[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/12\/02\/stabilisatorcode-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/12\/02\/stabilisatorcode-wikipedia\/","headline":"Stabilisatorcode \u2013 Wikipedia","name":"Stabilisatorcode \u2013 Wikipedia","description":"before-content-x4 Die Theorie der Quantenfehlerkorrektur spielt eine herausragende Rolle bei der praktischen Realisierung und Entwicklung von Quantencomputing- und Quantenkommunikationsger\u00e4ten. 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Die ersten quantenfehlerkorrigierenden Codes \u00e4hneln in ihrer Funktionsweise und Leistungsf\u00e4higkeit klassischen Blockcodes auffallend.  Quantenfehlerkorrigierende Codes stellen einen verrauschten, dekoh\u00e4renten Quantenzustand in einen reinen Quantenzustand wieder her.  Ein Stabilisator-Quantenfehlerkorrekturcode h\u00e4ngt Ancilla-Qubits an Qubits an, die wir sch\u00fctzen m\u00f6chten.  Eine unit\u00e4re Codierungsschaltung dreht den globalen Zustand in einen Unterraum eines gr\u00f6\u00dferen Hilbert-Raums.  Dieser stark verschr\u00e4nkte, codierte Zustand korrigiert lokale verrauschte Fehler.  Ein quantenfehlerkorrigierender Code macht Quantenberechnung und Quantenkommunikation praktisch, indem er einem Sender und Empf\u00e4nger eine M\u00f6glichkeit bietet, einen rauschfreien Qubit-Kanal bei einem verrauschten Qubit-Kanal zu simulieren, dessen Rauschen einem bestimmten Fehlermodell entspricht.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Die Stabilisatortheorie der Quantenfehlerkorrektur erlaubt es, einige klassische bin\u00e4re oder quatern\u00e4re Codes zur Verwendung als Quantencode zu importieren.  Beim Importieren des klassischen Codes muss er jedoch die Bedingung der dualen Aufnahme (oder der Selbstorthogonalit\u00e4t) erf\u00fcllen.  Forscher haben viele Beispiele f\u00fcr klassische Codes gefunden, die diese Einschr\u00e4nkung erf\u00fcllen, aber die meisten klassischen Codes tun dies nicht.  Trotzdem ist es immer noch sinnvoll, klassische Codes auf diese Weise zu importieren (siehe jedoch, wie der verschr\u00e4nkungsunterst\u00fctzte Stabilisatorformalismus diese Schwierigkeit \u00fcberwindet).Table of ContentsMathematischer Hintergrund[edit]Definition[edit]Stabilisator-Fehlerkorrekturbedingungen[edit]Beziehung zwischen Pauli-Gruppe und bin\u00e4ren Vektoren[edit]Beispiel f\u00fcr einen Stabilisatorcode[edit]Verweise[edit]Mathematischer Hintergrund[edit]Der Stabilisatorformalismus nutzt Elemente der Pauli-Gruppe        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4\u03a0{displaystyle Pi}  bei der Formulierung von quantenfehlerkorrigierenden Codes.  Der Satz\u03a0={ich,x,Ja,Z}{displaystyle Pi =left{I,X,Y,Zright}}  besteht aus den Pauli-Operatoren:ich\u2261[1001], x\u2261[0110], Ja\u2261[0\u2212ii0], Z\u2261[100\u22121].{displaystyle Iequiv {begin{bmatrix}1&0\\0&1end{bmatrix}}, Xequiv {begin{bmatrix}0&1\\1&0end{bmatrix}}, Yequiv { begin{bmatrix}0&-i\\i&0end{bmatrix}}, Zequiv {begin{bmatrix}1&0\\0&-1end{bmatrix}}.}Die obigen Operatoren wirken auf ein einzelnes Qubit \u2013 einen Zustand, der durch einen Vektor in einem zweidimensionalen Hilbert-Raum dargestellt wird.  Betreiber in        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4\u03a0{displaystyle Pi}  Eigenwerte haben \u00b11{displaystyle pm 1}  und entweder pendeln oder anti-pendeln.  Der Satz \u03a0n{displaystyle Pi^{n}}  besteht aus n{displaystyle n}-fache Tensorprodukte von Pauli-Operatoren:\u03a0n={eich\u03c6EIN1\u2297\u22ef\u2297EINn:\u2200J\u2208{1,\u2026,n}EINJ\u2208\u03a0,  \u03c6\u2208{0,\u03c0\/2,\u03c0,3\u03c0\/2}}.{displaystyle Pi^{n}=left{{begin{array}{c}e^{iphi}A_{1}otimes cdots otimes A_{n}:forall jin left{1,ldots,nright}A_{j}inPi,\\phiinleft{0,pi\/2,pi,3pi\/2right }end{array}}right}.}Elemente von \u03a0n{displaystyle Pi^{n}}  handeln auf einem Quantenregister von n{displaystyle n}  Qubits.  Im Folgenden lassen wir gelegentlich Tensorproduktsymbole weg, damitEIN1\u22efEINn\u2261EIN1\u2297\u22ef\u2297EINn.{displaystyle A_{1}cdots A_{n}equiv A_{1}otimes cdots otimes A_{n}.}Die n{displaystyle n}-falten Pauli Gruppe\u03a0n{displaystyle Pi^{n}}  spielt eine wichtige Rolle sowohl f\u00fcr die Codierschaltung als auch f\u00fcr das Fehlerkorrekturverfahren eines Quantenstabilisator-Codes \u00fcber n{displaystyle n}  Qubits.Definition[edit]Definieren wir an [n,k]{displaystyle left[n,kright]}  Stabilisator Quantenfehlerkorrekturcode zu codieren k{displaystyle k}  logische Qubits in n{displaystyle n}  physikalische Qubits.  Die Rate eines solchen Codes betr\u00e4gt k\/n{displaystyle k\/n}.  Sein Stabilisator S{displaystyle {mathcal{S}}}  ist eine abelsche Untergruppe dern{displaystyle n}-falten Pauli Gruppe \u03a0n{displaystyle Pi^{n}}. S{displaystyle {mathcal{S}}}enth\u00e4lt nicht den Operator \u2212ich\u2297n{displaystyle -I^{otimes n}}.  Die gleichzeitige+1{displaystyle +1}-Eigenraum der Operatoren bildet den Coderaum.  Der Coderaum hat Dimension 2k{displaystyle 2^{k}}  damit wir codieren k\u00f6nnen k{displaystyle k}  Qubits hinein.  Der Stabilisator S{displaystyle {mathcal{S}}}  hat eine minimale Darstellung in Bezug auf n\u2212k{displaystyle nk}unabh\u00e4ngige Generatoren{g1,\u2026,gn\u2212k | \u2200ich\u2208{1,\u2026,n\u2212k}, gich\u2208S}.{displaystyle left{g_{1},ldots ,g_{nk} | forall iin left{1,ldots ,nkright}, g_{i}in { mathcal{S}}right}.}Die Generatoren sind in dem Sinne unabh\u00e4ngig, dass keiner von ihnen ein Produkt von zwei anderen ist (bis auf eine globale Phase).  Die Betreiber g1,\u2026,gn\u2212k{displaystyle g_{1},ldots,g_{nk}}  funktioniert auf die gleiche Weise wie eine Parit\u00e4tspr\u00fcfmatrix f\u00fcr einen klassischen linearen Blockcode.Stabilisator-Fehlerkorrekturbedingungen[edit]Einer der Grundbegriffe der Quantenfehlerkorrekturtheorie ist, dass es ausreicht, eine diskrete Fehlermenge mit Unterst\u00fctzung in der Pauli-Gruppe zu korrigieren\u03a0n{displaystyle Pi^{n}}.  Angenommen, die Fehler, die einen kodierten Quantenzustand betreffen, sind eine Teilmenge E{displaystyle {mathcal {E}}}  der Pauli-Gruppe \u03a0n{displaystyle Pi^{n}}:E\u2282\u03a0n.{displaystyle {mathcal{E}}subset Pi^{n}.}Weil E{displaystyle {mathcal {E}}}  und S{displaystyle {mathcal{S}}}  sind beide Teilmengen von  \u03a0n{displaystyle Pi^{n}}, ein Fehler E\u2208E{displaystyle Ein {mathcal {E}}}  die einen kodierten Quantenzustand beeinflusst, kommutiert oder antikommutiert mit einem bestimmten Element g{displaystyle g}  in S{displaystyle {mathcal{S}}}.  Der Fehler E{displaystyle E}  ist korrigierbar, wenn es mit einem Element antikommutiert g{displaystyle g}  in S{displaystyle {mathcal{S}}}.  Ein AntipendelfehlerE{displaystyle E}  ist durch Messung jedes Elements nachweisbar g{displaystyle g}  in S{displaystyle {mathcal{S}}}  und ein Syndrom berechnen R{displaystyle mathbf{r}}  identifizieren E{displaystyle E}.  Das Syndrom ist ein bin\u00e4rer Vektor R{displaystyle mathbf{r}}  mit L\u00e4nge n\u2212k{displaystyle nk}  deren Elemente identifizieren, ob der Fehler E{displaystyle E}  pendelt oder antipendelt mit jedem g\u2208S{displaystyle gin {mathcal{S}}}.  Ein FehlerE{displaystyle E}  das pendelt mit jedem Element g{displaystyle g}  in S{displaystyle {mathcal{S}}}  ist genau dann korrigierbar, wenn es in . ist S{displaystyle {mathcal{S}}}.  Es korrumpiert den kodierten Zustand, wenn es mit jedem Element von kommutiert S{displaystyle {mathcal{S}}}  liegt aber nicht darin S{displaystyle {mathcal{S}}}.  Daher fassen wir die Stabilisatorfehlerkorrekturbedingungen kompakt zusammen: Ein Stabilisatorcode kann alle Fehler korrigieren E1,E2{displaystyle E_{1},E_{2}}  in E{displaystyle {mathcal {E}}}  wennE1IchE2\u2209Z(S){displaystyle E_{1}^{dagger}E_{2}notin {mathcal{Z}}left({mathcal{S}}right)}oderE1IchE2\u2208S{displaystyle E_{1}^{dagger}E_{2}in {mathcal {S}}}wo Z(S){displaystyle {mathcal{Z}}left({mathcal{S}}right)}  ist der Zentralisierer von S{displaystyle {mathcal{S}}}  (dh die Untergruppe der Elemente, die mit allen Mitgliedern von kommutieren S{displaystyle {mathcal{S}}}, auch Kommutant genannt).Beziehung zwischen Pauli-Gruppe und bin\u00e4ren Vektoren[edit]Zwischen Elementen von existiert eine einfache, aber n\u00fctzliche Zuordnung \u03a0{displaystyle Pi}  und der bin\u00e4re Vektorraum (Z2)2{displaystyle left(mathbb{Z}_{2}right)^{2}}.  Diese Abbildung ergibt eine Vereinfachung der Quantenfehlerkorrekturtheorie.  Es repr\u00e4sentiert Quantencodes mit bin\u00e4ren Vektoren und bin\u00e4ren Operationen statt mit Pauli-Operatoren bzw. Matrixoperationen.Wir geben zun\u00e4chst die Abbildung f\u00fcr den Ein-Qubit-Fall an.  Vermuten [A]{displaystyle left[Aright]}ist eine Menge von \u00c4quivalenzklassen eines Operators EIN{displaystyle A}  die die gleiche Phase haben:[A]={\u03b2EIN | \u03b2\u2208C, |\u03b2|=1}.{displaystyle left[Aright]=left{beta A |\\betainmathbb{C} ,\\leftvert betarightvert =1right}.}Lassen [\u03a0]{displaystyle left[Pi right]}  sei die Menge der phasenfreien Pauli-Operatoren, wobei[\u03a0]={[A] | EIN\u2208\u03a0}{displaystyle left[Pi right]=links{links[Aright] | Ain Pi right}}.  Definiere die Karte n:(Z2)2\u2192\u03a0{displaystyle N:left(mathbb{Z}_{2}right)^{2}rightarrowPi}  wie00\u2192ich,01\u2192x,11\u2192Ja,10\u2192Z{displaystyle 00nach I,,,01nach X,,,11nach Y,,,10nach Z}Vermuten du,v\u2208(Z2)2{displaystyle u,vinleft(mathbb{Z}_{2}right)^{2}}.  Lassen Sie uns die Kurzschrift verwenden du=(z|x){displaystyle u=left(z|xright)}  und v=(zIch|xIch){displaystyle v=left(z^{prime}|x^{prime}right)}  wo z{displaystyle z}, x{displaystyle x}, zIch{displaystyle z^{prime}}, xIch\u2208Z2{displaystyle x^{prime}inmathbb{Z}_{2}}.  Nehmen wir zum Beispiel an du=(0|1){displaystyle u=left(0|1right)}.  Dann n(du)=x{displaystyle Nleft(uright)=X}.  Die Karte n{displaystyle N}  induziert einen Isomorphismus [N]:(Z2)2\u2192[\u03a0]{displaystyle left[Nright]:left(mathbb{Z}_{2}right)^{2}rightarrowleft[Pi right]}  weil Addition von Vektoren in (Z2)2{displaystyle left(mathbb{Z}_{2}right)^{2}}  entspricht der Multiplikation von Pauli-Operatoren bis zu einer globalen Phase:[N(u+v)]=[N(u)][N(v)].{displaystyle left[Nleft(u+vright)right]=links[Nleft(uright)right]links[Nleft(vright)right].}Lassen \u2299{displaystyleodot}  bezeichnen das symplektische Produkt zwischen zwei Elementen du,v\u2208(Z2)2{displaystyle u,vinleft(mathbb{Z}_{2}right)^{2}}:du\u2299v\u2261zxIch\u2212xzIch.{displaystyle uodot vequiv zx^{prime}-xz^{prime}.}Das symplektische Produkt \u2299{displaystyleodot}  gibt die Kommutierungsrelationen von Elementen von\u03a0{displaystyle Pi}:n(du)n(v)=(\u22121)(du\u2299v)n(v)n(du).{displaystyle Nleft(uright)Nleft(vright)=left(-1right)^{left(uodot vright)}Nleft(vright)N left(uright).}Das symplektische Produkt und das Mapping n{displaystyle N}  geben somit eine n\u00fctzliche M\u00f6glichkeit, Pauli-Beziehungen in Begriffen der bin\u00e4ren Algebra zu formulieren.  Die Erweiterung der obigen Definitionen und Abbildungen n{displaystyle N}  auf mehrere Qubits ist einfach.  Lassen EIN=EIN1\u2297\u22ef\u2297EINn{displaystyle mathbf{A} =A_{1}otimes cdots otimes A_{n}}  ein beliebiges Element von bezeichnen \u03a0n{displaystyle Pi^{n}}.  \u00c4hnlich k\u00f6nnen wir das phasenfreien{displaystyle n}-Qubit-Pauli-Gruppe [\u03a0n]={[A] | EIN\u2208\u03a0n}{displaystyle left[Pi ^{n}right]=links{links[mathbf {A} right]|\\mathbf{A}inPi^{n}right}}  wo[A]={\u03b2EIN | \u03b2\u2208C, |\u03b2|=1}.{displaystyle left[mathbf {A} right]=left{betamathbf{A}|\\betainmathbb{C} ,\\leftvert betarightvert=1right}.}Der Gruppenbetrieb *{displaystyle ast}  f\u00fcr die obige \u00c4quivalenzklasse lautet wie folgt:[A]*[B]\u2261[A1]*[B1]\u2297\u22ef\u2297[An]*[Bn]=[A1B1]\u2297\u22ef\u2297[AnBn]=[AB].{displaystyle left[mathbf {A} right]ast left[mathbf {B} right]equiv left[A_{1}right]ast left[B_{1}right]otimes cdots otimes left[A_{n}right]ast left[B_{n}right]=links[A_{1}B_{1}right]otimes cdots otimes left[A_{n}B_{n}right]=links[mathbf {AB} right].}Die \u00c4quivalenzklasse [\u03a0n]{displaystyle left[Pi ^{n}right]}  bildet eine kommutative Gruppe unter Operation *{displaystyle ast}.  Bedenke die 2n{displaystyle 2n}-dimensionaler Vektorraum(Z2)2n={(z,x):z,x\u2208(Z2)n}.{displaystyle left(mathbb{Z}_{2}right)^{2n}=left{left(mathbf{z,x}right):mathbf{z} ,mathbf{ x} in left(mathbb{Z}_{2}right)^{n}right}.}Sie bildet die kommutative Gruppe ((Z2)2n,+){displaystyle (left(mathbb{Z}_{2}right)^{2n},+)}  mit Betrieb +{displaystyle +}  definiert als bin\u00e4re Vektoraddition.  Wir verwenden die Notationdu=(z|x),v=(zIch|xIch){displaystyle mathbf {u} =left(mathbf {z} |mathbf {x} right),mathbf {v} =left(mathbf {z} ^{prime}|mathbf { x} ^{prime}right)}  beliebige Vektoren darstellendu,v\u2208(Z2)2n{displaystylemathbf{u,v}inleft(mathbb{Z}_{2}right)^{2n}}  bzw.  Jeder Vektor z{displaystyle mathbf{z}}  und x{displaystylemathbf{x}}  hat Elemente (z1,\u2026,zn){displaystyle left(z_{1},ldots,z_{n}right)}  und (x1,\u2026,xn){displaystyle left(x_{1},ldots,x_{n}right)}  jeweils mit \u00e4hnlichen Darstellungen f\u00fcr zIch{displaystylemathbf{z}^{prime}}  und xIch{displaystylemathbf{x}^{prime}}.  Die symplektisches Produkt \u2299{displaystyleodot}  von du{displaystylemathbf{u}}  und v{displaystylemathbf{v}}  istdu\u2299v\u2261\u03a3ich=1nzichxichIch\u2212xichzichIch,{displaystyle mathbf {u} odot mathbf {vequiv} sum _{i=1}^{n}z_{i}x_{i}^{prime}-x_{i}z_{i }^{prime},}oderdu\u2299v\u2261\u03a3ich=1nduich\u2299vich,{displaystyle mathbf {u} odot mathbf {vequiv} sum _{i=1}^{n}u_{i}odot v_{i},}wo duich=(zich|xich){displaystyle u_{i}=left(z_{i}|x_{i}right)}  und vich=(zichIch|xichIch){displaystyle v_{i}=left(z_{i}^{prime}|x_{i}^{prime}right)}.  Lass uns eine Karte definieren n:(Z2)2n\u2192\u03a0n{displaystyle mathbf{N} :left(mathbb{Z}_{2}right)^{2n}rightarrow Pi^{n}}  wie folgt:n(du)\u2261n(du1)\u2297\u22ef\u2297n(dun).{displaystylemathbf{N}left(mathbf{u}right)equiv Nleft(u_{1}right)otimescdotsotimes Nleft(u_{n}right). }Lassenx(x)\u2261xx1\u2297\u22ef\u2297xxn,Z(z)\u2261Zz1\u2297\u22ef\u2297Zzn,{displaystyle mathbf {X} left(mathbf{x} right)equiv X^{x_{1}}otimes cdots otimes X^{x_{n}},,,, ,,,,mathbf {Z} left(mathbf {z} right)equiv Z^{z_{1}}otimes cdots otimes Z^{z_{n}},}so dass n(du){displaystylemathbf{N}left(mathbf{u}right)}  und Z(z)x(x){displaystyle mathbf {Z} left(mathbf {z} right)mathbf {X} left(mathbf {x} right)}  geh\u00f6ren zur gleichen \u00c4quivalenzklasse:[N(u)]=[Z(z)X(x)].{displaystyle left[mathbf {N} left(mathbf {u} right)right]=links[mathbf {Z} left(mathbf {z} right)mathbf {X} left(mathbf {x} right)right].}Die Karte [N]:(Z2)2n\u2192[\u03a0n]{displaystyle left[mathbf {N} right]:left(mathbb{Z}_{2}right)^{2n}rightarrowleft[Pi ^{n}right]}  ist ein Isomorphismus aus dem gleichen Grund wie im vorherigen Fall:[N(u+v)]=[N(u)][N(v)],{displaystyle left[mathbf {N} left(mathbf {u+v} right)right]=links[mathbf {N} left(mathbf {u} right)right]links[mathbf {N} left(mathbf {v} right)right],}wo du,v\u2208(Z2)2n{displaystylemathbf{u,v}inleft(mathbb{Z}_{2}right)^{2n}}.  Das symplektische Produkt erfasst die Kommutierungsrelationen beliebiger Operatoren n(du){displaystylemathbf{N}left(mathbf{u}right)}  und n(v){displaystylemathbf{N}left(mathbf{v}right)}:n(du)n(v)=(\u22121)(du\u2299v)n(v)n(du).{displaystyle mathbf {Nleft(mathbf {u} right)N} left(mathbf {v} right)=left(-1right)^{left(mathbf {u} odot mathbf {v} right)}mathbf {N} left(mathbf {v} right)mathbf {N} left(mathbf {u} right).}Die obige bin\u00e4re Darstellung und symplektische Algebra sind n\u00fctzlich, um die Beziehung zwischen der klassischen linearen Fehlerkorrektur und der Quantenfehlerkorrektur expliziter zu machen.Wenn wir Quantenfehlerkorrekturcodes in dieser Sprache mit symplektischen Vektorr\u00e4umen vergleichen, k\u00f6nnen wir Folgendes sehen.  Ein symplektischer Unterraum entspricht einer direkten Summe von Pauli-Algebren (dh codierten Qubits), w\u00e4hrend ein isotroper Unterraum einem Satz von Stabilisatoren entspricht.Beispiel f\u00fcr einen Stabilisatorcode[edit]Ein Beispiel f\u00fcr einen Stabilisatorcode sind die f\u00fcnf Qubits[[5,1,3]]{displaystyle left[[5,1,3right]]}  Stabilisator-Code.  Es kodiert k=1{displaystyle k=1}  logisches Qubit in n=5{displaystyle n=5}  physischen Qubits und sch\u00fctzt vor einem willk\u00fcrlichen Einzel-Qubit-Fehler.  Es hat Code-Distanz D=3{displaystyle d=3}.  Sein Stabilisator besteht aus n\u2212k=4{displaystyle nk=4}  Pauli-Operatoren:g1=xZZxichg2=ichxZZxg3=xichxZZg4=ZxichxZ{displaystyle {begin{array}{ccccccc}g_{1}&=&X&Z&Z&X&I\\g_{2}&=&I&X&Z&Z&X\\g_{3}&=&X&I&X&Z&Z\\g_{4}&=&Z&X&I&X&Zend{array }}}Die oben genannten Operatoren pendeln.  Daher ist der Coderaum der simultane +1-Eigenraum der obigen Operatoren.  Angenommen, im codierten Quantenregister tritt ein Einzel-Qubit-Fehler auf.  Ein Einzel-Qubit-Fehler ist in der Menge {xich,Jaich,Zich}{displaystyle left{X_{i},Y_{i},Z_{i}right}}  wo EINich{displaystyle A_{i}}  bezeichnet einen Pauli-Fehler auf qubit ich{displaystyle i}.  Es ist einfach zu \u00fcberpr\u00fcfen, dass jeder beliebige Einzel-Qubit-Fehler ein einzigartiges Syndrom hat.  Der Empf\u00e4nger korrigiert jeden Einzel-Qubit-Fehler, indem er das Syndrom \u00fcber eine Parit\u00e4tsmessung identifiziert und eine Korrekturoperation anwendet.Verweise[edit]D. Gottesman, “Stabilisatorcodes und Quantenfehlerkorrektur”, quant-ph\/9705052, Caltech Ph.D.  These. https:\/\/arxiv.org\/abs\/quant-ph\/9705052Shor, Peter W. (1995-10-01).  \u201eSchema zur Verringerung der Dekoh\u00e4renz im Quantencomputerspeicher\u201c. Physische \u00dcberpr\u00fcfung A.  Amerikanische Physikalische Gesellschaft (APS). 52 (4): R2493\u2013R2496.  mach:10.1103\/physreva.52.r2493.  ISSN 1050-2947.  PMID 9912632.Calderbank, AR;  Shor, Peter W. (1996-08-01).  \u201eEs gibt gute quantenfehlerkorrigierende Codes\u201c. Physische \u00dcberpr\u00fcfung A.  Amerikanische Physikalische Gesellschaft (APS). 54 (2): 1098-1105.  arXiv:quant-ph\/9512032.  mach:10.1103\/physreva.54.1098.  ISSN 1050-2947.  PMID 9913578.  S2CID 11524969.Steane, AM (1996-07-29).  \u201eFehlerkorrekturcodes in der Quantentheorie\u201c. Physische \u00dcberpr\u00fcfungsschreiben.  Amerikanische Physikalische Gesellschaft (APS). 77 (5): 793\u2013797.  mach:10.1103\/physrevlett.77.793.  ISSN 0031-9007.  PMID 10062908.A. Calderbank, E. Rains, P. Shor und N. Sloane, \u201eQuantenfehlerkorrektur \u00fcber Codes \u00fcber GF(4)\u201c, IEEE Trans.  Inf.  Theorie, Bd.  44, S. 1369\u20131387, 1998. Erh\u00e4ltlich unter https:\/\/arxiv.org\/abs\/quant-ph\/9608006     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/12\/02\/stabilisatorcode-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Stabilisatorcode \u2013 Wikipedia"}}]}]