Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung – Wikipedia
In Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik bei zwei gemeinsam verteilten Zufallsvariablen
und
, das bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ja gegeben x ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von
Wenn
ist als besonderer Wert bekannt; in einigen Fällen können die bedingten Wahrscheinlichkeiten als Funktionen ausgedrückt werden, die den nicht spezifizierten Wert enthalten
von
als Parameter. Wenn beide
und
kategoriale Variablen sind, wird normalerweise eine bedingte Wahrscheinlichkeitstabelle verwendet, um die bedingte Wahrscheinlichkeit darzustellen. Die bedingte Verteilung steht im Gegensatz zur Randverteilung einer Zufallsvariablen, also ihrer Verteilung ohne Bezug auf den Wert der anderen Variablen.
Wenn die bedingte Verteilung von
gegeben
eine stetige Verteilung ist, dann ist ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bekannt als bedingte Dichtefunktion.[1] Die Eigenschaften einer bedingten Verteilung, wie beispielsweise die Momente, werden oft mit entsprechenden Namen wie dem bedingten Mittelwert und der bedingten Varianz bezeichnet.
Allgemeiner kann man sich auf die bedingte Verteilung einer Teilmenge einer Menge von mehr als zwei Variablen beziehen; diese bedingte Verteilung hängt von den Werten aller verbleibenden Variablen ab, und wenn mehr als eine Variable in der Teilmenge enthalten ist, dann ist diese bedingte Verteilung die bedingte gemeinsame Verteilung der eingeschlossenen Variablen.
Bedingte diskrete Verteilungen[edit]
Für diskrete Zufallsvariablen ist die bedingte Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion von
gegeben
kann nach seiner Definition geschrieben werden als:
Aufgrund des Auftretens von
in einem Nenner ist dies nur für Nicht-Null definiert (daher streng positiv)
Der Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung von
gegeben
ist:
Beispiel[edit]
Betrachten Sie den Wurf eines fairen Würfels und lassen Sie
wenn die Zahl gerade ist (dh 2, 4 oder 6) und
Andernfalls. Lassen Sie außerdem
wenn die Zahl eine Primzahl ist (dh 2, 3 oder 5) und
Andernfalls.
D | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
x | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Ja | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Dann ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass
ist 3/6 = 1/2 (da es sechs mögliche Würfelwürfe gibt, von denen drei gerade sind), während die Wahrscheinlichkeit, dass
bedingt auf
ist 1/3 (da es drei mögliche Primzahlenwürfe gibt – 2, 3 und 5 – von denen einer gerade ist).
Bedingte stetige Verteilungen[edit]
Ähnlich ist für stetige Zufallsvariablen die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von
gegeben das Auftreten des Wertes
von
kann geschrieben werden als[2]: P. 99
wo
ergibt die Fugendichte von
und
, während
gibt die Randdichte für
. Auch in diesem Fall ist es notwendig, dass
gegeben
wird gegeben von:
Das Konzept der bedingten Verteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist nicht so intuitiv, wie es scheinen mag: Das Borelsche Paradoxon zeigt, dass bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen unter Koordinatentransformationen nicht invariant sein müssen.
Beispiel[edit]
Die Grafik zeigt eine bivariate normale Gelenkdichte für Zufallsvariablen
und
. Um die Verteilung von zu sehen
bedingt auf
, kann man sich zuerst die Linie vorstellen
in dem
Ebene, und visualisieren Sie dann die Ebene, die diese Linie enthält und senkrecht zu der
Flugzeug. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der gemeinsamen Normalendichte ist, sobald er neu skaliert wurde, um eine Einheitsfläche unter dem Schnittpunkt zu ergeben, die relevante bedingte Dichte von
.
Bezug zur Unabhängigkeit[edit]
Zufällige Variablen
,
sind genau dann unabhängig, wenn die bedingte Verteilung von
gegeben
ist für alle möglichen Realisierungen von
, gleich der unbedingten Verteilung von
. Für diskrete Zufallsvariablen bedeutet dies
für alles möglich
und
mit
und
, mit einer gemeinsamen Dichtefunktion, bedeutet dies
für alles möglich
und
mit
Eigenschaften[edit]
Gesehen als Funktion von
für gegeben
,
ist eine Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion und damit die Summe über alle
(oder Integral, wenn es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte handelt) ist 1. Gesehen als Funktion von
für gegeben
, es ist eine Likelihood-Funktion, so dass die Summe über alle
muss nicht 1 sein.
Zusätzlich kann ein Randwert einer gemeinsamen Verteilung als Erwartungswert der entsprechenden bedingten Verteilung ausgedrückt werden. Zum Beispiel,
.
Maßtheoretische Formulierung[edit]
Lassen
sei ein Wahrscheinlichkeitsraum,
ein
-Feld in
. Gegeben
, impliziert der Satz von Radon-Nikodym, dass es[3] ein
-messbare Zufallsvariable
, genannt die bedingte Wahrscheinlichkeit, so dass
für jeden
, und eine solche Zufallsvariable ist bis auf Mengen der Wahrscheinlichkeit Null eindeutig definiert. Eine bedingte Wahrscheinlichkeit heißt regulär wenn
ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß für
für alle
ae
Sonderfälle:
- Für die triviale Sigma-Algebra , die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die konstante Funktion
- Wenn , dann , die Indikatorfunktion (unten definiert).
Lassen
sei ein
-bewertete Zufallsvariable. Für jeden
, definieren
Für alle
, die Funktion
heißt der bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von
gegeben
. Wenn es ein Wahrscheinlichkeitsmaß für ist
, dann heißt es regulär.
Für eine reellwertige Zufallsvariable (bezüglich der Borel
-Gebiet
An
), ist jede bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung regulär.[4] In diesem Fall,
fast sicher.
Beziehung zur bedingten Erwartung[edit]
Für jede Veranstaltung
, definieren Sie die Indikatorfunktion:
was eine Zufallsvariable ist. Beachten Sie, dass der Erwartungswert dieser Zufallsvariablen gleich der Wahrscheinlichkeit von EIN selbst:
Angenommen
-Gebiet
, die bedingte Wahrscheinlichkeit
ist eine Version der bedingten Erwartung der Indikatorfunktion für
:
Ein Erwartungswert einer Zufallsvariablen bezüglich einer regulären bedingten Wahrscheinlichkeit ist gleich seinem bedingten Erwartungswert.
Recent Comments