[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/11\/30\/platonischer-korper-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/11\/30\/platonischer-korper-wikipedia\/","headline":"Platonischer K\u00f6rper \u2013 Wikipedia","name":"Platonischer K\u00f6rper \u2013 Wikipedia","description":"Konvexe regelm\u00e4\u00dfige Polyeder EIN Platonischer K\u00f6rper ist ein konvexes regelm\u00e4\u00dfiges Polyeder im dreidimensionalen euklidischen Raum. 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Ein regelm\u00e4\u00dfiges Polyeder zu sein bedeutet, dass die Fl\u00e4chen kongruente (in Form und Gr\u00f6\u00dfe identische) regelm\u00e4\u00dfige Vielecke sind (alle Winkel kongruent und alle Kanten kongruent), und an jedem Scheitelpunkt treffen sich die gleiche Anzahl von Fl\u00e4chen. Es gibt f\u00fcnf und nur f\u00fcnf solcher Polyeder:Geometer haben die platonischen Festk\u00f6rper seit Tausenden von Jahren untersucht.[1] Sie sind nach dem antiken griechischen Philosophen Platon benannt, der in einem seiner Dialoge die Hypothese aufstellte, die Timaios, dass die klassischen Elemente aus diesen regelm\u00e4\u00dfigen K\u00f6rpern bestehen.[2]Table of Contents Geschichte[edit]Kartesischen Koordinaten[edit]Kombinatorische Eigenschaften[edit]Als Konfiguration[edit]Einstufung[edit]Geometrischer Nachweis[edit]Topologischer Beweis[edit]Geometrische Eigenschaften[edit]Winkel[edit]Radien, Fl\u00e4che und Volumen[edit]Punkt im Raum[edit]Rupert-Eigenschaft[edit]Symmetrie[edit]Doppelpolyeder[edit]Symmetriegruppen[edit]In Natur und Technik[edit]Fl\u00fcssigkristalle mit Symmetrien platonischer Festk\u00f6rper[edit]Verwandte Polyeder und Polytope[edit]Einheitliche Polyeder[edit]Regelm\u00e4\u00dfige Tessellationen[edit]H\u00f6here Abmessungen[edit]Stereografische Projektion[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Quellen[edit]Externe Links[edit]Geschichte[edit] Zuordnung zu den Elementen in Keplers Mysterium CosmographicumDie platonischen K\u00f6rper sind seit der Antike bekannt. Es wurde vermutet, dass bestimmte geschnitzte Steinkugeln, die von den sp\u00e4tneolithischen Menschen Schottlands geschaffen wurden, diese Formen darstellen; diese Kugeln haben jedoch eher abgerundete Noppen als polyedrisch, die Anzahl der Noppen unterschied sich h\u00e4ufig von der Anzahl der Ecken der platonischen K\u00f6rper, es gibt keine Kugel, deren Noppen mit den 20 Ecken des Dodekaeders \u00fcbereinstimmen, und die Anordnung der Noppen war nicht immer symmetrisch.Die alten Griechen studierten die platonischen K\u00f6rper ausgiebig. Einige Quellen (wie Proclus) schreiben Pythagoras ihre Entdeckung zu. Andere Beweise deuten darauf hin, dass er m\u00f6glicherweise nur mit dem Tetraeder, dem W\u00fcrfel und dem Dodekaeder vertraut war und dass die Entdeckung des Oktaeders und des Ikosaeders Theaetetos, einem Zeitgenossen Platons, geh\u00f6rt. Auf jeden Fall gab Theaetetus eine mathematische Beschreibung aller f\u00fcnf und k\u00f6nnte f\u00fcr den ersten bekannten Beweis verantwortlich gewesen sein, dass keine anderen konvexen regul\u00e4ren Polyeder existieren.Die platonischen K\u00f6rper sind prominent in der Philosophie von Platon, ihrem Namensgeber. Platon hat im Dialog \u00fcber sie geschrieben Timaios C.360 v. Chr., in dem er jedem der vier klassischen Elemente (Erde, Luft, Wasser und Feuer) einen regelm\u00e4\u00dfigen K\u00f6rper zuordnete. Erde wurde mit dem W\u00fcrfel assoziiert, Luft mit dem Oktaeder, Wasser mit dem Ikosaeder und Feuer mit dem Tetraeder. Diese Assoziationen waren intuitiv begr\u00fcndet: Die Hitze des Feuers f\u00fchlt sich scharf und stechend an (wie kleine Tetraeder). Luft besteht aus dem Oktaeder; seine winzigen Bestandteile sind so glatt, dass man es kaum sp\u00fcren kann. Wasser, das Ikosaeder, flie\u00dft beim Aufheben aus der Hand, als ob es aus winzig kleinen Kugeln best\u00fcnde. Im Gegensatz dazu stellt das Hexaeder (W\u00fcrfel) einen stark nichtsph\u00e4rischen K\u00f6rper dar “Erde”. Diese unhandlichen kleinen Feststoffe lassen Schmutz zerbr\u00f6ckeln und brechen, wenn sie aufgenommen werden, im Gegensatz zum glatten Wasserfluss.[citation needed] Dar\u00fcber hinaus wurde angenommen, dass der W\u00fcrfel als einziger regelm\u00e4\u00dfiger Festk\u00f6rper, der den euklidischen Raum tesselliert, die Festigkeit der Erde verursacht. Von dem f\u00fcnften platonischen K\u00f6rper, dem Dodekaeder, bemerkte Plato undeutlich: “…der Gott benutzte [it] f\u00fcr die Anordnung der Sternbilder am ganzen Himmel”. Aristoteles f\u00fcgte ein f\u00fcnftes Element hinzu, aith\u0113r (lateinisch \u00c4ther, “\u00c4ther” auf Englisch) und postulierte, dass der Himmel aus diesem Element besteht, aber er hatte kein Interesse daran, es mit Platons f\u00fcnftem K\u00f6rper in Einklang zu bringen.[4]Euklid beschrieb vollst\u00e4ndig mathematisch die platonischen K\u00f6rper im Elemente, dessen letztes Buch (Buch XIII) ihren Eigenschaften gewidmet ist. Die S\u00e4tze 13\u201317 in Buch XIII beschreiben den Aufbau des Tetraeders, Oktaeders, W\u00fcrfels, Ikosaeders und Dodekaeders in dieser Reihenfolge. F\u00fcr jeden Festk\u00f6rper findet Euklid das Verh\u00e4ltnis des Durchmessers der umschriebenen Kugel zur Kantenl\u00e4nge. In Proposition 18 argumentiert er, dass es keine weiteren konvexen regul\u00e4ren Polyeder gibt. Andreas Speiser hat die Ansicht vertreten, dass die Konstruktion der 5 regul\u00e4ren K\u00f6rper das Hauptziel des deduktiven Systems ist, das in der kanonisierten Elemente. Viele der Informationen in Buch XIII stammen wahrscheinlich aus der Arbeit von Theaetetus.Im 16. Jahrhundert versuchte der deutsche Astronom Johannes Kepler, die damals bekannten f\u00fcnf au\u00dferirdischen Planeten den f\u00fcnf platonischen K\u00f6rpern zuzuordnen. In Mysterium Cosmographicum, ver\u00f6ffentlicht im Jahr 1596, schlug Kepler ein Modell des Sonnensystems vor, bei dem die f\u00fcnf K\u00f6rper ineinander gesetzt und durch eine Reihe von eingeschriebenen und umschriebenen Kugeln getrennt waren. Kepler schlug vor, dass die Entfernungsbeziehungen zwischen den damals bekannten sechs Planeten im Hinblick auf die f\u00fcnf platonischen K\u00f6rper verstanden werden k\u00f6nnten, die in einer Kugel eingeschlossen sind, die die Umlaufbahn des Saturn darstellt. Die sechs Sph\u00e4ren entsprachen jeweils einem der Planeten (Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter und Saturn). Die Festk\u00f6rper wurden mit dem innersten Oktaeder geordnet, gefolgt von Ikosaeder, Dodekaeder, Tetraeder und schlie\u00dflich dem W\u00fcrfel, wodurch die Struktur des Sonnensystems und die Abstandsbeziehungen zwischen den Planeten durch die platonischen K\u00f6rper bestimmt wurden. Am Ende musste Keplers urspr\u00fcngliche Idee aufgegeben werden, aber aus seiner Forschung entstanden seine drei Gesetze der Bahndynamik, von denen das erste war, dass die Umlaufbahnen von Planeten eher Ellipsen als Kreise sind, was den Lauf der Physik und Astronomie ver\u00e4nderte. Er entdeckte auch die Kepler-Feststoffe.Kartesischen Koordinaten[edit]F\u00fcr platonische K\u00f6rper, die im Ursprung zentriert sind, werden unten einfache kartesische Koordinaten der Scheitelpunkte angegeben. Der griechische Buchstabe \u03c6 wird verwendet, um den Goldenen Schnitt darzustellen 1 + \u221a5\/2 1,6180.ParameterAbbildungTetraederOktaederW\u00fcrfelIkosaederDodekaederGesichter4862012Scheitelpunkte46 (2 \u00d7 3)812 (4 \u00d7 3)20 (8 + 4 \u00d7 3)Position121212Scheitel Koordinaten(1, 1, 1)(1, \u22121, \u22121)(\u22121, 1, \u22121)(\u22121, \u22121, \u20071)(\u22121, \u22121, \u22121)(\u22121, 1, 1)(\u20071, \u22121, \u20071)(\u20071, \u20071, \u22121)(\u00b11, \u20070, \u20070)(\u20070, \u00b11, \u20070)(\u20070, \u20070, \u00b11)(\u00b11, \u00b11, \u00b11)(\u20070, \u00b11, \u00b1\u03c6)(\u00b11, \u00b1\u03c6, \u20070)(\u00b1\u03c6, \u20070, \u00b11)(\u20070, \u00b1\u03c6, \u00b11)(\u00b1\u03c6, \u00b11, \u20070)(\u00b11, \u20070, \u00b1\u03c6)(\u00b11, \u00b11, \u00b11)(\u20070, \u00b11\/\u03c6, \u00b1\u03c6)(\u00b11\/\u03c6, \u00b1\u03c6, \u20070)(\u00b1\u03c6, \u20070, \u00b11\/\u03c6)(\u00b11, \u00b11, \u00b11)(\u20070, \u00b1\u03c6, \u00b11\/\u03c6)(\u00b1\u03c6, \u00b11\/\u03c6, \u20070)(\u00b11\/\u03c6,\u2007 0, \u00b1\u03c6)Die Koordinaten f\u00fcr Tetraeder, Dodekaeder und Ikosaeder sind an zwei Stellen so angegeben, dass sie entweder beim Tetraeder durch \u00c4nderung aller Vorzeichenkoordinaten (Zentralsymmetrie) voneinander abgeleitet werden k\u00f6nnen oder in den anderen F\u00e4llen , durch Austausch von zwei Koordinaten (Reflexion in Bezug auf eine der drei diagonalen Ebenen).Diese Koordinaten zeigen bestimmte Beziehungen zwischen den platonischen K\u00f6rpern: Die Ecken des Tetraeders repr\u00e4sentieren die H\u00e4lfte der des W\u00fcrfels, als {4,3} oder , einer von zwei S\u00e4tzen von 4 Knoten in dualen Positionen, als h{4,3} oder . Beide Tetraederpositionen bilden das zusammengesetzte sternf\u00f6rmige Oktaeder.Die Koordinaten des Ikosaeders beziehen sich auf zwei alternierende Koordinatens\u00e4tze eines ungleichm\u00e4\u00dfigen abgestumpften Oktaeders, t{3,4} oder , auch a . genannt stumpfes Oktaeder, als s{3,4} oder , und in der Verbindung von zwei Ikosaedern gesehen.Acht der Eckpunkte des Dodekaeders werden mit dem W\u00fcrfel geteilt. Das Vervollst\u00e4ndigen aller Orientierungen f\u00fchrt zu der Verbindung von f\u00fcnf W\u00fcrfeln.Kombinatorische Eigenschaften[edit]Ein konvexes Polyeder ist genau dann ein platonischer K\u00f6rper, wennalle seine Fl\u00e4chen sind kongruente konvexe regelm\u00e4\u00dfige Vielecke,keine seiner Fl\u00e4chen schneiden sich au\u00dfer an ihren Kanten, undan jedem seiner Scheitelpunkte trifft die gleiche Anzahl von Fl\u00e4chen aufeinander.Jeder platonische K\u00f6rper kann daher mit einem Symbol bezeichnet werden {P, Q} woP die Anzahl der Kanten (oder \u00e4quivalent der Scheitelpunkte) jeder Fl\u00e4che ist, undQ ist die Anzahl der Fl\u00e4chen (oder entsprechend Kanten), die sich an jedem Scheitelpunkt treffen.Das Symbol {P, Q}, Schl\u00e4fli-Symbol genannt, gibt eine kombinatorische Beschreibung des Polyeders. Die Schl\u00e4fli-Symbole der f\u00fcnf platonischen K\u00f6rper sind in der folgenden Tabelle aufgef\u00fchrt.Alle anderen kombinatorischen Informationen zu diesen Volumenk\u00f6rpern, wie die Gesamtzahl der Scheitelpunkte (V), Kanten (E) und Gesichter (F), kann bestimmt werden aus P und Q. Da jede Kante zwei Scheitelpunkte verbindet und zwei benachbarte Fl\u00e4chen hat, m\u00fcssen wir haben:PF=2E=QV.{displaystyle pF=2E=qV.,}Die andere Beziehung zwischen diesen Werten ergibt sich aus der Eulerschen Formel:V\u2212E+F=2.{displaystyle V-E+F=2.,}Dies l\u00e4sst sich auf viele Arten belegen. Zusammen bestimmen diese drei Beziehungen vollst\u00e4ndig V, E, und F:V=4P4\u2212(P\u22122)(Q\u22122),E=2PQ4\u2212(P\u22122)(Q\u22122),F=4Q4\u2212(P\u22122)(Q\u22122).{displaystyle V={frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},quad E={frac {2pq}{4-(p-2)(q-2) }},quad F={frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}Tauschen P und Q Austauschpl\u00e4tze F und V beim Verlassen E unver\u00e4ndert. F\u00fcr eine geometrische Interpretation dieser Eigenschaft siehe \u00a7 Duale Polyeder.Als Konfiguration[edit]Die Elemente eines Polyeders k\u00f6nnen in einer Konfigurationsmatrix ausgedr\u00fcckt werden. Die Zeilen und Spalten entsprechen Scheitelpunkten, Kanten und Fl\u00e4chen. Die Diagonalzahlen geben an, wie viele von jedem Element im gesamten Polyeder vorkommen. Die nichtdiagonalen Zahlen geben an, wie viele Elemente der Spalte im oder am Element der Zeile vorkommen. Bei dualen Polyederpaaren sind die Konfigurationsmatrizen um 180 Grad gegeneinander gedreht.[6]{p,q}Platonische KonfigurationenGruppenbestellung: g = 8pq\/(4 \u2212 (P \u2212 2)(Q \u2212 2))g = 24g = 48g = 120veFvg\/2QQQe2g\/42FPPg\/2P{3,5}125523023320{5,3}203323025512Einstufung[edit]Das klassische Ergebnis ist, dass nur f\u00fcnf konvexe regul\u00e4re Polyeder existieren. Zwei h\u00e4ufige Argumente unten zeigen, dass nicht mehr als f\u00fcnf platonische K\u00f6rper existieren k\u00f6nnen, aber die Existenz eines bestimmten Festk\u00f6rpers positiv zu demonstrieren, ist eine andere Frage \u2013 eine, die eine explizite Konstruktion erfordert.Geometrischer Nachweis[edit]Polygonnetze um einen Scheitelpunkt{3,3}Defekt 180\u00b0{3,4}Defekt 120\u00b0{3,5}Defekt 60\u00b0{3,6}Defekt 0\u00b0{4,3}Defekt 90\u00b0{4,4}Defekt 0\u00b0{5,3}Defekt 36\u00b0{6,3}Defekt 0\u00b0Ein Scheitelpunkt ben\u00f6tigt mindestens 3 Fl\u00e4chen und einen Winkelfehler. Ein 0\u00b0-Winkelfehler f\u00fcllt die euklidische Ebene mit einer regelm\u00e4\u00dfigen Kachelung. Nach dem Satz von Descartes betr\u00e4gt die Anzahl der Ecken 720\u00b0\/Defekt.Das folgende geometrische Argument ist dem von Euklid in der Elemente:Jeder Scheitelpunkt des Volumenk\u00f6rpers muss ein Scheitelpunkt f\u00fcr mindestens drei Fl\u00e4chen sein.An jedem Scheitelpunkt des Volumenk\u00f6rpers muss die Gesamtheit der Winkel zwischen ihren jeweiligen angrenzenden Seiten unter den angrenzenden Fl\u00e4chen streng kleiner als 360\u00b0 sein. Der Betrag von weniger als 360\u00b0 wird als Winkelfehler bezeichnet.Regelm\u00e4\u00dfige Vielecke mit sechs oder mehr Seiten haben nur Winkel von 120\u00b0 oder mehr, daher muss die gemeinsame Fl\u00e4che ein Dreieck, Quadrat oder F\u00fcnfeck sein. F\u00fcr diese unterschiedlichen Gesichtsformen gilt:Dreieckige GesichterJeder Scheitelpunkt eines regelm\u00e4\u00dfigen Dreiecks ist 60\u00b0, so dass eine Form 3, 4 oder 5 Dreiecke haben kann, die sich an einem Scheitelpunkt treffen; dies sind das Tetraeder, Oktaeder bzw. Ikosaeder.Quadratische GesichterJeder Eckpunkt eines Quadrats ist 90\u00b0, daher ist nur eine Anordnung mit drei Fl\u00e4chen an einem Eckpunkt, dem W\u00fcrfel, m\u00f6glich.F\u00fcnfeckige GesichterJeder Scheitelpunkt betr\u00e4gt 108\u00b0; auch hier ist nur eine Anordnung von drei Fl\u00e4chen an einem Scheitelpunkt m\u00f6glich, dem Dodekaeder.Insgesamt macht dies 5 m\u00f6gliche platonische K\u00f6rper.Topologischer Beweis[edit]Ein rein topologischer Beweis kann nur mit kombinatorischen Informationen \u00fcber die Festk\u00f6rper erfolgen. Der Schl\u00fcssel ist Eulers Beobachtung, dass V \u2212 E + F = 2, und die Tatsache, dass pF = 2E = qV, wo P steht f\u00fcr die Anzahl der Kanten jeder Fl\u00e4che und Q f\u00fcr die Anzahl der Kanten, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen. Kombiniert man diese Gleichungen erh\u00e4lt man die Gleichung Orthographische Projektionen und Schlegel-Diagramme mit Hamiltonschen Zyklen der Eckpunkte der f\u00fcnf platonischen K\u00f6rper \u2013 nur das Oktaeder hat eine Eulersche Bahn oder einen Kreis, indem es seinen Weg mit dem gepunkteten verl\u00e4ngert 2EQ\u2212E+2EP=2.{displaystyle {frac {2E}{q}}-E+{frac {2E}{p}}=2.}Einfache algebraische Manipulation ergibt dann1Q+1P=12+1E.{displaystyle {1 over q}+{1 over p}={1 over 2}+{1 over E}.}Schon seit E ist strikt positiv, das m\u00fcssen wir haben{frac{1}{2}}.”\/>Die Tatsache nutzen, dass P und Q m\u00fcssen beide mindestens 3 sein, man sieht leicht, dass es nur f\u00fcnf M\u00f6glichkeiten f\u00fcr {P, Q}:{3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.Geometrische Eigenschaften[edit]Winkel[edit]Es gibt eine Reihe von Winkeln, die mit jedem platonischen K\u00f6rper verbunden sind. Der Diederwinkel ist der Innenwinkel zwischen zwei beliebigen Fl\u00e4chenebenen. Der Diederwinkel, \u03b8, des festen {P,Q} ist gegeben durch die FormelS\u00fcnde\u2061(\u03b82)=cos\u2061(\u03c0Q)S\u00fcnde\u2061(\u03c0P).{displaystyle sin left({frac {theta}{2}}right)={frac {cos left({frac {pi }{q}}right)}{sin left({frac {pi }{p}}right)}}.}Dies wird manchmal bequemer in Bezug auf den Tangens ausgedr\u00fcckt durchbr\u00e4unen\u2061(\u03b82)=cos\u2061(\u03c0Q)S\u00fcnde\u2061(\u03c0h).{displaystyle tan left({frac {theta}{2}}right)={frac {cos left({frac {pi }{q}}right)}{sin left({frac{pi}{h}}right)}}.}Die Quantit\u00e4t h (genannt Coxeter-Zahl) ist 4, 6, 6, 10 und 10 f\u00fcr das Tetraeder, W\u00fcrfel, Oktaeder, Dodekaeder bzw. Ikosaeder.Der Winkelfehler am Scheitelpunkt eines Polyeders ist die Differenz zwischen der Summe der Fl\u00e4chenwinkel an diesem Scheitelpunkt und 2\u03c0. Der Defekt, \u03b4, an jedem Scheitelpunkt der platonischen K\u00f6rper {P,Q} ist\u03b4=2\u03c0\u2212Q\u03c0(1\u22122P).{displaystyle delta =2pi -qpileft(1-{2over p}right).}Nach einem Satz von Descartes ist dies gleich 4\u03c0 geteilt durch die Anzahl der Scheitelpunkte (dh der Gesamtdefekt an allen Scheitelpunkten betr\u00e4gt 4\u03c0).Das dreidimensionale Analogon eines ebenen Winkels ist ein Raumwinkel. Der feste Winkel, \u03a9, am Scheitelpunkt eines platonischen K\u00f6rpers ist durch den Diederwinkel gegeben durch\u03a9=Q\u03b8\u2212(Q\u22122)\u03c0.{displaystyle Omega =qtheta -(q-2)pi .,}Dies folgt aus der sph\u00e4rischen Exzessformel f\u00fcr ein sph\u00e4risches Polygon und der Tatsache, dass die Scheitelfigur des Polyeders {P,Q} ist ein Stammgast Q-gon.Der Raumwinkel einer Fl\u00e4che, die von der Mitte eines platonischen Festk\u00f6rpers ausgeht, ist gleich dem Raumwinkel einer vollen Kugel (4\u03c0 Steradiant) geteilt durch die Anzahl der Gesichter. Dies ist gleich dem Winkelmangel seines Duals.Die verschiedenen Winkel, die mit den platonischen K\u00f6rpern verbunden sind, sind unten tabellarisch aufgef\u00fchrt. Die Zahlenwerte der Raumwinkel werden in Steradiant angegeben. Die Konstante \u03c6 = 1 + \u221a5\/2 ist der goldene Schnitt.Radien, Fl\u00e4che und Volumen[edit]Eine weitere Tugend der Regelm\u00e4\u00dfigkeit besteht darin, dass die platonischen K\u00f6rper alle drei konzentrische Kugeln besitzen:Die Radien dieser Kugeln hei\u00dfen Umkreis, das mittlerer Radius, und der Umkreis. Dies sind die Abst\u00e4nde vom Mittelpunkt des Polyeders zu den Scheitelpunkten, Kantenmittelpunkten bzw. Fl\u00e4chenmittelpunkten. Der Umkreisradius R und der Inradius R des festen {P, Q} mit Kantenl\u00e4nge ein werden gegeben vonR=ein2br\u00e4unen\u2061(\u03c0Q)br\u00e4unen\u2061(\u03b82)R=ein2Kinderbett\u2061(\u03c0P)br\u00e4unen\u2061(\u03b82){displaystyle {begin{ausgerichtet}R&={frac {a}{2}}tan left({frac {pi }{q}}right)tan left({frac { theta }{2}}right)\\[3pt]r&={frac{a}{2}}cotleft({frac{pi}{p}}right)tanleft({frac{theta}{2}}right) end{ausgerichtet}}}wo \u03b8 ist der Diederwinkel. Der mittlere Radius \u03c1 wird gegeben von\u03c1=ein2cos\u2061(\u03c0P)csc(\u03c0h){displaystyle rho ={frac {a}{2}}cos left({frac {pi }{p}}right),{csc }{biggl (}{frac { pi }{h}}{biggr )}}wo h ist die oben bei der Definition des Diederwinkels verwendete Gr\u00f6\u00dfe (h = 4, 6, 6, 10 oder 10). Das Verh\u00e4ltnis von Umkreisradius zu Innenradius ist symmetrisch in P und Q:RR=br\u00e4unen\u2061(\u03c0P)br\u00e4unen\u2061(\u03c0Q)=csc2(\u03b82)\u2212cos2(\u03b12)S\u00fcnde\u2061(\u03b12).{displaystyle {frac {R}{r}}=tan left({frac {pi }{p}}right)tan left({frac {pi }{q}} rechts)={frac {sqrt {{csc^{2}}{Bigl (}{frac {theta}{2}}{Bigr)}-{cos ^{2}}{ Bigl (}{frac {alpha}{2}}{Bigr)}}}{sin {Bigl (}{frac {alpha}{2}}{Bigr)}}}.}Die Fl\u00e4che, EIN, eines platonischen K\u00f6rpers {P, Q} l\u00e4sst sich leicht als Fl\u00e4che einer Regular berechnen P-gon mal die Anzahl der Gesichter F. Das ist:EIN=(ein2)2FPKinderbett\u2061(\u03c0P).{displaystyle A={biggl (}{frac {a}{2}}{biggr)}^{2}Fpcot left({frac {pi }{p}}right). }Das Volumen wird berechnet als F mal das Volumen der Pyramide, deren Basis regelm\u00e4\u00dfig ist P-gon und dessen H\u00f6he der Inradius ist R. Das ist,V=13REIN.{displaystyle V={frac {1}{3}}rA.}Die folgende Tabelle listet die verschiedenen Radien der platonischen K\u00f6rper mit ihrer Oberfl\u00e4che und ihrem Volumen auf. Die Gesamtgr\u00f6\u00dfe wird durch die Kantenl\u00e4nge festgelegt, ein, gleich 2 sein.Polyeder, ein = 2RadiusOberfl\u00e4che, EINVolumenIn-, RMittel-, \u03c1Um-, RVGer\u00e4tekantenTetraeder16{displaystyle 1 over {sqrt {6}}}12{displaystyle 1 over {sqrt {2}}}32{displaystyle {sqrt {3 over 2}}}43{displaystyle 4{sqrt {3}}}83\u22480,942809{displaystyle {frac {sqrt {8}}{3}}ca. 0,942809}\u22480.117851{displaystyle approx 0,117851}W\u00fcrfel1{displaystyle 1,}2{displaystyle {sqrt {2}}}3{displaystyle {sqrt {3}}}24{displaystyle 24,}8{displaystyle 8,}1{displaystyle 1,}Oktaeder23{displaystyle {sqrt {2 over 3}}}1{displaystyle 1,}2{displaystyle {sqrt {2}}}83{displaystyle 8{sqrt {3}}}1283\u22483.771236{displaystyle {frac {sqrt {128}}{3}}approx 3.771236}\u22480.471404{displaystyle approx 0.471404}Dodekaeder\u03c62\u03be{displaystyle {frac {varphi^{2}}{xi}}}\u03c62{displaystylevarphi^{2}}3\u03c6{displaystyle {sqrt {3}},varphi}1225+105{displaystyle 12{sqrt {25+10{sqrt {5}}}}}}20\u03c63\u03be2\u224861.304952{displaystyle {frac {20varphi^{3}}{xi^{2}}}approx 61,304952}\u22487,663119{displaystyle approx 7,663119}Ikosaeder\u03c623{displaystyle {frac {varphi^{2}}{sqrt {3}}}}\u03c6{displaystylevarphi}\u03be\u03c6{displaystyle xivarphi}203{displaystyle 20{sqrt {3}}}20\u03c623\u224817.453560{displaystyle {frac {20varphi^{2}}{3}}approx 17.453560}\u22482.181695{displaystyle approx 2,181695}Die Konstanten \u03c6 und \u03be im obigen sind gegeben durch\u03c6=2cos\u2061\u03c05=1+52,\u03be=2S\u00fcnde\u2061\u03c05=5\u221252=3\u2212\u03c6.{displaystyle varphi =2cos {piover 5}={frac {1+{sqrt {5}}}{2}},qquadxi =2sin {piover 5 }={sqrt {frac {5-{sqrt {5}}}{2}}}={sqrt {3-varphi}}.}Unter den platonischen K\u00f6rpern kann entweder das Dodekaeder oder das Ikosaeder als die beste Ann\u00e4herung an die Kugel angesehen werden. Das Ikosaeder hat die gr\u00f6\u00dfte Anzahl von Fl\u00e4chen und den gr\u00f6\u00dften Diederwinkel, es schmiegt sich am engsten an seine einbeschriebene Kugel und sein Oberfl\u00e4chen-Volumen-Verh\u00e4ltnis ist dem einer Kugel gleicher Gr\u00f6\u00dfe am n\u00e4chsten (dh entweder die gleiche Oberfl\u00e4che oder die gleiches Volumen.) Das Dodekaeder hingegen hat den kleinsten Winkelfehler, den gr\u00f6\u00dften Scheitelraumwinkel und f\u00fcllt seine umschriebene Kugel am meisten aus.Punkt im Raum[edit]F\u00fcr einen beliebigen Punkt im Raum eines platonischen K\u00f6rpers mit Umkreisradius R, deren Abst\u00e4nde zum Schwerpunkt des platonischen K\u00f6rpers und dessen n Scheitelpunkte sind L und Dich bzw. undS[n](2m)=1n\u03a3ich=1nDich2m{displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}},wir haben[7]S[4](2)=S[6](2)=S[8](2)=S[12](2)=S[20](2)=R2+L2,S[4](4)=S[6](4)=S[8](4)=S[12](4)=S[20](4)=(R2+L2)2+43R2L2,S[6](6)=S[8](6)=S[12](6)=S[20](6)=(R2+L2)3+4R2L2(R2+L2),S[12](8)=S[20](8)=(R2+L2)4+8R2L2(R2+L2)2+165R4L4,S[12](10)=S[20](10)=(R2+L2)5+403R2L2(R2+L2)3+16R4L4(R2+L2).{displaystyle {begin{ausgerichtet}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\\[4px]S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}&=left(R^{2}+L^{2}right)^{2}+{frac {4}{3}}R^{2}L^{2 },\\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}&=left(R^{2}+L^{2}right)^{3}+4R^{2}L^{2}left(R^{2}+ L^{2}rechts),\\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=left(R^{2}+L^{2}right)^{4}+8R^{2}L^{2}left(R^{2}+ L^{2}right)^{2}+{frac {16}{5}}R^{4}L^{4},\\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=left(R^{2}+L^{2}right)^{5}+{frac {40}{3}}R^{2}L^{2 }left(R^{2}+L^{2}right)^{3}+16R^{4}L^{4}left(R^{2}+L^{2}right) .end{ausgerichtet}}}F\u00fcr alle f\u00fcnf platonischen K\u00f6rper haben wir [7]S[n](4)+169R4=(S[n](2)+23R2)2.{displaystyle S_{[n]}^{(4)}+{frac {16}{9}}R^{4}=left(S_{[n]}^{(2)}+{frac{2}{3}}R^{2}right)^{2}.}Wenn Dich sind die Entfernungen von n Ecken des platonischen K\u00f6rpers zu einem beliebigen Punkt auf seiner umschriebenen Sph\u00e4re, dann [7]4(\u03a3ich=1nDich2)2=3n\u03a3ich=1nDich4.{displaystyle 4left(sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}right)^{2}=3nsum_{i=1}^{n}d_{ ich}^{4}.}Rupert-Eigenschaft[edit]Ein Polyeder P soll die haben Rupert Eigenschaft, wenn ein Polyeder gleicher oder gr\u00f6\u00dferer Gr\u00f6\u00dfe und gleicher Form wie P kann durch ein Loch in P.[8]Alle f\u00fcnf platonischen K\u00f6rper haben diese Eigenschaft.[8][9][10]Symmetrie[edit]Doppelpolyeder[edit]Jedes Polyeder hat ein duales (oder “Polar-“) Polyeder mit vertauschten Fl\u00e4chen und Scheitelpunkten. Der Dual jedes platonischen K\u00f6rpers ist ein weiterer platonischer K\u00f6rper, so dass wir die f\u00fcnf K\u00f6rper zu dualen Paaren anordnen k\u00f6nnen.Der Tetraeder ist selbst-dual (dh sein Dual ist ein weiterer Tetraeder).W\u00fcrfel und Oktaeder bilden ein duales Paar.Das Dodekaeder und das Ikosaeder bilden ein duales Paar.Wenn ein Polyeder das Schl\u00e4fli-Symbol {P, Q}, dann hat sein Dual das Symbol {Q, P}. Tats\u00e4chlich kann jede kombinatorische Eigenschaft eines platonischen K\u00f6rpers als eine andere kombinatorische Eigenschaft des Dualen interpretiert werden.Man kann das duale Polyeder konstruieren, indem man die Eckpunkte des dualen Polyeders als Mittelpunkte der Gesichter der urspr\u00fcnglichen Figur nimmt. Das Verbinden der Mittelpunkte benachbarter Fl\u00e4chen im Original bildet die Kanten des Duals und vertauscht dadurch die Anzahl der Fl\u00e4chen und Scheitelpunkte, w\u00e4hrend die Anzahl der Kanten beibehalten wird.Allgemeiner kann man einen platonischen K\u00f6rper in Bezug auf eine Kugel mit Radius dualisieren D konzentrisch zum Festk\u00f6rper. Die Radien (R, \u03c1, R) eines Festk\u00f6rpers und die seines dualen (R*, \u03c1*, R*) sind verwandt mitD2=R*R=R*R=\u03c1*\u03c1.{displaystyle d^{2}=R^{ast}r=r^{ast}R=rho^{ast}rho.}Dualisierung in Bezug auf die Mittelsph\u00e4re (D = \u03c1) ist oft praktisch, weil die Mittelkugel die gleiche Beziehung zu beiden Polyedern hat. Einnahme D2 = Rr ergibt einen dualen K\u00f6rper mit gleichem Umkreis- und Innenradius (dh R* = R und R* = R).Symmetriegruppen[edit]In der Mathematik wird das Konzept der Symmetrie mit dem Begriff einer mathematischen Gruppe untersucht. Jedem Polyeder ist eine Symmetriegruppe zugeordnet, die die Menge aller Transformationen (euklidische Isometrien) ist, die das Polyeder invariant lassen. Die Ordnung der Symmetriegruppe ist die Anzahl der Symmetrien des Polyeders. Man unterscheidet oft zwischen den volle Symmetriegruppe, die Reflexionen enth\u00e4lt, und die richtige Symmetriegruppe, die nur Drehungen enth\u00e4lt.Die Symmetriegruppen der platonischen K\u00f6rper sind eine spezielle Klasse von dreidimensionalen Punktgruppen, die als polyedrische Gruppen bekannt sind. Der hohe Symmetriegrad der platonischen K\u00f6rper kann auf verschiedene Weise interpretiert werden. Am wichtigsten ist, dass die Eckpunkte jedes Volumenk\u00f6rpers unter der Wirkung der Symmetriegruppe alle \u00e4quivalent sind, ebenso wie die Kanten und Fl\u00e4chen. Man sagt, dass die Wirkung der Symmetriegruppe auf die Ecken, Kanten und Fl\u00e4chen transitiv ist. Tats\u00e4chlich ist dies eine andere M\u00f6glichkeit, die Regelm\u00e4\u00dfigkeit eines Polyeders zu definieren: Ein Polyeder ist regul\u00e4r genau dann, wenn es eckengleichf\u00f6rmig, kantengleichf\u00f6rmig und fl\u00e4chengleichf\u00f6rmig ist.Es gibt nur drei Symmetriegruppen, die mit den platonischen K\u00f6rpern verbunden sind, anstatt f\u00fcnf, da die Symmetriegruppe jedes Polyeders mit der seines Duals zusammenf\u00e4llt. Dies ist leicht zu erkennen, wenn man die Konstruktion des dualen Polyeders untersucht. Jede Symmetrie des Originals muss eine Symmetrie des Dualen sein und umgekehrt. Die drei polyedrischen Gruppen sind:Die Ordnungen der richtigen (Rotations-)Gruppen sind jeweils 12, 24 und 60 \u2013 genau die doppelte Anzahl der Kanten in den jeweiligen Polyedern. Die Ordnungen der vollen Symmetriegruppen sind wieder doppelt so gro\u00df (24, 48 und 120). Siehe (Coxeter 1973) f\u00fcr eine Herleitung dieser Tatsachen. Alle platonischen K\u00f6rper au\u00dfer dem Tetraeder sind zentralsymmetrisch, das hei\u00dft, sie werden durch den Ursprung unter Reflexion bewahrt.Die folgende Tabelle listet die verschiedenen Symmetrieeigenschaften der platonischen K\u00f6rper auf. Die aufgef\u00fchrten Symmetriegruppen sind die Vollgruppen mit den in Klammern angegebenen Rotationsuntergruppen (ebenfalls f\u00fcr die Anzahl der Symmetrien). Wythoffs Kaleidoskopkonstruktion ist eine Methode zur Konstruktion von Polyedern direkt aus ihren Symmetriegruppen. Sie sind als Referenz Wythoffs Symbol f\u00fcr jeden der platonischen K\u00f6rper aufgelistet.PolyederSchl\u00e4fliSymbolWythoffSymbolDualPolyederSymmetriegruppe (Reflexion, Rotation)PolyederSch\u00f6n.Steuermann.Kugel.BefehlTetraeder{3, 3}3 | 2 3TetraederTetraeder TDT[3,3][3,3]+*3323322412W\u00fcrfel{4, 3}3 | 2 4OktaederOktaeder \u00d6h\u00d6[4,3][4,3]+*4324324824Oktaeder{3, 4}4 | 2 3W\u00fcrfelDodekaeder{5, 3}3 | 2 5IkosaederIkosaeder ichhich[5,3][5,3]+*53253212060Ikosaeder{3, 5}5 | 2 3DodekaederIn Natur und Technik[edit]Tetraeder, W\u00fcrfel und Oktaeder kommen alle nat\u00fcrlich in Kristallstrukturen vor. Damit ist die Zahl der m\u00f6glichen Kristallformen keineswegs ersch\u00f6pft. Allerdings geh\u00f6ren weder das regelm\u00e4\u00dfige Ikosaeder noch das regelm\u00e4\u00dfige Dodekaeder dazu. Eine der Formen, Pyritoeder genannt (benannt nach der Gruppe von Mineralien, f\u00fcr die es typisch ist) hat zw\u00f6lf f\u00fcnfeckige Fl\u00e4chen, die im gleichen Muster wie die Fl\u00e4chen des regelm\u00e4\u00dfigen Dodekaeders angeordnet sind. Die Fl\u00e4chen des Pyritoeders sind jedoch nicht regelm\u00e4\u00dfig, so dass auch das Pyritoeder nicht regelm\u00e4\u00dfig ist. Allotrope von Bor und vielen Borverbindungen, wie Borcarbid, umfassen diskretes B12 Ikosaeder in ihren Kristallstrukturen. Carborans\u00e4uren haben auch molekulare Strukturen, die regul\u00e4ren Ikosaedern nahekommen. Anfang des 20. Jahrhunderts beschrieb Ernst Haeckel (Haeckel, 1904) eine Reihe von Radiolaria-Arten, deren Skelette teilweise wie verschiedene regelm\u00e4\u00dfige Polyeder geformt sind. Beispiele beinhalten Circoporus Oktaeder, Circogonia icosaeder, Lithocubus geometrisch und Zirkorrhegma dodekaeder. Die Formen dieser Kreaturen sollten aus ihren Namen ersichtlich sein.Viele Viren, wie Herpes[11] Virus, haben die Form eines regelm\u00e4\u00dfigen Ikosaeders. Virale Strukturen bestehen aus sich wiederholenden identischen Proteinuntereinheiten und das Ikosaeder l\u00e4sst sich am einfachsten unter Verwendung dieser Untereinheiten zusammenbauen. Ein regul\u00e4res Polyeder wird verwendet, weil es aus einem einzigen Grundprotein aufgebaut werden kann, das immer wieder verwendet wird; das spart Platz im viralen Genom.In der Meteorologie und Klimatologie sind globale numerische Modelle der atmosph\u00e4rischen Str\u00f6mung von zunehmendem Interesse, die geod\u00e4tische Gitter verwenden, die auf einem Ikosaeder (verfeinert durch Triangulation) anstelle des h\u00e4ufiger verwendeten L\u00e4ngen-\/Breitengitters basieren. Dies hat den Vorteil einer gleichm\u00e4\u00dfig verteilten Ortsaufl\u00f6sung ohne Singularit\u00e4ten (dh die Pole) auf Kosten einer etwas gr\u00f6\u00dferen numerischen Schwierigkeit. Die Geometrie von Space Frames basiert oft auf platonischen K\u00f6rpern. Im MERO-System werden platonische K\u00f6rper f\u00fcr die Namenskonvention verschiedener Space-Frame-Konfigurationen verwendet. Zum Beispiel, 1\/2O+T bezieht sich auf eine Konfiguration aus einer H\u00e4lfte eines Oktaeders und einem Tetraeder.Mehrere platonische Kohlenwasserstoffe wurden synthetisiert, darunter Cuban und Dodekaeder und nicht Tetraeder. Ein Satz polyedrische W\u00fcrfel.Platonische K\u00f6rper werden oft verwendet, um W\u00fcrfel herzustellen, weil W\u00fcrfel dieser Formen fair gemacht werden k\u00f6nnen. 6-seitige W\u00fcrfel sind sehr verbreitet, aber die anderen Zahlen werden h\u00e4ufig in Rollenspielen verwendet. Solche W\u00fcrfel werden allgemein als d . bezeichnetn wo n ist die Anzahl der Fl\u00e4chen (d8, d20 usw.); siehe W\u00fcrfelnotation f\u00fcr weitere Details.Diese Formen tauchen h\u00e4ufig in anderen Spielen oder Puzzles auf. R\u00e4tsel, die einem Zauberw\u00fcrfel \u00e4hnlich sind, gibt es in allen f\u00fcnf Formen \u2013 siehe magische Polyeder.Fl\u00fcssigkristalle mit Symmetrien platonischer Festk\u00f6rper[edit]F\u00fcr die als Fl\u00fcssigkristalle bezeichnete Zwischenstoffphase wurde die Existenz solcher Symmetrien erstmals 1981 von H. Kleinert und K. Maki vorgeschlagen.[12][13]In Aluminium wurde die ikosaedrische Struktur drei Jahre sp\u00e4ter von Dan Shechtman entdeckt, was ihm 2011 den Nobelpreis f\u00fcr Chemie einbrachte.Verwandte Polyeder und Polytope[edit]Einheitliche Polyeder[edit]Es gibt vier regelm\u00e4\u00dfige Polyeder, die nicht konvex sind, die sogenannten Kepler-Poinsot-Polyeder. Diese haben alle eine Ikosaeder-Symmetrie und k\u00f6nnen als Stellationen des Dodekaeders und des Ikosaeders erhalten werden.Die zweit regelm\u00e4\u00dfigsten konvexen Polyeder nach den platonischen K\u00f6rpern sind der Kuboktaeder, der eine Gleichrichtung des W\u00fcrfels und des Oktaeders ist, und der Ikosidodekaeder, der eine Gleichrichtung des Dodekaeders und des Ikosaeders ist (die Gleichrichtung des selbstdualen Tetraeders ist a regelm\u00e4\u00dfiges Oktaeder). Das sind beides quasi regelm\u00e4\u00dfig, was bedeutet, dass sie eck- und kantengleich sind und regelm\u00e4\u00dfige Fl\u00e4chen haben, aber die Fl\u00e4chen sind nicht alle kongruent (in zwei verschiedenen Klassen). Sie bilden zwei der dreizehn archimedischen K\u00f6rper, die konvexe einheitliche Polyeder mit polyedrischer Symmetrie sind. Ihre Dualen, das rhombische Dodekaeder und das rhombische Triacontaeder, sind kanten- und fl\u00e4chentransitiv, aber ihre Fl\u00e4chen sind nicht regelm\u00e4\u00dfig und ihre Scheitelpunkte gibt es jeweils in zwei Typen; sie sind zwei der dreizehn katalanischen Feststoffe.Die einheitlichen Polyeder bilden eine viel breitere Klasse von Polyedern. Diese Figuren sind vertex-einheitlich und haben eine oder mehrere Arten von regelm\u00e4\u00dfigen oder sternf\u00f6rmigen Polygonen f\u00fcr Gesichter. Dazu geh\u00f6ren alle oben erw\u00e4hnten Polyeder zusammen mit einer unendlichen Menge von Prismen, einer unendlichen Menge von Antiprismen und 53 anderen nichtkonvexen Formen.Die Johnson-Festk\u00f6rper sind konvexe Polyeder, die regelm\u00e4\u00dfige Fl\u00e4chen haben, aber nicht einheitlich sind. Darunter sind f\u00fcnf der acht konvexen Deltaeder, die identische, regelm\u00e4\u00dfige Fl\u00e4chen (alle gleichseitigen Dreiecke) haben, aber nicht einheitlich sind. (Die anderen drei konvexen Deltaeder sind das platonische Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder.)Regelm\u00e4\u00dfige Tessellationen[edit]Regelm\u00e4\u00dfige sph\u00e4rische Fliesenplatonisch{3,3}{4,3}{3,4}{5,3}{3,5}Regelm\u00e4\u00dfige Dieder{2,2}{3,2}{4,2}{5,2}{6,2}…Regelm\u00e4\u00dfige Hosoeder{2,2}{2,3}{2,4}{2,5}{2,6}…Die drei regelm\u00e4\u00dfigen Tessellationen der Ebene sind eng mit den platonischen K\u00f6rpern verwandt. Tats\u00e4chlich kann man die platonischen K\u00f6rper als regelm\u00e4\u00dfige Tessellationen der Kugel betrachten. Dies geschieht, indem jeder Festk\u00f6rper auf eine konzentrische Kugel projiziert wird. Die Fl\u00e4chen projizieren auf regelm\u00e4\u00dfige Kugelpolygone, die die Kugel exakt \u00fcberdecken. Kugelf\u00f6rmige Kacheln bieten zwei unendliche zus\u00e4tzliche S\u00e4tze regul\u00e4rer Kacheln, die Hosoeder, {2,n} mit 2 Scheitelpunkten an den Polen und Mondfl\u00e4chen und dem dualen Dieder, {n,2} mit 2 halbkugelf\u00f6rmigen Fl\u00e4chen und regelm\u00e4\u00dfig beabstandeten Scheitelpunkten auf dem \u00c4quator. Solche Tesselationen w\u00fcrden im echten 3D-Raum als Polyeder entartet.Man kann zeigen, dass jede regul\u00e4re Tessellation der Kugel durch ein Paar ganzer Zahlen {P, Q} mit 1\/P + 1\/Q > 1\/2. Ebenso ist eine regelm\u00e4\u00dfige Tessellation der Ebene durch die Bedingung gekennzeichnet 1\/P + 1\/Q = 1\/2. Es gibt drei M\u00f6glichkeiten:In \u00e4hnlicher Weise kann man regelm\u00e4\u00dfige Tessellationen der hyperbolischen Ebene betrachten. Diese sind gekennzeichnet durch die Bedingung 1\/P + 1\/Q < 1\/2. Es gibt eine unendliche Familie solcher Tessellationen.H\u00f6here Abmessungen[edit]In mehr als drei Dimensionen verallgemeinern sich Polyeder zu Polytopen, wobei h\u00f6herdimensionale konvexe regul\u00e4re Polytope die \u00c4quivalente der dreidimensionalen platonischen K\u00f6rper sind.Mitte des 19. Jahrhunderts entdeckte der Schweizer Mathematiker Ludwig Schl\u00e4fli die vierdimensionalen Analoga der platonischen K\u00f6rper, die sogenannten konvexen regelm\u00e4\u00dfigen 4-Polytope. Es gibt genau sechs dieser Figuren; f\u00fcnf sind analog zu den platonischen K\u00f6rpern 5-Zellen als {3,3,3}, 16-Zellen als {3,3,4}, 600-Zellen als {3,3,5}, Tesseract als {4,3, 3} und 120-Zellen als {5,3,3} und eine sechste, die selbst-dual 24-Zellen, {3,4,3}.In allen Dimensionen h\u00f6her als vier gibt es nur drei konvexe regul\u00e4re Polytope: das Simplex als {3,3,…,3}, den Hyperw\u00fcrfel als {4,3,…,3} und das Kreuzpolytop als {3,3,…,4}. In drei Dimensionen stimmen diese mit dem Tetraeder als {3,3}, dem W\u00fcrfel als {4,3} und dem Oktaeder als {3,4} \u00fcberein.Stereografische Projektion[edit]Hier ist die stereographische Projektion jedes platonischen K\u00f6rpers.Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ Gardner (1987): Martin Gardner schrieb in seiner Kolumne \u00fcber Mathematische Spiele vom Dezember 1958 im Scientific American einen popul\u00e4ren Bericht \u00fcber die f\u00fcnf K\u00f6rper.^ Zeyl, Donald (2019). “Platons Timaios”. Die Stanford Encyclopedia of Philosophy.^ Wildberg (1988): Wildberg diskutiert die Korrespondenz der platonischen K\u00f6rper mit Elementen in Timaios stellt jedoch fest, dass diese Korrespondenz anscheinend vergessen wurde in Epinomis, die er nennt “ein langer Schritt zur Theorie des Aristoteles”, und er weist darauf hin, dass der \u00c4ther des Aristoteles \u00fcber den anderen vier Elementen steht und nicht gleichberechtigt mit ihnen, was die Entsprechung weniger passend macht.^ Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 Konfigurationen^ ein B C Meskhishvili, Mamuka (2020). “Zyklische Mittelwerte regelm\u00e4\u00dfiger Polygone und platonischer K\u00f6rper”. Kommunikation in Mathematik und Anwendungen. 11: 335\u2013355. arXiv:2010.12340.^ ein B Jerrard, Richard P.; Wetzel, John E.; Yuan, Liping (April 2017). “Platonische Passagen”. Mathematik-Magazin. Washington, DC: Mathematische Vereinigung Amerikas. 90 (2): 87\u201398. mach:10.4169\/math.mag.90.2.87. 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