniell-Integral zu definieren, das das übliche Riemann-Stieltjes-Integral erweitert. Lassen G eine nicht abnehmende rechtskontinuierliche Funktion sein [a, b]und definieren ich(f ) das Riemann-Stieltjes-Integral sein

für alle stetigen Funktionen f. Das Funktionale ich definiert ein Radonmaß auf [a, b]. Diese Funktion kann dann durch Setzen auf die Klasse aller nicht negativen Funktionen erweitert werden

Für Borel messbare Funktionen hat man

und jede Seite der Identität definiert dann das Lebesgue-Stieltjes-Integral von h. Das äußere Maß μG wird über definiert

wo χEIN ist die Anzeigefunktion von EIN.

Integratoren mit begrenzter Variation werden wie oben behandelt, indem sie in positive und negative Variationen zerlegt werden.

Beispiel[edit]

Nehme an, dass γ :: [a, b] → R.2 ist eine korrigierbare Kurve in der Ebene und ρ:: R.2 → [0, ∞) is Borel measurable. Then we may define the length of γ with respect to the Euclidean metric weighted by ρ to be

Eine Funktion f soll an einem Punkt “regelmäßig” sein ein wenn die rechte und linke Hand begrenzt f(ein+) und f(ein-) existieren, und die Funktion nimmt an ein der Durchschnittswert

Gegeben zwei Funktionen U. und V. von endlicher Variation, wenn an jedem Punkt mindestens einer von U. oder V. ist kontinuierlich oder U. und V. sind beide regulär, dann gilt eine Teileintegrationsformel für das Lebesgue-Stieltjes-Integral:[2]

Hier werden die relevanten Lebesgue-Stieltjes-Maßnahmen mit den rechtskontinuierlichen Versionen der Funktionen verknüpft U. und V.;; das heißt, zu

U.
und V. von endlicher Variation, die dann beide rechtskontinuierlich sind und linke Grenzen haben (sie sind càdlàg-Funktionen)

Lebesgue-Integration[edit]

Wann G(x) = x für alle echt x, dann μG ist das Lebesgue-Maß und das Lebesgue-Stieltjes-Integral von f in Gedenken an G entspricht dem Lebesgue-Integral von f.

Riemann-Stieltjes-Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie[edit]

Wo f ist eine stetige reelle Funktion einer reellen Variablen und v ist eine nicht abnehmende reelle Funktion, das Lebesgue-Stieltjes-Integral entspricht dem Riemann-Stieltjes-Integral. In diesem Fall schreiben wir oft

für das Lebesgue-Stieltjes-Integral, das Maß lassen μv implizit bleiben. Dies ist besonders häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie, wenn v ist die kumulative Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen X., in welchem ​​Fall

(Weitere Informationen zur Behandlung solcher Fälle finden Sie im Artikel zur Integration von Riemann-Stieltjes.)

  1. ^ Halmos (1974), Sec. 15
  2. ^ Hewitt, Edwin (Mai 1960). “Integration nach Teilen für Stieltjes-Integrale”. The American Mathematical Monthly. 67 (5): 419–423. doi:10.2307 / 2309287. JSTOR 2309287.

Verweise[edit]

  • Halmos, Paul R. (1974), Theorie messen, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9
  • Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Reale und abstrakte Analyse, Springer-Verlag.
  • Saks, Stanislaw (1937) Theorie des Integrals.
  • Shilov, GE und Gurevich, BL, 1978. Integral, Measure und Derivative: Ein einheitlicher AnsatzRichard A. Silverman, trans. Dover-Veröffentlichungen. ISBN 0-486-63519-8.