[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki27\/2021\/11\/17\/grenzschicht-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki27\/2021\/11\/17\/grenzschicht-wikipedia\/","headline":"Grenzschicht \u2013 Wikipedia","name":"Grenzschicht \u2013 Wikipedia","description":"Die Grenzschicht um eine menschliche Hand, Schlieren-Fotografie. 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Die Grenzschicht ist der hellgr\u00fcne Rand, der am besten auf dem Handr\u00fccken sichtbar ist (klicken Sie f\u00fcr ein hochaufl\u00f6sendes Bild).In Physik und Str\u00f6mungsmechanik, a Grenzschicht ist die Fl\u00fcssigkeitsschicht in unmittelbarer N\u00e4he einer Grenzfl\u00e4che, bei der die Viskosit\u00e4tseffekte signifikant sind.  Die Fl\u00fcssigkeit oder das Gas in der Grenzschicht neigt dazu, an der Oberfl\u00e4che zu haften.  Die Grenzschicht um einen Menschen wird vom Menschen erw\u00e4rmt, ist also w\u00e4rmer als die Umgebungsluft.  Eine Brise durchbricht die Grenzschicht, Haare und Kleidung sch\u00fctzen sie, sodass sich der Mensch k\u00fchler oder w\u00e4rmer f\u00fchlt.  Bei einem Flugzeugfl\u00fcgel ist die Grenzschicht der Teil der Str\u00f6mung in der N\u00e4he des Fl\u00fcgels, wo viskose Kr\u00e4fte die umgebende nicht viskose Str\u00f6mung verzerren.  In der Erdatmosph\u00e4re ist die atmosph\u00e4rische Grenzschicht die Luftschicht (~ 1 km) in Bodenn\u00e4he.  Es wird von der Oberfl\u00e4che beeinflusst;  Tag-Nacht-W\u00e4rmestr\u00f6me, die durch die Erw\u00e4rmung des Bodens durch die Sonne, durch Feuchtigkeits- oder Impuls\u00fcbertragung zur oder von der Oberfl\u00e4che verursacht werden.Table of Contents  Arten von Grenzschichten[edit]Aerodynamik[edit]Grenzschichtgleichungen[edit]Transpositionssatz von Prandtl[edit]Von K\u00e1rm\u00e1n-Impulsintegral[edit]Energieintegral[edit]Von Mises-Transformation[edit]Croccos Verwandlung[edit]Turbulente Grenzschichten[edit]W\u00e4rme- und Stofftransport[edit]Konvektive \u00dcbertragungskonstanten aus der Grenzschichtanalyse[edit]Schiffsbau[edit]Grenzschichtturbine[edit]Vorhersage der transienten Grenzschichtdicke in einem Zylinder durch Dimensionsanalyse[edit]Vorhersage konvektiver Str\u00f6mungsverh\u00e4ltnisse an der Grenzschicht in einem Zylinder durch Dimensionsanalyse[edit]Grenzschichtaufnahme[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Arten von Grenzschichten[edit]  Grenzschichtvisualisierung, die den \u00dcbergang vom laminaren zum turbulenten Zustand zeigtLaminare Grenzschichten k\u00f6nnen nach ihrer Struktur und den Umst\u00e4nden, unter denen sie entstehen, grob eingeteilt werden.  Die d\u00fcnne Scherschicht, die sich auf einem Schwingk\u00f6rper ausbildet, ist ein Beispiel f\u00fcr eine Stokes-Grenzschicht, w\u00e4hrend sich die Blasius-Grenzschicht auf die bekannte \u00c4hnlichkeitsl\u00f6sung in der N\u00e4he einer befestigten, in einer unidirektionalen Str\u00f6mung gehaltenen flachen Platte und der Falkner-Skan-Grenzschicht bezieht. eine Verallgemeinerung des Blasius-Profils.  Wenn sich eine Fl\u00fcssigkeit dreht und viskose Kr\u00e4fte durch den Coriolis-Effekt (anstatt durch konvektive Tr\u00e4gheit) ausgeglichen werden, bildet sich eine Ekman-Schicht.  In der Theorie der W\u00e4rme\u00fcbertragung tritt eine thermische Grenzschicht auf.  Eine Oberfl\u00e4che kann gleichzeitig mehrere Arten von Grenzschichten aufweisen.Die viskose Natur des Luftstroms verringert die lokalen Geschwindigkeiten auf einer Oberfl\u00e4che und ist f\u00fcr die Mantelreibung verantwortlich.  Die Luftschicht \u00fcber der Fl\u00fcgeloberfl\u00e4che, die durch die Viskosit\u00e4t verlangsamt oder gestoppt wird, ist die Grenzschicht.  Es gibt zwei verschiedene Arten von Grenzschichtstr\u00f6mungen: laminar und turbulent.[1]Laminare Grenzschichtstr\u00f6mung  Die laminare Grenze ist eine sehr glatte Str\u00f6mung, w\u00e4hrend die turbulente Grenzschicht Wirbel oder “Wirbel” enth\u00e4lt.  Die laminare Str\u00f6mung erzeugt weniger Mantelreibungswiderstand als die turbulente Str\u00f6mung, ist aber weniger stabil.  Die Grenzschichtstr\u00f6mung \u00fcber einer Fl\u00fcgeloberfl\u00e4che beginnt als glatte laminare Str\u00f6mung.  Wenn die Str\u00f6mung von der Vorderkante zur\u00fcckgeht, nimmt die Dicke der laminaren Grenzschicht zu.Turbulente Grenzschichtstr\u00f6mungIn einiger Entfernung von der Vorderkante bricht die glatte laminare Str\u00f6mung zusammen und geht in eine turbulente Str\u00f6mung \u00fcber.  Vom Standpunkt des Widerstands aus ist es ratsam, den \u00dcbergang von laminarer zu turbulenter Str\u00f6mung so weit hinten wie m\u00f6glich am Fl\u00fcgel zu haben oder einen gro\u00dfen Teil der Fl\u00fcgeloberfl\u00e4che innerhalb des laminaren Abschnitts der Grenzschicht zu haben.  Die laminare Str\u00f6mung niedriger Energie neigt jedoch dazu, pl\u00f6tzlicher zusammenzubrechen als die turbulente Schicht.Aerodynamik[edit]    Geschwindigkeitsprofil der laminaren Grenzschicht Die aerodynamische Grenzschicht wurde erstmals von Ludwig Prandtl in einem Vortrag definiert, der am 12. August 1904 auf dem dritten Internationalen Mathematikerkongress in Heidelberg pr\u00e4sentiert wurde.  Es vereinfacht die Gleichungen der Fl\u00fcssigkeitsstr\u00f6mung, indem es das Str\u00f6mungsfeld in zwei Bereiche unterteilt: einen innerhalb der Grenzschicht, der von der Viskosit\u00e4t dominiert wird und den gr\u00f6\u00dften Teil des Widerstands erzeugt, den der Grenzk\u00f6rper erf\u00e4hrt;  und eine au\u00dferhalb der Grenzschicht, wo die Viskosit\u00e4t ohne signifikante Auswirkungen auf die L\u00f6sung vernachl\u00e4ssigt werden kann.  Dies erm\u00f6glicht eine geschlossene L\u00f6sung f\u00fcr die Str\u00f6mung in beiden Bereichen, eine wesentliche Vereinfachung der vollst\u00e4ndigen Navier-Stokes-Gleichungen.  Der Gro\u00dfteil der W\u00e4rme\u00fcbertragung zu und von einem K\u00f6rper findet auch innerhalb der Grenzschicht statt, was wiederum eine Vereinfachung der Gleichungen im Str\u00f6mungsfeld au\u00dferhalb der Grenzschicht erm\u00f6glicht.  Die Druckverteilung in der gesamten Grenzschicht in Richtung senkrecht zur Oberfl\u00e4che (wie bei einem Schaufelblatt) bleibt \u00fcber die gesamte Grenzschicht hinweg konstant und ist die gleiche wie auf der Oberfl\u00e4che selbst.Die Dicke der Geschwindigkeitsgrenzschicht wird normalerweise als der Abstand vom Festk\u00f6rper bis zu dem Punkt definiert, an dem die viskose Str\u00f6mungsgeschwindigkeit 99% der freien Str\u00f6mungsgeschwindigkeit (der Oberfl\u00e4chengeschwindigkeit einer reibungsfreien Str\u00f6mung) betr\u00e4gt.[citation needed]Verdr\u00e4ngungsdicke ist eine alternative Definition, die besagt, dass die Grenzschicht ein Defizit im Massenfluss gegen\u00fcber einer reibungsfreien Str\u00f6mung mit Schlupf an der Wand darstellt.  Es ist der Weg, um den die Wand im nichtviskosen Fall verschoben werden m\u00fcsste, um den gleichen Gesamtmassenstrom wie im viskosen Fall zu erhalten.  Die rutschfeste Bedingung erfordert, dass die Str\u00f6mungsgeschwindigkeit an der Oberfl\u00e4che eines Festk\u00f6rpers Null ist und die Fl\u00fcssigkeitstemperatur gleich der Temperatur der Oberfl\u00e4che ist.  Die Str\u00f6mungsgeschwindigkeit wird dann innerhalb der Grenzschicht schnell ansteigen, bestimmt durch die Grenzschichtgleichungen unten.Die Dicke der thermischen Grenzschicht ist ebenfalls der Abstand vom K\u00f6rper, bei dem die Temperatur 99% der Freistromtemperatur betr\u00e4gt.  Das Verh\u00e4ltnis der beiden Dicken richtet sich nach der Prandtl-Zahl.  Wenn die Prandtl-Zahl 1 ist, sind die beiden Grenzschichten gleich dick.  Wenn die Prandtl-Zahl gr\u00f6\u00dfer als 1 ist, ist die thermische Grenzschicht d\u00fcnner als die Geschwindigkeitsgrenzschicht.  Wenn die Prandtl-Zahl kleiner als 1 ist, was f\u00fcr Luft bei Standardbedingungen der Fall ist, ist die thermische Grenzschicht dicker als die Geschwindigkeitsgrenzschicht.Bei Hochleistungskonstruktionen, wie Segelflugzeugen und Verkehrsflugzeugen, wird viel Wert darauf gelegt, das Verhalten der Grenzschicht zu kontrollieren, um den Luftwiderstand zu minimieren.  Zwei Effekte sind zu ber\u00fccksichtigen.  Erstens tr\u00e4gt die Grenzschicht durch die Verschiebungsdicke zur effektiven Dicke des K\u00f6rpers bei, wodurch der Druckwiderstand erh\u00f6ht wird.  Zweitens erzeugen die Scherkr\u00e4fte an der Oberfl\u00e4che des Fl\u00fcgels einen Mantelreibungswiderstand.Bei hohen Reynolds-Zahlen, die f\u00fcr Flugzeuge voller Gr\u00f6\u00dfe typisch sind, ist es w\u00fcnschenswert, eine laminare Grenzschicht zu haben.  Dies f\u00fchrt zu einer geringeren Mantelreibung aufgrund des charakteristischen Geschwindigkeitsprofils der laminaren Str\u00f6mung.  Die Grenzschicht wird jedoch zwangsl\u00e4ufig dicker und weniger stabil, wenn sich die Str\u00f6mung entlang des K\u00f6rpers entwickelt, und wird schlie\u00dflich turbulent, der Prozess, der als Grenzschicht\u00fcbergang bekannt ist.  Eine M\u00f6glichkeit, dieses Problem zu l\u00f6sen, besteht darin, die Grenzschicht durch eine por\u00f6se Oberfl\u00e4che abzusaugen (siehe Grenzschichtabsaugung).  Dies kann den Luftwiderstand verringern, ist jedoch aufgrund seiner mechanischen Komplexit\u00e4t und der zum Bewegen und Entsorgen der Luft erforderlichen Kraft normalerweise unpraktisch.  Natural Laminar Flow (NLF)-Techniken schieben den Grenzschicht\u00fcbergang nach hinten, indem sie die Tragfl\u00e4che oder den Rumpf so umformen, dass ihre dickste Stelle mehr nach hinten und weniger dick ist.  Dadurch werden die Geschwindigkeiten im vorderen Teil reduziert und die gleiche Reynolds-Zahl bei gr\u00f6\u00dferer L\u00e4nge erreicht.Bei niedrigeren Reynolds-Zahlen, wie sie bei Modellflugzeugen vorkommen, ist es relativ einfach, eine laminare Str\u00f6mung aufrechtzuerhalten.  Dies ergibt eine niedrige Mantelreibung, die w\u00fcnschenswert ist.  Das gleiche Geschwindigkeitsprofil, das der laminaren Grenzschicht ihre geringe Mantelreibung verleiht, f\u00fchrt jedoch auch dazu, dass sie von ung\u00fcnstigen Druckgradienten stark beeinflusst wird.  Wenn sich der Druck \u00fcber dem hinteren Teil der Fl\u00fcgelsehne wieder erholt, neigt eine laminare Grenzschicht dazu, sich von der Oberfl\u00e4che abzul\u00f6sen.  Eine solche Str\u00f6mungsabl\u00f6sung verursacht eine starke Zunahme des Druckwiderstands, da sie die effektive Gr\u00f6\u00dfe des Fl\u00fcgelabschnitts stark erh\u00f6ht.  In diesen F\u00e4llen kann es vorteilhaft sein, die Grenzschicht an einer Stelle vor dem Ort der laminaren Trennung mit einem Turbulator gezielt in Turbulenzen zu bringen.  Das vollere Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Grenzschicht erm\u00f6glicht es ihr, den nachteiligen Druckgradienten ohne Trennung aufrechtzuerhalten.  Somit wird, obwohl die Mantelreibung erh\u00f6ht wird, der Gesamtwiderstand verringert.  Dies ist das Prinzip hinter dem Gr\u00fcbchen bei Golfb\u00e4llen sowie bei Wirbelgeneratoren bei Flugzeugen.  Es wurden auch spezielle Fl\u00fcgelabschnitte entwickelt, die die Druckr\u00fcckgewinnung so anpassen, dass eine laminare Trennung reduziert oder sogar eliminiert wird.  Dies stellt einen optimalen Kompromiss zwischen Druckwiderstand durch Str\u00f6mungsabl\u00f6sung und Mantelreibung durch induzierte Turbulenz dar.Bei der Verwendung von Halbmodellen in Windkan\u00e4len wird manchmal eine Peniche verwendet, um die Wirkung der Grenzschicht zu reduzieren oder zu eliminieren.Grenzschichtgleichungen[edit]Der Abzug der Grenzschichtgleichungen war einer der wichtigsten Fortschritte in der Fluiddynamik.  Mit Hilfe einer Gr\u00f6\u00dfenordnungsanalyse k\u00f6nnen die bekannten Navier-Stokes-Gleichungen der viskosen Fl\u00fcssigkeitsstr\u00f6mung innerhalb der Grenzschicht stark vereinfacht werden.  Bemerkenswerterweise wird die Charakteristik der partiellen Differentialgleichungen (PDE) eher parabolisch als die elliptische Form der vollst\u00e4ndigen Navier-Stokes-Gleichungen.  Dies vereinfacht die L\u00f6sung der Gleichungen erheblich.  Durch die Grenzschicht-Approximation wird die Str\u00f6mung in einen nicht viskosen Anteil (der durch eine Reihe von Verfahren leicht zu l\u00f6sen ist) und die Grenzschicht, die durch eine leichter zu l\u00f6sende PDE bestimmt wird, unterteilt.  Die Stetigkeits- und Navier-Stokes-Gleichungen f\u00fcr eine zweidimensionale station\u00e4re inkompressible Str\u00f6mung in kartesischen Koordinaten sind gegeben durch\u2202du\u2202x+\u2202\u03c5\u2202ja=0{displaystyle {partial u over partial x}+{partial upsilon over partial y}=0}du\u2202du\u2202x+\u03c5\u2202du\u2202ja=\u22121\u03c1\u2202P\u2202x+\u03bd(\u22022du\u2202x2+\u22022du\u2202ja2){displaystyle u{partial uoverpartial x}+upsilon {partial uoverpartial y}=-{1 overrho }{partial poverpartial x}+{nu }left({partial^{2}uoverpartialx^{2}}+{partial^{2}uoverpartialy^{2}}right)}du\u2202\u03c5\u2202x+\u03c5\u2202\u03c5\u2202ja=\u22121\u03c1\u2202P\u2202ja+\u03bd(\u22022\u03c5\u2202x2+\u22022\u03c5\u2202ja2){displaystyle u{partialupsilonoverpartial x}+upsilon {partialupsilonoverpartial y}=-{1overrho }{partial poverpartial y}+{ nu}left({partial^{2}upsilonoverpartial x^{2}}+{partial^{2}upsilonoverpartial y^{2}}right)}wo du{displaystyle u}  und \u03c5{displaystyleupsilon}  sind die Geschwindigkeitskomponenten, \u03c1{displaystyle rho}  ist die Dichte, P{displaystyle p}  ist der Druck, und \u03bd{displaystyle nu}  ist die kinematische Viskosit\u00e4t des Fluids an einem Punkt.Die N\u00e4herung besagt, dass bei einer ausreichend hohen Reynolds-Zahl die Str\u00f6mung \u00fcber eine Oberfl\u00e4che unterteilt werden kann in einen \u00e4u\u00dferen, von der Viskosit\u00e4t unbeeinflussten, reibungsfreien Bereich (den Gro\u00dfteil der Str\u00f6mung) und einen oberfl\u00e4chennahen Bereich, in dem die Viskosit\u00e4t wichtig ist (der Grenzschicht).  Lassen du{displaystyle u}  und \u03c5{displaystyleupsilon}  str\u00f6mungs- bzw. quer- (wandnormale) Geschwindigkeiten innerhalb der Grenzschicht sein.  Mittels Skalenanalyse kann gezeigt werden, dass sich die obigen Bewegungsgleichungen innerhalb der Grenzschicht zudu\u2202du\u2202x+\u03c5\u2202du\u2202ja=\u22121\u03c1\u2202P\u2202x+\u03bd\u22022du\u2202ja2{displaystyle u{partial uoverpartial x}+upsilon {partial uoverpartial y}=-{1 overrho }{partial poverpartial x}+{nu }{partial ^{2}u over partial y^{2}}}1\u03c1\u2202P\u2202ja=0{displaystyle {1 over rho }{partial p over partial y}=0}und wenn die Fl\u00fcssigkeit inkompressibel ist (wie Fl\u00fcssigkeiten unter Standardbedingungen):\u2202du\u2202x+\u2202\u03c5\u2202ja=0{displaystyle {partial u over partial x}+{partial upsilon over partial y}=0}Die Gr\u00f6\u00dfenordnungsanalyse geht davon aus, dass die L\u00e4ngenskala in Str\u00f6mungsrichtung deutlich gr\u00f6\u00dfer ist als die L\u00e4ngenskala in Querrichtung innerhalb der Grenzschicht.  Daraus folgt, dass die Variationen der Eigenschaften in Str\u00f6mungsrichtung im Allgemeinen viel geringer sind als diejenigen in Richtung der Wandnormalen.  Wenden Sie dies auf die Kontinuit\u00e4tsgleichung an, zeigt, dass \u03c5{displaystyleupsilon}, die Wandnormalgeschwindigkeit, ist klein gegen\u00fcber du{displaystyle u}  die Str\u00f6mungsgeschwindigkeit.Da der statische Druck P{displaystyle p}  ist unabh\u00e4ngig von ja{displaystyle y}, dann ist der Druck am Rand der Grenzschicht der Druck in der gesamten Grenzschicht an einer gegebenen stromweisen Position.  Der \u00e4u\u00dfere Druck kann durch Anwendung der Bernoulli-Gleichung erhalten werden.  Lassen U{displaystyle U}  sei die Fluidgeschwindigkeit au\u00dferhalb der Grenzschicht, wobei du{displaystyle u}  und U{displaystyle U}  sind beide parallel.  Dies gibt beim Ersetzen f\u00fcr P{displaystyle p}  folgendes Ergebnisdu\u2202du\u2202x+\u03c5\u2202du\u2202ja=UDUDx+\u03bd\u22022du\u2202ja2{displaystyle u{partial u over partial x}+upsilon {partial u over partial y}=U{frac {dU}{dx}}+{nu }{partial ^{2 }u over partial y^{2}}}F\u00fcr eine Str\u00f6mung, bei der der statische Druck P{displaystyle p}  \u00e4ndert sich auch nicht in Str\u00f6mungsrichtungDPDx=0{displaystyle {frac {dp}{dx}}=0}so U{displaystyle U}  bleibt konstant.Daher vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zudu\u2202du\u2202x+\u03c5\u2202du\u2202ja=\u03bd\u22022du\u2202ja2{displaystyle u{partial u over partial x}+upsilon {partial u over partial y}={nu }{partial^{2}u over partial y^{2}} }Diese N\u00e4herungen werden in einer Vielzahl von praktischen Str\u00f6mungsproblemen von wissenschaftlichem und technischem Interesse verwendet.  Die obige Analyse gilt f\u00fcr jede momentane laminare oder turbulente Grenzschicht, wird jedoch haupts\u00e4chlich in Studien zur laminaren Str\u00f6mung verwendet, da die mittlere Str\u00f6mung auch die momentane Str\u00f6mung ist, da keine Geschwindigkeitsschwankungen vorhanden sind.  Diese vereinfachte Gleichung ist eine parabolische PDE und kann mit einer \u00c4hnlichkeitsl\u00f6sung gel\u00f6st werden, die oft als Blasius-Grenzschicht bezeichnet wird.Transpositionssatz von Prandtl[edit]Prandtl beobachtete, dass aus jeder L\u00f6sung du(x,ja,T), v(x,ja,T){displaystyle u(x,y,t),v(x,y,t)}  die die Grenzschichtgleichungen erf\u00fcllt, weitere L\u00f6sung du*(x,ja,T), v*(x,ja,T){displaystyle u^{*}(x,y,t), v^{*}(x,y,t)}, das auch die Grenzschichtgleichungen erf\u00fcllt, kann durch Schreiben konstruiert werden[2]du*(x,ja,T)=du(x,ja+F(x),T),v*(x,ja,T)=v(x,ja+F(x),T)\u2212FIch(x)du(x,ja+F(x),T){displaystyle u^{*}(x,y,t)=u(x,y+f(x),t),quad v^{*}(x,y,t)=v(x,y +f(x),t)-f'(x)u(x,y+f(x),t)}wo F(x){displaystyle f(x)}  ist willk\u00fcrlich.  Da die L\u00f6sung aus mathematischer Sicht nicht eindeutig ist,[3] zur L\u00f6sung kann eine beliebige einer unendlichen Menge von Eigenfunktionen hinzugef\u00fcgt werden, wie von Stewartson . gezeigt[4] und Paul A. Libby.[5][6]Von K\u00e1rm\u00e1n-Impulsintegral[edit]Von K\u00e1rm\u00e1n leitete die Integralgleichung ab, indem er 1921 die Grenzschichtgleichung \u00fcber die Grenzschicht integrierte.[7] Die Gleichung ist\u03c4w\u03c1U2=1U2\u2202\u2202T(U\u03b41)+\u2202\u03b42\u2202x+2\u03b42+\u03b41U\u2202U\u2202x+vwU{displaystyle {frac {tau_{w}}{rho U^{2}}}={frac {1}{U^{2}}}{frac {partial }{partial t }}(Udelta_{1})+{frac {partialdelta_{2}}{partial x}}}+{frac {2delta_{2}+delta_{1} }{U}}{frac {partial U}{partial x}}}+{frac {v_{w}}{U}}}wo\u03c4w=\u03bc(\u2202du\u2202ja)ja=0,vw=v(x,0,T),\u03b41=\u222b0\u221e(1\u2212duU)Dja,\u03b42=\u222b0\u221eduU(1\u2212duU)Dja{displaystyle tau_{w}=muleft({frac {partial u}{partial y}}right)_{y=0},quad v_{w}=v(x, 0,t),quaddelta_{1}=int_{0}^{infty}left(1-{frac{u}{U}}right),dy,quad Delta _{2}=int _{0}^{infty }{frac {u}{U}}left(1-{frac {u}{U}}right),dy}\u03c4w{displaystyle tau_{w}}  ist die Wandschubspannung, vw{displaystyle v_{w}}  ist die Saug-\/Injektionsgeschwindigkeit an der Wand, \u03b41{displaystyle delta_{1}}  ist die Verschiebungsdicke und \u03b42{displaystyle delta_{2}}  ist die Impulsdicke.  Aus dieser Gleichung wird die K\u00e1rm\u00e1n-Pohlhausen-Approximation abgeleitet.Energieintegral[edit]Das Energieintegral wurde von Wieghardt abgeleitet.[8][9]2\u03b5\u03c1U3=1U\u2202\u2202T(\u03b41+\u03b42)+2\u03b42U2\u2202U\u2202T+1U3\u2202\u2202x(U3\u03b43)+vwU{displaystyle {frac {2varepsilon }{rho U^{3}}}={frac {1}{U}}{frac {partial }{partial t}}(delta_{ 1}+delta_{2})+{frac{2delta_{2}}{U^{2}}}{frac{partial U}{partial t}}+{frac{ 1}{U^{3}}}{frac {partial }{partial x}}(U^{3}delta_{3})+{frac {v_{w}}{U}} }wo\u03b5=\u222b0\u221e\u03bc(\u2202du\u2202ja)2Dja,\u03b43=\u222b0\u221eduU(1\u2212du2U2)Dja{displaystyle varepsilon =int_{0}^{infty}mu left({frac {partial u}{partial y}}right)^{2}dy,quaddelta_ {3}=int _{0}^{infty }{frac {u}{U}}left(1-{frac {u^{2}}{U^{2}}}right ),dy}\u03b5{displaystylevarepsilon}  ist die Energiedissipationsrate aufgrund der Viskosit\u00e4t \u00fcber die Grenzschicht und \u03b43{displaystyle delta_{3}}  ist die Energiedicke.[10]Von Mises-Transformation[edit]F\u00fcr station\u00e4re zweidimensionale Grenzschichten gilt von Mises[11]  f\u00fchrte eine Transformation ein, die x{displaystyle x}  und \u03c8{displaystyle psi}(Stream-Funktion) als unabh\u00e4ngige Variablen statt x{displaystyle x}  und ja{displaystyle y}  und verwendet eine abh\u00e4ngige Variable \u03c7=U2\u2212du2{displaystyle chi =U^{2}-u^{2}}  Anstatt von du{displaystyle u}.  Die Grenzschichtgleichung wird dann\u2202\u03c7\u2202x=\u03bdU2\u2212\u03c7\u22022\u03c7\u2202\u03c82{displaystyle {frac {partialchi }{partial x}}=nu {sqrt {U^{2}-chi}},{frac {partial^{2}chi} {partialpsi^{2}}}}Die urspr\u00fcnglichen Variablen werden wiederhergestellt ausja=\u222bU2\u2212\u03c7D\u03c8,du=U2\u2212\u03c7,v=du\u222b\u2202\u2202x(1du)D\u03c8.{displaystyle y=int {sqrt {U^{2}-chi}},dpsi ,quad u={sqrt {U^{2}-chi}},quad v= uint {frac {partial }{partial x}}left({frac {1}{u}}right),dpsi .}Diese Transformation wird sp\u00e4ter von K\u00e1rm\u00e1n und HS Tsien auf die kompressible Grenzschicht ausgedehnt.[12]Croccos Verwandlung[edit]F\u00fcr eine station\u00e4re zweidimensionale kompressible Grenzschicht, Luigi Crocco[13]  f\u00fchrte eine Transformation ein, die x{displaystyle x}  und du{displaystyle u}  als unabh\u00e4ngige Variablen statt x{displaystyle x}  und ja{displaystyle y}  und verwendet eine abh\u00e4ngige Variable \u03c4=\u03bc\u2202du\/\u2202ja{displaystyle tau =mupartial u\/partial y}(Scherspannung) statt du{displaystyle u}.  Die Grenzschichtgleichung wird dann\u03bc\u03c1du\u2202\u2202x(1\u03c4)+\u22022\u03c4\u2202du2\u2212\u03bcDPDx\u2202\u2202du(1\u03c4)=0,wenn DPDx=0, dann \u03bc\u03c1\u03c42\u2202\u03c4\u2202x=1du\u22022\u03c4\u2202du2.{displaystyle {begin{ausgerichtet}&murho u{frac {partial}{partial x}}left({frac{1}{tau}}right)+{frac { partial ^{2}tau }{partial u^{2}}}-mu {frac {dp}{dx}}{frac {partial }{partial u}}left({ frac {1}{tau }}right)=0,\\[5pt]&{text{if }}{frac {dp}{dx}}=0,{text{ dann }}{frac {mu rho }{tau ^{2}}}{frac { partial tau }{partial x}}={frac {1}{u}}{frac {partial ^{2}tau }{partial u^{2}}}.end{ausgerichtet }}}Die urspr\u00fcngliche Koordinate wird aus wiederhergestelltja=\u03bc\u222bDdu\u03c4.{displaystyle y=muint {frac {du}{tau}}.}Turbulente Grenzschichten[edit]Die Behandlung turbulenter Grenzschichten ist aufgrund der zeitabh\u00e4ngigen Variation der Str\u00f6mungseigenschaften weitaus schwieriger.  Eine der am weitesten verbreiteten Techniken zur Bek\u00e4mpfung turbulenter Str\u00f6mungen ist die Reynolds-Zerlegung.  Hier werden die momentanen Str\u00f6mungseigenschaften in einen Mittelwert und eine schwankende Komponente zerlegt, wobei angenommen wird, dass der Mittelwert der schwankenden Komponente immer Null ist.  Die Anwendung dieser Technik auf die Grenzschichtgleichungen ergibt die vollst\u00e4ndigen turbulenten Grenzschichtgleichungen, die in der Literatur nicht oft angegeben werden:\u2202du\u00af\u2202x+\u2202v\u00af\u2202ja=0{displaystyle {partial {overline {u}} over partial x}+{partial {overline {v}} over partial y}=0}du\u00af\u2202du\u00af\u2202x+v\u00af\u2202du\u00af\u2202ja=\u22121\u03c1\u2202P\u00af\u2202x+\u03bd(\u22022du\u00af\u2202x2+\u22022du\u00af\u2202ja2)\u2212\u2202\u2202ja(duIchvIch\u00af)\u2212\u2202\u2202x(duIch2\u00af){displaystyle {overline {u}}{partial {overline {u}} over partial x}+{overline {v}}{partial {overline {u}} over partial y} =-{1 over rho }{partial {overline {p}} over partial x}+nu left({partial ^{2}{overline {u}} over partial x ^{2}}+{partial ^{2}{overline {u}} over partial y^{2}}right)-{frac {partial }{partial y}}({ overline {u’v’}})-{frac {partial }{partial x}}({overline {u’^{2}}})}du\u00af\u2202v\u00af\u2202x+v\u00af\u2202v\u00af\u2202ja=\u22121\u03c1\u2202P\u00af\u2202ja+\u03bd(\u22022v\u00af\u2202x2+\u22022v\u00af\u2202ja2)\u2212\u2202\u2202x(duIchvIch\u00af)\u2212\u2202\u2202ja(vIch2\u00af){displaystyle {overline {u}}{partial {overline {v}} overpartial x}+{overline {v}}{partial {overline {v}} overpartial y} =-{1 over rho }{partial {overline {p}} over partial y}+nu left({partial ^{2}{overline {v}} over partial x ^{2}}+{partial ^{2}{overline {v}} overpartial y^{2}}right)-{frac {partial}{partial x}}({ overline {u’v’}})-{frac {partial }{partial y}}({overline {v’^{2}}})}Unter Verwendung einer \u00e4hnlichen Gr\u00f6\u00dfenordnungsanalyse k\u00f6nnen die obigen Gleichungen auf Terme f\u00fchrender Ordnung reduziert werden.  Durch die Wahl von L\u00e4ngenskalen \u03b4{displaystyledelta}  f\u00fcr \u00c4nderungen in Querrichtung und L{displaystyle L}  f\u00fcr \u00c4nderungen in Str\u00f6mungsrichtung, mit \u03b4du\u00af\u2202x+v\u00af\u2202du\u00af\u2202ja=\u22121\u03c1\u2202P\u00af\u2202x\u2212\u2202\u2202ja(duIchvIch\u00af).{displaystyle {overline {u}}{partial {overline {u}} overpartial x}+{overline {v}}{partial {overline {u}} over partial y} =-{1 over rho }{partial {overline {p}} over partial x}-{frac {partial }{partial y}}({overline {u’v’}} ).}Diese Gleichung erf\u00fcllt nicht die rutschfeste Bedingung an der Wand.  Wie Prandtl f\u00fcr seine Grenzschichtgleichungen muss eine neue, kleinere L\u00e4ngenskala verwendet werden, damit der viskose Term in der Impulsgleichung f\u00fchrende Ordnung wird.  Durch Ausw\u00e4hlen \u03b71\u03c1\u2202P\u00af\u2202x+\u03bd\u22022du\u00af\u2202ja2\u2212\u2202\u2202ja(duIchvIch\u00af).{displaystyle 0=-{1 over rho }{partial {overline {p}} over partial x}+{nu }{partial^{2}{overline {u}} over partial y^{2}}-{frac {partial }{partial y}}({overline {u’v’}}).}Im Grenzfall der unendlichen Reynolds-Zahl kann gezeigt werden, dass der Druckgradiententerm keinen Einfluss auf den inneren Bereich der turbulenten Grenzschicht hat.  Die neue “Innenl\u00e4ngenskala” \u03b7{displaystyle eta}  ist eine viskose L\u00e4ngenskala und ist von Ordnung \u03bddu*{displaystyle {frac {nu }{u_{*}}}}, mit du*{displaystyle u_{*}}  die Geschwindigkeitsskala der turbulenten Fluktuationen, in diesem Fall eine Reibungsgeschwindigkeit.Im Gegensatz zu den laminaren Grenzschichtgleichungen hat das Vorhandensein von zwei Regimen, die von unterschiedlichen S\u00e4tzen von Str\u00f6mungsskalen (dh der inneren und der \u00e4u\u00dferen Skalierung) bestimmt werden, das Auffinden einer universellen \u00c4hnlichkeitsl\u00f6sung f\u00fcr die turbulente Grenzschicht schwierig und umstritten gemacht.  Um eine \u00c4hnlichkeitsl\u00f6sung zu finden, die beide Bereiche der Str\u00f6mung umfasst, ist es notwendig, die L\u00f6sungen aus beiden Bereichen der Str\u00f6mung asymptotisch abzugleichen.  Eine solche Analyse ergibt entweder das sogenannte Log-Gesetz oder das Potenzgesetz.Der zus\u00e4tzliche Begriff duIchvIch\u00af{displaystyle {overline {u’v’}}}  in den turbulenten Grenzschichtgleichungen ist als Reynolds-Scherspannung bekannt und a priori unbekannt.  Die L\u00f6sung der turbulenten Grenzschichtgleichungen erfordert daher die Verwendung eines Turbulenzmodells, das darauf abzielt, die Reynolds-Scherspannung durch bekannte Str\u00f6mungsgr\u00f6\u00dfen oder Ableitungen auszudr\u00fccken.  Der Mangel an Genauigkeit und Allgemeing\u00fcltigkeit solcher Modelle ist ein gro\u00dfes Hindernis bei der erfolgreichen Vorhersage turbulenter Str\u00f6mungseigenschaften in der modernen Fluiddynamik.Im wandnahen Bereich existiert eine konstante Spannungsschicht.  Aufgrund der D\u00e4mpfung der vertikalen Geschwindigkeitsschwankungen in der N\u00e4he der Wand wird der Reynolds-Spannungsterm vernachl\u00e4ssigbar und wir stellen fest, dass ein lineares Geschwindigkeitsprofil existiert.  Dies gilt nur f\u00fcr den sehr nahen Wandbereich.W\u00e4rme- und Stofftransport[edit]Der franz\u00f6sische Ingenieur Andr\u00e9 L\u00e9v\u00eaque beobachtete 1928, dass die konvektive W\u00e4rme\u00fcbertragung in einer str\u00f6menden Fl\u00fcssigkeit nur durch die Geschwindigkeitswerte sehr nahe an der Oberfl\u00e4che beeinflusst wird.[14][15]  Bei Str\u00f6mungen mit gro\u00dfer Prandtl-Zahl findet der Temperatur-Masse-\u00dcbergang von der Oberfl\u00e4chen- zur Freistromtemperatur \u00fcber einen sehr d\u00fcnnen oberfl\u00e4chennahen Bereich statt.  Daher sind die wichtigsten Fluidgeschwindigkeiten diejenigen innerhalb dieses sehr d\u00fcnnen Bereichs, in dem die Geschwindigkeits\u00e4nderung als linear mit dem normalen Abstand von der Oberfl\u00e4che betrachtet werden kann.  Auf diese Weise f\u00fcrdu(ja)=U[1\u2212(y\u2212h)2h2]=Ujah[2\u2212yh],{displaystyle u(y)=Uleft[1-{frac {(y-h)^{2}}{h^{2}}}right]=U{frac{y}{h}}left[2-{frac {y}{h}}right];,}Wenn ja\u21920{displaystyle yrightarrow 0}, danndu(ja)\u22482Ujah=\u03b8ja,{displaystyle u(y)approx 2U{frac {y}{h}}=theta y,}wo \u03b8 ist die Tangente der Poiseuille-Parabel, die die Wand schneidet.  Obwohl L\u00e9v\u00eaques L\u00f6sung spezifisch f\u00fcr die W\u00e4rme\u00fcbertragung in eine Poiseuille-Str\u00f6mung war, halfen seine Erkenntnisse anderen Wissenschaftlern, das Problem der thermischen Grenzschicht exakt zu l\u00f6sen.[16]  Schuh beobachtete, dass in einer Grenzschicht du ist wieder eine lineare Funktion von ja, aber in diesem Fall ist die Wandtangente eine Funktion von x.[17]  Er dr\u00fcckte dies mit einer modifizierten Version von L\u00e9v\u00eaques Profil aus,du(ja)=\u03b8(x)ja.{displaystyle u(y)=theta(x)y.}Dies f\u00fchrt zu einer sehr guten N\u00e4herung, auch f\u00fcr niedrige PR{displaystyle Pr}  Zahlen, so dass nur fl\u00fcssige Metalle mit PR{displaystyle Pr}  viel weniger als 1 kann auf diese Weise nicht behandelt werden.[16]Im Jahr 1962 ver\u00f6ffentlichten Kestin und Persen ein Papier, in dem L\u00f6sungen f\u00fcr die W\u00e4rme\u00fcbertragung beschrieben wurden, wenn die thermische Grenzschicht vollst\u00e4ndig in der Impulsschicht enthalten ist, und f\u00fcr verschiedene Wandtemperaturverteilungen.[18]  F\u00fcr das Problem einer flachen Platte mit einem Temperatursprung bei x=x0{displaystyle x=x_{0}}, schlagen sie eine Substitution vor, die die parabolische thermische Grenzschichtgleichung auf eine gew\u00f6hnliche Differentialgleichung reduziert.  Die L\u00f6sung dieser Gleichung, die Temperatur an einem beliebigen Punkt in der Fl\u00fcssigkeit, kann als unvollst\u00e4ndige Gammafunktion ausgedr\u00fcckt werden.[15]Schlichting schlug eine \u00e4quivalente Substitution vor, die die thermische Grenzschichtgleichung auf eine gew\u00f6hnliche Differentialgleichung reduziert, deren L\u00f6sung dieselbe unvollst\u00e4ndige Gammafunktion ist.[19]Konvektive \u00dcbertragungskonstanten aus der Grenzschichtanalyse[edit]Paul Richard Heinrich Blasius leitete eine exakte L\u00f6sung der obigen laminaren Grenzschichtgleichungen ab.[20]    Die Dicke der Grenzschicht \u03b4{displaystyledelta}  ist eine Funktion der Reynolds-Zahl f\u00fcr laminare Str\u00f6mung.\u03b4\u22485.0xRe{displaystyle delta approx 5.0{xover {sqrt {Re}}}}\u03b4{displaystyledelta}  = Dicke der Grenzschicht: der Str\u00f6mungsbereich, in dem die Geschwindigkeit weniger als 99% der Fernfeldgeschwindigkeit betr\u00e4gt v\u221e{displaystyle v_{infty}}; x{displaystyle x}  ist die Position entlang der semi-unendlichen Platte, und Re{displaystyle Re}  ist die Reynolds-Zahl gegeben durch \u03c1v\u221ex\/\u03bc{displaystyle rho v_{infty}x\/mu}  (\u03c1={displaystyle rho =}  Dichte und \u03bc={displaystyle mu =}  dynamische Viskosit\u00e4t).Die Blasius-L\u00f6sung verwendet Randbedingungen in dimensionsloser Form:vx\u2212vSv\u221e\u2212vS=vxv\u221e=vjav\u221e=0{displaystyle {v_{x}-v_{S} over v_{infty}-v_{S}}={v_{x} over v_{infty}}={v_{y} over v_{ infty}}=0}     bei     ja=0{displaystyle y=0}vx\u2212vSv\u221e\u2212vS=vxv\u221e=1{displaystyle {v_{x}-v_{S} over v_{infty}-v_{S}}={v_{x} over v_{infty}}=1}     bei     ja=\u221e{displaystyle y=infty}  und x=0{displaystyle x=0}  Geschwindigkeitsgrenzschicht (oben, orange) und Temperaturgrenzschicht (unten, gr\u00fcn) teilen aufgrund der \u00c4hnlichkeit in den Momentum-\/Energiebilanzen und Randbedingungen eine funktionale Form.Beachten Sie, dass in vielen F\u00e4llen die rutschfeste Randbedingung gilt: vS{displaystyle v_{S}}, ist die Fl\u00fcssigkeitsgeschwindigkeit an der Oberfl\u00e4che der Platte an allen Stellen gleich der Geschwindigkeit der Platte.  Wenn sich die Platte nicht bewegt, dann vS=0{displaystyle v_{S}=0}.  Eine viel kompliziertere Ableitung ist erforderlich, wenn Fl\u00fcssigkeitsschlupf zugelassen wird.[21]Tats\u00e4chlich kann die Blasius-L\u00f6sung f\u00fcr das laminare Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht \u00fcber einer semi-infiniten Platte leicht erweitert werden, um thermische und Konzentrationsgrenzschichten f\u00fcr W\u00e4rme- bzw. Stoff\u00fcbertragung zu beschreiben.  Anstelle der differentiellen x-Impulsbilanz (Bewegungsgleichung) wird eine \u00e4hnlich abgeleitete Energie- und Massenbilanz verwendet:Energie:         vx\u2202T\u2202x+vja\u2202T\u2202ja=k\u03c1CP\u22022T\u2202ja2{displaystyle v_{x}{partial Toverpartial x}+v_{y}{partial Toverpartial y}={koverrho C_{p}}{partial^{2 }T over partial y^{2}}}Masse:           vx\u2202CEIN\u2202x+vja\u2202CEIN\u2202ja=DEINB\u22022CEIN\u2202ja2{displaystyle v_{x}{partial c_{A} over partial x}+v_{y}{partial c_{A} over partial y}=D_{AB}{partial ^{2} c_{A} over partial y^{2}}}F\u00fcr den Impulsausgleich, kinematische Viskosit\u00e4t \u03bd{displaystyle nu}  kann als die Impulsdiffusivit\u00e4t.  In der Energiebilanz wird diese durch die Temperaturleitf\u00e4higkeit ersetzt \u03b1=k\/\u03c1CP{displaystyle alpha ={k\/rho C_{P}}}, und durch Massendiffusionsf\u00e4higkeit DEINB{displaystyle D_{AB}}  in der Massenbilanz.  Bei der W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit eines Stoffes k{displaystyle k}  ist seine W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit, \u03c1{displaystyle rho}  ist seine Dichte und CP{displaystyle C_{P}}  ist seine W\u00e4rmekapazit\u00e4t.  Der Index AB bezeichnet die Diffusionsf\u00e4higkeit von Spezies A, die in Spezies B diffundiert.Unter der Annahme, dass \u03b1=DEINB=\u03bd{displaystyle alpha =D_{AB}=nu}, werden diese Gleichungen \u00e4quivalent zur Impulsbilanz.  F\u00fcr die Prandtl-Zahl PR=\u03bd\/\u03b1=1{displaystyle Pr=nu \/alpha =1}  und Schmidt-Zahl SC=\u03bd\/DEINB=1{displaystyle Sc=nu \/D_{AB}=1}  die Blasius-L\u00f6sung gilt direkt.Dementsprechend verwendet diese Ableitung eine verwandte Form der Randbedingungen und ersetzt v{displaystyle v}  mit T{displaystyle T}  oder CEIN{displaystyle c_{A}}  (absolute Temperatur oder Konzentration der Spezies A).  Das tiefgestellte S bezeichnet einen Oberfl\u00e4chenzustand.vx\u2212vSv\u221e\u2212vS=T\u2212TST\u221e\u2212TS=CEIN\u2212CEINSCEIN\u221e\u2212CEINS=0{displaystyle {v_{x}-v_{S} over v_{infty}-v_{S}}={T-T_{S} over T_{infty}-T_{S}}={c_ {A}-c_{AS} over c_{Ainfty}-c_{AS}}=0}     bei     ja=0{displaystyle y=0}vx\u2212vSv\u221e\u2212vS=T\u2212TST\u221e\u2212TS=CEIN\u2212CEINSCEIN\u221e\u2212CEINS=1{displaystyle {v_{x}-v_{S} over v_{infty}-v_{S}}={T-T_{S} over T_{infty}-T_{S}}={c_ {A}-c_{AS} over c_{Ainfty}-c_{AS}}=1}     bei     ja=\u221e{displaystyle y=infty}  und x=0{displaystyle x=0}Mit der Stromlinienfunktion hat Blasius folgende L\u00f6sung f\u00fcr die Schubspannung an der Plattenoberfl\u00e4che erhalten.\u03c40=(\u2202vx\u2202ja)ja=0=0,332v\u221exRe1\/2{displaystyle tau_{0}=left({partial v_{x} over partial y}right)_{y=0}=0.332{v_{infty} over x}Re^{ 1\/2}}Und \u00fcber die Randbedingungen ist bekannt, dassvx\u2212vSv\u221e\u2212vS=T\u2212TST\u221e\u2212TS=CEIN\u2212CEINSCEIN\u221e\u2212CEINS{displaystyle {v_{x}-v_{S} over v_{infty}-v_{S}}={T-T_{S} over T_{infty}-T_{S}}={c_ {A}-c_{AS} over c_{Ainfty}-c_{AS}}}Wir erhalten die folgenden Beziehungen f\u00fcr den W\u00e4rme-\/Massenfluss aus der Oberfl\u00e4che der Platte(\u2202T\u2202ja)ja=0=0,332T\u221e\u2212TSxRe1\/2{displaystyle left({partial Toverpartial y}right)_{y=0}=0.332{T_{infty}-T_{S} over x}Re^{1\/2}}(\u2202CEIN\u2202ja)ja=0=0,332CEIN\u221e\u2212CEINSxRe1\/2{displaystyle left({partial c_{A} over partial y}right)_{y=0}=0.332{c_{Ainfty}-c_{AS} over x}Re^{1 \/2}}So f\u00fcr PR=SC=1{displaystyle Pr=Sc=1}\u03b4=\u03b4T=\u03b4C=5.0xRe{displaystyle delta =delta_{T}=delta_{c}={5.0x over {sqrt {Re}}}}wo \u03b4T,\u03b4C{displaystyle delta_{T},delta_{c}}  sind die Flie\u00dfbereiche, in denen T{displaystyle T}  und CEIN{displaystyle c_{A}}  weniger als 99% ihrer Fernfeldwerte betragen.[22]Da die Prandtl-Zahl einer bestimmten Fl\u00fcssigkeit nicht oft eins ist, versuchte der deutsche Ingenieur E. Polhausen, der mit Ludwig Prandtl zusammenarbeitete, diese Gleichungen empirisch zu erweitern, um sie f\u00fcr PR\u22601{displaystyle Prneq 1}.  Seine Ergebnisse k\u00f6nnen angewendet werden auf SC{displaystyle Sc}  sowie.[23]    Er fand, dass f\u00fcr eine Prandtl-Zahl gr\u00f6\u00dfer als 0,6 die Dicke der thermischen Grenzschicht ungef\u00e4hr gegeben war durch:  Diagramm, das die relative Dicke in der thermischen Grenzschicht gegen\u00fcber der Geschwindigkeitsgrenzschicht (in Rot) f\u00fcr verschiedene Prandtl-Zahlen zeigt.  Zum PR=1{displaystyle Pr=1}, die beiden sind gleich.\u03b4\u03b4T=PR1\/3{displaystyle {deltaoverdelta_{T}}=Pr^{1\/3}}          und deshalb          \u03b4\u03b4C=SC1\/3{displaystyle {deltaoverdelta_{c}}=Sc^{1\/3}}Mit dieser L\u00f6sung ist es m\u00f6glich, die konvektiven W\u00e4rme- \/ Stoff\u00fcbergangskonstanten basierend auf dem Bereich der Grenzschichtstr\u00f6mung zu charakterisieren.  Das Fouriersche Leitungsgesetz und das Newtonsche Abk\u00fchlungsgesetz werden mit dem oben abgeleiteten Flussterm und der Grenzschichtdicke kombiniert.QEIN=\u2212k(\u2202T\u2202ja)ja=0=hx(TS\u2212T\u221e){displaystyle {qover A}=-kleft({partial Toverpartial y}right)_{y=0}=h_{x}(T_{S}-T_{infty} )}hx=0,332kxRex1\/2PR1\/3{displaystyle h_{x}=0.332{k over x}Re_{x}^{1\/2}Pr^{1\/3}}Daraus ergibt sich die lokale Konvektionskonstante hx{displaystyle h_{x}}  an einem Punkt auf der halbunendlichen Ebene.  Integrieren \u00fcber die L\u00e4nge der Platte ergibt einen DurchschnitthL=0,664kxReL1\/2PR1\/3{displaystyle h_{L}=0,664{k over x}Re_{L}^{1\/2}Pr^{1\/3}}Nach der Ableitung mit Stoff\u00fcbergangstermen (k{displaystyle k}  = konvektive Stoff\u00fcbergangskonstante, DEINB{displaystyle D_{AB}}  = Diffusionsf\u00e4higkeit von Spezies A in Spezies B, SC=\u03bd\/DEINB{displaystyle Sc=nu \/D_{AB}}  ) ergeben sich folgende L\u00f6sungen:kxIch=0,332DEINBxRex1\/2SC1\/3{displaystyle k’_{x}=0.332{D_{AB} over x}Re_{x}^{1\/2}Sc^{1\/3}}kLIch=0,664DEINBxReL1\/2SC1\/3{displaystyle k’_{L}=0,664{D_{AB} over x}Re_{L}^{1\/2}Sc^{1\/3}}Diese L\u00f6sungen gelten f\u00fcr Laminar Flow mit einer Prandtl\/Schmidt-Zahl gr\u00f6\u00dfer 0,6.[22]Schiffsbau[edit]Diese Abteilung braucht Erweiterung.  Sie k\u00f6nnen helfen, indem Sie es erg\u00e4nzen.  (April 2009)Viele der Prinzipien, die f\u00fcr Flugzeuge gelten, gelten auch f\u00fcr Schiffe, U-Boote und Offshore-Plattformen.Bei Schiffen handelt es sich im Gegensatz zu Flugzeugen um inkompressible Str\u00f6mungen, bei denen die \u00c4nderung der Wasserdichte vernachl\u00e4ssigbar ist (ein Druckanstieg nahe 1000 kPa f\u00fchrt zu einer \u00c4nderung von nur 2\u20133 kg\/m3).  Dieses Gebiet der Fluiddynamik wird Hydrodynamik genannt.  Ein Schiffsingenieur konstruiert zuerst f\u00fcr Hydrodynamik und erst sp\u00e4ter f\u00fcr Festigkeit.  Die Entwicklung, der Abbau und die Trennung der Grenzschicht werden kritisch, da die hohe Viskosit\u00e4t von Wasser hohe Scherspannungen erzeugt.  Eine weitere Folge der hohen Viskosit\u00e4t ist der Slipstream-Effekt, bei dem sich das Schiff wie ein Speer bewegt, der mit hoher Geschwindigkeit durch einen Schwamm rei\u00dft.[citation needed]Grenzschichtturbine[edit]Dieser Effekt wurde in der Tesla-Turbine ausgenutzt, die 1913 von Nikola Tesla patentiert wurde. Sie wird als schaufellose Turbine bezeichnet, weil sie den Grenzschichteffekt nutzt und nicht wie bei einer herk\u00f6mmlichen Turbine ein auf die Schaufeln auftreffendes Fluid.  Grenzschichtturbinen werden auch als Koh\u00e4sionsturbine, schaufellose Turbine und Prandtl-Schichtturbine (nach Ludwig Prandtl) bezeichnet.Vorhersage der transienten Grenzschichtdicke in einem Zylinder durch Dimensionsanalyse[edit]Durch die Verwendung der transienten und viskosen Kraftgleichungen f\u00fcr eine zylindrische Str\u00f6mung k\u00f6nnen Sie die transiente Grenzschichtdicke vorhersagen, indem Sie die Womersley-Zahl (nw{displaystyle N_{w}}).Transiente Kraft = \u03c1vw{displaystyle rho vw}Viskose Kraft = \u03bcv\u03b412{displaystyle {mu voverdelta_{1}^{2}}}Wenn Sie sie gleich setzen, erhalten Sie:\u03c1vw=\u03bcv\u03b412{displaystyle rho vw={mu v over delta_{1}^{2}}}Aufl\u00f6sen nach Delta ergibt:\u03b41=\u03bc\u03c1w= v w{displaystyle delta_{1}={sqrt {muoverrho w}}={sqrt {voverw}}}In dimensionsloser Form:L\u03b41=Lw v=nw{displaystyle {Loverdelta_{1}}={L{sqrt {woverv}}}=N_{w}}wo nw{displaystyle N_{w}}  = Womersley-Zahl; \u03c1{displaystyle rho}  = Dichte; v{displaystyle v}  = Geschwindigkeit; w={displaystyle w=} ?; \u03b41{displaystyle delta_{1}}  = L\u00e4nge der transienten Grenzschicht; \u03bc{displaystylemu}  = Viskosit\u00e4t; L{displaystyle L}  = charakteristische L\u00e4nge.Vorhersage konvektiver Str\u00f6mungsverh\u00e4ltnisse an der Grenzschicht in einem Zylinder durch Dimensionsanalyse[edit]Durch Verwendung der konvektiven und viskosen Kraftgleichungen an der Grenzschicht f\u00fcr eine zylindrische Str\u00f6mung k\u00f6nnen Sie die konvektiven Str\u00f6mungsbedingungen an der Grenzschicht vorhersagen, indem Sie die dimensionslose Reynolds-Zahl (Re{displaystyle Re}).Konvektionskraft: \u03c1v2 L{displaystyle rho v^{2} over  L}Viskose Kraft: \u03bcv\u03b422{displaystyle {mu v over delta_{2}^{2}}}Wenn Sie sie gleich setzen, erhalten Sie:\u03c1v2 L=\u03bcv\u03b422{displaystyle {rho v^{2} over  L}={mu v over delta_{2}^{2}}}Aufl\u00f6sen nach Delta ergibt:\u03b42=\u03bcL\u03c1v{displaystyle delta_{2}={sqrt {mu L overrho v}}}In dimensionsloser Form:L\u03b42=\u03c1vL\u03bc=Re{displaystyle {Loverdelta_{2}}={sqrt {rho vLovermu}}={sqrt {Re}}}wo Re{displaystyle Re}  = Reynolds-Zahl; \u03c1{displaystyle rho}  = Dichte; v{displaystyle v}  = Geschwindigkeit; \u03b42{displaystyle delta_{2}}  = L\u00e4nge der konvektiven Grenzschicht; \u03bc{displaystylemu}  = Viskosit\u00e4t; L{displaystyle L}  = charakteristische L\u00e4nge.Grenzschichtaufnahme[edit]Die Aufnahme der Grenzschicht verspricht eine Erh\u00f6hung der Treibstoffeffizienz von Flugzeugen, wobei ein hinten montierter Propulsor die langsame Rumpfgrenzschicht aufnimmt und den Nachlauf wieder mit Energie versorgt, um den Luftwiderstand zu reduzieren und die Antriebseffizienz zu verbessern.  Um bei verzerrtem Luftstrom zu arbeiten, ist der L\u00fcfter schwerer und seine Effizienz verringert, und seine Integration ist eine Herausforderung.  Es kommt in Konzepten wie der Aurora D8 oder der franz\u00f6sischen Forschungsagentur Onera Nova zum Einsatz und spart 5 % im Reiseflug durch die Aufnahme von 40 % der Rumpfgrenzschicht.[24]Airbus pr\u00e4sentierte auf dem ICAS-Kongress im September 2018 das Nautilius-Konzept: Um die gesamte Rumpfgrenzschicht aufzunehmen und gleichzeitig die azimutale Str\u00f6mungsverzerrung zu minimieren, teilt sich der Rumpf in zwei Spindeln mit L\u00fcftern mit einem Bypassverh\u00e4ltnis von 13-18:1 auf.  Der Antriebswirkungsgrad betr\u00e4gt bis zu 90% wie bei gegenl\u00e4ufigen offenen Rotoren mit kleineren, leichteren, weniger komplexen und lauten Motoren.  Es k\u00f6nnte den Kraftstoffverbrauch um mehr als 10 % im Vergleich zu einem \u00fcblichen Unterfl\u00fcgel-Motor mit einem Bypass-Verh\u00e4ltnis von 15:1 senken.[24]Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ Young, AD (1989). Grenzschichten (1. Hrsg.).  Washington, DC: Amerikanisches Institut f\u00fcr Luft- und Raumfahrt.  ISBN 0930403576.^ Prandtl, L. (1938).  “Zur Berechnung der Grenzschichten”. Zeitschrift f\u00fcr Angewandte Mathematik und Mechanik. 18 (1): 77\u201382.  Bibcode:1938ZaMM…18…77P.  mach:10.1002\/zamm.19380180111.^ Van Dyke, Milton.  St\u00f6rungsmethoden in der Str\u00f6mungsmechanik.  Parabolic Press, Incorporated, 1975.^ Stewartson, K. (1957).  \u201e\u00dcber asymptotische Expansionen in der Theorie der Grenzschichten\u201c. Zeitschrift f\u00fcr Mathematik und Physik. 36 (1\u20134): 173\u2013191.  mach:10.1002\/sapm1957361173.^ Libby, Paul A.;  Fuchs, Herbert (1963).  \u201eEinige St\u00f6rungsl\u00f6sungen in der laminaren Grenzschichttheorie\u201c. Zeitschrift f\u00fcr Str\u00f6mungsmechanik. 17 (3): 433. doi:10.1017\/S0022112063001439.^ Fuchs, Herbert;  Libby, Paul A. (1964).  “Einige St\u00f6rungsl\u00f6sungen in der laminaren Grenzschichttheorie Teil 2. Die Energiegleichung”. Zeitschrift f\u00fcr Str\u00f6mungsmechanik. 19 (3): 433\u2013451.  Bibcode:1964JFM….19..433F.  mach:10.1017\/S0022112064000830.^ von K\u00e1rm\u00e1n, T. (1921). “\u00dcber laminare und turbulente Reibung”. Zeitschrift f\u00fcr Angewandte Mathematik und Mechanik. 1 (4): 233\u2013252.  Bibcode:1921ZaMM….1..233K.  mach:10.1002\/zamm.19210010401.^ Wieghardt, K. \u00dcber eine Energiegleichung zur Berechnung laminarer Grenzschichten.  Joint Intelligence Objectives Agency, 1946.^ Wieghardt, K. (1948).  “\u00dcber einen Energiesatz zur Berechnung laminarer Grenzschichten”. Ingenieur-Archiv. 16 (3\u20134): 231\u2013242.  mach:10.1007\/BF00548007.  S2CID 119750449.^ Rosenhead, Louis, Hrsg.  Laminare Grenzschichten.  Clarendon-Presse, 1963.^ Tollmien, Walter;  Schlichting, Hermann;  G\u00f6rtler, Henry;  Riegels, FW (1961).  “Bemerkungen zur Hydrodynamik”. Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen.  S. 627\u2013631.  mach:10.1007\/978-3-662-11836-8_49.  ISBN 978-3-662-11837-5.^ von K\u00e1rm\u00e1n, T.;  Tsien, HS (1938).  \u201eGrenzschicht in kompressiblen Fl\u00fcssigkeiten\u201c. Zeitschrift der Luftfahrtwissenschaften. 5 (6): 227\u2013232.  mach:10.2514\/8.591.^ Crocco, L. “Eine charakteristische Transformation der Gleichungen der Grenzschicht in Gasen.”  ARC 4582 (1939): 1940.^ Lev\u00e9que, A. (1928).  “Les lois de la Transmission de chaleur par Konvektion”. Annales des Mines ou Recueil de M\u00e9moires sur l’Exploitation des Mines et sur les Sciences et les Arts qui s’y Rattachent, M\u00e9moires (auf Franz\u00f6sisch). XIII (13): 201\u2013239.^ ein B Niall McMahon. “Andr\u00e9 L\u00e9v\u00eaque p285, eine \u00dcberpr\u00fcfung seiner Geschwindigkeitsprofil-Approximation”.  Archiviert von das Original am 04.06.2012.^ ein B Martin, H. (2002).  \u201eDie verallgemeinerte L\u00e9v\u00eaque-Gleichung und ihre praktische Verwendung f\u00fcr die Vorhersage von W\u00e4rme- und Stoff\u00fcbertragungsraten aus dem Druckabfall\u201c. Chemieingenieurwesen. 57 (16).  S. 3217\u20133223.  mach:10.1016\/S0009-2509(02)00194-X.^ Schuh, H. (1953).  “\u00dcber asymptotische L\u00f6sungen f\u00fcr den W\u00e4rme\u00fcbergang bei variierenden Wandtemperaturen in einer laminaren Grenzschicht mit Hartrees Geschwindigkeitsprofilen”. Zeitschrift der Luftfahrtwissenschaften. 20 (2).  S. 146\u2013147.  mach:10.2514\/8.2566.^ Kestin, J. & Persen, LN (1962).  \u201eDer W\u00e4rme\u00fcbergang \u00fcber eine turbulente Grenzschicht bei sehr hohen Prandtl-Zahlen\u201c. Internationale Zeitschrift f\u00fcr W\u00e4rme- und Stoff\u00fcbertragung. 5 (5): 355\u2013371.  mach:10.1016\/0017-9310(62)90026-1.^ Schlichting, H. (1979). Grenzschichttheorie (7 Hrsg.).  New York (USA): McGraw-Hill.^ Blasius, H. (1908). “Grenzschichten in Fl\u00fcssigkeiten mit kleiner Reibung”. Zeitschrift f\u00fcr Mathematik und Physik. 56: 1\u201337.  (englische \u00dcbersetzung)^ Martin, Michael J. (2001).  \u201eBlasius Grenzschichtl\u00f6sung mit Schlupfstr\u00f6mungsbedingungen\u201c. Tagungsband der AIP-Konferenz. 585.  S. 518\u2013523.  mach:10.1063.1.1407604.  hdl:2027.42\/87372.^ ein B Geankoplis, Christie J. Transportprozesse und Trennprozessprinzipien: (einschlie\u00dflich Einheitenbetrieb).  Vierte Aufl.  Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Professional Technical Reference, 2003. Drucken.^ Pohlhausen, E. (1921). “Der W\u00e4rmeaustausch zwischen festen K\u00f6rpern und Fl\u00fcssigkeiten mit kleiner reibung und kleiner W\u00e4rmeleitung”. Zeitschrift f\u00fcr Angewandte Mathematik und Mechanik. 1 (2): 115\u2013121.  Bibcode:1921ZaMM….1..115P.  mach:10.1002\/zamm.19210010205.^ ein B Graham Warwick (19. November 2018). “Die Technologiewoche, 19.-23. November 2018”. Luftfahrtwoche & Raumfahrttechnik.Chanson, H. (2009). Angewandte Hydrodynamik: Eine Einf\u00fchrung in ideale und reale Fluidstr\u00f6mungen.  CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Niederlande, 478 Seiten.  ISBN 978-0-415-49271-3.AD Polyanin und VF Zaitsev, Handbuch der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, Chapman & Hall\/CRC Press, Boca Raton \u2013 London, 2004. ISBN 1-58488-355-3AD Polyanin, AM Kutepov, AV Vyazmin und DA Kazenin, Hydrodynamik, Stoff- und W\u00e4rme\u00fcbertragung in der Chemietechnik, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8Hermann Schlichting, Klaus Gersten, E. Krause, H. Jr. Oertel, C. Mayes “Grenzschichttheorie” 8. Auflage Springer 2004 ISBN 3-540-66270-7John D. Anderson, Jr., “Ludwig Prandtls Grenzschicht”, Physik heute, Dezember 2005Anderson, John (1992). Grundlagen der Aerodynamik (2. Aufl.).  Toronto: SSCHAND.  S. 711-714.  ISBN 0-07-001679-8.H. Tennekes und JL Lumley, “A First Course in Turbulence”, The MIT Press, (1972).Vorlesungen \u00fcber Turbulenzen f\u00fcr das 21. Jahrhundert von William K. GeorgeExterne Links[edit]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki27\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki27\/2021\/11\/17\/grenzschicht-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Grenzschicht \u2013 Wikipedia"}}]}]