Finite Schnitteigenschaft – Wikipedia

In der allgemeinen Topologie ein Zweig der Mathematik, eine nichtleere Familie EIN von Teilmengen einer Menge

{displaystyle X}

$x$ soll die haben endliche Schnitteigenschaft (FIP) wenn der Schnittpunkt über einer endlichen Untersammlung von

{displaystyle A}

$EIN$ ist nicht leer. Es hat die starke endliche Schnitteigenschaft (SFIP) wenn der Schnittpunkt über einer endlichen Untersammlung von

{displaystyle A}

$EIN$ ist unendlich.

EIN zentriertes System von Sets ist eine Sammlung von Mengen mit der endlichen Schnitteigenschaft.

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Definition[edit]

Lassen

{displaystyle X}

$x$ sei ein Set und lass

{displaystyle {mathcal{A}}={A_{i}}_{iin I}}

${displaystyle {mathcal{A}}={A_{i}}_{iin I}}$ sei eine nichtleere Familie von Teilmengen von

{displaystyle X}

$x$ indiziert durch eine beliebige Menge

{displaystyle I}

$ich$ . Die Sammlung

{displaystyle {mathcal {A}}}

${mathcal{A}}$ hat die endliche Schnitteigenschaft (FIP) wenn eine endliche Untersammlung von zwei oder mehr Mengen einen nicht leeren Schnitt hat, d. h.

{displaystyle bigcap _{iin J}A_{i}}

${displaystyle bigcap _{iin J}A_{i}}$ ist eine nichtleere Menge für jede nichtleere endliche

{displaystyle Jsubseteq I.}

${displaystyle Jsubseteq I.}$

Wenn

{displaystyle {mathcal {A}}}

${mathcal{A}}$ eine nichtleere Familie von Mengen ist, dann sind die folgenden äquivalent:

${displaystyle {mathcal {A}}}$
Der $π$ –System generiert von ${displaystyle {mathcal {A}}}$
${displaystyle {mathcal {A}}}$
${displaystyle {mathcal {A}}}$
${displaystyle {mathcal {A}}}$

Variationen[edit]

Eine Familie von Sets

{displaystyle {mathcal {A}}}

${mathcal{A}}$ hat die starke endliche Schnitteigenschaft (SFIP), wenn jede endliche Unterfamilie von

{displaystyle {mathcal {A}}}

${mathcal{A}}$ hat eine unendliche Schnittmenge.

Diskussion[edit]

Die leere Menge kann zu keiner Sammlung mit der endlichen Schnittmenge gehören. Die Bedingung ist trivialerweise erfüllt, wenn die Schnittmenge über die gesamte Sammlung nicht leer ist (insbesondere wenn die Sammlung selbst leer ist), und sie ist auch trivial erfüllt, wenn die Sammlung verschachtelt ist, d. h. die Sammlung ist vollständig durch Inklusion geordnet ( äquivalent dazu ist für jede endliche Untersammlung ein bestimmtes Element der Untersammlung in allen anderen Elementen der Untersammlung enthalten), zum Beispiel die verschachtelte Folge von Intervallen

{displaystyle left(0,{tfrac {1}{n}}right).}

${displaystyle left(0,{tfrac {1}{n}}right).}$ Dies sind jedoch nicht die einzigen Möglichkeiten. Zum Beispiel, wenn

{displaystyle X=(0,1)}

${displaystyle X=(0,1)}$ und für jede positive ganze Zahl

{displaystyle ich,}

$ich,$

{displaystyle X_{i}}

$X_{i}$ ist die Menge der Elemente von

{displaystyle X}

$x$ eine Dezimalentwicklung mit digit . haben

{displaystyle 0}

${displaystyle 0}$ in dem

{displaystyle i}

$ich$ ^das Dezimalstelle, dann ist jeder endliche Schnittpunkt nicht leer (man nehme einfach

{displaystyle 0}

${displaystyle 0}$ an diesen endlich vielen Orten und

{displaystyle 1}

$1$ im Rest), aber der Schnittpunkt aller

{displaystyle X_{i}}

$X_{i}$ Pro

{displaystyle igeq 1}

${displaystyle igeq 1}$ ist leer, da kein Element von

{displaystyle (0,1)}

$(0,1)$ hat alle Nullstellen.

Anwendungen[edit]

Die endliche Schnittmenge ist nützlich, um eine alternative Definition der Kompaktheit zu formulieren:

Satz: Ein Raum ist genau dann kompakt, wenn jede Familie abgeschlossener Teilmengen mit endlicher Schnitteigenschaft einen nichtleeren Schnitt hat.^[1]^[2]

Diese Formulierung der Kompaktheit wird in einigen Beweisen des Satzes von Tychonoff und der Abzählbarkeit der reellen Zahlen verwendet (siehe nächster Abschnitt).

Nachweisen

Wir werden zeigen, dass wenn

{displaystyle Usubseteq X}

$Usubsetq X$ nicht leer und offen ist, und wenn

{displaystyle x}

$x$ ist ein Punkt von

{displaystyle X,}

$X,$ dann gibt es eine nachbarschaft

{displaystyle Vsubset U}

${displaystyle Vsubset U}$ deren Abschluss nicht enthält

{displaystyle x}

$x$ (

{displaystyle x}

$x$ ‘ kann in sein oder nicht

{displaystyle U}

$U$ ). Wählen

{displaystyle yin U}

$y in U$ anders als

{displaystyle x}

$x$ (wenn

{displaystyle xin U}

$xin U$ dann muss es solche geben wie

{displaystyle y}

$ja$ denn sonst

{displaystyle U}

$U$ wäre eine offene Ein-Punkte-Menge; wenn

{displaystyle xnotin U,}

${displaystyle xnotin U,}$ das ist möglich seit

{displaystyle U}

$U$ ist nicht leer). Dann wähle nach der Hausdorff-Bedingung disjunkte Nachbarschaften

{displaystyle W}

$W$ und

{displaystyle K}

$K$ von

{displaystyle x}

$x$ und

{displaystyle y}

$ja$ bzw. Dann

{displaystyle Kcap U}

${displaystyle Kcap U}$ wird ein Viertel von . sein

{displaystyle y}

$ja$ Enthalten in

{displaystyle U}

$U$ deren Verschluss nicht enthält

{displaystyle x}

$x$ wie gewünscht.

Nehmen wir nun an

{displaystyle f:mathbb{N} to X}

${displaystyle f:mathbb{N} to X}$ ist eine Bijektion, und lass

{displaystyle left{x_{i}:iinmathbb{N}right}}

${displaystyle left{x_{i}:iinmathbb{N}right}}$ bezeichnen das Bild von

{displaystyle f.}

$F.$ Lassen

{displaystyle X}

$x$ sei das erste offene Set und wähle eine Nachbarschaft

{displaystyle U_{1}subset X}

${displaystyle U_{1}subset X}$ deren Abschluss nicht enthält

{displaystyle x_{1}.}

${displaystyle x_{1}.}$ Zweitens, wähle eine Nachbarschaft

{displaystyle U_{2}subset U_{1}}

${displaystyle U_{2}subset U_{1}}$ deren Abschluss nicht enthält

{displaystyle x_{2}.}

${displaystyle x_{2}.}$ Setzen Sie diesen Prozess fort und wählen Sie eine Nachbarschaft

{displaystyle U_{n+1}subset U_{n}}

${displaystyle U_{n+1}subset U_{n}}$ deren Abschluss nicht enthält

{displaystyle x_{n+1}.}

${displaystyle x_{n+1}.}$ Dann die Sammlung

{displaystyle left{U_{i}:iinmathbb{N}right}}

${displaystyle left{U_{i}:iinmathbb{N}right}}$ die endliche Schnitteigenschaft erfüllt und daher der Schnitt ihrer Abschlüsse aufgrund der Kompaktheit von . nicht leer ist

{displaystyle X.}

$X.$ Daher gibt es einen Punkt

{displaystyle x}

$x$ an dieser Kreuzung. Nein

{displaystyle x_{i}}

$x_{i}$ kann zu dieser Kreuzung gehören, weil

{displaystyle x_{i}}

$x_{i}$ gehört nicht zur Schließung von

{displaystyle U_{i}.}

${displaystyle U_{i}.}$ Das bedeutet, dass

{displaystyle x}

$x$ ist ungleich zu

{displaystyle x_{i}}

$x_{i}$ für alle

{displaystyle i}

$ich$ und

{displaystyle f}

$F$ ist nicht surjektiv; ein Widerspruch. Deswegen,

{displaystyle X}

$x$ ist unzählbar.

Alle Bedingungen in der Aussage des Theorems sind notwendig:

1. Wir können die Hausdorff-Bedingung nicht beseitigen; eine abzählbare Menge (mit mindestens zwei Punkten) mit der indiskreten Topologie ist kompakt, hat mehr als einen Punkt und erfüllt die Eigenschaft, dass keine Punktmengen offen, aber nicht abzählbar sind.

2. Wir können die Kompaktheitsbedingung nicht eliminieren, wie die Menge der rationalen Zahlen zeigt.

3. Wir können die Bedingung, dass eine Punktmenge nicht offen sein kann, nicht eliminieren, wie jeder endliche Raum mit der diskreten Topologie zeigt.

Logische Folge — Jedes geschlossene Intervall

{displaystyle [a,b]}

$[a,b]$ mit

{displaystyle a

$a<b$ ist unzählbar. Deswegen,

{displaystyle mathbb{R}}

$mathbb{R}$ ist unzählbar.

Beispiele[edit]

Ein richtiger Filter für eine Menge hat die endliche Schnittmengeneigenschaft. EIN $π$ –system hat die endliche Schnittmengeneigenschaft genau dann, wenn es nicht die leere Menge als Element hat.

Sätze[edit]

Lassen

{displaystyle X}

$x$ nicht leer sein,

{displaystyle Fsubseteq 2^{X}.}

${displaystyle Fsubseteq 2^{X}.}$

{displaystyle F}

$F$ mit der endlichen Schnitteigenschaft. Dann existiert ein

{displaystyle U}

$U$ Ultrafilter (in

{displaystyle 2^{X}}

$2^X$ ) so dass

{displaystyle Fsubseteq U.}

${displaystyle Fsubseteq U.}$

Siehe Details und Beweise in Csirmaz & Hajnal (1994).^[3] Dieses Ergebnis wird als Ultrafilter-Lemma bezeichnet.

Verweise[edit]

Externe Links[edit]

Familien ${displaystyle {mathcal {F}}}$
Stimmt unbedingt von ${displaystyle {mathcal{F}}colon}$	Regie durch ${displaystyle,supseteq}$	${displaystyle Acap B}$	${displaystyle Acup B}$	${displaystyle Bsetminus A}$	${displaystyle Omegasetminus A}$	${displaystyle A_{1}cap A_{2}cap cdots}$	${displaystyle A_{1}cup A_{2}cupcdots}$	${displaystyle Omegain {mathcal{F}}}$	${displaystyle varnothingin {mathcal {F}}}$	FIP
$π$ -System
Halbring										Niemals
Semialgebra (Halbfeld)										Niemals
Monotone Klasse						nur wenn ${displaystyle A_{i}searrow}$	nur wenn ${displaystyle A_{i}nearrow}$
𝜆-System (Dynkin-System)				nur wenn ${displaystyle Asubseteq B}$			nur wenn ${displaystyle A_{i}nearrow}$			Niemals
Ring (Ordnungstheorie)
Ring (Messtheorie)										Niemals
δ-Ring										Niemals
𝜎-Ring										Niemals
Algebra (Bereich)										Niemals
𝜎-Algebra (𝜎-Feld)										Niemals
Doppelideal
Filter				Niemals	Niemals				${displaystyle varnothing notin {mathcal {F}}}$
Vorfilter (Filterbasis)				Niemals	Niemals				${displaystyle varnothing notin {mathcal {F}}}$
Unterbau filtern				Niemals	Niemals				${displaystyle varnothing notin {mathcal {F}}}$
Topologie							(sogar willkürliche Gewerkschaften)			Niemals
Stimmt unbedingt von ${displaystyle {mathcal{F}}colon}$	gerichtet nach unten	endlich Kreuzungen	endlich Gewerkschaften	relativ ergänzt	ergänzt in ${displaystyle Omega}$	zählbar Kreuzungen	zählbar Gewerkschaften	enthält ${displaystyle Omega}$	enthält ${displaystyle varnothing}$	Endlich Überschneidung Eigentum
Außerdem, a *Halbring* ist ein $π$ -System, bei dem jede Ergänzung ${displaystyle Bsetminus A}$ ${displaystyle Bsetminus A}$ ist gleich einer endlichen disjunkten Vereinigung von Mengen in ${displaystyle {mathcal{F}}.}$ ${mathcal{F}}.$ EIN *Semialgebra* ist ein Halbring, der enthält ${displaystyle Omega.}$ $Omega.$ Es wird davon ausgegangen, dass alle Familien nicht leer sind. ${displaystyle A,B,A_{1},A_{2},ldots}$ ${displaystyle A,B,A_{1},A_{2},ldots}$ sind beliebige Elemente von ${displaystyle {mathcal{F}}.}$ ${mathcal{F}}.$

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