[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/07\/17\/coxeter-gruppe-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/07\/17\/coxeter-gruppe-wikipedia\/","headline":"Coxeter-Gruppe \u2013 Wikipedia","name":"Coxeter-Gruppe \u2013 Wikipedia","description":"Gruppe, die eine formale Beschreibung in Form von Reflexionen zul\u00e4sst In der Mathematik, a Coxeter-Gruppe, benannt nach HSM Coxeter, ist","datePublished":"2021-07-17","dateModified":"2021-07-17","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d351823dfc3cc3241b16731504526e98d62bea2c","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d351823dfc3cc3241b16731504526e98d62bea2c","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/07\/17\/coxeter-gruppe-wikipedia\/","wordCount":32214,"articleBody":"Gruppe, die eine formale Beschreibung in Form von Reflexionen zul\u00e4sst  In der Mathematik, a Coxeter-Gruppe, benannt nach HSM Coxeter, ist eine abstrakte Gruppe, die eine formale Beschreibung durch Reflexionen (oder kaleidoskopische Spiegel) zul\u00e4sst.  Tats\u00e4chlich sind die endlichen Coxeter-Gruppen genau die endlichen euklidischen Reflexionsgruppen;  die Symmetriegruppen regelm\u00e4\u00dfiger Polyeder sind ein Beispiel.  Allerdings sind nicht alle Coxeter-Gruppen endlich, und nicht alle k\u00f6nnen durch Symmetrien und euklidische Reflexionen beschrieben werden.  Coxeter-Gruppen wurden 1934 als Abstraktionen von Reflexionsgruppen eingef\u00fchrt (Coxeter 1934), und endliche Coxeter-Gruppen wurden 1935 klassifiziert (Coxeter 1935).Coxeter-Gruppen finden in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung.  Beispiele f\u00fcr endliche Coxeter-Gruppen sind die Symmetriegruppen regelm\u00e4\u00dfiger Polytope und die Weyl-Gruppen einfacher Lie-Algebren.  Beispiele f\u00fcr unendliche Coxeter-Gruppen umfassen die Dreiecksgruppen, die regul\u00e4ren Tessellationen der euklidischen Ebene und der hyperbolischen Ebene entsprechen, und die Weyl-Gruppen unendlichdimensionaler Kac-Moody-Algebren.Zu den Standardreferenzen geh\u00f6ren (Humphreys 1992) und (Davis 2007).  Table of ContentsDefinition[edit]Coxeter-Matrix und Schl\u00e4fli-Matrix[edit]Ein Beispiel[edit]Verbindung mit Reflexionsgruppen[edit]Finite Coxeter-Gruppen[edit]Einstufung[edit]Weyl-Gruppen[edit]Eigenschaften[edit]Symmetriegruppen regelm\u00e4\u00dfiger Polytope[edit]Affine Coxeter-Gruppen[edit]Hyperbolische Coxeter-Gruppen[edit]Teilbestellungen[edit]Homologie[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Weiterlesen[edit]Externe Links[edit]Definition[edit]Formal, a Coxeter-Gruppe kann mit der Pr\u00e4sentation als Gruppe definiert werden\u27e8r1,r2,\u2026,rnein|(richrj)ichichj=1\u27e9{displaystyle leftlangle r_{1},r_{2},ldots,r_{n}mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1rightrangle}wo   ichichich=1{displaystyle m_{ii}=1}  und ichichj\u22652{displaystyle m_{ij}geq 2}  zum ich\u2260j{displaystyle ineq j}.  Die Bedingung ichichj=\u221e{displaystyle m_{ij}=infty}  bedeutet keine Beziehung der Form (richrj)ich{displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}}  auferlegt werden sollte.Das Paar (W,S){displaystyle (W,S)}  wo W{displaystyle W}  ist eine Coxeter-Gruppe mit Generatoren S={r1,\u2026,rnein}{displaystyle S={r_{1},dots,r_{n}}}  hei\u00dft a Coxeter-System.  Beachten Sie, dass im Allgemeinen S{displaystyle S}  ist nicht eindeutig bestimmt durch W{displaystyle W}.  Zum Beispiel die Coxeter-Gruppen vom Typ B3{displaystyle B_{3}}  und EIN1\u00d7EIN3{displaystyle A_{1}times A_{3}}  sind isomorph, aber die Coxeter-Systeme sind nicht \u00e4quivalent (siehe unten f\u00fcr eine Erkl\u00e4rung dieser Notation).Aus der obigen Definition lassen sich sofort eine Reihe von Schlussfolgerungen ziehen.xx=jaja=1{displaystyle xx=yy=1},zusammen mitxjaxja=1{displaystyle xyxy=1}impliziert, dassxja=x(xjaxja)ja=(xx)jax(jaja)=jax{displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}.Da es sich bei den Generatoren alternativ um Involutionen handelt, rich=rich\u22121{displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}, so (richrj)2=richrjrichrj=richrjrich\u22121rj\u22121{displaystyle (r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{- 1}r_{j}^{-1}}, und ist damit gleich dem Kommutator.Um Redundanzen zwischen den Relationen zu vermeiden, muss davon ausgegangen werden, dass ichichj=ichjich{displaystyle m_{ij}=m_{ji}}.  Dies folgt aus der Beobachtung, dassjaja=1{displaystyle yy=1},zusammen mit(xja)ich=1{displaystyle (xy)^{m}=1}impliziert, dass(jax)ich=(jax)ichjaja=ja(xja)ichja=jaja=1{displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}.Alternative, (xja)k{displaystyle (xy)^{k}}  und (jax)k{displaystyle (yx)^{k}}  sind konjugierte Elemente, wie ja(xja)kja\u22121=(jax)kjaja\u22121=(jax)k{displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}.Coxeter-Matrix und Schl\u00e4fli-Matrix[edit]Das Coxeter-Matrix ist der nein\u00d7nein{displaystyle nmal n}, symmetrische Matrix mit Eintr\u00e4gen ichichj{displaystyle m_{ij}}.  Tats\u00e4chlich ist jede symmetrische Matrix mit diagonalen Eintr\u00e4gen ausschlie\u00dflich 1 und nichtdiagonalen Eintr\u00e4gen in der Menge {2,3,\u2026}\u222a{\u221e}{displaystyle {2,3,ldots}cup {infty}}  ist eine Coxeter-Matrix.Die Coxeter-Matrix kann bequem durch a . kodiert werden Coxeter-Diagramm, nach den folgenden Regeln.Insbesondere kommutieren zwei Generatoren genau dann, wenn sie nicht durch eine Kante verbunden sind.  Wenn ein Coxeter-Graphen au\u00dferdem zwei oder mehr verbundene Komponenten hat, ist die zugeh\u00f6rige Gruppe das direkte Produkt der Gruppen, die den einzelnen Komponenten zugeordnet sind.  Somit ergibt die disjunkte Vereinigung von Coxeter-Graphen ein direktes Produkt von Coxeter-Gruppen.Die Coxeter-Matrix, Michj{displaystyle M_{ij}}, h\u00e4ngt mit dem zusammen nein\u00d7nein{displaystyle nmal n}  Schl\u00e4fli-Matrix C{displaystyle C}  mit Eintr\u00e4gen Cichj=\u22122cos\u2061(\u03c0\/Michj){displaystyle C_{ij}=-2cos(pi \/M_{ij})}, aber die Elemente werden modifiziert und sind proportional zum Skalarprodukt der paarweisen Generatoren.  Die Schl\u00e4fli-Matrix ist n\u00fctzlich, weil ihre Eigenwerte bestimmen, ob die Coxeter-Gruppe von endlicher Typ (alles positiv), affiner Typ (alle nicht negativ, mindestens eine Null), oder unbestimmter Typ (Andernfalls).  Der unbestimmte Typ wird manchmal weiter unterteilt, zB in hyperbolische und andere Coxeter-Gruppen.  Es gibt jedoch mehrere nicht \u00e4quivalente Definitionen f\u00fcr hyperbolische Coxeter-Gruppen.BeispieleCoxeter-GruppeEIN1\u00d7A1EIN2B2H2G2ich~1{displaystyle {tilde {I}}_{1}}EIN3B3D4EIN~3{displaystyle {tilde {A}}_{3}}Coxeter-DiagrammCoxeter-Matrix[1221]{displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&2\\2&1\\end{smallmatrix}}right]}[1331]{displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&3\\3&1\\end{smallmatrix}}right]}[1441]{displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&4\\4&1\\end{smallmatrix}}right]}[1551]{displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&5\\5&1\\end{smallmatrix}}right]}[1661]{displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&6\\6&1\\end{smallmatrix}}right]}[1\u221e\u221e1]{displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&infty \\infty &1\\end{smallmatrix}}right]}[132313231]{displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&3&2\\3&1&3\\2&3&1end{smallmatrix}}right]}[142413231]{displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&4&2\\4&1&3\\2&3&1end{smallmatrix}}right]}[1322313323122321]{displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&3&2&2\\3&1&3&3\\2&3&1&2\\2&3&2&1end{smallmatrix}}right]}[1323313223133231]{displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&3&2&3\\3&1&3&2\\2&3&1&3\\3&2&3&1end{smallmatrix}}right]}Schl\u00e4fli-Matrix[2002]{displaystyle left[{begin{smallmatrix}2&0\\0&2end{smallmatrix}}right]}[\u00a02\u22121\u22121\u00a02]{displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-1\\-1& ,2end{smallmatrix}}right]}[\u00a02\u22122\u22122\u00a02]{displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-{sqrt {2}}\\-{sqrt {2}}& ,2end{smallmatrix}}right]}[\u00a02\u2212\u03d5\u2212\u03d5\u00a02]{displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-phi \\-phi & ,2end{smallmatrix}}right]}[\u00a02\u22123\u22123\u00a02]{displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-{sqrt {3}}\\-{sqrt {3}}& ,2end{smallmatrix}}right]}[\u00a02\u22122\u22122\u00a02]{displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-2\\-2& ,2end{smallmatrix}}right]}[\u00a02\u22121\u00a00\u22121\u00a02\u22121\u00a00\u22121\u00a02]{displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-1& ,0\\-1& ,2&-1\\ ,0&-1& ,2end{smallmatrix}}right]}[\u00a0\u00a0\u00a02\u22122\u00a00\u22122\u00a0\u00a0\u00a02\u22121\u00a0\u00a0\u00a00\u00a0\u22121\u00a02]{displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,  2&-{sqrt {2}}& ,0\\-{sqrt {2}}& ,  2&-1\\ ,  0& ,-1& ,2end{smallmatrix}}right]}[\u00a02\u22121\u00a00\u00a00\u22121\u00a02\u22121\u22121\u00a00\u22121\u00a02\u00a00\u00a00\u22121\u00a00\u00a02]{displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-1& ,0& ,0\\-1& ,2&-1&-1\\ ,0&-1& ,2& ,0\\ ,0&-1& ,0& ,2end{smallmatrix}}right]}[\u00a02\u22121\u00a00\u22121\u22121\u00a02\u22121\u00a00\u00a00\u22121\u00a02\u22121\u22121\u00a00\u22121\u00a02]{displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-1& ,0&-1\\-1& ,2&-1& ,0\\ ,0&-1& ,2&-1\\-1& ,0&-1& ,2end{smallmatrix}}right]}Ein Beispiel[edit]Der Graph EINnein{displaystyle A_{n}}  in denen Knoten 1 bis nein in einer Reihe platziert werden, wobei jeder Knoten durch eine unbeschriftete Kante mit seinen unmittelbaren Nachbarn verbunden ist, ergibt sich die symmetrische Gruppe Snein+1;  die Generatoren entsprechen den Transpositionen (1 2), (2 3), … , (nein nein+1).  Zwei nicht aufeinanderfolgende Transpositionen kommutieren immer, w\u00e4hrend (k k+1) (k+1 k+2) ergibt den 3-Zyklus (k k+2 k+1).  Das zeigt nat\u00fcrlich nur das Sn+1  ist eine Quotientengruppe der durch den Graphen beschriebenen Coxeter-Gruppe, aber es ist nicht allzu schwierig, die Gleichheit zu \u00fcberpr\u00fcfen.Verbindung mit Reflexionsgruppen[edit]Coxeter-Gruppen sind eng mit Reflexionsgruppen verbunden.  Einfach ausgedr\u00fcckt sind Coxeter-Gruppen abstrakt Gruppen (durch eine Pr\u00e4sentation gegeben), w\u00e4hrend Reflexionsgruppen Beton Gruppen (als Untergruppen linearer Gruppen oder verschiedene Verallgemeinerungen angegeben).  Coxeter-Gruppen sind aus dem Studium von Reflexionsgruppen hervorgegangen \u2014 sie sind eine Abstraktion: Eine Reflexionsgruppe ist eine Untergruppe einer durch Reflexionen erzeugten linearen Gruppe (die Ordnung 2 haben), w\u00e4hrend eine Coxeter-Gruppe eine abstrakte Gruppe ist, die durch Involutionen (Elemente von Ordnung 2, von Reflexionen abstrahierend) und deren Beziehungen eine bestimmte Form haben ((richrj)k{displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}, entsprechend Hyperebenen, die sich unter einem Winkel von . treffen \u03c0\/k{displaystyle pi \/k}, mit richrj{displaystyle r_{i}r_{j}}  in Ordnung sein k abstrahieren von einer Drehung um 2\u03c0\/k{displaystyle 2pi \/k}).Die abstrakte Gruppe einer Reflexionsgruppe ist eine Coxeter-Gruppe, w\u00e4hrend umgekehrt eine Reflexionsgruppe als lineare Darstellung einer Coxeter-Gruppe angesehen werden kann.  Zum endlich Reflexionsgruppen ergibt dies eine exakte Entsprechung: Jede endliche Coxeter-Gruppe l\u00e4sst eine getreue Darstellung als endliche Reflexionsgruppe eines euklidischen Raums zu.  Bei unendlichen Coxeter-Gruppen kann eine Coxeter-Gruppe jedoch keine Darstellung als Reflexionsgruppe zulassen.Historisch hat (Coxeter 1934) bewiesen, dass jede Reflexionsgruppe eine Coxeter-Gruppe ist (dh eine Pr\u00e4sentation hat, in der alle Beziehungen die Form of rich2{displaystyle r_{i}^{2}}  oder (richrj)k{displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}), und tats\u00e4chlich f\u00fchrte diese Arbeit den Begriff einer Coxeter-Gruppe ein, w\u00e4hrend (Coxeter 1935) bewies, dass jede endliche Coxeter-Gruppe eine Repr\u00e4sentation als Reflexionsgruppe hatte, und endliche Coxeter-Gruppen klassifizierte.Finite Coxeter-Gruppen[edit]  Coxeter-Graphen der endlichen Coxeter-Gruppen.Einstufung[edit]Die endlichen Coxeter-Gruppen wurden in (Coxeter 1935) in Form von Coxeter-Dynkin-Diagrammen klassifiziert;  sie werden alle durch Reflexionsgruppen endlichdimensionaler euklidischer R\u00e4ume dargestellt.Die endlichen Coxeter-Gruppen bestehen aus drei einparametrigen Familien mit steigendem Rang EINnein,Bnein,Dnein,{displaystyle A_{n},B_{n},D_{n},}  eine einparametrige Familie der Dimension zwei, ich2(p),{displaystyle I_{2}(p),}  und sechs au\u00dfergew\u00f6hnliche Gruppen: E6,E7,E8,F4,H3,{displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},}  und H4{displaystyle H_{4}}.  Das Produkt endlich vieler Coxeter-Gruppen in dieser Liste ist wieder eine Coxeter-Gruppe, und auf diese Weise entstehen alle endlichen Coxeter-Gruppen.Weyl-Gruppen[edit]Viele, aber nicht alle, sind Weyl-Gruppen, und jede Weyl-Gruppe kann als Coxeter-Gruppe realisiert werden.  Die Weyl-Gruppen sind die Familien EINnein,Bnein,{displaystyle A_{n},B_{n},}  und Dnein,{displaystyle D_{n},}  und die Ausnahmen E6,E7,E8,F4,{displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},}  und ich2(6),{displaystyle I_{2}(6),}  in Weyl-Gruppennotation bezeichnet als G2.{displaystyle G_{2}.}  Ausnahmen sind die Nicht-Weyl-Gruppen H3{displaystyle H_{3}}  und H4,{displaystyle H_{4},}  und die Familie ich2(p){displaystyle I_{2}(p)}  es sei denn, dies f\u00e4llt mit einer der Weyl-Gruppen zusammen (n\u00e4mlich ich2(3)\u2245EIN2,ich2(4)\u2245B2,{displaystyle I_{2}(3)cong A_{2},I_{2}(4)cong B_{2},}  und ich2(6)\u2245G2{displaystyle I_{2}(6)cong G_{2}}).Dies l\u00e4sst sich belegen, indem man die Restriktionen auf (ungerichtete) Dynkin-Diagramme mit den Restriktionen auf Coxeter-Diagramme endlicher Gruppen vergleicht: Formal erh\u00e4lt man den Coxeter-Graphen aus dem Dynkin-Diagramm, indem man die Richtung der Kanten wegl\u00e4sst und jede Doppelkante durch . ersetzt eine Kante mit der Bezeichnung 4 und jede Dreifachkante durch eine Kante mit der Bezeichnung 6. Beachten Sie auch, dass jede endlich erzeugte Coxeter-Gruppe eine automatische Gruppe ist.[1]  Dynkin-Diagramme haben die zus\u00e4tzliche Einschr\u00e4nkung, dass die einzigen zul\u00e4ssigen Kantenbeschriftungen 2, 3, 4 und 6 sind, was das Obige ergibt.  Geometrisch entspricht dies dem kristallographischen Restriktionssatz und der Tatsache, dass ausgeschlossene Polytope weder den Raum f\u00fcllen noch die Ebene kacheln \u2013 f\u00fcr H3,{displaystyle H_{3},}  das Dodekaeder (zweifach Ikosaeder) f\u00fcllt den Raum nicht aus;  zum H4,{displaystyle H_{4},}  die 120-Zelle (dual 600-Zelle) f\u00fcllt den Raum nicht aus;  zum ich2(p){displaystyle I_{2}(p)}  ein p-gon deckt das Flugzeug nicht ab, au\u00dfer f\u00fcr p=3,4,{displaystyle p=3,4,}  oder 6{displaystyle 6}  (die dreieckigen, quadratischen bzw. sechseckigen Kacheln).Beachten Sie weiterhin, dass die (gerichteten) Dynkin-Diagramme Bnein  und Cnein  ergeben die gleiche Weyl-Gruppe (daher Coxeter-Gruppe), weil sie sich unterscheiden als gerichtet Grafiken, aber stimme zu wie ungerichtet Graphen \u2013 Richtung ist f\u00fcr Wurzelsysteme wichtig, aber nicht f\u00fcr die Weyl-Gruppe;  dies entspricht dem Hyperw\u00fcrfel und dem Kreuzpolytop, die verschiedene regul\u00e4re Polytope sind, aber dieselbe Symmetriegruppe haben.Eigenschaften[edit]Einige Eigenschaften der endlichen irreduziblen Coxeter-Gruppen sind in der folgenden Tabelle angegeben.  Die Ordnung der reduzierbaren Gruppen kann durch das Produkt ihrer irreduziblen Untergruppenordnungen berechnet werden.RangneinGruppeSymbolWechselnSymbolHalterungNotationCoxeterGraphReflexionenich = 1\/2nh[2]Coxeter-NummerhaAuftragGruppenstruktur[3]Verwandte Polytope1EIN1EIN1[ ]122S2{displaystyle S_{2}}{ }2EIN2EIN2[3]336S3\u2245D6\u2245GEHEN2\u2212\u2061(2)\u2245GEHEN2+\u2061(4){displaystyle S_{3}cong D_{6}cong operatorname {GO} _{2}^{-}(2)cong operatorname {GO} _{2}^{+}(4)}{3}3EIN3EIN3[3,3]6424S4{displaystyle S_{4}}{3,3}4EIN4EIN4[3,3,3]105120S5{displaystyle S_{5}}{3,3,3}5EIN5EIN5[3,3,3,3]f\u00fcnfzehn6720S6{displaystyle S_{6}}{3,3,3,3}neinEINneinEINnein[3n\u22121]…nein(nein + 1)\/2nein + 1(nein + 1)!Snein+1{displaystyle S_{n+1}}nein-Simplex2B2C2[4]448C2\u2240S2\u2245D8\u2245GEHEN2\u2212\u2061(3)\u2245GEHEN2+\u2061(5){displaystyle C_{2}wr S_{2}cong D_{8}cong operatorname {GO} _{2}^{-}(3)cong operatorname {GO} _{2}^{ +}(5)}{4}3B3C3[4,3]9648C2\u2240S3\u2245S4\u00d72{displaystyle C_{2}wr S_{3}cong S_{4}times 2}{4,3} \/ {3,4}4B4C4[4,3,3]168384C2\u2240S4{displaystyle C_{2}wr S_{4}}-{4,3,3} \/ {3,3,4}5B5C5[4,3,3,3]25103840C2\u2240S5{displaystyle C_{2}wr S_{5}}{4,3,3,3} \/ {3,3,3,4}neinBneinCnein[4,3n\u22122]…nein22nein2neinnein!C2\u2240Snein{displaystyle C_{2}wr S_{n}}nein-W\u00fcrfel \/ nein-orthoplex4D4B4[31,1,1]126192C23S4\u224521+4:S3{displaystyle C_{2}^{3}S_{4}cong 2^{1+4}colon S_{3}}h{4,3,3} \/ {3,31,1}5D5B5[32,1,1]2081920C24S5{displaystyle C_{2}^{4}S_{5}}h{4,3,3,3} \/ {3,3,31,1}neinDneinBnein[3n\u22123,1,1]…nein(nein \u2212 1)2(nein \u2212 1)2nein-1nein!C2nein\u22121Snein{displaystyle C_{2}^{n-1}S_{n}}nein-Zweiw\u00fcrfel \/ nein-orthoplex6E6E6[32,2,1]361251840 (72×6!)GEHEN6\u2212\u2061(2)\u2245SO5\u2061(3)\u2245PSp4\u2061(3):2\u2245Netzteil4\u2061(2):2{displaystyle operatorname {GO} _{6}^{-}(2)cong operatorname {SO} _{5}(3)cong operatorname {PSp} _{4}(3)colon 2 cong operatorname {PSU} _{4}(2)colon 2}221, 1227E7E7[33,2,1]63182903040 (72×8!)GEHEN7\u2061(2)\u00d72\u2245Sp6\u2061(2)\u00d72{displaystyle operatorname {GO} _{7}(2)times 2cong operatorname {Sp} _{6}(2)times 2}321, 231, 1328E8E8[34,2,1]12030696729600 (192×10!)2\u22c5GEHEN8+\u2061(2){displaystyle 2cdot operatorname {GO} _{8}^{+}(2)}421, 241, 1424F4F4[3,4,3]24121152GEHEN4+\u2061(3)\u224521+4:(S3\u00d7S3){displaystyle operatorname {GO} _{4}^{+}(3)cong 2^{1+4}colon (S_{3}times S_{3})}{3,4,3}2G2\u2013 (D62)[6]6612D12\u2245GEHEN2\u2212\u2061(5)\u2245GEHEN2+\u2061(7){displaystyle D_{12}cong operatorname {GO} _{2}^{-}(5)cong operatorname {GO} _{2}^{+}(7)}{6}2H2G2[5]5510D10\u2245GEHEN2\u2212\u2061(4){displaystyle D_{10}congoperatorname {GO} _{2}^{-}(4)}{5}3H3G3[3,5]f\u00fcnfzehn101202\u00d7EIN5{displaystyle 2times A_{5}}{3,5} \/ {5,3}4H4G4[3,3,5]6030144002\u22c5(EIN5\u00d7EIN5):2{displaystyle 2cdot (A_{5}times A_{5})colon 2}[a]{5,3,3} \/ {3,3,5}2ich2(nein)Dnein2[n]neinnein2neinD2nein{displaystyle D_{2n}}\u2245GEHEN2\u2212\u2061(nein\u22121){displaystyle cong operatorname {GO} _{2}^{-}(n-1)}  wann nein = pk  + 1, p prim\u2245GEHEN2+\u2061(nein+1){displaystyle cong operatorname {GO} _{2}^{+}(n+1)}  wann nein = pk  \u2212 1, p prim{p}Symmetriegruppen regelm\u00e4\u00dfiger Polytope[edit]Alle Symmetriegruppen regelm\u00e4\u00dfiger Polytope sind endliche Coxeter-Gruppen.  Beachten Sie, dass duale Polytope dieselbe Symmetriegruppe haben.Es gibt drei Reihen regelm\u00e4\u00dfiger Polytope in allen Dimensionen.  Die Symmetriegruppe eines Regular nein-simplex ist die symmetrische Gruppe Snein+1, auch bekannt als Coxeter-Gruppe des Typs EINnein.  Die Symmetriegruppe der nein-W\u00fcrfel und sein Dual, der nein-Kreuzpolytop, is Bnein, und wird als hyperoktaedrische Gruppe bezeichnet.Die au\u00dfergew\u00f6hnlichen regelm\u00e4\u00dfigen Polytope in den Dimensionen zwei, drei und vier entsprechen anderen Coxeter-Gruppen.  In zwei Dimensionen bilden die Diedergruppen, die Symmetriegruppen regelm\u00e4\u00dfiger Vielecke, die Reihe ich2(p).  In drei Dimensionen ist die Symmetriegruppe des regul\u00e4ren Dodekaeders und seines dualen, des regul\u00e4ren Ikosaeders H3, bekannt als die vollst\u00e4ndige ikosaedrische Gruppe.  In vier Dimensionen gibt es drei spezielle regelm\u00e4\u00dfige Polytope, die 24-Zellen, die 120-Zellen und die 600-Zellen.  Die erste hat Symmetriegruppe F4, w\u00e4hrend die anderen beiden dual sind und eine Symmetriegruppe haben H4.Die Coxeter-Gruppen vom Typ Dnein, E6, E7, und E8 sind die Symmetriegruppen bestimmter semiregul\u00e4rer Polytope.Affine Coxeter-Gruppen[edit]  Coxeter-Diagramme f\u00fcr die affinen Coxeter-Gruppen  Stiefel-Diagramm f\u00fcr die G2{displaystyle G_{2}}  WurzelsystemDas affine Coxeter-Gruppen bilden eine zweite wichtige Reihe von Coxeter-Gruppen.  Diese sind selbst nicht endlich, sondern enthalten jeweils eine normal abelsche Untergruppe, sodass die entsprechende Quotientengruppe endlich ist.  In jedem Fall ist die Quotientengruppe selbst eine Coxeter-Gruppe, und der Coxeter-Graphen der affinen Coxeter-Gruppe ergibt sich aus dem Coxeter-Graphen der Quotientengruppe durch Hinzuf\u00fcgen einer weiteren Ecke und einer oder zweier zus\u00e4tzlicher Kanten.  Zum Beispiel f\u00fcr nein \u2265 2, der Graph bestehend aus nein+1 Eckpunkte in einem Kreis erh\u00e4lt man aus EINnein  auf diese Weise, und die entsprechende Coxeter-Gruppe ist die affine Weyl-Gruppe von EINnein  (die affine symmetrische Gruppe).  Zum nein = 2, kann man sich dies als Untergruppe der Symmetriegruppe der Standardfliesen der Ebene durch gleichseitige Dreiecke vorstellen.Im Allgemeinen kann man bei einem gegebenen Wurzelsystem das zugeh\u00f6rige Stiefel-Diagramm, bestehend aus den zu den Wurzeln orthogonalen Hyperebenen zusammen mit bestimmten \u00dcbersetzungen dieser Hyperebenen.  Die affine Coxeter-Gruppe (oder affine Weyl-Gruppe) ist dann die Gruppe, die durch die (affinen) Reflexionen \u00fcber alle Hyperebenen im Diagramm erzeugt wird.[4]  Das Stiefel-Diagramm teilt die Ebene in unendlich viele zusammenh\u00e4ngende Komponenten, genannt Nischen, und die affine Coxeter-Gruppe wirkt frei und transitiv auf die Nischen, genauso wie die gew\u00f6hnliche Weyl-Gruppe frei und transitiv auf die Weyl-Kammern wirkt.  Die Abbildung rechts zeigt das Stiefel-Diagramm f\u00fcr die G2{displaystyle G_{2}}  Wurzelsystem.Annehmen R{displaystyle R}  ist ein irreduzibles Wurzelsystem von Rang 1″\/>  und lass \u03b11,\u2026,\u03b1r{displaystyle alpha_{1},ldots,alpha_{r}}  eine Sammlung einfacher Wurzeln sein.  Lassen Sie auch \u03b1r+1{displaystyle alpha_{r+1}}  bezeichnet die h\u00f6chste Wurzel.  Dann wird die affine Coxeter-Gruppe durch die gew\u00f6hnlichen (linearen) Reflexionen an den Hyperebenen senkrecht zu erzeugt \u03b11,\u2026,\u03b1r{displaystyle alpha_{1},ldots,alpha_{r}}, zusammen mit einer affinen Reflexion \u00fcber eine Verschiebung der Hyperebene senkrecht zu \u03b1r+1{displaystyle alpha_{r+1}}.  Der Coxeter-Graphen f\u00fcr die affine Weyl-Gruppe ist das Coxeter-Dynkin-Diagramm f\u00fcr R{displaystyle R}, zusammen mit einem zus\u00e4tzlichen Knoten, der mit . verbunden ist \u03b1r+1{displaystyle alpha_{r+1}}.  In diesem Fall kann man eine Nische des Stiefel-Diagramms erhalten, indem man die fundamentale Weyl-Kammer nimmt und sie durch eine Verschiebung der Hyperebene senkrecht zu schneidet \u03b1r+1{displaystyle alpha_{r+1}}.[5]Eine Liste der affinen Coxeter-Gruppen folgt:GruppeSymbolWittSymbolKlammernotationCoxeterGraphZugeh\u00f6rige einheitliche Tesselation(en)EIN~nein{displaystyle {tilde {A}}_{n}}Pnein+1{displaystyle P_{n+1}}[3[n]]…oder…Simplektische WabeB~nein{displaystyle {tilde {B}}_{n}}Snein+1{displaystyle S_{n+1}}[4,3n \u2212 3,31,1]…Demihyperkubische WabeC~nein{displaystyle {tilde {C}}_{n}}Rnein+1{displaystyle R_{n+1}}[4,3n\u22122,4]…Hyperkubische WabeD~nein{displaystyle {tilde {D}}_{n}}Qnein+1{displaystyle Q_{n+1}}[ 31,1,3n\u22124,31,1]…Demihyperkubische WabeE~6{displaystyle {tilde {E}}_{6}}T7{displaystyle T_{7}}[32,2,2]  oder 222E~7{displaystyle {tilde {E}}_{7}}T8{displaystyle T_{8}}[33,3,1]  oder 331, 133E~8{displaystyle {tilde {E}}_{8}}T9{displaystyle T_{9}}[35,2,1]521, 251, 152F~4{displaystyle {tilde {F}}_{4}}U5{displaystyle U_{5}}[3,4,3,3]16-zellige Wabe24-zellige WabeG~2{displaystyle {tilde {G}}_{2}}V3{displaystyle V_{3}}[6,3]Sechseckige Fliesen undDreieckige Fliesenich~1{displaystyle {tilde {I}}_{1}}W2{displaystyle W_{2}}[\u221e]ApeirogonDer Index des Gruppensymbols ist in jedem Fall um eins kleiner als die Anzahl der Knoten, da jede dieser Gruppen durch Hinzuf\u00fcgen eines Knotens zu einem Graphen einer endlichen Gruppe erhalten wurde.Hyperbolische Coxeter-Gruppen[edit]Es gibt unendlich viele hyperbolische Coxeter-Gruppen, die Reflexionsgruppen im hyperbolischen Raum beschreiben, insbesondere die hyperbolischen Dreiecksgruppen.Teilbestellungen[edit]Eine Auswahl von Reflexionsgeneratoren f\u00fchrt zu einer L\u00e4ngenfunktion l auf eine Coxeter-Gruppe, n\u00e4mlich die Mindestanzahl von Generatoren, die erforderlich ist, um ein Gruppenelement auszudr\u00fccken;  dies ist genau die L\u00e4nge in der Wortmetrik im Cayley-Diagramm.  Ein Ausdruck f\u00fcr v mit l(v) Generatoren ist a reduziertes Wort.  Zum Beispiel die Permutation (13) in S3 hat zwei reduzierte W\u00f6rter, (12)(23)(12) und (23)(12)(23).  Die Funktion v\u2192(\u22121)l(v){displaystyle vto (-1)^{ell (v)}}  definiert eine Karte G\u2192{\u00b11},{displaystyle Gto {pm 1},}  Verallgemeinerung der Vorzeichenkarte f\u00fcr die symmetrische Gruppe.Mit reduzierten W\u00f6rtern kann man auf der Coxeter-Gruppe drei Teilordnungen definieren, die (rechts) schwache Ordnung, das absolute Ordnung und der Bruhat-Auftrag (benannt nach Fran\u00e7ois Bruhat).  Ein Element v \u00fcberschreitet ein Element du in der Bruhat-Reihenfolge, wenn irgendein (oder \u00e4quivalent irgendein) reduziertes Wort f\u00fcr v enth\u00e4lt ein reduziertes Wort f\u00fcr du als Teilzeichenfolge, bei der einige Buchstaben (an beliebiger Position) weggelassen werden.  In der schwachen Ordnung, v \u2265 du wenn ein reduziertes Wort f\u00fcr v enth\u00e4lt ein reduziertes Wort f\u00fcr du als Anfangssegment.  Tats\u00e4chlich macht die Wortl\u00e4nge dies zu einem abgestuften Poset.  Die diesen Ordnungen entsprechenden Hasse-Diagramme sind Studienobjekte und beziehen sich auf den von den Generatoren bestimmten Cayley-Graphen.  Die absolute Ordnung wird analog zur schwachen Ordnung definiert, jedoch mit Erzeugungsmenge\/Alphabet bestehend aus allen Konjugaten der Coxeter-Generatoren.Zum Beispiel die Permutation (1 2 3) in S3 hat nur ein reduziertes Wort, (12)(23), deckt also (12) und (23) in der Bruhat-Reihenfolge ab, aber nur (12) in der schwachen Reihenfolge.Homologie[edit]Da eine Coxeter-Gruppe W{displaystyle W}  aus endlich vielen Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird, ist seine Abelianisierung eine elementare abelsche 2-Gruppe, dh sie ist isomorph zur direkten Summe mehrerer Kopien der zyklischen Gruppe Z2{displaystyle Z_{2}}.  Dies kann in Bezug auf die erste Homologiegruppe von W{displaystyle W}.Der Schur-Multiplikator M(W){displaystyle M(W)}, gleich der zweiten Homologiegruppe von W{displaystyle W}, wurde in (Ihara & Yokonuma 1965) f\u00fcr endliche Reflexionsgruppen und in (Yokonuma 1965) f\u00fcr affine Reflexionsgruppen berechnet, mit einer einheitlicheren Darstellung in (Howlett 1988).  In allen F\u00e4llen ist auch der Schur-Multiplikator eine elementare abelsche 2-Gruppe.  F\u00fcr jede unendliche Familie {Wnein}{displaystyle {W_{n}}}  endlicher oder affiner Weyl-Gruppen, der Rang von M(Wnein){displaystyle M(W_{n})}  stabilisiert sich wie nein{displaystyle n}  geht ins Unendliche.Siehe auch[edit]^ eine Index-2-Untergruppe von GEHEN4+\u2061(5){displaystyle operatorname {GO} _{4}^{+}(5)}Verweise[edit]^ Brink, Brigitte;  Howlett, Robert B.  (1993), “Eine Endlichkeitseigenschaft und eine automatische Struktur f\u00fcr Coxeter-Gruppen”, Mathematische Annalen, 296 (1): 179\u2013190, doi:10.1007\/BF01445101, Zbl 0793.20036.^ Steuermann, Regelm\u00e4\u00dfige Polytope, \u00a712.6 Die Anzahl der Reflexionen, Gleichung 12.61^ Wilson, Robert A. (2009), “Kapitel 2”, Die endlichen einfachen Gruppen, Abschlusstexte in Mathematik 251, 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007\/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5^ Halle 2015 Sektion 13.6^ Halle 2015 Kapitel 13, \u00dcbungen 12 und 13Weiterlesen[edit]Bj\u00f6rner, Anders;  Brenti, Francesco (2005), Kombinatorik von Coxeter-Gruppen, Abschlusstexte in Mathematik, 231, Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl 1110.05001Bourbaki, Nicolas (2002), L\u00fcgengruppen und L\u00fcgenalgebren: Kapitel 4\u20136, Elemente der Mathematik, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl 0983.17001Coxeter, HSM (1934), “Diskrete Gruppen, die durch Reflexionen erzeugt werden”, Annalen der Mathematik, 35 (3): 588\u2013621, CiteSeerX 10.1.1.128.471, doi:10.2307\/1968753, JSTOR 1968753Coxeter, HSM (1935), “Die vollst\u00e4ndige Aufz\u00e4hlung endlicher Gruppen der Form rich2=(richrj)kichj=1{displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}“, J. London-Mathe.  Soz., 1, 10 (1): 21\u201325, doi:10.1112\/jlms\/s1-10.37.21Davis, Michael W. (2007), Die Geometrie und Topologie von Coxeter-Gruppen (PDF), ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020Grove, Larry C.;  Benson, Clark T. (1985), Endliche Reflexionsgruppen, Abschlusstexte in Mathematik, 99, Springer, ISBN 978-0-387-96082-1Halle, Brian C. (2015), Lie-Gruppen, Lie-Algebren und Repr\u00e4sentationen: Eine elementare Einf\u00fchrung, Abschlusstexte in Mathematik, 222 (2. Aufl.), Springer, ISBN 978-3319134666Humphreys, James E. (1992) [1990], Reflexionsgruppen und Coxeter-Gruppen, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 29, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl 0725.20028Kane, Richard (2001), Reflexionsgruppen und Invariantentheorie, CMS B\u00fccher in Mathematik, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl 0986.20038Hiller, Howard (1982), Geometrie der Coxeter-Gruppen, Forschungsnotizen in Mathematik, 54, Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl 0483.57002Ihara, S.;  Yokonuma, Takeo (1965), “Zur zweiten Kohomologiegruppen (Schur-Multiplikatoren) endlicher Reflexionsgruppen” (PDF), J. Fac.  Wissenschaft  Univ.  Tokio, Sek.  1, 11: 155\u2013171, Zbl 0136.28802, archiviert von das Original (PDF) am 2013-10-23Howlett, Robert B. (1988), “\u00dcber die Schur-Multiplikatoren von Coxeter-Gruppen”, J. London-Mathe.  Soz., 2, 38 (2): 263\u2013276, doi:10.1112\/jlms\/s2-38.2.263, Zbl 0627.20019Vinberg, Ernst B. (1984), “Fehlen kristallographischer Reflexionsgruppen in Lobatschewski-R\u00e4umen gro\u00dfer Dimension”, Trudy Moskau.  Matte.  Obsch., 47Yokonuma, Takeo (1965), “Zur zweiten Kohomologiegruppen (Schur-Multiplikatoren) unendlicher diskreter Reflexionsgruppen”, J. Fac.  Wissenschaft  Univ.  Tokio, Sek.  1, 11: 173\u2013186, hdl:2261\/6049, Zbl 0136.28803Externe Links[edit]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/07\/17\/coxeter-gruppe-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Coxeter-Gruppe \u2013 Wikipedia"}}]}]