[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/12\/09\/finite-schnitteigenschaft-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/12\/09\/finite-schnitteigenschaft-wikipedia\/","headline":"Finite Schnitteigenschaft \u2013 Wikipedia","name":"Finite Schnitteigenschaft \u2013 Wikipedia","description":"before-content-x4 In der allgemeinen Topologie ein Zweig der Mathematik, eine nichtleere Familie EIN von Teilmengen einer Menge x{displaystyle X} soll","datePublished":"2021-12-09","dateModified":"2021-12-09","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/12\/09\/finite-schnitteigenschaft-wikipedia\/","wordCount":23200,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4In der allgemeinen Topologie ein Zweig der Mathematik, eine nichtleere Familie EIN von Teilmengen einer Menge x{displaystyle X}    soll die haben endliche Schnitteigenschaft (FIP) wenn der Schnittpunkt \u00fcber einer endlichen Untersammlung von EIN{displaystyle A}  ist nicht leer.  Es hat die starke endliche Schnitteigenschaft (SFIP) wenn der Schnittpunkt \u00fcber einer endlichen Untersammlung von EIN{displaystyle A}  ist unendlich.  EIN zentriertes System von Sets ist eine Sammlung von Mengen mit der endlichen Schnitteigenschaft.Table of ContentsDefinition[edit]Variationen[edit]Diskussion[edit]Anwendungen[edit]Beispiele[edit]S\u00e4tze[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Definition[edit]Lassen x{displaystyle X}  sei ein Set und lass   EIN={EINich}ich\u2208ich{displaystyle {mathcal{A}}={A_{i}}_{iin I}}  sei eine nichtleere Familie von Teilmengen von x{displaystyle X}  indiziert durch eine beliebige Menge ich{displaystyle I}.  Die Sammlung EIN{displaystyle {mathcal {A}}}  hat die endliche Schnitteigenschaft  (FIP) wenn eine endliche Untersammlung von zwei oder mehr Mengen einen nicht leeren Schnitt hat, d. h. \u22c2ich\u2208JEINich{displaystyle bigcap _{iin J}A_{i}}  ist eine nichtleere Menge f\u00fcr jede nichtleere endliche J\u2286ich.{displaystyle Jsubseteq I.}Wenn EIN{displaystyle {mathcal {A}}}  eine nichtleere Familie von Mengen ist, dann sind die folgenden \u00e4quivalent:EIN{displaystyle {mathcal {A}}}  hat die endliche Schnitteigenschaft.Der \u03c0\u2013System generiert von EIN{displaystyle {mathcal {A}}}  hat nicht die leere Menge als Element.EIN{displaystyle {mathcal {A}}}  ist eine Filterunterbasis.EIN{displaystyle {mathcal {A}}}  ist eine Teilmenge einiger Vorfilter.EIN{displaystyle {mathcal {A}}}  ist eine Teilmenge eines geeigneten Filters.Variationen[edit]Eine Familie von Sets EIN{displaystyle {mathcal {A}}}  hat die starke endliche Schnitteigenschaft (SFIP), wenn jede endliche Unterfamilie von EIN{displaystyle {mathcal {A}}}  hat eine unendliche Schnittmenge.Diskussion[edit]Die leere Menge kann zu keiner Sammlung mit der endlichen Schnittmenge geh\u00f6ren.  Die Bedingung ist trivialerweise erf\u00fcllt, wenn die Schnittmenge \u00fcber die gesamte Sammlung nicht leer ist (insbesondere wenn die Sammlung selbst leer ist), und sie ist auch trivial erf\u00fcllt, wenn die Sammlung verschachtelt ist, d. h. die Sammlung ist vollst\u00e4ndig durch Inklusion geordnet ( \u00e4quivalent dazu ist f\u00fcr jede endliche Untersammlung ein bestimmtes Element der Untersammlung in allen anderen Elementen der Untersammlung enthalten), zum Beispiel die verschachtelte Folge von Intervallen (0,1n).{displaystyle left(0,{tfrac {1}{n}}right).}  Dies sind jedoch nicht die einzigen M\u00f6glichkeiten.  Zum Beispiel, wenn x=(0,1){displaystyle X=(0,1)}  und f\u00fcr jede positive ganze Zahl ich,{displaystyle ich,} xich{displaystyle X_{i}}  ist die Menge der Elemente von x{displaystyle X}  eine Dezimalentwicklung mit digit . haben 0{displaystyle 0}  in dem ich{displaystyle i}das Dezimalstelle, dann ist jeder endliche Schnittpunkt nicht leer (man nehme einfach 0{displaystyle 0}  an diesen endlich vielen Orten und 1{displaystyle 1}  im Rest), aber der Schnittpunkt aller xich{displaystyle X_{i}}  Pro ich\u22651{displaystyle igeq 1}  ist leer, da kein Element von (0,1){displaystyle (0,1)}  hat alle Nullstellen.Anwendungen[edit]Die endliche Schnittmenge ist n\u00fctzlich, um eine alternative Definition der Kompaktheit zu formulieren:Satz: Ein Raum ist genau dann kompakt, wenn jede Familie abgeschlossener Teilmengen mit endlicher Schnitteigenschaft einen nichtleeren Schnitt hat.[1][2]Diese Formulierung der Kompaktheit wird in einigen Beweisen des Satzes von Tychonoff und der Abz\u00e4hlbarkeit der reellen Zahlen verwendet (siehe n\u00e4chster Abschnitt).NachweisenWir werden zeigen, dass wenn U\u2286x{displaystyle Usubseteq X}  nicht leer und offen ist, und wenn x{displaystyle x}  ist ein Punkt von x,{displaystyle X,}  dann gibt es eine nachbarschaft V\u2282U{displaystyle Vsubset U}  deren Abschluss nicht enth\u00e4lt x{displaystyle x}  (x{displaystyle x}‘ kann in sein oder nicht U{displaystyle U}).  W\u00e4hlen ja\u2208U{displaystyle yin U}  anders als x{displaystyle x}  (wenn x\u2208U{displaystyle xin U}  dann muss es solche geben wie ja{displaystyle y}  denn sonst U{displaystyle U}  w\u00e4re eine offene Ein-Punkte-Menge;  wenn x\u2209U,{displaystyle xnotin U,}  das ist m\u00f6glich seit U{displaystyle U}ist nicht leer).  Dann w\u00e4hle nach der Hausdorff-Bedingung disjunkte Nachbarschaften W{displaystyle W}  und K{displaystyle K}  von x{displaystyle x}  und ja{displaystyle y}  bzw.  Dann K\u2229U{displaystyle Kcap U}  wird ein Viertel von . sein ja{displaystyle y}  Enthalten in U{displaystyle U}  deren Verschluss nicht enth\u00e4lt x{displaystyle x}  wie gew\u00fcnscht.Nehmen wir nun an F:n\u2192x{displaystyle f:mathbb{N} to X}  ist eine Bijektion, und lass {xich:ich\u2208n}{displaystyle left{x_{i}:iinmathbb{N}right}}  bezeichnen das Bild von F.{displaystyle f.}  Lassen x{displaystyle X}  sei das erste offene Set und w\u00e4hle eine Nachbarschaft U1\u2282x{displaystyle U_{1}subset X}  deren Abschluss nicht enth\u00e4lt x1.{displaystyle x_{1}.}  Zweitens, w\u00e4hle eine Nachbarschaft U2\u2282U1{displaystyle U_{2}subset U_{1}}  deren Abschluss nicht enth\u00e4lt x2.{displaystyle x_{2}.}  Setzen Sie diesen Prozess fort und w\u00e4hlen Sie eine Nachbarschaft Un+1\u2282Un{displaystyle U_{n+1}subset U_{n}}  deren Abschluss nicht enth\u00e4lt xn+1.{displaystyle x_{n+1}.}  Dann die Sammlung {Uich:ich\u2208n}{displaystyle left{U_{i}:iinmathbb{N}right}}  die endliche Schnitteigenschaft erf\u00fcllt und daher der Schnitt ihrer Abschl\u00fcsse aufgrund der Kompaktheit von . nicht leer ist x.{displaystyle X.}  Daher gibt es einen Punkt x{displaystyle x}  an dieser Kreuzung.  Nein xich{displaystyle x_{i}}  kann zu dieser Kreuzung geh\u00f6ren, weil xich{displaystyle x_{i}}  geh\u00f6rt nicht zur Schlie\u00dfung von Uich.{displaystyle U_{i}.}  Das bedeutet, dass x{displaystyle x}  ist ungleich zu xich{displaystyle x_{i}}  f\u00fcr alle ich{displaystyle i}  und F{displaystyle f}  ist nicht surjektiv;  ein Widerspruch.  Deswegen, x{displaystyle X}  ist unz\u00e4hlbar.Alle Bedingungen in der Aussage des Theorems sind notwendig:1. Wir k\u00f6nnen die Hausdorff-Bedingung nicht beseitigen;  eine abz\u00e4hlbare Menge (mit mindestens zwei Punkten) mit der indiskreten Topologie ist kompakt, hat mehr als einen Punkt und erf\u00fcllt die Eigenschaft, dass keine Punktmengen offen, aber nicht abz\u00e4hlbar sind.2. Wir k\u00f6nnen die Kompaktheitsbedingung nicht eliminieren, wie die Menge der rationalen Zahlen zeigt.3. Wir k\u00f6nnen die Bedingung, dass eine Punktmenge nicht offen sein kann, nicht eliminieren, wie jeder endliche Raum mit der diskreten Topologie zeigt.Logische Folge \u2014 Jedes geschlossene Intervall [a,b]{displaystyle [a,b]}  mit einU.{displaystyle Fsubseteq U.}Siehe Details und Beweise in Csirmaz & Hajnal (1994).[3]  Dieses Ergebnis wird als Ultrafilter-Lemma bezeichnet.Verweise[edit]Externe Links[edit]Familien F{displaystyle {mathcal {F}}}  von S\u00e4tzen \u00fcber \u03a9{displaystyle Omega}Stimmt unbedingt von F:{displaystyle {mathcal{F}}colon}oder, ist F{displaystyle {mathcal {F}}}  geschlossen unter:Regiedurch \u2287{displaystyle,supseteq}EIN\u2229B{displaystyle Acap B}EIN\u222aB{displaystyle Acup B}B\u2216EIN{displaystyle Bsetminus A}\u03a9\u2216EIN{displaystyle Omegasetminus A}EIN1\u2229EIN2\u2229\u22ef{displaystyle A_{1}cap A_{2}cap cdots}EIN1\u222aEIN2\u222a\u22ef{displaystyle A_{1}cup A_{2}cupcdots}\u03a9\u2208F{displaystyle Omegain {mathcal{F}}}\u2205\u2208F{displaystyle varnothingin {mathcal {F}}}FIP\u03c0-SystemHalbringNiemalsSemialgebra (Halbfeld)NiemalsMonotone Klassenur wenn EINich\u2198{displaystyle A_{i}searrow}nur wenn EINich\u2197{displaystyle A_{i}nearrow}\ud835\udf06-System (Dynkin-System)nur wennEIN\u2286B{displaystyle Asubseteq B}nur wenn EINich\u2197{displaystyle A_{i}nearrow}  odersie sind zusammenhanglosNiemalsRing (Ordnungstheorie)Ring (Messtheorie)Niemals\u03b4-RingNiemals\ud835\udf0e-RingNiemalsAlgebra (Bereich)Niemals\ud835\udf0e-Algebra (\ud835\udf0e-Feld)NiemalsDoppelidealFilterNiemalsNiemals\u2205\u2209F{displaystyle varnothing notin {mathcal {F}}}Vorfilter (Filterbasis)NiemalsNiemals\u2205\u2209F{displaystyle varnothing notin {mathcal {F}}}Unterbau filternNiemalsNiemals\u2205\u2209F{displaystyle varnothing notin {mathcal {F}}}Topologie(sogar willk\u00fcrliche Gewerkschaften)NiemalsStimmt unbedingt von F:{displaystyle {mathcal{F}}colon}oder, ist F{displaystyle {mathcal {F}}}  geschlossen unter:gerichtetnach untenendlichKreuzungenendlichGewerkschaftenrelativerg\u00e4nzterg\u00e4nztin \u03a9{displaystyle Omega}z\u00e4hlbarKreuzungenz\u00e4hlbarGewerkschaftenenth\u00e4lt \u03a9{displaystyle Omega}enth\u00e4lt \u2205{displaystyle varnothing}Endlich\u00dcberschneidungEigentumAu\u00dferdem, a Halbring  ist ein \u03c0-System, bei dem jede Erg\u00e4nzung B\u2216EIN{displaystyle Bsetminus A}  ist gleich einer endlichen disjunkten Vereinigung von Mengen in F.{displaystyle {mathcal{F}}.}EIN Semialgebra  ist ein Halbring, der enth\u00e4lt \u03a9.{displaystyle Omega.}Es wird davon ausgegangen, dass alle Familien nicht leer sind.EIN,B,EIN1,EIN2,\u2026{displaystyle A,B,A_{1},A_{2},ldots}  sind beliebige Elemente von F.{displaystyle {mathcal{F}}.}     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki26\/2021\/12\/09\/finite-schnitteigenschaft-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Finite Schnitteigenschaft \u2013 Wikipedia"}}]}]