[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/07\/17\/orr-sommerfeld-gleichung-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/07\/17\/orr-sommerfeld-gleichung-wikipedia\/","headline":"Orr-Sommerfeld-Gleichung \u2013 Wikipedia","name":"Orr-Sommerfeld-Gleichung \u2013 Wikipedia","description":"before-content-x4 Das Orr-Sommerfeld-Gleichung, in der Fluiddynamik, ist eine Eigenwertgleichung, die die linearen zweidimensionalen St\u00f6rungsmodi einer viskosen Parallelstr\u00f6mung beschreibt. Die L\u00f6sung","datePublished":"2021-07-17","dateModified":"2021-07-17","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/e\/eb\/OS_schematic.svg\/300px-OS_schematic.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/e\/eb\/OS_schematic.svg\/300px-OS_schematic.svg.png","height":"125","width":"300"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/07\/17\/orr-sommerfeld-gleichung-wikipedia\/","wordCount":12469,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Das Orr-Sommerfeld-Gleichung, in der Fluiddynamik, ist eine Eigenwertgleichung, die die linearen zweidimensionalen St\u00f6rungsmodi einer viskosen Parallelstr\u00f6mung beschreibt.  Die L\u00f6sung der Navier-Stokes-Gleichungen f\u00fcr eine parallele, laminare Str\u00f6mung kann instabil werden, wenn bestimmte Str\u00f6mungsbedingungen erf\u00fcllt sind und die Orr-Sommerfeld-Gleichung genau bestimmt, was die Bedingungen f\u00fcr hydrodynamische Stabilit\u00e4t sind.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Die Gleichung ist nach William McFadden Orr und Arnold Sommerfeld benannt, die sie Anfang des 20. Jahrhunderts herleiteten.Table of ContentsFormulierung[edit]L\u00f6sungen[edit]Mathematische Methoden f\u00fcr Str\u00f6mungen an freier Oberfl\u00e4che[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Weiterlesen[edit]Formulierung[edit]         (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Ein schematisches Diagramm des Grundzustands des Systems.  Die untersuchte Str\u00f6mung stellt eine kleine St\u00f6rung au\u00dferhalb dieses Zustands dar.  W\u00e4hrend der Grundzustand parallel ist, hat die St\u00f6rungsgeschwindigkeit Komponenten in beide Richtungen.Die Gleichung wird abgeleitet, indem eine linearisierte Version der Navier-Stokes-Gleichung f\u00fcr das St\u00f6rungsgeschwindigkeitsfeld gel\u00f6st wirddu=(U(z)+du‘(x,z,t),0,w‘(x,z,t)){displaystyle mathbf{u} =left(U(z)+u'(x,z,t),0,w'(x,z,t)right)},wo (U(z),0,0){displaystyle (U(z),0,0)}  ist der ungest\u00f6rte oder grundlegende Fluss.  Die St\u00f6rungsgeschwindigkeit hat die wellenf\u00f6rmige L\u00f6sung        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4du‘\u03b1exp\u2061(ich\u03b1(x\u2212ct)){displaystyle mathbf {u} ‘propto exp(ialpha (x-ct))}  (realer Teil verstanden).  Mit diesem Wissen und der Stromfunktionsdarstellung f\u00fcr die Str\u00f6mung erh\u00e4lt man die folgende Dimensionsform der Orr-Sommerfeld-Gleichung:\u03bcich\u03b1\u03c1(d2dz2\u2212\u03b12)2\u03c6=(U\u2212c)(d2dz2\u2212\u03b12)\u03c6\u2212U“\u03c6{displaystyle {frac {mu}{ialpharho}}left({d^{2} over dz^{2}}-alpha^{2}right)^{2} varphi =(Uc)left({d^{2} over dz^{2}}-alpha^{2}right)varphi -U”varphi},wo \u03bc{displaystylemu}  ist die dynamische Viskosit\u00e4t der Fl\u00fcssigkeit, \u03c1{displaystyle rho}  ist seine Dichte, und \u03c6{displaystylevarphi}  ist die Potential- oder Stromfunktion.  Bei Nullviskosit\u00e4t (\u03bc=0{displaystyle mu =0}) reduziert sich die Gleichung auf die Rayleigh-Gleichung.  Die Gleichung kann in dimensionsloser Form geschrieben werden, indem Geschwindigkeiten gem\u00e4\u00df einer Skala gemessen werden, die durch eine charakteristische Geschwindigkeit festgelegt wird U0{displaystyle U_{0}}, und durch L\u00e4ngenmessung nach Kanaltiefe ha{displaystyle h}.  Dann hat die Gleichung die Form1ich\u03b1Re(d2dz2\u2212\u03b12)2\u03c6=(U\u2212c)(d2dz2\u2212\u03b12)\u03c6\u2212U“\u03c6{displaystyle {1over ialpha,Re}left({d^{2} over dz^{2}}-alpha^{2}right)^{2}varphi =(Uc )left({d^{2} over dz^{2}}-alpha^{2}right)varphi -U”varphi },woRe=\u03c1U0ha\u03bc{displaystyle Re={frac {rho U_{0}h}{mu}}}ist die Reynolds-Zahl des Basisflusses.  Die relevanten Randbedingungen sind die rutschfesten Randbedingungen an der Kanalober- und -unterseite z=z1{displaystyle z=z_{1}}  und z=z2{displaystyle z=z_{2}},\u03b1\u03c6=d\u03c6dz=0{displaystyle alphavarphi ={dvarphiover dz}=0}  beim z=z1{displaystyle z=z_{1}}  und z=z2,{displaystyle z=z_{2},}  in dem Fall, wo \u03c6{displaystylevarphi}  ist die Potentialfunktion.Oder:\u03b1\u03c6=d\u03c6dx=0{displaystyle alphavarphi ={dvarphiover dx}=0}  beim z=z1{displaystyle z=z_{1}}  und z=z2,{displaystyle z=z_{2},}  in dem Fall, wo \u03c6{displaystylevarphi}  ist die Stream-Funktion.Der Eigenwertparameter des Problems ist c{displaystyle c}  und der Eigenvektor ist \u03c6{displaystylevarphi}.  Wenn der Imagin\u00e4rteil der Wellengeschwindigkeit c{displaystyle c}  positiv ist, dann ist die Basisstr\u00f6mung instabil, und die kleine St\u00f6rung, die in das System eingef\u00fchrt wird, wird mit der Zeit verst\u00e4rkt.L\u00f6sungen[edit]F\u00fcr alle bis auf die einfachsten Geschwindigkeitsprofile U{displaystyle U}, sind numerische oder asymptotische Methoden erforderlich, um L\u00f6sungen zu berechnen.  Einige typische Str\u00f6mungsprofile werden unten diskutiert.  Im Allgemeinen ist das Spektrum der Gleichung f\u00fcr eine begrenzte Str\u00f6mung diskret und unendlich, w\u00e4hrend f\u00fcr unbeschr\u00e4nkte Str\u00f6mungen (z. B. Grenzschichtstr\u00f6mung) das Spektrum sowohl kontinuierliche als auch diskrete Anteile enth\u00e4lt.[1]  Das Spektrum des Orr-Sommerfeld-Operators f\u00fcr Poiseuille-Str\u00f6mung bei Kritikalit\u00e4t.  Dispersionskurven der Poiseuille-Str\u00f6mung f\u00fcr verschiedene Reynolds-Zahlen.F\u00fcr eine ebene Poiseuille-Str\u00f6mung wurde gezeigt, dass die Str\u00f6mung instabil ist (dh ein oder mehrere Eigenwerte c{displaystyle c}  hat einen positiven Imagin\u00e4rteil) f\u00fcr manche \u03b1{displaystylealpha}  wann Re_{c}=5772.22″\/>  und der neutral stabile Modus bei Re=Rec{displaystyle Re=Re_{c}}  haben \u03b1c=1.02056{displaystyle alpha_{c}=1.02056}, cr=0.264002{displaystyle c_{r}=0,264002}.[2]    Um die Stabilit\u00e4tseigenschaften des Systems zu sehen, ist es \u00fcblich, eine Dispersionskurve zu zeichnen, d. h. eine Auftragung der Wachstumsrate Ich bin(\u03b1c){displaystyle {text{Im}}(alpha {c})}  als Funktion der Wellenzahl \u03b1{displaystylealpha}.Die erste Abbildung zeigt das Spektrum der Orr-Sommerfeld-Gleichung bei den oben aufgef\u00fchrten kritischen Werten.  Dies ist ein Diagramm der Eigenwerte (in der Form \u03bb=\u2212ich\u03b1c{displaystyle lambda =-ialpha {c}}) in der komplexen Ebene.  Der Eigenwert ganz rechts ist der instabilste.  Bei den kritischen Werten von Reynoldszahl und Wellenzahl ist der ganz rechts liegende Eigenwert genau null.  Bei h\u00f6heren (niedrigeren) Werten der Reynolds-Zahl verschiebt sich der am weitesten rechts liegende Eigenwert in die positive (negative) H\u00e4lfte der komplexen Ebene.  Ein vollst\u00e4ndigeres Bild der Stabilit\u00e4tseigenschaften wird dann durch eine Auftragung gegeben, die die funktionale Abh\u00e4ngigkeit dieses Eigenwertes zeigt;  dies ist in der zweiten Abbildung dargestellt.Andererseits zeigt das Spektrum der Eigenwerte f\u00fcr Couette-Str\u00f6mung Stabilit\u00e4t bei allen Reynolds-Zahlen.[3]    In Experimenten wurde jedoch festgestellt, dass die Couette-Str\u00f6mung instabil bis klein ist, aber endlich, St\u00f6rungen, f\u00fcr die die lineare Theorie und die Orr-Sommerfeld-Gleichung nicht gelten.  Es wurde argumentiert, dass die Nicht-Normalit\u00e4t des Eigenwertproblems im Zusammenhang mit Couette- (und tats\u00e4chlich Poiseuille-)Fluss diese beobachtete Instabilit\u00e4t erkl\u00e4ren k\u00f6nnte.[4]    Das hei\u00dft, die Eigenfunktionen des Orr-Sommerfeld-Operators sind vollst\u00e4ndig, aber nicht orthogonal.  Dann enth\u00e4lt die St\u00f6rungsenergie Beitr\u00e4ge aus allen Eigenfunktionen der Orr-Sommerfeld-Gleichung.  Selbst wenn die mit jedem separat betrachteten Eigenwert verbundene Energie exponentiell mit der Zeit abf\u00e4llt (wie von der Orr-Sommerfeld-Analyse f\u00fcr die Couette-Str\u00f6mung vorhergesagt), k\u00f6nnen die Kreuzterme, die sich aus der Nicht-Orthogonalit\u00e4t der Eigenwerte ergeben, vor\u00fcbergehend zunehmen.  Somit steigt die Gesamtenergie vor\u00fcbergehend (bevor sie asymptotisch gegen Null tendiert).  Das Argument ist, dass, wenn das Ausma\u00df dieses vor\u00fcbergehenden Wachstums ausreichend gro\u00df ist, es die laminare Str\u00f6mung destabilisiert, jedoch wurde dieses Argument nicht allgemein akzeptiert.[5]Eine nichtlineare Theorie, die den \u00dcbergang erkl\u00e4rt,[6][7]  wurde auch vorgeschlagen.  Obwohl diese Theorie lineares transientes Wachstum beinhaltet, liegt der Fokus auf nichtlinearen 3D-Prozessen, von denen stark vermutet wird, dass sie dem \u00dcbergang zu Turbulenz in Scherstr\u00f6mungen unterliegen.  Die Theorie hat zur Konstruktion sogenannter vollst\u00e4ndiger 3D-Steady-States, Wanderwellen und zeitperiodischer L\u00f6sungen der Navier-Stokes-Gleichungen gef\u00fchrt, die viele der Schl\u00fcsselmerkmale von \u00dcbergangs- und koh\u00e4renten Strukturen erfassen, die im wandnahen Bereich turbulenter Scherung beobachtet werden flie\u00dft.[8][9][10][11][12][13]  Obwohl “L\u00f6sung” in der Regel die Existenz eines analytischen Ergebnisses impliziert, ist es in der Str\u00f6mungsmechanik g\u00e4ngige Praxis, numerische Ergebnisse als “L\u00f6sungen” – unabh\u00e4ngig davon, ob die N\u00e4herungsl\u00f6sungen die Navier-Stokes-Gleichungen mathematisch befriedigend erf\u00fcllen oder nicht.  Es wird postuliert, dass der \u00dcbergang zur Turbulenz den dynamischen Zustand des Fluids beinhaltet, der sich von einer L\u00f6sung zur n\u00e4chsten entwickelt.  Die Theorie basiert somit auf der tats\u00e4chlichen Existenz solcher L\u00f6sungen (von denen viele noch in einem physikalischen Versuchsaufbau beobachtet werden m\u00fcssen).  Diese Lockerung der Forderung nach exakten L\u00f6sungen erlaubt ein hohes Ma\u00df an Flexibilit\u00e4t, da exakte L\u00f6sungen (im Gegensatz zu numerischen L\u00f6sungen) auf Kosten von Strenge und (m\u00f6glicherweise) Korrektheit extrem schwer zu erhalten sind.  Obwohl nicht so rigoros wie fr\u00fchere \u00dcbergangsans\u00e4tze, hat es eine immense Popularit\u00e4t gewonnen.Eine Erweiterung der Orr-Sommerfeld-Gleichung auf die Str\u00f6mung in por\u00f6sen Medien wurde k\u00fcrzlich vorgeschlagen.[14]Mathematische Methoden f\u00fcr Str\u00f6mungen an freier Oberfl\u00e4che[edit]F\u00fcr Couette-Str\u00f6mung ist es m\u00f6glich, mathematische Fortschritte bei der L\u00f6sung der Orr-Sommerfeld-Gleichung zu erzielen.  In diesem Abschnitt wird diese Methode f\u00fcr den Fall der Freifl\u00e4chenstr\u00f6mung demonstriert, dh wenn der obere Kanaldeckel durch eine freie Fl\u00e4che ersetzt wird.  Beachten Sie zun\u00e4chst, dass die oberen Randbedingungen ge\u00e4ndert werden m\u00fcssen, um die freie Fl\u00e4che zu ber\u00fccksichtigen.  In dimensionsloser Form lauten diese Bedingungen nun now\u03c6=d\u03c6dz=0,{displaystyle varphi ={dvarphi over dz}=0,}  beim z=0{displaystyle z=0},d2\u03c6dz2+\u03b12\u03c6=0{displaystyle {frac {d^{2}varphi }{dz^{2}}}+alpha^{2}varphi =0},\u03a9\u2261d3\u03c6dz3+ich\u03b1Re[(c\u2212U(z2=1))d\u03c6dz+\u03c6]\u2212ich\u03b1Re(1Fr+\u03b12We)\u03c6c\u2212U(z2=1)=0,{displaystyle Omega equiv {frac {d^{3}varphi }{dz^{3}}}+ialpha Releft[left(c-Uleft(z_{2}=1right)right){frac {dvarphi }{dz}}+varphi right]-ialpha Releft({frac {1}{Fr}}+{frac {alpha ^{2}}{Wir}}right){frac {varphi }{cUleft(z_ {2}=1rechts)}}=0,}  beim z=1{displaystyle ,z=1}.Die erste Bedingung der freien Oberfl\u00e4che ist die Aussage \u00fcber die Stetigkeit der Tangentialspannung, w\u00e4hrend die zweite Bedingung die Normalspannung auf die Oberfl\u00e4chenspannung bezieht.  HierFr=U02Gha, We=\u03c1du02ha\u03c3{displaystyle Fr={frac {U_{0}^{2}}{gh}},,, We={frac {rho u_{0}^{2}h}{sigma } }}sind die Froude- und Weber-Zahlen.F\u00fcr Couette-Flow U(z)=z{displaystyle Uleft(zright)=z}, sind die vier linear unabh\u00e4ngigen L\u00f6sungen der dimensionslosen Orr-Sommerfeld-Gleichung[15]\u03c71(z)=sinh\u2061(\u03b1z),\u03c72(z)=cosh\u2061(\u03b1z){displaystyle chi_{1}left(zright)=sinhleft(alpha zright),qquadchi_{2}left(zright)=cosh left( alpha zrechts)},\u03c73(z)=1\u03b1\u222b\u221ezsinh\u2061[\u03b1(z\u2212\u03be)]EINich[ei\u03c0\/6(\u03b1Re)1\/3(\u03be\u2212c\u2212i\u03b1Re)]d\u03be,{displaystyle chi_{3}left(zright)={frac {1}{alpha}}int _{infty}^{z}sinh left[alpha left(z-xi right)right]Ailinks[e^{ipi \/6}left(alpha Reright)^{1\/3}left(xi -c-{frac {ialpha }{Re}}right)right]dxi ,}\u03c74(z)=1\u03b1\u222b\u221ezsinh\u2061[\u03b1(z\u2212\u03be)]EINich[e5i\u03c0\/6(\u03b1Re)1\/3(\u03be\u2212c\u2212i\u03b1Re)]d\u03be,{displaystyle chi_{4}left(zright)={frac {1}{alpha}}int _{infty}^{z}sinh left[alpha left(z-xi right)right]Ailinks[e^{5ipi \/6}left(alpha Reright)^{1\/3}left(xi -c-{frac {ialpha }{Re}}right)right]dxi ,}wo EINich(\u22c5){displaystyle Aileft(cdotright)}  ist die Airy-Funktion erster Art.  Substitution der Superpositionsl\u00f6sung \u03c6=\u03a3ich=14cich\u03c7ich(z){displaystyle varphi =sum_{i=1}^{4}c_{i}chi_{i}left(zright)}  in die vier Randbedingungen ergibt vier Gleichungen in den vier unbekannten Konstanten cich{displaystyle c_{i}}.  Damit die Gleichungen eine nicht-triviale L\u00f6sung haben, ist die Determinantenbedingung|\u03c71(0)\u03c72(0)\u03c73(0)\u03c74(0)\u03c71‘(0)\u03c72‘(0)\u03c73‘(0)\u03c74‘(0)\u03a91(1)\u03a92(1)\u03a93(1)\u03a94(1)\u03c71“(1)+\u03b12\u03c71(1)\u03c72“(1)+\u03b12\u03c72(1)\u03c73“(1)+\u03b12\u03c73(1)\u03c74“(1)+\u03b12\u03c74(1)|=0{displaystyle left|{begin{array}{cccc}chi _{1}left(0right)&chi_{2}left(0right)&chi_{3} left(0right)&chi_{4}left(0right)\\chi_{1}’left(0right)&chi_{2}’left(0right )&chi _{3}’left(0right)&chi_{4}’left(0right)\\Omega _{1}left(1right)&Omega_ {2}left(1right)&Omega_{3}left(1right)&Omega_{4}left(1right)\\chi _{1}”left (1right)+alpha^{2}chi_{1}left(1right)&chi_{2}”left(1right)+alpha^{2}chi _{2}left(1right)&chi_{3}”left(1right)+alpha^{2}chi_{3}left(1right)&chi _{4}”left(1right)+alpha^{2}chi_{4}left(1right)end{array}}right|=0}muss zufrieden sein.  Dies ist eine einzelne Gleichung im Unbekannten c, die numerisch oder asymptotisch gel\u00f6st werden k\u00f6nnen.  Es kann gezeigt werden, dass f\u00fcr einen Bereich von Wellenzahlen \u03b1{displaystylealpha}  und f\u00fcr hinreichend gro\u00dfe Reynolds-Zahlen die Wachstumsrate \u03b1cich{displaystyle alpha c_{text{i}}}  ist positiv.Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ Hooper, AP;  Grimshaw, R. (1996). “Zweidimensionales St\u00f6rungswachstum von linear stabilen viskosen Scherstr\u00f6mungen”. Phys.  Fl\u00fcssigkeiten. 8 (6): 1424\u20131432.  Bibcode:1996PhFl….8.1424H.  mach:10.1063\/1.868919.^ Orszag, SA (1971). “Genaue L\u00f6sung der Orr-Sommerfeld-Stabilit\u00e4tsgleichung”. J. Fluidmech. 50 (4): 689\u2013703.  Bibcode:1971JFM….50..689O.  mach:10.1017\/S0022112071002842.^ Drazin, PG;  Reid, WH (1981). Hydrodynamische Stabilit\u00e4t.  New York: Cambridge University Press.  ISBN 978-0521227988.^ Trefethen, NL;  Trefethen, AE;  Teddy, SC;  Driscoll, TA (1993). “Hydrodynamische Stabilit\u00e4t ohne Eigenwerte”. Wissenschaft. 261 (5121): 578\u2013584.  Bibcode:1993Sc…261..578T.  mach:10.1126\/science.261.5121.578.  PMID 17758167.  S2CID 18221574.^ Waleffe, Fabian (1995). “\u00dcbergang in Scherstr\u00f6mungen: Nichtlineare Normalit\u00e4t versus nichtnormale Linearit\u00e4t”. Physik der Fl\u00fcssigkeiten. 7 (12): 3060\u20133066.  Bibcode:1995PhFl….7.3060W.  mach:10.1063\/1.868682.^ Waleffe, Fabian (1995). “Hydrodynamische Stabilit\u00e4t und Turbulenz: Jenseits von Transienten zu einem sich selbst erhaltenden Prozess”. Studium der Angewandten Mathematik. 95 (3): 319\u2013343.  mach:10.1002\/sapm1995953319.^ Waleffe, Fabian (1997). “\u00dcber einen selbsterhaltenden Prozess in Scherstr\u00f6mungen”. Physik der Fl\u00fcssigkeiten. 9 (4): 883\u2013900.  Bibcode:1997PhFl….9..883W.  mach:10.1063\/1.869185.^ Waleffe, Fabian (1998). “Dreidimensionale koh\u00e4rente Zust\u00e4nde in ebenen Scherstr\u00f6mungen”. Physische \u00dcberpr\u00fcfungsschreiben. 81 (19): 4140\u20134143.  Bibcode:1998PhRvL..81.4140W.  mach:10.1103\/PhysRevLett.81.4140.^ Waleffe, Fabian (2001). “Exakte koh\u00e4rente Strukturen im Kanalfluss”. Zeitschrift f\u00fcr Str\u00f6mungsmechanik. 435: 93\u2013102.  mach:10.1017\/S0022112001004189.^ Waleffe, Fabian (2003). “Homotopie exakt koh\u00e4renter Strukturen in ebenen Scherstr\u00f6mungen”. Physik der Fl\u00fcssigkeiten. f\u00fcnfzehn (6): 1517\u20131534.  Bibcode:2003PhFl…15.1517W.  mach:10.1063\/1.1566753.^ Faisst, Holger;  Eckhardt, Bruno (2003). “Wanderwellen in der Rohrstr\u00f6mung”. Phys.  Rev. Lett. 91 (22): 224502. ARXIV:nlin\/0304029.  Bibcode:2003PhRvL..91v4502F.  mach:10.1103\/PhysRevLett.91.224502.  PMID 14683243.  S2CID 37014454.^ Wedin, H.;  Kerswell, RR (2004). “Exakte koh\u00e4rente Zust\u00e4nde in der Rohrstr\u00f6mung”. Zeitschrift f\u00fcr Str\u00f6mungsmechanik. 508: 333\u2013371.  Bibcode:2004JFM…508..333W.  CiteSeerX 10.1.1.139.8263.  mach:10.1017\/S0022112004009346.^ Hof, B.;  van Doorne, CWH;  Westerweel, J.;  Nieuwstadt, FTM;  Faisst, H.;  Eckhardt, B.;  Wedin, H.;  Kerswell, RR;  Waleffe, F. (2004). “Experimentelle Beobachtung nichtlinearer Wanderwellen in turbulenter Rohrstr\u00f6mung”. Wissenschaft. 305 (5690): 1594\u20131598.  Bibcode:2004Sc…305.1594H.  mach:10.1126\/science.1100393.  PMID 15361619.  S2CID 7211017.^ Avramenko, AA;  Kuznetsov, AV;  Basok, BI;  Blinov, GD (2005). “Untersuchung der Stabilit\u00e4t einer laminaren Str\u00f6mung in einem mit einem fluidges\u00e4ttigten por\u00f6sen Medium gef\u00fcllten Parallelplattenkanal”. Physik der Fl\u00fcssigkeiten. 17 (9): 094102\u2013094102\u20136.  Bibcode:2005PhFl…17i4102A.  mach:10.1063\/1.2041607.^ Miesen, R.;  Boersma, BJ (1995). “Hydrodynamische Stabilit\u00e4t eines gescherten Fl\u00fcssigkeitsfilms”. Zeitschrift f\u00fcr Str\u00f6mungsmechanik. 301: 175\u2013202.  Bibcode:1995JFM…301..175M.  mach:10.1017\/S0022112095003855.Weiterlesen[edit]Orr, W.M’F.  (1907). “Die Stabilit\u00e4t oder Instabilit\u00e4t der stetigen Bewegungen einer Fl\u00fcssigkeit.  Teil I”. Tagungsband der Royal Irish Academy.  EIN. 27: 9\u201368.Orr, W.M’F.  (1907). “Die Stabilit\u00e4t oder Instabilit\u00e4t der stetigen Bewegungen einer Fl\u00fcssigkeit.  Teil II”. Tagungsband der Royal Irish Academy.  EIN. 27: 69\u2013138.Sommerfeld, A. (1908). “Ein Beitrag zur hydrodynamischen Erkl\u00e4rung der turbulenten Fl\u00fcssigkeitsbewegungen”. Tagungsband des 4. Internationalen Mathematikerkongresses. III.  Rom.  S. 116\u2013124.     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/07\/17\/orr-sommerfeld-gleichung-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Orr-Sommerfeld-Gleichung \u2013 Wikipedia"}}]}]