[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/10\/07\/komplement-mengentheorie-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/10\/07\/komplement-mengentheorie-wikipedia\/","headline":"Komplement (Mengentheorie) \u2013 Wikipedia","name":"Komplement (Mengentheorie) \u2013 Wikipedia","description":"Teilmenge der Elemente, die nicht in einer bestimmten Teilmenge enthalten sind Wenn EIN ist der Bereich in diesem Bild rot","datePublished":"2021-10-07","dateModified":"2021-10-07","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/0\/06\/Venn01.svg\/250px-Venn01.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/0\/06\/Venn01.svg\/250px-Venn01.svg.png","height":"250","width":"250"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/10\/07\/komplement-mengentheorie-wikipedia\/","wordCount":6275,"articleBody":"Teilmenge der Elemente, die nicht in einer bestimmten Teilmenge enthalten sind  Wenn EIN ist der Bereich in diesem Bild rot gef\u00e4rbt\u2026\u2026 dann die Erg\u00e4nzung von EIN ist alles andere.In der Mengenlehre ist die erg\u00e4nzen eines Satzes EIN, oft bezeichnet mit EINC  (oder EINIch),[1][2]  sind die Elemente nicht in EIN.[3]  Wenn alle betrachteten Mengen als Teilmengen einer gegebenen Menge betrachtet werden U, das absolute Erg\u00e4nzung von EIN ist die Menge der Elemente in U die sind nicht dabei EIN.Die relatives Komplement von EIN in Bezug auf eine Menge B, auch als die . bezeichnet Differenz einstellen von B und EIN, geschrieben B\u2216EIN,{displaystyle Bsetminus A,}  ist die Menge der Elemente in B die sind nicht dabei EIN.[1]Table of Contents  Absolute Erg\u00e4nzung[edit]Definition[edit]Beispiele[edit]Eigenschaften[edit]Relatives Komplement[edit]Definition[edit]Beispiele[edit]Eigenschaften[edit]Komplement\u00e4re Beziehung[edit]LaTeX-Notation[edit]In Programmiersprachen[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Absolute Erg\u00e4nzung[edit]  Die absolute Erg\u00e4nzung der wei\u00dfen Scheibe ist der rote BereichDefinition[edit]Wenn EIN eine Menge ist, dann ist die absolute Erg\u00e4nzung von EIN (oder einfach die Erg\u00e4nzung von EIN) ist die Menge der Elemente, die nicht in . sind EIN (innerhalb einer gr\u00f6\u00dferen Menge, die implizit definiert ist).  Mit anderen Worten, lass U eine Menge sein, die alle zu untersuchenden Elemente enth\u00e4lt;  wenn es nicht n\u00f6tig ist zu erw\u00e4hnen U, entweder weil es zuvor angegeben wurde oder es offensichtlich und eindeutig ist, dann ist das absolute Komplement von EIN ist das relative Komplement von EIN in U:[4]EINC=U\u2212EIN.{displaystyle A^{c}=UA.}Oder formal:EINC={x\u2208U:x\u2209EIN}.{displaystyle A^{c}={xin U:xnotin A}.}Die absolute Erg\u00e4nzung zu EIN wird normalerweise mit bezeichnet EINC.[1]  Andere Notationen sind EIN\u00af,EINIch,{displaystyle {overline {A}},A’,}[3]\u2201UEIN, und \u2201EIN.{displaystyle complement_{U}A,{text{ und }}complement A.}[5]Beispiele[edit]Angenommen, das Universum ist die Menge von ganzen Zahlen.  Wenn EIN ist die Menge der ungeraden Zahlen, dann ist das Komplement von EIN ist die Menge der geraden Zahlen.  Wenn B die Menge der Vielfachen von 3 ist, dann ist das Komplement von B ist die Menge der Zahlen, die zu 1 oder 2 modulo 3 kongruent sind (oder einfacher ausgedr\u00fcckt, die ganzen Zahlen, die keine Vielfachen von 3 sind).Angenommen, das Universum ist das standardm\u00e4\u00dfige 52-Karten-Deck.  Wenn das Set EIN ist die Pik, dann das Komplement von EIN ist die Vereinigung der Farben Kreuz, Karo und Herz.  Wenn das Set B ist die Vereinigung der Kreuz- und Karofarben, dann die Erg\u00e4nzung von B ist die Vereinigung von Herz und Pik.Eigenschaften[edit]Lassen EIN und B zwei S\u00e4tze in einem Universum sein U.  Die folgenden Identit\u00e4ten erfassen wichtige Eigenschaften von absoluten Komplementen:De Morgans Gesetze:[6](EIN\u222aB)C=EINC\u2229BC.{displaystyle left(Acup Bright)^{c}=A^{c}cap B^{c}.}(EIN\u2229B)C=EINC\u222aBC.{displaystyle left(Acap Bright)^{c}=A^{c}cup B^{c}.}Erg\u00e4nzende Gesetze:[6]Involutions- oder Doppelkomplementgesetz:(EINC)C=EIN.{displaystyle left(A^{c}right)^{c}=A.}Beziehungen zwischen relativen und absoluten Komplementen:EIN\u2216B=EIN\u2229BC.{displaystyle Asetminus B=Acap B^{c}.}(EIN\u2216B)C=EINC\u222aB=EINC\u222a(B\u2229EIN).{displaystyle (Asetminus B)^{c}=A^{c}cup B=A^{c}cup (Bcap A).}Beziehung mit einem festen Unterschied:EINC\u2216BC=B\u2216EIN.{displaystyle A^{c}setminus B^{c}=Bsetminus A.}Die ersten beiden Komplementgesetze oben zeigen, dass wenn EIN  ist eine nicht leere, richtige Teilmenge von U, dann {EIN, EINC} ist eine Partition von U.Relatives Komplement[edit]Definition[edit]Wenn EIN  und B  sind Mengen, dann die relatives Komplement von EIN  in B,[6]  auch als die bezeichnet Differenz einstellen von B  und EIN,[7]  ist die Menge der Elemente in B  aber nicht in EIN.  Die relatives Komplement von EIN  (linker Kreis) in B  (rechter Kreis): B\u2229EINC=B\u2216EIN{displaystyle Bcap A^{c}=Bsetminus A}Das relative Komplement von EIN  in B  wird bezeichnet B\u2216EIN{displaystyle Bsetminus A}  nach der Norm ISO 31-11.  Es wird manchmal geschrieben B\u2212EIN,{displaystyle BA,}[1]  Diese Notation ist jedoch mehrdeutig, da sie in einigen Kontexten (z. B. Minkowski-Mengenoperationen in der Funktionsanalyse) als Menge aller Elemente interpretiert werden kann B\u2212ein,{displaystyle ba,}  wo B  ist entnommen aus B  und ein  von EIN.Formal:B\u2216EIN={x\u2208B:x\u2209EIN}.{displaystyle Bsetminus A={xin B:xnotin A}.}Beispiele[edit]{1,2,3}\u2216{2,3,4}={1}.{displaystyle {1,2,3}setminus {2,3,4}={1}.}{2,3,4}\u2216{1,2,3}={4}.{displaystyle {2,3,4}setminus {1,2,3}={4}.}Wenn R{displaystyle mathbb{R}}  ist die Menge der reellen Zahlen und Q{displaystylemathbb{Q}}  ist die Menge der rationalen Zahlen, dann R\u2216Q{displaystylemathbb{R}setminusmathbb{Q}}  ist die Menge der irrationalen Zahlen.Eigenschaften[edit]Lassen EIN, B, und C  drei S\u00e4tze sein.  Die folgenden Identit\u00e4ten erfassen bemerkenswerte Eigenschaften relativer Komplemente:Komplement\u00e4re Beziehung[edit]Eine bin\u00e4re Beziehung R{displaystyle R}  ist als Teilmenge eines Produkts von Mengen definiert x\u00d7Ja.{displaystyle Xtimes Y.}  Die komplement\u00e4re Beziehung R\u00af{displaystyle {bar {R}}}  ist das Mengenkomplement von R{displaystyle R}  in x\u00d7Ja.{displaystyle Xtimes Y.}  Das Komplement der Beziehung R{displaystyle R}  kann geschrieben werdenR\u00af = (x\u00d7Ja)\u2216R.{displaystyle {bar{R}} = (Xtimes Y)setminus R.}Hier, R{displaystyle R}  wird oft als logische Matrix mit Zeilen angesehen, die die Elemente von . darstellen x,{displaystyle X,}  und Spaltenelemente von Ja.{displaystyle Y.}  Die Wahrheit von einRB{displaystyle aRb}  entspricht 1 in Reihe ein,{displaystyle a,}  S\u00e4ule B.{displaystyle b.}  Herstellung der komplement\u00e4ren Beziehung zu R{displaystyle R}  entspricht dann dem Umschalten aller Einsen auf Nullen und von Nullen auf Einsen f\u00fcr die logische Matrix des Komplements.Komplement\u00e4re Relationen und Mengenalgebra sind neben der Komposition von Relationen und umgekehrten Relationen die elementaren Operationen der Relationsrechnung.LaTeX-Notation[edit]In der LaTeX-Satzsprache ist der Befehl setminus[8]  wird normalerweise zum Rendern eines Satzdifferenzsymbols verwendet, das einem Backslash-Symbol \u00e4hnelt.  Beim Rendern wird das setminus Befehl sieht identisch aus mit backslash, au\u00dfer dass es vor und hinter dem Schr\u00e4gstrich etwas mehr Platz hat, \u00e4hnlich der LaTeX-Sequenz mathbin{backslash}.  Eine Variante smallsetminus ist im amssymb-Paket verf\u00fcgbar.In Programmiersprachen[edit]Einige Programmiersprachen haben S\u00e4tze zwischen ihren eingebauten Datenstrukturen.  Eine solche Datenstruktur verh\u00e4lt sich wie eine endliche Menge, dh sie besteht aus einer endlichen Anzahl von Daten, die nicht speziell geordnet sind, und kann daher als Elemente einer Menge betrachtet werden.  In einigen F\u00e4llen sind die Elemente nicht notwendigerweise verschieden, und die Datenstruktur kodiert eher Multisets als Sets.  Diese Programmiersprachen haben Operatoren oder Funktionen zum Berechnen des Komplements und der Mengendifferenzen.Diese Operatoren k\u00f6nnen im Allgemeinen auch auf Datenstrukturen angewendet werden, die keine wirklichen mathematischen Mengen sind, wie beispielsweise geordnete Listen oder Arrays.  Daraus folgt, dass einige Programmiersprachen eine Funktion namens . haben k\u00f6nnen set_difference, auch wenn sie keine Datenstruktur f\u00fcr Mengen haben.Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/10\/07\/komplement-mengentheorie-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Komplement (Mengentheorie) \u2013 Wikipedia"}}]}]