[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/10\/31\/bedingte-wahrscheinlichkeitsverteilung-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/10\/31\/bedingte-wahrscheinlichkeitsverteilung-wikipedia\/","headline":"Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung \u2013 Wikipedia","name":"Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung \u2013 Wikipedia","description":"before-content-x4 In Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik bei zwei gemeinsam verteilten Zufallsvariablen x{displaystyle X} und Ja{displaystyle Y} , das bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von","datePublished":"2021-10-31","dateModified":"2021-10-31","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/10\/31\/bedingte-wahrscheinlichkeitsverteilung-wikipedia\/","wordCount":13740,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4In Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik bei zwei gemeinsam verteilten Zufallsvariablen x{displaystyle X}    und Ja{displaystyle Y}, das bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ja gegeben x ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ja{displaystyle Y}  Wenn   x{displaystyle X}  ist als besonderer Wert bekannt;  in einigen F\u00e4llen k\u00f6nnen die bedingten Wahrscheinlichkeiten als Funktionen ausgedr\u00fcckt werden, die den nicht spezifizierten Wert enthalten x{displaystyle x}  von x{displaystyle X}  als Parameter.  Wenn beide x{displaystyle X}  und   Ja{displaystyle Y}  kategoriale Variablen sind, wird normalerweise eine bedingte Wahrscheinlichkeitstabelle verwendet, um die bedingte Wahrscheinlichkeit darzustellen.  Die bedingte Verteilung steht im Gegensatz zur Randverteilung einer Zufallsvariablen, also ihrer Verteilung ohne Bezug auf den Wert der anderen Variablen.Wenn die bedingte Verteilung von Ja{displaystyle Y}  gegeben x{displaystyle X}  eine stetige Verteilung ist, dann ist ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bekannt als bedingte Dichtefunktion.[1]  Die Eigenschaften einer bedingten Verteilung, wie beispielsweise die Momente, werden oft mit entsprechenden Namen wie dem bedingten Mittelwert und der bedingten Varianz bezeichnet.Allgemeiner kann man sich auf die bedingte Verteilung einer Teilmenge einer Menge von mehr als zwei Variablen beziehen;  diese bedingte Verteilung h\u00e4ngt von den Werten aller verbleibenden Variablen ab, und wenn mehr als eine Variable in der Teilmenge enthalten ist, dann ist diese bedingte Verteilung die bedingte gemeinsame Verteilung der eingeschlossenen Variablen.Table of ContentsBedingte diskrete Verteilungen[edit]Beispiel[edit]Bedingte stetige Verteilungen[edit]Beispiel[edit]Bezug zur Unabh\u00e4ngigkeit[edit]Eigenschaften[edit]Ma\u00dftheoretische Formulierung[edit]Beziehung zur bedingten Erwartung[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Bedingte diskrete Verteilungen[edit]F\u00fcr diskrete Zufallsvariablen ist die bedingte Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion von Ja{displaystyle Y}  gegeben x=x{displaystyle X=x}  kann nach seiner Definition geschrieben werden als:PJa|x(ja|x)\u225cP(Ja=ja|x=x)=P({x=x}\u2229{Ja=ja})P(x=x){displaystyle p_{Y|X}(ymid x)triangleq P(Y=ymid X=x)={frac {P({X=x}cap {Y=y })}{P(X=x)}}}Aufgrund des Auftretens von P(x=x){displaystyle P(X=x)}  in einem Nenner ist dies nur f\u00fcr Nicht-Null definiert (daher streng positiv) P(x=x).{displaystyle P(X=x).}Der Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung von x{displaystyle X}  gegeben Ja{displaystyle Y}  ist:P(Ja=ja|x=x)P(x=x)=P({x=x}\u2229{Ja=ja})=P(x=x|Ja=ja)P(Ja=ja).{displaystyle P(Y=ymid X=x)P(X=x)=P({X=x}cap {Y=y})=P(X=xmid Y= y)P(Y=y).}Beispiel[edit]Betrachten Sie den Wurf eines fairen W\u00fcrfels und lassen Sie x=1{displaystyle X=1}  wenn die Zahl gerade ist (dh 2, 4 oder 6) und x=0{displaystyle X=0}  Andernfalls.  Lassen Sie au\u00dferdem Ja=1{displaystyle Y=1}  wenn die Zahl eine Primzahl ist (dh 2, 3 oder 5) und Ja=0{displaystyle Y=0}  Andernfalls.D123456x010101Ja011010Dann ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass x=1{displaystyle X=1}  ist 3\/6 = 1\/2 (da es sechs m\u00f6gliche W\u00fcrfelw\u00fcrfe gibt, von denen drei gerade sind), w\u00e4hrend die Wahrscheinlichkeit, dass x=1{displaystyle X=1}  bedingt auf Ja=1{displaystyle Y=1}  ist 1\/3 (da es drei m\u00f6gliche Primzahlenw\u00fcrfe gibt \u2013 2, 3 und 5 \u2013 von denen einer gerade ist).Bedingte stetige Verteilungen[edit]\u00c4hnlich ist f\u00fcr stetige Zufallsvariablen die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von Ja{displaystyle Y}  gegeben das Auftreten des Wertes x{displaystyle x}  von x{displaystyle X}  kann geschrieben werden als[2]: P.  99FJa|x(ja|x)=Fx,Ja(x,ja)Fx(x){displaystyle f_{Ymid X}(ymid x)={frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}wo Fx,Ja(x,ja){displaystyle f_{X,Y}(x,y)}  ergibt die Fugendichte von x{displaystyle X}  und Ja{displaystyle Y}, w\u00e4hrend Fx(x){displaystyle f_{X}(x)}  gibt die Randdichte f\u00fcr x{displaystyle X}.  Auch in diesem Fall ist es notwendig, dass 0″\/>.Der Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung von x{displaystyle X}  gegeben Ja{displaystyle Y}  wird gegeben von:FJa|x(ja|x)Fx(x)=Fx,Ja(x,ja)=Fx|Ja(x|ja)FJa(ja).{displaystyle f_{Ymid X}(ymid x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(xmid y)f_{ Y}(y).}Das Konzept der bedingten Verteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist nicht so intuitiv, wie es scheinen mag: Das Borelsche Paradoxon zeigt, dass bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen unter Koordinatentransformationen nicht invariant sein m\u00fcssen.Beispiel[edit]  Die Grafik zeigt eine bivariate normale Gelenkdichte f\u00fcr Zufallsvariablen x{displaystyle X}  und Ja{displaystyle Y}.  Um die Verteilung von zu sehen Ja{displaystyle Y}  bedingt auf x=70{displaystyle X=70}, kann man sich zuerst die Linie vorstellen x=70{displaystyle X=70}  in dem x,Ja{displaystyle X,Y}  Ebene, und visualisieren Sie dann die Ebene, die diese Linie enth\u00e4lt und senkrecht zu der x,Ja{displaystyle X,Y}  Flugzeug.  Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der gemeinsamen Normalendichte ist, sobald er neu skaliert wurde, um eine Einheitsfl\u00e4che unter dem Schnittpunkt zu ergeben, die relevante bedingte Dichte von Ja{displaystyle Y}.Ja|x=70 ~ n(\u03bc1+\u03c31\u03c32\u03c1(70\u2212\u03bc2),(1\u2212\u03c12)\u03c312).{displaystyle Ymid X=70\\sim{mathcal{N}}left(mu_{1}+{frac {sigma_{1}}{sigma_{2}}} rho (70-mu_{2}),,(1-rho^{2})sigma_{1}^{2}right).}Bezug zur Unabh\u00e4ngigkeit[edit]Zuf\u00e4llige Variablen x{displaystyle X}, Ja{displaystyle Y}  sind genau dann unabh\u00e4ngig, wenn die bedingte Verteilung von Ja{displaystyle Y}  gegeben x{displaystyle X}  ist f\u00fcr alle m\u00f6glichen Realisierungen von x{displaystyle X}, gleich der unbedingten Verteilung von Ja{displaystyle Y}.  F\u00fcr diskrete Zufallsvariablen bedeutet dies P(Ja=ja|x=x)=P(Ja=ja){displaystyle P(Y=y|X=x)=P(Y=y)}  f\u00fcr alles m\u00f6glich ja{displaystyle y}  und x{displaystyle x}  mit 0}”\/>.  F\u00fcr stetige Zufallsvariablen x{displaystyle X}  und Ja{displaystyle Y}, mit einer gemeinsamen Dichtefunktion, bedeutet dies FJa(ja|x=x)=FJa(ja){displaystyle f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)}  f\u00fcr alles m\u00f6glich ja{displaystyle y}  und x{displaystyle x}  mit 0″\/>.Eigenschaften[edit]Gesehen als Funktion von ja{displaystyle y}  f\u00fcr gegeben x{displaystyle x}, P(Ja=ja|x=x){displaystyle P(Y=y|X=x)}  ist eine Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion und damit die Summe \u00fcber alle ja{displaystyle y}  (oder Integral, wenn es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte handelt) ist 1. Gesehen als Funktion von x{displaystyle x}  f\u00fcr gegeben ja{displaystyle y}, es ist eine Likelihood-Funktion, so dass die Summe \u00fcber alle x{displaystyle x}  muss nicht 1 sein.Zus\u00e4tzlich kann ein Randwert einer gemeinsamen Verteilung als Erwartungswert der entsprechenden bedingten Verteilung ausgedr\u00fcckt werden.  Zum Beispiel, Px(x)=EJa[pX|Y(X\u00a0|\u00a0Y)]{displaystyle p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(X | Y)]}.Ma\u00dftheoretische Formulierung[edit]Lassen (\u03a9,F,P){displaystyle (Omega ,{mathcal{F}},P)}  sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, g\u2286F{displaystyle {mathcal {G}}subseteq {mathcal {F}}}  ein \u03c3{displaystyle sigma}-Feld in F{displaystyle {mathcal{F}}}.  Gegeben EIN\u2208F{displaystyle Ain {mathcal{F}}}, impliziert der Satz von Radon-Nikodym, dass es[3]  ein  g{displaystyle {mathcal {G}}}-messbare Zufallsvariable P(EIN|g):\u03a9\u2192R{displaystyle P(Amid {mathcal{G}}):Omegatomathbb{R}}, genannt die bedingte Wahrscheinlichkeit, so dass\u222bgP(EIN|g)(\u03c9)DP(\u03c9)=P(EIN\u2229g){displaystyle int_{G}P(Amid {mathcal{G}})(omega )dP(omega)=P(Acap G)}f\u00fcr jeden g\u2208g{displaystyle Gin {mathcal {G}}}, und eine solche Zufallsvariable ist bis auf Mengen der Wahrscheinlichkeit Null eindeutig definiert.  Eine bedingte Wahrscheinlichkeit hei\u00dft regul\u00e4r wenn  P\u2061(\u22c5|B)(\u03c9){displaystyle operatorname {P} (cdot mid {mathcal {B}})(omega)}  ist ein Wahrscheinlichkeitsma\u00df f\u00fcr (\u03a9,F){displaystyle (Omega,{mathcal{F}})}  f\u00fcr alle \u03c9\u2208\u03a9{displaystyle omegainOmega}  ae Sonderf\u00e4lle:F\u00fcr die triviale Sigma-Algebra g={\u2205,\u03a9}{displaystyle {mathcal {G}}={emptyset ,Omega}}, die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die konstante Funktion P(EIN|{\u2205,\u03a9})=P\u2061(EIN).{displaystyle operatorname {P} !left(Amid {emptyset ,Omega }right)=operatorname {P} (A).}Wenn EIN\u2208g{displaystyle Ain {mathcal {G}}}, dann P\u2061(EIN|g)=1EIN{displaystyle operatorname {P} (Amid {mathcal {G}})=1_{A}}, die Indikatorfunktion (unten definiert).Lassen x:\u03a9\u2192E{displaystyle X:Omegato E}  sei ein (E,E){displaystyle (E,{mathcal{E}})}-bewertete Zufallsvariable.  F\u00fcr jeden B\u2208E{displaystyle Bin {mathcal {E}}}, definieren \u03bcx|g(B|g)=P(x\u22121(B)|g).{displaystyle mu_{X,|,{mathcal {G}}}(B,|,{mathcal {G}})=mathrm {P} (X^{-1}( B),|,{mathcal{G}}).}F\u00fcr alle \u03c9\u2208\u03a9{displaystyle omegainOmega}, die Funktion \u03bcx|g(\u22c5|g)(\u03c9):E\u2192R{displaystyle mu_{X,|{mathcal{G}}}(cdot,|{mathcal{G}})(omega):{mathcal{E}}to mathbb{ R} }  hei\u00dft der bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von x{displaystyle X}  gegeben g{displaystyle {mathcal {G}}}.  Wenn es ein Wahrscheinlichkeitsma\u00df f\u00fcr ist (E,E){displaystyle (E,{mathcal{E}})}, dann hei\u00dft es regul\u00e4r. F\u00fcr eine reellwertige Zufallsvariable (bez\u00fcglich der Borel \u03c3{displaystyle sigma}-Gebiet R1{displaystyle {mathcal{R}}^{1}}  An R{displaystyle mathbb{R}}), ist jede bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung regul\u00e4r.[4]  In diesem Fall,E[X\u2223G]=\u222b\u2212\u221e\u221ex\u03bc(Dx,\u22c5){displaystyle E[Xmid {mathcal {G}}]=int_{-infty}^{infty}x,mu(dx,cdot)}  fast sicher.Beziehung zur bedingten Erwartung[edit]F\u00fcr jede Veranstaltung EIN\u2208F{displaystyle Ain {mathcal{F}}}, definieren Sie die Indikatorfunktion:1EIN(\u03c9)={1wenn \u03c9\u2208EIN,0wenn \u03c9\u2209EIN,{displaystyle mathbf {1}_{A}(omega)={begin{cases}1;&{text{if }}omega in A,\\0;&{text{ wenn }}omega notin A,end{F\u00e4lle}}}was eine Zufallsvariable ist.  Beachten Sie, dass der Erwartungswert dieser Zufallsvariablen gleich der Wahrscheinlichkeit von EIN selbst:E\u2061(1EIN)=P\u2061(EIN).{displaystyle operatorname {E} (mathbf {1} _{A})=operatorname {P} (A).;}Angenommen  \u03c3{displaystyle sigma}-Gebiet g\u2286F{displaystyle {mathcal {G}}subseteq {mathcal {F}}}, die bedingte Wahrscheinlichkeit P\u2061(EIN|g){displaystyle operatorname {P} (Amid {mathcal {G}})}  ist eine Version der bedingten Erwartung der Indikatorfunktion f\u00fcr EIN{displaystyle A}:P\u2061(EIN|B)=E\u2061(1EIN|B){displaystyle operatorname {P} (Amid {mathcal {B}})=operatorname {E} (mathbf {1} _{A}mid {mathcal {B}});}Ein Erwartungswert einer Zufallsvariablen bez\u00fcglich einer regul\u00e4ren bedingten Wahrscheinlichkeit ist gleich seinem bedingten Erwartungswert.Siehe auch[edit]Verweise[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/10\/31\/bedingte-wahrscheinlichkeitsverteilung-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung \u2013 Wikipedia"}}]}]