F-Verteilung – Wikipedia

Fischer–Snedecor

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter	D1, D2 > 0 Grad der Freiheit
Unterstützung	${displaystyle xin (0,+infty);}$ wenn ${displaystyle d_{1}=1}$ , ansonsten ${displaystyle xin [0,+infty );}$
PDF	${displaystyle {frac {sqrt {frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x,mathrm {B} !left({frac {d_{1}}{2}},{frac {d_{2}}{2}}right)}}!}$
CDF	${displaystyle I_{frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}left({tfrac {d_{1}}{2}},{tfrac {d_{2}}{2}}right)}$
Mean	${displaystyle {frac {d_{2}}{d_{2}-2}}!}$ for d2 > 2
Mode	${displaystyle {frac {d_{1}-2}{d_{1}}};{frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ for d1 > 2
Variance	${displaystyle {frac {2,d_{2}^{2},(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}!}$ for d2 > 4
Skewness	${displaystyle {frac {(2d_{1}+d_{2}-2){sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}!}$ for d2 > 6
Ex. kurtosis	see text
Entropy	${displaystyle ln Gamma left({tfrac {d_{1}}{2}}right)+ln Gamma left({tfrac {d_{2}}{2}}right)-ln Gamma left({tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}right)+!}$ ${displaystyle left(1-{tfrac {d_{1}}{2}}right)psi left(1+{tfrac {d_{1}}{2}}right)-left(1+{tfrac {d_{2}}{2}}right)psi left(1+{tfrac {d_{2}}{2}}right)!}$ ${displaystyle +left({tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}right)psi left({tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}right)+ln {frac {d_{1}}{d_{2}}}!}$ [1]
MGF	existiert nicht, rohe Momente in Text und in . definiert [2][3]
CF	siehe Text

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist der F-Verteilung oder F-Verhältnis, auch bekannt als Snedecors F Verteilung oder der Fisher-Snedecor-Verteilung (nach Ronald Fisher und George W. Snedecor) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die häufig als Nullverteilung einer Teststatistik auftritt, vor allem bei der Varianzanalyse (ANOVA) und anderen F-Tests.^[2][3][4][5]

Definition[edit]

Die F-Verteilung mit D₁ und D₂ Freiheitsgrade ist die Verteilung von

${displaystyle X={frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}$

wo

${textstyle S_{1}}$

und

${textstyle S_{2}}$

sind unabhängige Zufallsvariablen mit Chi-Quadrat-Verteilungen mit entsprechenden Freiheitsgraden

${textstyle d_{1}}$

und

${textstyle d_{2}}$

.

Es kann gezeigt werden, dass die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) für x wird gegeben von

${displaystyle {begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={frac {sqrt {frac {(d_{1}x)^{d_{1}} ,,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{xBetreibername {B} left({frac {d_{1}}{2}},{frac {d_{2}}{2}}right)}}\[5pt]&={frac {1}{operatorname {B} left({frac {d_{1}}{2}},{frac {d_{2}}{2}}right)}} left({frac {d_{1}}{d_{2}}}right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}left(1+{frac {d_{1}}{d_{2}}},xright)^{-(d_{1}+d_{2})/2}end{ausgerichtet}}}$

wirklich x > 0. Hier

${displaystyle mathrm {B}}$

ist die Beta-Funktion. In vielen Anwendungen sind die Parameter D₁ und D₂ positive ganze Zahlen sind, aber die Verteilung ist für positive reelle Werte dieser Parameter wohldefiniert.

Die kumulative Verteilungsfunktion ist

${displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}left({tfrac {d_{1} }{2}},{tfrac {d_{2}}{2}}right),}$

wo ich ist die regularisierte unvollständige Betafunktion.

Der Erwartungswert, die Varianz und andere Details über die F(D₁, D₂) werden in der Sidebox angegeben; Pro D₂ > 8, die überschüssige Kurtosis ist

${displaystyle gamma_{2}=12{frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)( d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}$

Die k-ter Moment eines F(D₁, D₂) Verteilung existiert und ist nur dann endlich, wenn 2k < D₂ und es ist gleich

${displaystyle mu_{X}(k)=left({frac {d_{2}}{d_{1}}}right)^{k}{frac {Gamma left({ tfrac {d_{1}}{2}}+kright)}{Gamma left({tfrac {d_{1}}{2}}right)}}{frac {Gammaleft( {tfrac {d_{2}}{2}}-kright)}{Gamma left({tfrac {d_{2}}{2}}right)}}.}$

^[6]

Die F-Verteilung ist eine spezielle Parametrisierung der Beta-Primzahlverteilung, die auch Beta-Verteilung zweiter Art genannt wird.

Die Merkmalsfunktion wird in vielen Standardwerken falsch aufgeführt (z. B.^[3]). Der richtige Ausdruck ^[7] ist

${displaystyle varphi_{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={frac {Gamma left({frac {d_{1}+d_{2}}{2 }}right)}{Gamma left({tfrac {d_{2}}{2}}right)}}U!left({frac {d_{1}}{2}}, 1-{frac {d_{2}}{2}},-{frac {d_{2}}{d_{1}}}imath sright)}$

wo U(ein, B, z) ist die konfluente hypergeometrische Funktion zweiter Art.

Charakterisierung[edit]

Eine zufällige Variation der F-Verteilung mit Parametern

${displaystyle d_{1}}$

und

${displaystyle d_{2}}$

ergibt sich als das Verhältnis von zwei entsprechend skalierten Chi-Quadrat-Variablen:^[8]

${displaystyle X={frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

wo

In Fällen, in denen die F-Verteilung wird beispielsweise bei der Varianzanalyse, Unabhängigkeit von

${displaystyle U_{1}}$

und

${displaystyle U_{2}}$

könnte durch Anwendung des Cochranschen Theorems demonstriert werden.

Äquivalent ist die Zufallsvariable der F-Verteilung kann auch geschrieben werden

${displaystyle X={frac {s_{1}^{2}}{sigma_{1}^{2}}}div {frac {s_{2}^{2}}{sigma_ {2}^{2}}},}$

wo

${displaystyle s_{1}^{2}={frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$

und

${displaystyle s_{2}^{2}={frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$

,

${displaystyle S_{1}^{2}}$

ist die Summe der Quadrate von

${displaystyle d_{1}}$

Zufallsvariablen aus der Normalverteilung

${displaystyle N(0,sigma_{1}^{2})}$

und

${displaystyle S_{2}^{2}}$

ist die Summe der Quadrate von

${displaystyle d_{2}}$

Zufallsvariablen aus der Normalverteilung

${displaystyle N(0,sigma_{2}^{2})}$

.
^{[discuss][citation needed]}

In einem frequentistischen Kontext ist ein skalierter F-Verteilung gibt also die Wahrscheinlichkeit

${displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}mid sigma_{1}^{2},sigma_{2}^{2})}$

, mit dem F-Verteilung selbst, ohne Skalierung, Anwendung wo

${displaystyle sigma_{1}^{2}}$

wird gleich genommen

${displaystyle sigma_{2}^{2}}$

. Dies ist der Kontext, in dem die F-Verteilung erscheint am häufigsten in F-Tests: wobei die Nullhypothese ist, dass zwei unabhängige normale Varianzen gleich sind, und die beobachteten Summen einiger geeignet ausgewählter Quadrate werden dann untersucht, um zu sehen, ob ihr Verhältnis mit dieser Nullhypothese signifikant unvereinbar ist.

Die Quantität

${displaystyle X}$

hat die gleiche Verteilung in der Bayesschen Statistik, wenn eine nicht aussagekräftige reskalierungsinvariante Jeffreys-Prior für die A-priori-Wahrscheinlichkeiten von genommen wird

${displaystyle sigma_{1}^{2}}$

und

${displaystyle sigma_{2}^{2}}$

.^[9] In diesem Zusammenhang ist ein skalierter F-Verteilung ergibt somit die Posterior-Wahrscheinlichkeit

${displaystyle p(sigma_{2}^{2}/sigma_{1}^{2}mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}$

, wobei die beobachteten Summen

${displaystyle s_{1}^{2}}$

und

${displaystyle s_{2}^{2}}$

gelten jetzt als bekannt.

Eigenschaften und zugehörige Verteilungen[edit]

• Wenn
  ${displaystyle Xsimchi_{d_{1}}^{2}}$

  und

  ${displaystyle Ysimchi_{d_{2}}^{2}}$

  unabhängig sind, dann

  ${displaystyle {frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}sim mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$

  

• Wenn
  ${displaystyle X_{k}simGamma(alpha_{k},beta_{k}),}$

  (Gamma-Verteilung) unabhängig sind, dann

  ${displaystyle {frac {alpha_{2}beta_{1}X_{1}}{alpha_{1}beta_{2}X_{2}}}simmathrm {F} (2alpha_{1},2alpha_{2})}$

  

• Wenn
  ${displaystyle Xsimoperatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$

  (Beta-Verteilung) dann

  ${displaystyle {frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}sim operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$

  

• Äquivalent, wenn
  ${displaystyle Xsim F(d_{1},d_{2})}$

  , dann

  ${displaystyle {frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}sim operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{ 2}/2)}$

  .

• Wenn
  ${displaystyle Xsim F(d_{1},d_{2})}$

  , dann

  ${displaystyle {frac {d_{1}}{d_{2}}}X}$

  hat eine Beta-Prime-Verteilung:

  ${displaystyle {frac {d_{1}}{d_{2}}}Xsim operatorname {beta^{prime}} ({tfrac {d_{1}}{2}},{ tfrac {d_{2}}{2}})}$

  .

• Wenn
  ${displaystyle Xsim F(d_{1},d_{2})}$

  dann

  ${displaystyle Y=lim_{d_{2}to infty}d_{1}X}$

  hat die Chi-Quadrat-Verteilung

  ${displaystyle chi_{d_{1}}^{2}}$

  

• 
  ${displaystyle F(d_{1},d_{2})}$

  entspricht der skalierten T-Quadrat-Verteilung des Hotellings

  ${displaystyle {frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1 }+d_{2}-1)}$

  .

• Wenn
  ${displaystyle Xsim F(d_{1},d_{2})}$

  dann

  ${displaystyle X^{-1}sim F(d_{2},d_{1})}$

  .

• Wenn
  ${displaystyle Xsim t_{(n)}}$

  — Student’s t-Verteilung — dann:

${displaystyle X^{2}simoperatorname {F} (1,n)}$

${displaystyle X^{-2}simoperatorname {F} (n,1)}$

• F-Verteilung ist ein Sonderfall der Typ-6-Pearson-Verteilung
• Wenn
  ${displaystyle X}$

  und

  ${displaystyle Y}$

  sind unabhängig, mit

  ${displaystyle X,Ysim}$

  Laplace(μ, B) dann

${displaystyle {frac {|X-mu |}{|Y-mu |}}sim operatorname {F} (2,2)}$

${displaystyle operatorname {Q} _{X}(p)={frac {1}{operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}$

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]