[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki24\/2021\/10\/15\/zufallsmatrix-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki24\/2021\/10\/15\/zufallsmatrix-wikipedia\/","headline":"Zufallsmatrix \u2013 Wikipedia","name":"Zufallsmatrix \u2013 Wikipedia","description":"before-content-x4 Matrixbewertete Zufallsvariable after-content-x4 In Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischer Physik, a Zufallsmatrix ist eine Zufallsvariable mit Matrixwert, d. h. eine Matrix,","datePublished":"2021-10-15","dateModified":"2021-10-15","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki24\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki24\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e4c4b8188957260df15d9873fac7c10112c11add","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e4c4b8188957260df15d9873fac7c10112c11add","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki24\/2021\/10\/15\/zufallsmatrix-wikipedia\/","wordCount":22660,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Matrixbewertete Zufallsvariable       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4In Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischer Physik, a Zufallsmatrix ist eine Zufallsvariable mit Matrixwert, d. h. eine Matrix, in der einige oder alle Elemente Zufallsvariablen sind.  Viele wichtige Eigenschaften physikalischer Systeme lassen sich mathematisch als Matrixprobleme darstellen.  Beispielsweise kann die W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit eines Gitters aus der dynamischen Matrix der Partikel-Partikel-Wechselwirkungen innerhalb des Gitters berechnet werden.Table of ContentsAnwendungen[edit]Physik[edit]Mathematische Statistik und numerische Analysis[edit]Zahlentheorie[edit]Theoretische Neurowissenschaften[edit]Optimale Kontrolle[edit]Gau\u00dfsche Ensembles[edit]Verteilung der Ebenenabst\u00e4nde[edit]Verallgemeinerungen[edit]Spektraltheorie zuf\u00e4lliger Matrizen[edit]Globales Regime[edit]Empirische Spektralmessung[edit]Schwankungen[edit]Lokales Regime[edit]Massenstatistiken[edit]Kantenstatistik[edit]Korrelationsfunktionen[edit]Andere Klassen von Zufallsmatrizen[edit]Wishart-Matrizen[edit]Zuf\u00e4llige unit\u00e4re Matrizen[edit]Nicht-hermitesche Zufallsmatrizen[edit]Leitfaden f\u00fcr Referenzen[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Anwendungen[edit]Physik[edit]In der Kernphysik wurden von Eugene Wigner Zufallsmatrizen eingef\u00fchrt, um die Kerne schwerer Atome zu modellieren.[1]  Er postulierte, dass die Abst\u00e4nde zwischen den Linien im Spektrum eines schweren Atomkerns den Abst\u00e4nden zwischen den Eigenwerten einer Zufallsmatrix \u00e4hneln und nur von der Symmetrieklasse der zugrunde liegenden Evolution abh\u00e4ngen sollten.[2]  In der Festk\u00f6rperphysik modellieren Zufallsmatrizen das Verhalten gro\u00dfer ungeordneter Hamiltonoperatoren in der Mean-Field-Approximation.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Im Quantenchaos behauptet die Bohigas-Giannoni-Schmit (BGS)-Vermutung, dass die Spektralstatistik von Quantensystemen, deren klassische Gegenst\u00fccke chaotisches Verhalten aufweisen, durch die Zufallsmatrixtheorie beschrieben wird.[3]In der Quantenoptik sind Transformationen, die durch zuf\u00e4llige unit\u00e4re Matrizen beschrieben werden, entscheidend, um den Vorteil von Quanten gegen\u00fcber klassischer Berechnung zu demonstrieren (siehe zB das Boson-Sampling-Modell).[4]  Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen solche zuf\u00e4lligen einheitlichen Transformationen direkt in einer optischen Schaltung implementiert werden, indem ihre Parameter auf optische Schaltungskomponenten (d. h. Strahlteiler und Phasenschieber) abgebildet werden.[5]Die Zufallsmatrixtheorie hat auch Anwendungen f\u00fcr den chiralen Dirac-Operator in der Quantenchromodynamik gefunden.[6]Quantengravitation in zwei Dimensionen,[7]mesoskopische Physik,[8]Spin-Transfer-Drehmoment,[9]  der fraktionale Quanten-Hall-Effekt,[10]Anderson-Lokalisierung,[11]Quantenpunkte,[12]  und Supraleiter[13]Mathematische Statistik und numerische Analysis[edit]In der multivariaten Statistik wurden von John Wishart Zufallsmatrizen f\u00fcr die statistische Analyse gro\u00dfer Stichproben eingef\u00fchrt;[14]  siehe Sch\u00e4tzung von Kovarianzmatrizen.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Es wurden signifikante Ergebnisse gezeigt, die die klassischen skalaren Chernoff-, Bernstein- und Hoeffding-Ungleichungen auf die gr\u00f6\u00dften Eigenwerte endlicher Summen von zuf\u00e4lligen Hermiteschen Matrizen erweitern.[15]    Korollarergebnisse werden f\u00fcr die maximalen Singul\u00e4rwerte von rechteckigen Matrizen abgeleitet.In der numerischen Analysis werden seit den Arbeiten von John von Neumann und Herman Goldstine Zufallsmatrizen verwendet[16]  Berechnungsfehler bei Operationen wie der Matrixmultiplikation zu beschreiben.  Siehe auch[17][18]  f\u00fcr neuere Ergebnisse.Zahlentheorie[edit]In der Zahlentheorie wird die Verteilung der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion (und anderer L-Funktionen) durch die Verteilung der Eigenwerte bestimmter Zufallsmatrizen modelliert.[19]  Die Verbindung wurde zuerst von Hugh Montgomery und Freeman J. Dyson entdeckt.  Es ist mit der Hilbert-P\u00f3lya-Vermutung verbunden.Theoretische Neurowissenschaften[edit]Auf dem Gebiet der theoretischen Neurowissenschaften werden zunehmend Zufallsmatrizen verwendet, um das Netzwerk synaptischer Verbindungen zwischen Neuronen im Gehirn zu modellieren.  Dynamische Modelle neuronaler Netze mit zuf\u00e4lliger Konnektivit\u00e4tsmatrix zeigen einen Phasen\u00fcbergang ins Chaos[20]    wenn die Varianz der synaptischen Gewichte einen kritischen Wert \u00fcberschreitet, an der Grenze der unendlichen Systemgr\u00f6\u00dfe.  Die statistischen Eigenschaften des Spektrums biologisch inspirierter Zufallsmatrixmodelle mit dem dynamischen Verhalten zuf\u00e4llig verbundener neuronaler Netze in Beziehung zu setzen, ist ein intensives Forschungsthema.[21][22][23][24][25]Optimale Kontrolle[edit]In der Theorie der optimalen Kontrolle ist die Entwicklung von n  Zustandsvariablen im Laufe der Zeit h\u00e4ngt zu jeder Zeit von ihren eigenen Werten und von den Werten von ab k Steuervariablen.  Bei der linearen Evolution erscheinen Koeffizientenmatrizen in der Zustandsgleichung (Evolutionsgleichung).  Bei einigen Problemen sind die Werte der Parameter in diesen Matrizen nicht mit Sicherheit bekannt, in diesem Fall gibt es zuf\u00e4llige Matrizen in der Zustandsgleichung und das Problem wird als stochastische Kontrolle bezeichnet.[26]: CH.  13[27][28] Ein wesentliches Ergebnis bei der linear-quadratischen Regelung mit stochastischen Matrizen ist, dass das Gewissheits\u00e4quivalenzprinzip nicht gilt: w\u00e4hrend ohne Multiplikatorunsicherheit (d. h. mit nur additiver Unsicherheit) die optimale Politik mit einer quadratischen Verlustfunktion mit was entschieden w\u00fcrde, wenn die Unsicherheit ignoriert w\u00fcrde, gilt dies bei Vorhandensein von Zufallskoeffizienten in der Zustandsgleichung nicht mehr.Gau\u00dfsche Ensembles[edit]Die am h\u00e4ufigsten untersuchten Zufallsmatrix-Ensembles sind die Gau\u00dfschen Ensembles.Die Gau\u00dfsches Einheitsensemble GUE(n){displaystyle {text{GUE}}(n)}  wird durch das Gau\u00df-Ma\u00df mit Dichte . beschrieben1ZGUE(n)e\u2212n2TRh2{displaystyle {frac {1}{Z_{{text{GUE}}(n)}}}e^{-{frac {n}{2}}mathrm {tr} H^{2}} }auf dem raum von n\u00d7n{displaystyle nmal n}  Hermitesche Matrizen h=(hichJ)ich,J=1n{displaystyle H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}}.  HierZGUE(n)=2n\/2\u03c012n2{displaystyle Z_{{text{GUE}}(n)}=2^{n\/2}pi^{{frac {1}{2}}n^{2}}}  ist eine Normierungskonstante, die so gew\u00e4hlt wird, dass das Integral der Dichte gleich eins ist.  Der Begriff einheitlich bezieht sich auf die Tatsache, dass die Verteilung bei unit\u00e4rer Konjugation invariant ist.  Das Gau\u00dfsche unit\u00e4re Ensemble modelliert Hamilton-Operatoren ohne Zeitumkehrsymmetrie.Die Gau\u00dfsches orthogonales Ensemble GO(n){displaystyle {text{GOE}}(n)}  wird durch das Gau\u00df-Ma\u00df mit Dichte . beschrieben1ZGO(n)e\u2212n4TRh2{displaystyle {frac {1}{Z_{{text{GOE}}(n)}}}e^{-{frac {n}{4}}mathrm {tr} H^{2}} }auf dem raum von n \u00d7 n echte symmetrische Matrizen h = (hij)nich,J=1.  Seine Verteilung ist bei orthogonaler Konjugation invariant, und es modelliert Hamilton-Operatoren mit Zeitumkehrsymmetrie.Die Gau\u00dfsches symplektisches Ensemble GSE(n){displaystyle {text{GSE}}(n)}  wird durch das Gau\u00df-Ma\u00df mit Dichte . beschrieben1ZGSE(n)e\u2212nTRh2{displaystyle {frac {1}{Z_{{text{GSE}}(n)}}}e^{-nmathrm {tr} H^{2}},}auf dem raum von n \u00d7 n Hermitesche quaternionische Matrizen, zB symmetrische quadratische Matrizen aus Quaternionen, h = (hij)nich,J=1.  Seine Verteilung ist bei Konjugation durch die symplektische Gruppe invariant, und es modelliert Hamilton-Operatoren mit Zeitumkehrsymmetrie, aber ohne Rotationssymmetrie.Die Gau\u00dfschen Ensembles GOE, GUE und GSE werden oft mit ihrem Dyson-Index bezeichnet, \u03b2 = 1 f\u00fcr GOE, \u03b2 = 2 f\u00fcr GUE, und \u03b2 = 4 f\u00fcr GSE.  Dieser Index z\u00e4hlt die Anzahl der reellen Komponenten pro Matrixelement.  Die hier definierten Ensembles haben Gau\u00df-verteilte Matrixelemente mit Mittelwert \u27e8hij\u27e9 = 0, und Zweipunkt-Korrelationen gegeben durchIchhichJhmn*Ich=IchhichJhnmIch=1n\u03b4ichm\u03b4Jn+2\u2212\u03b2n\u03b2\u03b4ichn\u03b4Jm{displaystyle langle H_{ij}H_{mn}^{*}rangle =langle H_{ij}H_{nm}rangle ={frac {1}{n}}delta_{im} Delta_{jn}+{frac{2-beta}{nbeta}}delta_{in}delta_{jm}},woraus alle h\u00f6heren Korrelationen nach dem Satz von Isserlis folgen.Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte f\u00fcr die Eigenwerte \u03bb1,\u03bb2,…,\u03bbn  von GUE\/GOE\/GSE ist gegeben durch1Z\u03b2,n\u03a0k=1ne\u2212\u03b2n4\u03bbk2\u03a0ich\u03bbich|\u03b2 ,(1){displaystyle {frac {1}{Z_{beta,n}}}prod_{k=1}^{n}e^{-{frac {beta n}{4}}lambda_ {k}^{2}}prod_{iwo Z\u03b2,n  ist eine Normierungskonstante, die explizit berechnet werden kann, siehe Selberg-Integral.  Im Fall von GUE (\u03b2 = 2), die Formel (1) beschreibt einen determinanten Punktprozess.  Eigenwerte sto\u00dfen sich ab, da die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte eine Null (von \u03b2{displaystyle beta}Ordnung) f\u00fcr \u00fcbereinstimmende Eigenwerte \u03bbJ=\u03bbich{displaystyle lambda_{j}=lambda_{i}}.Zur Verteilung des gr\u00f6\u00dften Eigenwerts f\u00fcr GOE-, GUE- und Wishart-Matrizen endlicher Dimensionen siehe.[29]Verteilung der Ebenenabst\u00e4nde[edit]Aus der geordneten Folge von Eigenwerten \u03bb1n{displaystyle lambda_{1}\u03bbn)\/IchSIch{displaystyle s=(lambda_{n+1}-lambda_{n})\/langle srangle}, wo IchSIch=Ich\u03bbn+1\u2212\u03bbnIch{displaystyle langle srangle =langle lambda_{n+1}-lambda_{n}rangle}  ist der mittlere Abstand.  Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Abst\u00e4nde ist n\u00e4herungsweise gegeben durchP1(S)=\u03c02Se\u2212\u03c04S2{displaystyle p_{1}(s)={frac {pi}{2}}s,mathrm {e} ^{-{frac {pi }{4}}s^{2}} }f\u00fcr das orthogonale Ensemble GOE \u03b2=1{displaystyle beta=1},P2(S)=32\u03c02S2e\u22124\u03c0S2{displaystyle p_{2}(s)={frac {32}{pi^{2}}}s^{2}mathrm {e} ^{-{frac {4}{pi}} s^{2}}}f\u00fcr das unit\u00e4re Ensemble GUE \u03b2=2{displaystyle beta =2}, undP4(S)=21836\u03c03S4e\u2212649\u03c0S2{displaystyle p_{4}(s)={frac {2^{18}}{3^{6}pi^{3}}}s^{4}mathrm {e} ^{-{ frac {64}{9pi}}s^{2}}}f\u00fcr das symplektische Ensemble GSE \u03b2=4{displaystyle beta =4}.Die numerischen Konstanten sind so, dass P\u03b2(S){displaystyle p_{beta}(s)}  ist normalisiert:\u222b0\u221eDSP\u03b2(S)=1{displaystyle int_{0}^{infty}ds,p_{beta}(s)=1}und der mittlere Abstand ist\u222b0\u221eDSSP\u03b2(S)=1,{displaystyle int_{0}^{infty}ds,s,p_{beta}(s)=1,}zum \u03b2=1,2,4{displaystyle beta=1,2,4}.Verallgemeinerungen[edit]Wigner-Matrizen sind zuf\u00e4llige hermitesche Matrizen hn=(hn(ich,J))ich,J=1n{displaystyle textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}  so dass die Eintr\u00e4ge{hn(ich,J) ,1\u2264ich\u2264J\u2264n}{displaystyle left{H_{n}(i,j)~,,1leq ileq jleq nright}}oberhalb der Hauptdiagonalen befinden sich unabh\u00e4ngige Zufallsvariablen mit Nullmittelwert und identischen zweiten Momenten.Invariante Matrixensembles sind zuf\u00e4llige hermitesche Matrizen mit Dichte auf dem Raum reeller symmetrischer\/ hermitescher\/ quaternionischer hermitescher Matrizen, die von der Form1Zne\u2212nTRV(h) ,{displaystyle textstyle {frac {1}{Z_{n}}}e^{-nmathrm {tr} V(H)}~,}wo die Funktion V hei\u00dft Potenzial.Die Gau\u00dfschen Ensembles sind die einzigen gemeinsamen Spezialf\u00e4lle dieser beiden Klassen von Zufallsmatrizen.Spektraltheorie zuf\u00e4lliger Matrizen[edit]Die Spektraltheorie der Zufallsmatrizen untersucht die Verteilung der Eigenwerte, wenn die Gr\u00f6\u00dfe der Matrix ins Unendliche geht.Globales Regime[edit]In dem globales Regime, interessiert man sich f\u00fcr die Verteilung der linearen Statistik der Form nF,h=n\u22121trF(h){displaystyle N_{f,H}=n^{-1}{text{tr}}f(H)}.Empirische Spektralmessung[edit]Die empirisches spektrales Ma\u00df \u03bch  von h ist definiert durch\u03bch(EIN)=1n#{Eigenwerte von h in EIN}=n1EIN,h,EIN\u2282R.{displaystyle mu_{H}(A)={frac{1}{n}},#left{{text{Eigenwerte von }}H{text{ in }}Aright }=N_{1_{A},H},quad ATeilmenge mathbb{R} .}Normalerweise ist die Grenze von \u03bch{displaystyle mu_{H}}  ist ein deterministisches Ma\u00df;  dies ist ein besonderer Fall der Selbstmittelung.  Die kumulative Verteilungsfunktion des Grenzma\u00dfes hei\u00dft integrierte Zustandsdichte und hei\u00dft n(\u03bb).  Ist die integrierte Zustandsdichte differenzierbar, so nennt man ihre Ableitung Zustandsdichte und hei\u00dft \u03c1(\u03bb).Die Grenze des empirischen Spektralma\u00dfes f\u00fcr Wigner-Matrizen wurde von Eugene Wigner beschrieben;  siehe Wigner-Halbkreisverteilung und Wigner-Vermutung.  Bez\u00fcglich der Kovarianzmatrizen der Stichprobe wurde eine Theorie von Mar\u010denko und Pastur entwickelt.[30][31]Die Grenze des empirischen Spektralma\u00dfes invarianten Matrixensembles wird durch eine bestimmte Integralgleichung beschrieben, die sich aus der Potentialtheorie ergibt.[32]Schwankungen[edit]F\u00fcr die lineare Statistik nF,h = n-1 \u03a3 F(\u03bbJ), interessiert man sich auch f\u00fcr die Schwankungen um \u222b F(\u03bb) dN(\u03bb).  F\u00fcr viele Klassen von Zufallsmatrizen gilt ein zentraler Grenzwertsatz der FormnF,h\u2212\u222bF(\u03bb)Dn(\u03bb)\u03c3F,n\u27f6Dn(0,1){displaystyle {frac {N_{f,H}-int f(lambda),dN(lambda)}{sigma_{f,n}}}{overset {D}{longrightarrow} }N(0,1)}ist bekannt, siehe,[33][34]  usw.Lokales Regime[edit]In dem lokales Regime, interessiert man sich f\u00fcr die Abst\u00e4nde zwischen den Eigenwerten und allgemeiner f\u00fcr die gemeinsame Verteilung der Eigenwerte in einem Intervall der L\u00e4nge der Ordnung 1\/n.  Man unterscheidet zwischen Bulk-Statistiken, die sich auf Intervalle innerhalb des Tr\u00e4gers des begrenzenden Spektralma\u00dfes beziehen, und Kantenstatistik, die sich auf Intervalle nahe der Grenze des Tr\u00e4gers beziehen.Massenstatistiken[edit]Formell beheben \u03bb0{displaystyle lambda _{0}}  im Inneren der Unterst\u00fctzung von n(\u03bb){displaystyle N(lambda)}.  Betrachten Sie dann den Punktprozess\u039e(\u03bb0)=\u03a3J\u03b4(\u22c5\u2212n\u03c1(\u03bb0)(\u03bbJ\u2212\u03bb0)) ,{displaystyle Xi(lambda_{0})=sum_{j}delta {Big(}{cdot}-nrho(lambda_{0})(lambda_{j} -lambda_{0}){Gro\u00df)}~,}wo \u03bbJ{displaystyle lambda_{j}}  sind die Eigenwerte der Zufallsmatrix.Der Punktprozess \u039e(\u03bb0){displaystyle Xi (lambda_{0})}  erfasst die statistischen Eigenschaften von Eigenwerten in der N\u00e4he von \u03bb0{displaystyle lambda _{0}}.  F\u00fcr die Gau\u00dfschen Ensembles ist der Grenzwert von \u039e(\u03bb0){displaystyle Xi (lambda_{0})}  ist bekannt;[2]  f\u00fcr GUE ist es also ein determinanter Punktprozess mit dem KernelK(x,ja)=S\u00fcnde\u2061\u03c0(x\u2212ja)\u03c0(x\u2212ja){displaystyle K(x,y)={frac {sinpi(xy)}{pi(xy)}}}(das Sinuskern).Die Universalit\u00e4t Prinzip postuliert, dass der Grenzwert von \u039e(\u03bb0){displaystyle Xi (lambda_{0})}  wie n\u2192\u221e{displaystyle nto infty}  sollte nur von der Symmetrieklasse der Zufallsmatrix abh\u00e4ngen (und weder vom spezifischen Modell der Zufallsmatrizen noch von \u03bb0{displaystyle lambda _{0}}).  Dies wurde f\u00fcr mehrere Modelle von Zufallsmatrizen rigoros bewiesen: f\u00fcr invariante Matrixensembles[35][36]f\u00fcr Wigner-Matrizen,[37][38]usw.Kantenstatistik[edit]Siehe Tracy-Widom-Verteilung.Korrelationsfunktionen[edit]Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte der Eigenwerte von n\u00d7n{displaystyle nmal n}  zuf\u00e4llige hermitesche Matrizen m\u2208hn\u00d7n{displaystyle Minmathbf{H}^{ntimes n}}, mit Partitionsfunktionen der FormZn=\u222bm\u2208hn\u00d7nD\u03bc0(m)etr(V(m)){displaystyle Z_{n}=int_{Minmathbf{H}^{ntimes n}}dmu_{0}(M)e^{{text{tr}}(V (M))}}woV(x):=\u03a3J=1\u221evJxJ{displaystyle V(x):=sum_{j=1}^{infty}v_{j}x^{j}}und D\u03bc0(m){displaystyle dmu_{0}(M)}  ist das Standardma\u00df von Lebesgue f\u00fcr den Raum hn\u00d7n{displaystylemathbf{H}^{ntimes n}}  von Hermitian n\u00d7n{displaystyle nmal n}  Matrizen, ist gegeben durchPn,V(x1,\u2026,xn)=1Zn,V\u03a0ich\u03a3ichV(xich).{displaystyle p_{n,V}(x_{1},dots,x_{n})={frac {1}{Z_{n,V}}}prod_{iDie k{displaystyle k}-Punktkorrelationsfunktionen (oder Randverteilungen) sind definiert alsRn,V(k)(x1,\u2026,xk)=n!(n\u2212k)!\u222bRDxk+1\u2026\u222bRDxnPn,V(x1,x2,\u2026,xn),{displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},dots,x_{k})={frac {n!}{(nk)!}}int_{mathbf {R} }dx_{k+1}dotsint_{mathbb{R}}dx_{n},p_{n,V}(x_{1},x_{2},dots ,x_{ n}),}die schiefsymmetrische Funktionen ihrer Variablen sind.  Insbesondere die Ein-Punkt-Korrelationsfunktion, oder Dichte der Staaten, istRn,V(1)(x1)=n\u222bRDx2\u2026\u222bRDxnPn,V(x1,x2,\u2026,xn).{displaystyle R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=nint _{mathbb {R} }dx_{2}dots int _{mathbf {R} }dx_ {n},p_{n,V}(x_{1},x_{2},dots,x_{n}).}Sein Integral \u00fcber einer Borel-Menge B\u2282R{displaystyle Bsubset mathbf {R}}  gibt die erwartete Anzahl von Eigenwerten in B{displaystyle B}:\u222bBRn,V(1)(x)Dx=E(#{Eigenwerte in B}).{displaystyle int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=mathbf {E} left(#{{text{Eigenwerte in }}B} rechts).}Das folgende Ergebnis dr\u00fcckt diese Korrelationsfunktionen als Determinanten der Matrizen aus, die aus der Auswertung des entsprechenden Integralkerns an den Paaren . gebildet werden (xich,xJ){displaystyle (x_{i},x_{j})}  der Punkte, die innerhalb des Korrelators erscheinen.Satz [Dyson-Mehta] F\u00fcr alle  k{displaystyle k}, 1\u2264k\u2264n{displaystyle 1leq kleq n}  das k{displaystyle k}-PunktkorrelationsfunktionRn,V(k){displaystyle R_{n,V}^{(k)}}  kann als Determinante geschrieben werdenRn,V(k)(x1,x2,\u2026,xk)=det1\u2264ich,J\u2264k(Kn,V(xich,xJ)),{displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},dots,x_{k})=det_{1leq i,jleq k} links(K_{n,V}(x_{i},x_{j})rechts),}wo Kn,V(x,ja){displaystyle K_{n,V}(x,y)}  ist der n{displaystyle n}Christoffel-Darboux-KernelKn,V(x,ja):=\u03a3k=0n\u22121\u03c8n(x)\u03c8n(ja),{displaystyle K_{n,V}(x,y):=sum_{k=0}^{n-1}psi_{n}(x)psi_{n}(y),}verbunden sein mit V{displaystyle V}, geschrieben in Form der Quasipolynome\u03c8k(x)=1hkPk(z)e\u221212V(z),{displaystyle psi_{k}(x)={1 over {sqrt {h_{k}}}},p_{k}(z),{rm {e}}^{-{ 1 \u00fcber 2}V(z)},}wo {Pk(x)}k\u2208n{displaystyle {p_{k}(x)}_{kinmathbf{N}}}  ist eine vollst\u00e4ndige Folge von monischen Polynomen der angegebenen Grade, die die Orthogonilit\u00e4tsbedingungen erf\u00fcllen\u222bR\u03c8J(x)\u03c8k(x)Dx=\u03b4Jk.{displaystyle int_{mathbf{R}}psi_{j}(x)psi_{k}(x)dx=delta_{jk}.}Andere Klassen von Zufallsmatrizen[edit]Wishart-Matrizen[edit]Wishart-Matrizen sind n \u00d7 n Zufallsmatrizen der Form h = x x*, wo x ist ein n \u00d7 m Zufallsmatrix (m \u2265 n) mit unabh\u00e4ngigen Eintr\u00e4gen und x* ist seine konjugierte Transponierte.  In dem von Wishart betrachteten wichtigen Sonderfall sind die Eintr\u00e4ge von x sind identisch verteilte Gau\u00dfsche Zufallsvariablen (entweder reell oder komplex).Die Grenze des empirischen Spektralma\u00dfes von Wishart-Matrizen wurde gefunden[30]  von Vladimir Marchenko und Leonid Pastur, siehe Marchenko-Pastur Distribution.Zuf\u00e4llige unit\u00e4re Matrizen[edit]Siehe Kreisensembles.Nicht-hermitesche Zufallsmatrizen[edit]Siehe Rundschreiben.Leitfaden f\u00fcr Referenzen[edit]Verweise[edit]^ ein B Wigner, E. (1955).  \u201eCharakteristische Vektoren von umrandeten Matrizen mit unendlichen Dimensionen\u201c. Annalen der Mathematik. 62 (3): 548\u2013564.  mach:10.2307\/1970079.  JSTOR 19710079.^ ein B C Mehta, ML (2004). Zuf\u00e4llige Matrizen.  Amsterdam: Elsevier\/Akademische Presse.  ISBN 0-12-088409-7.^ Bohigas, O.;  Giannoni, MJ;  Schmit, Schmit (1984).  \u201eCharakterisierung chaotischer Quantenspektren und Universalit\u00e4t der Pegelfluktuationsgesetze\u201c. Phys.  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