Macbeath Oberfläche – Wikipedia

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In der Riemannschen Oberflächentheorie und der hyperbolischen Geometrie ist die Macbeath Oberfläche, auch genannt Macbeaths Kurve oder der Fricke-Macbeath-Kurveist die Gattung-7 Hurwitz Oberfläche.

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Die Automorphismusgruppe der Macbeath-Oberfläche ist die einfache Gruppe PSL (2,8), die aus 504 Symmetrien besteht.[1]

Aufbau einer Dreiecksgruppe[edit]

Die Fuchssche Gruppe der Oberfläche kann als Hauptkongruenz-Untergruppe der (2,3,7) -Dreieckgruppe in einem geeigneten Turm von Hauptkongruenz-Untergruppen konstruiert werden. Hier wird die Auswahl der Quaternionsalgebra und der Hurwitz-Quaternionsreihenfolge auf der Seite der Dreiecksgruppe beschrieben. Das Ideal wählen

⟨2⟩{ displaystyle langle 2 rangle}

im Ring der ganzen Zahlen definiert die entsprechende Hauptkongruenz-Untergruppe diese Oberfläche der Gattung 7. Ihre Systole beträgt etwa 5,796, und die Anzahl der systolischen Schleifen beträgt nach den Berechnungen von R. Vogeler 126.

Historische Anmerkung[edit]

Diese Oberfläche wurde ursprünglich von Robert Fricke (1899) entdeckt, aber aufgrund seiner späteren unabhängigen Wiederentdeckung derselben Kurve nach Alexander Murray Macbeath benannt.[2] Elkies schreibt, dass die Äquivalenz zwischen den von Fricke und Macbeath untersuchten Kurven “möglicherweise zuerst von Serre in einem Brief an Abhyankar vom 24.vii.1990 beobachtet wurde”.[3]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  • Berry, Kevin; Tretkoff, Marvin (1992), “Die Periodenmatrix von Macbeaths Kurve der Gattung sieben”, Kurven, Jacobianer und abelsche Sorten, Amherst, MA, 1990, Vorsehung, RI: Contemp. Math., 136, Amer. Mathematik. Soc., S. 31–40, doi:10.1090 / conm / 136/1188192, HERR 1188192.
  • Bujalance, Emilio; Costa, Antonio F. (1994), “Untersuchung der Symmetrien der Macbeath-Oberfläche”, Mathematische Beiträge, Madrid: Editorial Complutense, S. 375–385, MR 1303808.
  • Elkies, ND (1998), “Shimura-Kurvenberechnungen”, in Bühler, Joe P. (Hrsg.), Algorithmische Zahlentheorie: Drittes Internationales Symposium, ANTS-III, Lecture Notes in Computer Science, 1423, Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 1423, S. 1–47, arXiv:math.NT / 0005160, doi:10.1007 / BFb0054849, ISBN 3-540-64657-4.
  • Fricke, R. (1899), “Ueber eine leichte Gruppe von 504 Operationen” (PDF), Mathematische Annalen, 52 (2–3): 321–339, doi:10.1007 / BF01476163.
  • Gofmann, R. (1989), “Weierstrass zeigt auf Macbeaths Kurve”, Vestnik Moskov. Univ. Ser. Ich bin am. Mekh., 104 (5): 31–33, MR 1029778. Übersetzung in Moskau Univ. Mathematik. Stier. 44 (1989), Nr. 5, 37–40.
  • Macbeath, A. (1965), “Auf einer Kurve der Gattung 7”, Verfahren der London Mathematical Society, 15: 527–542, doi:10.1112 / plms / s3-15.1.527.
  • Vogeler, R. (2003), “Zur Geometrie von Hurwitz-Oberflächen”, Diplomarbeit der Florida State University.
  • Wohlfahrt, K. (1985), “Macbeaths Kurve und die modulare Gruppe”, Glasgow Math. J. J., 27: 239–247, doi:10.1017 / S0017089500006212, HERR 0819842. Berichtigung, vol. 28, nein. 2, 1986, p. 241, MR0848433.


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