Zeichen (Mathematik) – Wikipedia

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In der Mathematik ist die Unterschrift einer reellen Zahl ist ihre Eigenschaft, entweder positiv, negativ oder null zu sein. Abhängig von lokalen Konventionen kann Null weder als positiv noch als negativ angesehen werden (kein Vorzeichen oder ein einzigartiges drittes Vorzeichen haben) oder es kann sowohl als positiv als auch negativ (mit beiden Vorzeichen) betrachtet werden.[citation needed] Wenn nicht ausdrücklich erwähnt, hält sich dieser Artikel an die erste Konvention.

In manchen Kontexten ist es sinnvoll, eine vorzeichenbehaftete Null zu berücksichtigen (z. B. Gleitkommadarstellungen reeller Zahlen in Computern). In der Mathematik und Physik ist der Ausdruck “Vorzeichenwechsel” mit der Erzeugung der additiven Umkehrung (Negation oder Multiplikation mit −1) eines beliebigen Objekts verbunden, das diese Konstruktion zulässt, und ist nicht auf reelle Zahlen beschränkt. Sie gilt unter anderem für Vektoren, Matrizen und komplexe Zahlen, die nicht nur positiv, negativ oder null sein sollen. Das Wort “Zeichen” wird auch oft verwendet, um andere binäre Aspekte mathematischer Objekte anzugeben, die Positivität und Negativität ähneln, wie ungerade und gerade (Vorzeichen einer Permutation), Orientierungs- oder Rotationssinn (cw/ccw), einseitige Grenzen, und andere Konzepte, die in § Andere Bedeutungen unten beschrieben sind.

Zeichen einer Zahl[edit]

Zahlen aus verschiedenen Zahlensystemen, wie ganze Zahlen, rationale Zahlen, komplexe Zahlen, Quaternionen, Oktonionen, … können mehrere Attribute haben, die bestimmte Eigenschaften einer Zahl festlegen. Trägt ein Zahlensystem die Struktur eines geordneten Rings, zum Beispiel die ganzen Zahlen, muss es eine Zahl enthalten, die beim Hinzufügen keine Zahl ändert (ein additives Identitätselement). Diese Zahl wird allgemein als . bezeichnet 0. Wegen der Gesamtordnung in diesem Ring gibt es Zahlen größer als Null, genannt positiv Zahlen. Für andere Eigenschaften, die innerhalb eines Rings erforderlich sind, gibt es für jede solche positive Zahl eine Zahl kleiner als 0 was, wenn es zur positiven Zahl addiert wird, das Ergebnis ergibt 0. Diese Zahlen kleiner als 0 heißen die Negativ Zahlen. Die Zahlen in jedem dieser Paare sind ihre jeweiligen additiven Umkehrungen. Dieses Attribut einer Zahl ist ausschließlich entweder Null (0), positiv (+), oder Negativ (−), heißt es Unterschrift, und wird oft in die reellen Zahlen kodiert 0, 1, und −1, (ähnlich wie die Vorzeichenfunktion definiert ist).[1] Da rationale und reelle Zahlen auch geordnete Ringe (gerade Körper) sind, teilen diese Zahlensysteme das Gleiche Unterschrift Attribut.

Während in der Arithmetik ein Minuszeichen normalerweise als Darstellung der binären Subtraktionsoperation angesehen wird, wird es in der Algebra normalerweise als Darstellung der einären Operation angesehen, die die additive Inverse ergibt (manchmal auch als bezeichnet). Negation) des Operanden. Während 0 ist seine eigene additive Inverse (−0 = 0), die additive Umkehrung einer positiven Zahl ist negativ und die additive Umkehrung einer negativen Zahl ist positiv. Eine doppelte Anwendung dieser Operation wird geschrieben als −(−3) = 3. Das Pluszeichen wird in der Algebra überwiegend verwendet, um die binäre Additionsoperation zu kennzeichnen, und nur selten, um die Positivität eines Ausdrucks hervorzuheben.

In der üblichen Zahlennotation (in der Arithmetik und anderswo verwendet) wird das Vorzeichen einer Zahl oft explizit gemacht, indem ein Plus- oder Minuszeichen vor die Zahl gestellt wird. Beispielsweise, +3 bezeichnet “positive drei”, und -3 bezeichnet “negative drei” (algebraisch: die additive Umkehrung von 3). Ohne spezifischen Kontext (oder wenn kein explizites Vorzeichen angegeben ist) wird eine Zahl standardmäßig als positiv interpretiert. Diese Notation stellt eine starke Assoziation des Minuszeichens “” bei negativen Zahlen und das Pluszeichen “+” bei positiven Zahlen.

Nullzeichen[edit]

Innerhalb der Konvention, dass Null weder positiv noch negativ ist, ist ein bestimmter Vorzeichenwert 0 kann dem Zahlenwert zugeordnet werden 0. Dies wird in der ausgenutzt

sgn{displaystyle operatorname {sgn}}

-Funktion, wie für reelle Zahlen definiert.[1] In der Arithmetik, +0 und -0 beide bezeichnen dieselbe Zahl 0. Es besteht grundsätzlich keine Verwechslungsgefahr für den Wert mit seinem Vorzeichen, obwohl die Konvention, beide Vorzeichen zu 0 lässt diese Diskriminierung nicht sofort zu.

In manchen Kontexten, insbesondere in der Informatik, ist es nützlich, vorzeichenbehaftete Versionen von Nullen zu berücksichtigen, wobei Nullen mit Vorzeichen auf verschiedene diskrete Zahlendarstellungen verweisen (weitere Informationen finden Sie unter Darstellungen von vorzeichenbehafteten Zahlen).

Die Symbole +0 und -0 erscheinen selten als Ersatz für 0+ und 0, in der Analysis und mathematischen Analyse für einseitige Grenzen (rechtsseitige Grenze bzw. linksseitige Grenze) verwendet. Diese Notation bezieht sich auf das Verhalten einer Funktion, wenn sich ihre reale Eingangsvariable annähert 0 entlang positiver (bzw. negativer) Werte; die beiden Grenzen müssen nicht existieren oder übereinstimmen.

Terminologie für Zeichen[edit]

Wann 0 weder positiv noch negativ ist, können sich die folgenden Sätze auf das Vorzeichen einer Zahl beziehen:

  • Eine Zahl ist positiv wenn es größer als null ist.
  • Eine Zahl ist Negativ wenn es kleiner als null ist.
  • Eine Zahl ist nicht negativ wenn es größer oder gleich Null ist.
  • Eine Zahl ist nicht positiv wenn es kleiner oder gleich Null ist.

Wann 0 sowohl positiv als auch negativ sein soll, werden modifizierte Phrasen verwendet, um sich auf das Vorzeichen einer Zahl zu beziehen:

  • Eine Zahl ist strikt positiv wenn es größer als null ist.
  • Eine Zahl ist streng negativ wenn es kleiner als null ist.
  • Eine Zahl ist positiv wenn es größer oder gleich Null ist.
  • Eine Zahl ist Negativ wenn es kleiner oder gleich Null ist.

Zum Beispiel ist der Absolutwert einer reellen Zahl immer “nicht negativ”, aber in der ersten Interpretation nicht unbedingt “positiv”, während er in der zweiten Interpretation “positiv” genannt wird – wenn auch nicht unbedingt “streng positiv”. .

Dieselbe Terminologie wird manchmal für Funktionen verwendet, die reelle oder andere vorzeichenbehaftete Werte liefern. Zum Beispiel würde eine Funktion a . heißen positive Funktion wenn seine Werte für alle Argumente seines Bereichs positiv sind, oder a nicht negative Funktion wenn alle seine Werte nicht negativ sind.

Komplexe Zahlen[edit]

Komplexe Zahlen lassen sich nicht ordnen, können also nicht die Struktur eines geordneten Rings tragen und können dementsprechend nicht in positive und negative komplexe Zahlen unterteilt werden. Sie teilen jedoch mit den Reals ein Attribut, das als bezeichnet wird absoluter Wert oder Größe. Beträge sind immer nicht-negative reelle Zahlen, und zu jeder von Null verschiedenen Zahl gehört eine positive reelle Zahl, ihr absoluter Wert.

Zum Beispiel der Absolutwert von -3 und der absolute Wert von 3 sind beide gleich 3. Dies wird in Symbolen geschrieben als |-3| = 3 und |3| = 3.

Im Allgemeinen kann jeder beliebige reelle Wert durch seinen Betrag und sein Vorzeichen angegeben werden. Bei der Standardcodierung wird jeder reelle Wert durch das Produkt aus Betrag und Vorzeichen in der Standardcodierung angegeben. Diese Beziehung kann verallgemeinert werden, um a . zu definieren Unterschrift für komplexe Zahlen.

Da sowohl die reellen als auch die komplexen Zahlen einen Körper bilden und die positiven reellen Zahlen enthalten, enthalten sie auch die Kehrwerte der Beträge aller von Null verschiedenen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede Zahl ungleich Null mit dem Kehrwert ihrer Größe multipliziert, dh durch ihre Größe dividiert werden kann. Es ist unmittelbar, dass der Quotient einer beliebigen reellen Zahl ungleich Null durch ihre Größe genau ihr Vorzeichen ergibt. Analog dazu ist die Vorzeichen einer komplexen Zahl z kann als Quotient definiert werden von z und sein Größe |z|. Da der Betrag der komplexen Zahl aufgeteilt, das resultierende Vorzeichen der komplexen Zahl repräsentiert in gewisser Weise ihr komplexes Argument. Dies ist mit dem Vorzeichen reeller Zahlen zu vergleichen, außer mit

eichπ=1.{displaystyle e^{ipi}=-1.}

Zur Definition einer komplexen Vorzeichenfunktion. siehe § Komplexe Vorzeichenfunktion unten.

Zeichenfunktionen[edit]

Echtzeichenfunktion ja = sgn(x)

Beim Umgang mit Zahlen ist es oft praktisch, deren Vorzeichen als Zahl zur Verfügung zu haben. Dies wird durch Funktionen erreicht, die das Vorzeichen einer beliebigen Zahl extrahieren und auf einen vordefinierten Wert abbilden, bevor sie für weitere Berechnungen zur Verfügung gestellt werden. Beispielsweise kann es von Vorteil sein, einen komplizierten Algorithmus nur für positive Werte zu formulieren und sich erst danach um das Vorzeichen zu kümmern.

Echtzeichenfunktion[edit]

Der Vorzeichenfunktion oder Signum-Funktion extrahiert das Vorzeichen einer reellen Zahl, indem die Menge der reellen Zahlen auf die Menge der drei reellen Zahlen abgebildet wird

{1,0,1}.{displaystyle {-1,;0,;1}.}

Es kann wie folgt definiert werden:[1]

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