[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/12\/09\/f-verteilung-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/12\/09\/f-verteilung-wikipedia\/","headline":"F-Verteilung \u2013 Wikipedia","name":"F-Verteilung \u2013 Wikipedia","description":"before-content-x4 Fischer\u2013Snedecor Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Verteilungsfunktion Parameter D1, D2 > 0 Grad der Freiheit Unterst\u00fctzung x\u2208(0,+\u221e){displaystyle xin (0,+infty);} wenn D1=1{displaystyle d_{1}=1} ,","datePublished":"2021-12-09","dateModified":"2021-12-09","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/7\/74\/F-distribution_pdf.svg\/325px-F-distribution_pdf.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/7\/74\/F-distribution_pdf.svg\/325px-F-distribution_pdf.svg.png","height":"244","width":"325"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/12\/09\/f-verteilung-wikipedia\/","wordCount":14787,"articleBody":" (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Fischer\u2013SnedecorWahrscheinlichkeitsdichtefunktion VerteilungsfunktionParameterD1, D2 > 0 Grad der FreiheitUnterst\u00fctzungx\u2208(0,+\u221e){displaystyle xin (0,+infty);} wenn D1=1{displaystyle d_{1}=1}, ansonsten x\u2208[0,+\u221e){displaystyle xin [0,+infty );}PDF(d1x)d1d2d2(d1x+d2)d1+d2xB(d12,d22){displaystyle {frac {sqrt {frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x,mathrm {B} !left({frac {d_{1}}{2}},{frac {d_{2}}{2}}right)}}!}CDFId1xd1x+d2(d12,d22){displaystyle I_{frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}left({tfrac {d_{1}}{2}},{tfrac {d_{2}}{2}}right)}Mean d2d2\u22122{displaystyle {frac {d_{2}}{d_{2}-2}}!}for d2 > 2Moded1\u22122d1d2d2+2{displaystyle {frac {d_{1}-2}{d_{1}}};{frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}for d1 > 2Variance2d22(d1+d2\u22122)d1(d2\u22122)2(d2\u22124){displaystyle {frac {2,d_{2}^{2},(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}!}for d2 > 4Skewness(2d1+d2\u22122)8(d2\u22124)(d2\u22126)d1(d1+d2\u22122){displaystyle {frac {(2d_{1}+d_{2}-2){sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}!}for d2 > 6Ex. kurtosissee textEntropyln\u2061\u0393(d12)+ln\u2061\u0393(d22)\u2212ln\u2061\u0393(d1+d22)+{displaystyle ln Gamma left({tfrac {d_{1}}{2}}right)+ln Gamma left({tfrac {d_{2}}{2}}right)-ln Gamma left({tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}right)+!}(1\u2212d12)\u03c8(1+d12)\u2212(1+d22)\u03c8(1+d22){displaystyle left(1-{tfrac {d_{1}}{2}}right)psi left(1+{tfrac {d_{1}}{2}}right)-left(1+{tfrac {d_{2}}{2}}right)psi left(1+{tfrac {d_{2}}{2}}right)!}+(d1+d22)\u03c8(d1+d22)+ln\u2061d1d2{displaystyle +left({tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}right)psi left({tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}right)+ln {frac {d_{1}}{d_{2}}}!}[1]MGFexistiert nicht, rohe Momente in Text und in . definiert [2][3]CFsiehe TextIn der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist der F-Verteilung oder F-Verh\u00e4ltnis, auch bekannt als Snedecors F Verteilung oder der Fisher-Snedecor-Verteilung (nach Ronald Fisher und George W. Snedecor) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die h\u00e4ufig als Nullverteilung einer Teststatistik auftritt, vor allem bei der Varianzanalyse (ANOVA) und anderen F-Tests.[2][3][4][5]Table of ContentsDefinition[edit]Charakterisierung[edit] Eigenschaften und zugeh\u00f6rige Verteilungen[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Definition[edit]Die F-Verteilung mit D1 und D2 Freiheitsgrade ist die Verteilung vonx=S1\/D1S2\/D2{displaystyle X={frac {S_{1}\/d_{1}}{S_{2}\/d_{2}}}}wo S1{textstyle S_{1}} und S2{textstyle S_{2}} sind unabh\u00e4ngige Zufallsvariablen mit Chi-Quadrat-Verteilungen mit entsprechenden Freiheitsgraden D1{textstyle d_{1}} und D2{textstyle d_{2}}.Es kann gezeigt werden, dass die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) f\u00fcr x wird gegeben vonF(x;D1,D2)=(D1x)D1D2D2(D1x+D2)D1+D2xB\u2061(D12,D22)=1B\u2061(D12,D22)(D1D2)D1\/2xD1\/2\u22121(1+D1D2x)\u2212(D1+D2)\/2{displaystyle {begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={frac {sqrt {frac {(d_{1}x)^{d_{1}} ,,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{xBetreibername {B} left({frac {d_{1}}{2}},{frac {d_{2}}{2}}right)}}\\[5pt]&={frac {1}{operatorname {B} left({frac {d_{1}}{2}},{frac {d_{2}}{2}}right)}} left({frac {d_{1}}{d_{2}}}right)^{d_{1}\/2}x^{d_{1}\/2-1}left(1+{frac {d_{1}}{d_{2}}},xright)^{-(d_{1}+d_{2})\/2}end{ausgerichtet}}}wirklich x > 0. Hier B{displaystyle mathrm {B}} ist die Beta-Funktion. In vielen Anwendungen sind die Parameter D1 und D2 positive ganze Zahlen sind, aber die Verteilung ist f\u00fcr positive reelle Werte dieser Parameter wohldefiniert.Die kumulative Verteilungsfunktion istF(x;D1,D2)=ichD1x\/(D1x+D2)(D12,D22),{displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x\/(d_{1}x+d_{2})}left({tfrac {d_{1} }{2}},{tfrac {d_{2}}{2}}right),}wo ich ist die regularisierte unvollst\u00e4ndige Betafunktion.Der Erwartungswert, die Varianz und andere Details \u00fcber die F(D1, D2) werden in der Sidebox angegeben; Pro D2 > 8, die \u00fcbersch\u00fcssige Kurtosis ist\u03b32=12D1(5D2\u221222)(D1+D2\u22122)+(D2\u22124)(D2\u22122)2D1(D2\u22126)(D2\u22128)(D1+D2\u22122).{displaystyle gamma_{2}=12{frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)( d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}Die k-ter Moment eines F(D1, D2) Verteilung existiert und ist nur dann endlich, wenn 2k < D2 und es ist gleich\u03bcx(k)=(D2D1)k\u0393(D12+k)\u0393(D12)\u0393(D22\u2212k)\u0393(D22).{displaystyle mu_{X}(k)=left({frac {d_{2}}{d_{1}}}right)^{k}{frac {Gamma left({ tfrac {d_{1}}{2}}+kright)}{Gamma left({tfrac {d_{1}}{2}}right)}}{frac {Gammaleft( {tfrac {d_{2}}{2}}-kright)}{Gamma left({tfrac {d_{2}}{2}}right)}}.} [6]Die F-Verteilung ist eine spezielle Parametrisierung der Beta-Primzahlverteilung, die auch Beta-Verteilung zweiter Art genannt wird.Die Merkmalsfunktion wird in vielen Standardwerken falsch aufgef\u00fchrt (z. B.[3]). Der richtige Ausdruck [7] ist\u03c6D1,D2F(S)=\u0393(D1+D22)\u0393(D22)U(D12,1\u2212D22,\u2212D2D1ichS){displaystyle varphi_{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={frac {Gamma left({frac {d_{1}+d_{2}}{2 }}right)}{Gamma left({tfrac {d_{2}}{2}}right)}}U!left({frac {d_{1}}{2}}, 1-{frac {d_{2}}{2}},-{frac {d_{2}}{d_{1}}}imath sright)}wo U(ein, B, z) ist die konfluente hypergeometrische Funktion zweiter Art.Charakterisierung[edit]Eine zuf\u00e4llige Variation der F-Verteilung mit Parametern D1{displaystyle d_{1}} und D2{displaystyle d_{2}} ergibt sich als das Verh\u00e4ltnis von zwei entsprechend skalierten Chi-Quadrat-Variablen:[8]x=U1\/D1U2\/D2{displaystyle X={frac {U_{1}\/d_{1}}{U_{2}\/d_{2}}}}woIn F\u00e4llen, in denen die F-Verteilung wird beispielsweise bei der Varianzanalyse, Unabh\u00e4ngigkeit von U1{displaystyle U_{1}} und U2{displaystyle U_{2}} k\u00f6nnte durch Anwendung des Cochranschen Theorems demonstriert werden.\u00c4quivalent ist die Zufallsvariable der F-Verteilung kann auch geschrieben werdenx=S12\u03c312\u00f7S22\u03c322,{displaystyle X={frac {s_{1}^{2}}{sigma_{1}^{2}}}div {frac {s_{2}^{2}}{sigma_ {2}^{2}}},}wo S12=S12D1{displaystyle s_{1}^{2}={frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}} und S22=S22D2{displaystyle s_{2}^{2}={frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}, S12{displaystyle S_{1}^{2}} ist die Summe der Quadrate von D1{displaystyle d_{1}} Zufallsvariablen aus der Normalverteilung n(0,\u03c312){displaystyle N(0,sigma_{1}^{2})} und S22{displaystyle S_{2}^{2}} ist die Summe der Quadrate von D2{displaystyle d_{2}} Zufallsvariablen aus der Normalverteilung n(0,\u03c322){displaystyle N(0,sigma_{2}^{2})}.[discuss][citation needed]In einem frequentistischen Kontext ist ein skalierter F-Verteilung gibt also die Wahrscheinlichkeit P(S12\/S22|\u03c312,\u03c322){displaystyle p(s_{1}^{2}\/s_{2}^{2}mid sigma_{1}^{2},sigma_{2}^{2})}, mit dem F-Verteilung selbst, ohne Skalierung, Anwendung wo \u03c312{displaystyle sigma_{1}^{2}} wird gleich genommen \u03c322{displaystyle sigma_{2}^{2}}. Dies ist der Kontext, in dem die F-Verteilung erscheint am h\u00e4ufigsten in F-Tests: wobei die Nullhypothese ist, dass zwei unabh\u00e4ngige normale Varianzen gleich sind, und die beobachteten Summen einiger geeignet ausgew\u00e4hlter Quadrate werden dann untersucht, um zu sehen, ob ihr Verh\u00e4ltnis mit dieser Nullhypothese signifikant unvereinbar ist.Die Quantit\u00e4t x{displaystyle X} hat die gleiche Verteilung in der Bayesschen Statistik, wenn eine nicht aussagekr\u00e4ftige reskalierungsinvariante Jeffreys-Prior f\u00fcr die A-priori-Wahrscheinlichkeiten von genommen wird \u03c312{displaystyle sigma_{1}^{2}} und \u03c322{displaystyle sigma_{2}^{2}}.[9] In diesem Zusammenhang ist ein skalierter F-Verteilung ergibt somit die Posterior-Wahrscheinlichkeit P(\u03c322\/\u03c312|S12,S22){displaystyle p(sigma_{2}^{2}\/sigma_{1}^{2}mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}, wobei die beobachteten Summen S12{displaystyle s_{1}^{2}} und S22{displaystyle s_{2}^{2}} gelten jetzt als bekannt. Eigenschaften und zugeh\u00f6rige Verteilungen[edit]Wenn x~\u03c7D12{displaystyle Xsimchi_{d_{1}}^{2}} und Ja~\u03c7D22{displaystyle Ysimchi_{d_{2}}^{2}} unabh\u00e4ngig sind, dann x\/D1Ja\/D2~F(D1,D2){displaystyle {frac {X\/d_{1}}{Y\/d_{2}}}sim mathrm {F} (d_{1},d_{2})}Wenn xk~\u0393(\u03b1k,\u03b2k){displaystyle X_{k}simGamma(alpha_{k},beta_{k}),} (Gamma-Verteilung) unabh\u00e4ngig sind, dann \u03b12\u03b21x1\u03b11\u03b22x2~F(2\u03b11,2\u03b12){displaystyle {frac {alpha_{2}beta_{1}X_{1}}{alpha_{1}beta_{2}X_{2}}}simmathrm {F} (2alpha_{1},2alpha_{2})}Wenn x~Beta\u2061(D1\/2,D2\/2){displaystyle Xsimoperatorname {Beta} (d_{1}\/2,d_{2}\/2)} (Beta-Verteilung) dann D2xD1(1\u2212x)~F\u2061(D1,D2){displaystyle {frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}sim operatorname {F} (d_{1},d_{2})}\u00c4quivalent, wenn x~F(D1,D2){displaystyle Xsim F(d_{1},d_{2})}, dann D1x\/D21+D1x\/D2~Beta\u2061(D1\/2,D2\/2){displaystyle {frac {d_{1}X\/d_{2}}{1+d_{1}X\/d_{2}}}sim operatorname {Beta} (d_{1}\/2,d_{ 2}\/2)}.Wenn x~F(D1,D2){displaystyle Xsim F(d_{1},d_{2})}, dann D1D2x{displaystyle {frac {d_{1}}{d_{2}}}X} hat eine Beta-Prime-Verteilung: D1D2x~\u03b2Ich\u2061(D12,D22){displaystyle {frac {d_{1}}{d_{2}}}Xsim operatorname {beta^{prime}} ({tfrac {d_{1}}{2}},{ tfrac {d_{2}}{2}})}.Wenn x~F(D1,D2){displaystyle Xsim F(d_{1},d_{2})} dann Ja=limD2\u2192\u221eD1x{displaystyle Y=lim_{d_{2}to infty}d_{1}X} hat die Chi-Quadrat-Verteilung \u03c7D12{displaystyle chi_{d_{1}}^{2}}F(D1,D2){displaystyle F(d_{1},d_{2})} entspricht der skalierten T-Quadrat-Verteilung des Hotellings D2D1(D1+D2\u22121)T2\u2061(D1,D1+D2\u22121){displaystyle {frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1 }+d_{2}-1)}.Wenn x~F(D1,D2){displaystyle Xsim F(d_{1},d_{2})} dann x\u22121~F(D2,D1){displaystyle X^{-1}sim F(d_{2},d_{1})}.Wenn x~T(n){displaystyle Xsim t_{(n)}} \u2014 Student’s t-Verteilung \u2014 dann:x2~F\u2061(1,n){displaystyle X^{2}simoperatorname {F} (1,n)}x\u22122~F\u2061(n,1){displaystyle X^{-2}simoperatorname {F} (n,1)}F-Verteilung ist ein Sonderfall der Typ-6-Pearson-VerteilungWenn x{displaystyle X} und Ja{displaystyle Y} sind unabh\u00e4ngig, mit x,Ja~{displaystyle X,Ysim} Laplace(\u03bc, B) dann|x\u2212\u03bc||Ja\u2212\u03bc|~F\u2061(2,2){displaystyle {frac {|X-mu |}{|Y-mu |}}sim operatorname {F} (2,2)}Qx\u2061(P)=1QJa\u2061(1\u2212P).{displaystyle operatorname {Q} _{X}(p)={frac {1}{operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ Lazo, AV; Rathie, P. (1978). \u201e\u00dcber die Entropie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen\u201c. IEEE-Transaktionen zur Informationstheorie. IEEE. 24 (1): 120-122. mach:10.1109\/tit.1978.1055832.^ ein B Johnson, Norman Lloyd; Samuel K\u00f6tz; N. Balakrishnan (1995). Kontinuierliche univariate Verteilungen, Band 2 (zweite Auflage, Abschnitt 27). Wiley. ISBN 0-471-58494-0.^ ein B C Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, Hrsg. (1983) [June 1964]. “Kapitel 26”. Handbuch mathematischer Funktionen mit Formeln, Graphen und mathematischen Tabellen. Reihe Angewandte Mathematik. 55 (Neunter Nachdruck mit zus\u00e4tzlichen Korrekturen des zehnten Originaldrucks mit Korrekturen (Dezember 1972); 1. Aufl.). Washington, D.C; New York: Handelsministerium der Vereinigten Staaten, National Bureau of Standards; Dover-Publikationen. P. 946. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. HERR 0167642. LCCN 65-12253.^ NIST (2006). Handbuch der Ingenieurstatistik \u2013 F-Verteilung^ Stimmung, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974). Einf\u00fchrung in die Statistiktheorie (Dritte Aufl.). McGraw-H\u00fcgel. S. 246\u2013249. ISBN 0-07-042864-6.^ Taboga, Marco. “Die F-Verteilung”.^ Phillips, PCB (1982) “Die wahre charakteristische Funktion der F-Verteilung”, Biometrie, 69: 261\u2013264 JSTOR 2335882^ MH DeGroot (1986), Wahrscheinlichkeit und Statistik (2. Aufl.), Addison-Wesley. ISBN 0-201-11366-X, p. 500^ GEP Box und GC Tiao (1973), Bayes’sche Inferenz in der statistischen Analyse, Addison-Wesley. P. 110Externe Links[edit] (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki25\/2021\/12\/09\/f-verteilung-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"F-Verteilung \u2013 Wikipedia"}}]}]