F-Verteilung – Wikipedia
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion |
|||
Verteilungsfunktion |
|||
Parameter | D1, D2 > 0 Grad der Freiheit | ||
---|---|---|---|
Unterstützung | wenn , ansonsten | ||
CDF | |||
Mean |
for d2 > 2 |
||
Mode |
for d1 > 2 |
||
Variance |
for d2 > 4 |
||
Skewness |
for d2 > 6 |
||
Ex. kurtosis | see text | ||
Entropy |
[1] |
||
MGF | existiert nicht, rohe Momente in Text und in . definiert [2][3] | ||
CF | siehe Text |
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist der F-Verteilung oder F-Verhältnis, auch bekannt als Snedecors F Verteilung oder der Fisher-Snedecor-Verteilung (nach Ronald Fisher und George W. Snedecor) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die häufig als Nullverteilung einer Teststatistik auftritt, vor allem bei der Varianzanalyse (ANOVA) und anderen F-Tests.[2][3][4][5]
Definition[edit]
Die F-Verteilung mit D1 und D2 Freiheitsgrade ist die Verteilung von
wo
und
sind unabhängige Zufallsvariablen mit Chi-Quadrat-Verteilungen mit entsprechenden Freiheitsgraden
und
.
Es kann gezeigt werden, dass die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) für x wird gegeben von
wirklich x > 0. Hier
ist die Beta-Funktion. In vielen Anwendungen sind die Parameter D1 und D2 positive ganze Zahlen sind, aber die Verteilung ist für positive reelle Werte dieser Parameter wohldefiniert.
Die kumulative Verteilungsfunktion ist
wo ich ist die regularisierte unvollständige Betafunktion.
Der Erwartungswert, die Varianz und andere Details über die F(D1, D2) werden in der Sidebox angegeben; Pro D2 > 8, die überschüssige Kurtosis ist
Die k-ter Moment eines F(D1, D2) Verteilung existiert und ist nur dann endlich, wenn 2k < D2 und es ist gleich
- [6]
Die F-Verteilung ist eine spezielle Parametrisierung der Beta-Primzahlverteilung, die auch Beta-Verteilung zweiter Art genannt wird.
Die Merkmalsfunktion wird in vielen Standardwerken falsch aufgeführt (z. B.[3]). Der richtige Ausdruck [7] ist
wo U(ein, B, z) ist die konfluente hypergeometrische Funktion zweiter Art.
Charakterisierung[edit]
Eine zufällige Variation der F-Verteilung mit Parametern
und
ergibt sich als das Verhältnis von zwei entsprechend skalierten Chi-Quadrat-Variablen:[8]
wo
In Fällen, in denen die F-Verteilung wird beispielsweise bei der Varianzanalyse, Unabhängigkeit von
und
könnte durch Anwendung des Cochranschen Theorems demonstriert werden.
Äquivalent ist die Zufallsvariable der F-Verteilung kann auch geschrieben werden
wo
und
,
ist die Summe der Quadrate von
Zufallsvariablen aus der Normalverteilung
und
ist die Summe der Quadrate von
Zufallsvariablen aus der Normalverteilung
.
[discuss][citation needed]
In einem frequentistischen Kontext ist ein skalierter F-Verteilung gibt also die Wahrscheinlichkeit
, mit dem F-Verteilung selbst, ohne Skalierung, Anwendung wo
wird gleich genommen
. Dies ist der Kontext, in dem die F-Verteilung erscheint am häufigsten in F-Tests: wobei die Nullhypothese ist, dass zwei unabhängige normale Varianzen gleich sind, und die beobachteten Summen einiger geeignet ausgewählter Quadrate werden dann untersucht, um zu sehen, ob ihr Verhältnis mit dieser Nullhypothese signifikant unvereinbar ist.
Die Quantität
hat die gleiche Verteilung in der Bayesschen Statistik, wenn eine nicht aussagekräftige reskalierungsinvariante Jeffreys-Prior für die A-priori-Wahrscheinlichkeiten von genommen wird
und
.[9] In diesem Zusammenhang ist ein skalierter F-Verteilung ergibt somit die Posterior-Wahrscheinlichkeit
, wobei die beobachteten Summen
und
gelten jetzt als bekannt.
[edit]
- Wenn und unabhängig sind, dann
- Wenn (Gamma-Verteilung) unabhängig sind, dann
- Wenn (Beta-Verteilung) dann
- Äquivalent, wenn , dann .
- Wenn , dann hat eine Beta-Prime-Verteilung: .
- Wenn dann hat die Chi-Quadrat-Verteilung
- entspricht der skalierten T-Quadrat-Verteilung des Hotellings .
- Wenn dann .
- Wenn — Student’s t-Verteilung — dann:
- F-Verteilung ist ein Sonderfall der Typ-6-Pearson-Verteilung
- Wenn und sind unabhängig, mit Laplace(μ, B) dann
Siehe auch[edit]
Verweise[edit]
- ^ Lazo, AV; Rathie, P. (1978). „Über die Entropie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen“. IEEE-Transaktionen zur Informationstheorie. IEEE. 24 (1): 120-122. mach:10.1109/tit.1978.1055832.
- ^ ein B Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kötz; N. Balakrishnan (1995). Kontinuierliche univariate Verteilungen, Band 2 (zweite Auflage, Abschnitt 27). Wiley. ISBN 0-471-58494-0.
- ^ ein B C Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, Hrsg. (1983) [June 1964]. “Kapitel 26”. Handbuch mathematischer Funktionen mit Formeln, Graphen und mathematischen Tabellen. Reihe Angewandte Mathematik. 55 (Neunter Nachdruck mit zusätzlichen Korrekturen des zehnten Originaldrucks mit Korrekturen (Dezember 1972); 1. Aufl.). Washington, D.C; New York: Handelsministerium der Vereinigten Staaten, National Bureau of Standards; Dover-Publikationen. P. 946. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. HERR 0167642. LCCN 65-12253.
- ^ NIST (2006). Handbuch der Ingenieurstatistik – F-Verteilung
- ^ Stimmung, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974). Einführung in die Statistiktheorie (Dritte Aufl.). McGraw-Hügel. S. 246–249. ISBN 0-07-042864-6.
- ^ Taboga, Marco. “Die F-Verteilung”.
- ^ Phillips, PCB (1982) “Die wahre charakteristische Funktion der F-Verteilung”, Biometrie, 69: 261–264 JSTOR 2335882
- ^ MH DeGroot (1986), Wahrscheinlichkeit und Statistik (2. Aufl.), Addison-Wesley. ISBN 0-201-11366-X, p. 500
- ^ GEP Box und GC Tiao (1973), Bayes’sche Inferenz in der statistischen Analyse, Addison-Wesley. P. 110
Externe Links[edit]
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