[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki27\/2021\/11\/17\/n-korper-problem-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki27\/2021\/11\/17\/n-korper-problem-wikipedia\/","headline":"n-K\u00f6rper-Problem \u2013 Wikipedia","name":"n-K\u00f6rper-Problem \u2013 Wikipedia","description":"Problem in Physik und Himmelsmechanik In der Physik ist die n-K\u00f6rperproblem ist das Problem, die einzelnen Bewegungen einer Gruppe von","datePublished":"2021-11-17","dateModified":"2021-11-17","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki27\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki27\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f0c5aab28749b00eb610136b76689a0f6cf57976","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f0c5aab28749b00eb610136b76689a0f6cf57976","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki27\/2021\/11\/17\/n-korper-problem-wikipedia\/","wordCount":24304,"articleBody":"Problem in Physik und Himmelsmechanik  In der Physik ist die  n-K\u00f6rperproblem ist das Problem, die einzelnen Bewegungen einer Gruppe von Himmelsobjekten vorherzusagen, die gravitativ miteinander interagieren.[1]  Die L\u00f6sung dieses Problems wurde durch den Wunsch motiviert, die Bewegungen von Sonne, Mond, Planeten und sichtbaren Sternen zu verstehen.  Im 20. Jahrhundert wurde das Verst\u00e4ndnis der Dynamik von Kugelsternhaufen-Sternsystemen zu einem wichtigen n– K\u00f6rperproblem.[2]  Die n-K\u00f6rperproblem in der Allgemeinen Relativit\u00e4tstheorie ist aufgrund zus\u00e4tzlicher Faktoren wie Zeit- und Raumverzerrungen erheblich schwieriger zu l\u00f6sen.Das klassische physikalische Problem kann informell wie folgt formuliert werden:Angesichts der quasi-station\u00e4ren Bahneigenschaften (Momentanposition, Geschwindigkeit und Zeit)[3]  einer Gruppe von Himmelsk\u00f6rpern, ihre interaktiven Kr\u00e4fte vorhersagen;  und folglich ihre wahren Bahnbewegungen f\u00fcr alle zuk\u00fcnftigen Zeiten vorhersagen.[4]Das Zweik\u00f6rperproblem ist vollst\u00e4ndig gel\u00f6st und wird weiter unten diskutiert, ebenso wie das ber\u00fchmte eingeschr\u00e4nkt Drei-K\u00f6rper-Problem.[5]  Table of ContentsGeschichte[edit]Allgemeine Formulierung[edit]Sonderf\u00e4lle[edit]Zweik\u00f6rperproblem[edit]Drei-K\u00f6rper-Problem[edit]Vier-K\u00f6rper-Problem[edit]Planetenproblem[edit]Zentrale Konfigurationen[edit]n-K\u00f6rperchoreografie[edit]Analytische Ans\u00e4tze[edit]Leistungsreihenl\u00f6sung[edit]Eine verallgemeinerte globale Sundman-L\u00f6sung[edit]Singularities of the n-body problem[edit]Simulation[edit]Wenige Leichen[edit]Viele K\u00f6rper[edit]Starke Gravitation[edit]Sonstiges n– K\u00f6rperprobleme[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Weiterlesen[edit]Externe Links[edit]Geschichte[edit]Drei Orbitalpositionen der Umlaufbahn eines Planeten kennen \u2013 Positionen, die Sir Isaac Newton vom Astronomen John Flamsteed erhalten hat[6]  \u2013 Newton war in der Lage, durch einfache analytische Geometrie eine Gleichung zu erstellen, um die Bewegung eines Planeten vorherzusagen;  dh um seine Bahneigenschaften anzugeben: Position, Bahndurchmesser, Periode und Bahngeschwindigkeit.[7]  Dabei stellten er und andere innerhalb weniger Jahre fest, dass diese Bewegungsgleichungen manche Bahnen nicht richtig oder sogar sehr gut vorhersagen.[8]  Newton erkannte, dass dies daran lag, dass die wechselwirkenden Gravitationskr\u00e4fte zwischen allen Planeten alle ihre Umlaufbahnen beeinflussten.Die obige Entdeckung trifft den Kern der Sache, was genau die n-K\u00f6rperproblem ist physikalisch: Wie Newton erkannte, reicht es nicht aus, nur die Anfangsposition und -geschwindigkeit oder auch drei Bahnpositionen anzugeben, um die wahre Umlaufbahn eines Planeten zu bestimmen: auch die gravitativen Wechselwirkungskr\u00e4fte m\u00fcssen bekannt sein.  So kam das Bewusstsein und der Aufstieg der n-K\u00f6rper-“Problem” im fr\u00fchen 17. Jahrhundert.  Diese gravitativen Anziehungskr\u00e4fte entsprechen Newtons Bewegungsgesetze und zu seinem Gesetz der universellen Gravitation, aber die vielen Vielfachen (n-K\u00f6rper) Wechselwirkungen haben in der Vergangenheit jede exakte L\u00f6sung unhandlich gemacht.  Ironischerweise f\u00fchrte diese \u00dcbereinstimmung zu einem falschen Ansatz.Nach Newtons Zeit die n-K\u00f6rperproblem wurde historisch nicht richtig angegeben weil es keinen Hinweis auf diese interaktiven Gravitationskr\u00e4fte enthielt.  Newton sagt es nicht direkt, sondern impliziert in seinem Principia das n-K\u00f6rperproblem ist wegen dieser gravitativen Wechselwirkungskr\u00e4fte unl\u00f6sbar.[9]  Newton sagte[10]  in seiner Principia, Absatz 21:  Daher findet sich die Anziehungskraft in beiden K\u00f6rpern.  Die Sonne zieht Jupiter und die anderen Planeten an, Jupiter zieht seine Satelliten an und in \u00e4hnlicher Weise wirken die Satelliten aufeinander ein.  Und obwohl die Aktionen eines jeden Planetenpaares auf den anderen voneinander unterschieden werden k\u00f6nnen und als zwei Aktionen angesehen werden k\u00f6nnen, durch die jeder den anderen anzieht, sind sie jedoch, da sie zwischen denselben, zwei K\u00f6rpern liegen, nicht zwei, sondern eine einfache Operation zwischen zwei Termini.  Zwei K\u00f6rper k\u00f6nnen durch die Kontraktion eines Seils zwischen ihnen angezogen werden.  Die Ursache der Handlung ist zweifach, n\u00e4mlich die Disposition jedes der beiden K\u00f6rper;  die Wirkung ist ebenfalls zweifach, sofern sie auf zwei K\u00f6rper wirkt;  aber insofern es zwischen zwei K\u00f6rpern ist, ist es eins und eins …Newton schloss \u00fcber sein drittes Bewegungsgesetz, dass “nach diesem Gesetz alle K\u00f6rper einander anziehen m\u00fcssen”.  Diese letzte Aussage, die die Existenz interaktiver Gravitationskr\u00e4fte impliziert, ist der Schl\u00fcssel.Wie unten gezeigt, entspricht das Problem auch den nicht-Newtonschen ersten und zweiten Prinzipien von Jean Le Rond D’Alembert und dem nichtlinearen n-K\u00f6rperproblemalgorithmus, wobei letzterer eine geschlossene L\u00f6sung zur Berechnung dieser interaktiven Kr\u00e4fte erm\u00f6glicht.Das Problem, die allgemeine L\u00f6sung von zu finden n-K\u00f6rperproblem wurde als sehr wichtig und herausfordernd angesehen.  Tats\u00e4chlich richtete K\u00f6nig Oscar II. von Schweden Ende des 19. Jahrhunderts, beraten von G\u00f6sta Mittag-Leffler, einen Preis f\u00fcr jeden ein, der die L\u00f6sung des Problems finden konnte.  Die Ank\u00fcndigung war ganz konkret:Versuchen Sie bei einem System beliebig vieler Massenpunkte, die sich nach dem Newtonschen Gesetz anziehen, unter der Annahme, dass niemals zwei Punkte kollidieren, eine Darstellung der Koordinaten jedes Punktes als Reihe in einer Variablen zu finden, die eine bekannte Funktion der Zeit ist und f\u00fcr alle deren Werte die Reihe konvergiert gleichm\u00e4\u00dfig.Falls das Problem nicht gel\u00f6st werden konnte, w\u00fcrde dann jeder andere wichtige Beitrag zur klassischen Mechanik als preisw\u00fcrdig angesehen.  Der Preis wurde Poincar\u00e9 verliehen, obwohl er das urspr\u00fcngliche Problem nicht l\u00f6ste.  (Die erste Version seines Beitrags enthielt sogar einen gravierenden Fehler[11]).  Die schlie\u00dflich gedruckte Version enthielt viele wichtige Ideen, die zur Entwicklung der Chaostheorie f\u00fchrten.  Das urspr\u00fcnglich genannte Problem wurde schlie\u00dflich von Karl Fritiof Sundman f\u00fcr . gel\u00f6st n = 3.Allgemeine Formulierung[edit]Die n-K\u00f6rperproblem ber\u00fccksichtigt n Punktmassen mich, ich = 1, 2, \u2026, n  in einem Tr\u00e4gheitsbezugssystem im dreidimensionalen Raum r3  sich unter dem Einfluss gegenseitiger Gravitationsanziehung bewegen.  Jede Masse mich  hat einen Ortsvektor Qich.  Das zweite Newtonsche Gesetz besagt, dass Masse mal Beschleunigung mich D2Qich\/dt2  gleich der Summe der Kr\u00e4fte auf die Masse ist.  Das Newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass die auf die Masse wirkende Gravitationskraft mich  durch eine einzige Masse mJ  wird gegeben von[12]FichJ=gmichmJIchQJ\u2212QichIch2\u22c5(QJ\u2212Qich)IchQJ\u2212QichIch=gmichmJ(QJ\u2212Qich)IchQJ\u2212QichIch3,{displaystyle mathbf {F}_{ij}={frac {Gm_{i}m_{j}}{left|mathbf {q}_{j}-mathbf {q}_{i} right|^{2}}}cdot {frac {left(mathbf {q}_{j}-mathbf {q}_{i}right)}{left|mathbf { q}_{j}-mathbf{q}_{i}right|}}={frac {Gm_{i}m_{j}left(mathbf{q}_{j}-mathbf {q}_{i}right)}{left|mathbf{q}_{j}-mathbf{q}_{i}right|^{3}}},}wo g ist die Gravitationskonstante und ||QJ  \u2212 Qich|| ist die Gr\u00f6\u00dfe des Abstands zwischen Qich  und QJ  (Metrik induziert durch die l2  Norm).Summieren \u00fcber alle Massen ergibt die n-K\u00f6rper Bewegungsgleichungen:michD2QichDT2=\u03a3J=1J\u2260ichngmichmJ(QJ\u2212Qich)IchQJ\u2212QichIch3=\u2212\u2202U\u2202Qich{displaystyle m_{i}{frac {d^{2}mathbf {q}_{i}}{dt^{2}}}=sum _{j=1 atop jneq i}^ {n}{frac{Gm_{i}m_{j}left(mathbf{q}_{j}-mathbf{q}_{i}right)}{left|mathbf{q } _{j}-mathbf{q}_{i}right|^{3}}}=-{frac {partial U}{partialmathbf {q}_{i}}}}wo U ist der Selbstpotential EnergieU=\u2212\u03a31\u2264ichQichIch.{displaystyle U=-sum_{1leq iPichDPichDT=\u2212\u2202h\u2202Qich,{displaystyle {frac {dmathbf {q} _{i}}{dt}}={frac {partial H}{partialmathbf {p}_{i}}}qquad {frac {dmathbf{p}_{i}}{dt}}=-{frac {partial H}{partialmathbf{q}_{i}}},}wobei die Hamilton-Funktion isth=T+U{displaystyle H=T+U}und T ist die kinetische EnergieT=\u03a3ich=1nIchPichIch22mich.{displaystyle T=sum _{i=1}^{n}{frac {left|mathbf {p} _{i}right|^{2}}{2m_{i}}} .}Hamiltons Gleichungen zeigen, dass die n-K\u00f6rperproblem ist ein System von 6n  Differentialgleichungen erster Ordnung, mit 6n  Anfangsbedingungen wie 3n  Anfangspositionskoordinaten und 3n  Anfangsimpulswerte.Symmetrien in der n-K\u00f6rperproblem ergeben globale Bewegungsintegrale, die das Problem vereinfachen.[14]Translationssymmetrie des Problems ergibt den SchwerpunktC=\u03a3ich=1nmichQich\u03a3ich=1nmich{displaystyle mathbf {C} ={frac {displaystyle sum _{i=1}^{n}m_{i}mathbf {q} _{i}}{displaystyle sum _{i= 1}^{n}m_{i}}}}mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, so dass C = L0T + C0, wo L0  ist die Lineargeschwindigkeit und C0  ist die Ausgangslage.  Die Bewegungskonstanten L0  und C0  sechs Integrale der Bewegung darstellen.  Rotationssymmetrie f\u00fchrt dazu, dass der Gesamtdrehimpuls konstant istEIN=\u03a3ich=1nQich\u00d7Pich,{displaystyle mathbf {A} =sum _{i=1}^{n}mathbf {q} _{i}times mathbf {p}_{i},}wobei \u00d7 das Kreuzprodukt ist.  Die drei Komponenten des Gesamtdrehimpulses EIN  ergeben drei weitere Konstanten der Bewegung.  Die letzte allgemeine Konstante der Bewegung ist durch die Energieerhaltung gegeben h.  Daher ist jeder n-K\u00f6rperproblem hat zehn Bewegungsintegrale.Weil T und U homogene Funktionen vom Grad 2 bzw. \u22121 sind, haben die Bewegungsgleichungen eine Skalierungsinvarianz: wenn Qich(T) ist eine L\u00f6sung, dann ist es auch \u03bb\u22122\/3Qich(t) f\u00fcr jeden \u03bb > 0.[15]Das Tr\u00e4gheitsmoment von an n-K\u00f6rpersystem ist gegeben durchich=\u03a3ich=1nmichQich\u22c5Qich=\u03a3ich=1nmichIchQichIch2{displaystyle I=sum _{i=1}^{n}m_{i}mathbf {q} _{i}cdot mathbf {q} _{i}=sum _{i=1} ^{n}m_{i}left|mathbf{q}_{i}right|^{2}}und der viral wird gegeben von Q = 1\/2 di\/dt.  Dann ist die Lagrange-Jacobi-Formel besagt, dass[16]D2ichDT2=2T\u2212U.{displaystyle {frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.}F\u00fcr Systeme in dynamisches Gleichgewicht, der langj\u00e4hrige Durchschnitt von IchD2ich\/dt2Ich ist null.  Dann ist im Durchschnitt die gesamte kinetische Energie die H\u00e4lfte der gesamten potentiellen Energie, IchT= 1\/2IchUIch, das ein Beispiel f\u00fcr den Virialsatz f\u00fcr Gravitationssysteme ist.[17]  Wenn m ist die Gesamtmasse und R eine charakteristische Gr\u00f6\u00dfe des Systems (zum Beispiel der Radius, der die halbe Masse des Systems enth\u00e4lt), dann ist die kritische Zeit f\u00fcr ein System, um sich in ein dynamisches Gleichgewicht einzupendeln,[18]TCR=gmR3.{displaystyle t_{mathrm {cr}}={sqrt {frac {GM}{R^{3}}}}.}Sonderf\u00e4lle[edit]Zweik\u00f6rperproblem[edit]Jede Diskussion planetarischer interaktiver Kr\u00e4fte hat historisch immer mit dem Zwei-K\u00f6rper-Problem begonnen.  Der Zweck dieses Abschnitts ist es, die wirkliche Komplexit\u00e4t bei der Berechnung von planetarischen Kr\u00e4ften in Beziehung zu setzen.  Beachten Sie in diesem Abschnitt auch mehrere Themen, wie Schwerkraft, Schwerpunkt, Keplersche Gesetze usw.;  und auch im folgenden Abschnitt (Dreik\u00f6rperproblem) werden auf anderen Wikipedia-Seiten diskutiert.  Hier werden diese Themen jedoch aus der Perspektive der n– K\u00f6rperproblem.Das Zweik\u00f6rperproblem (n = 2) wurde von Johann Bernoulli (1667\u20131748) vollst\u00e4ndig gel\u00f6st von klassisch Theorie (und nicht von Newton) unter der Annahme, dass die Hauptpunktmasse Fest;  dies ist hier skizziert.[19]  Betrachten Sie dann die Bewegung zweier K\u00f6rper, sagen wir der Sonne und der Erde, mit der Sonne Fest, dann:m1ein1=gm1m2R123(R2\u2212R1)Sonne\u2013Erdem2ein2=gm1m2R213(R1\u2212R2)Erde\u2013Sonne{displaystyle {begin{aligned}m_{1}mathbf {a} _{1}&={frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}( mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1})&&quad {text{Sonne\u2013Erde}}\\m_{2}mathbf {a} _{2}&={ frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(mathbf{r}_{1}-mathbf{r}_{2})&&quad {text{ Erde\u2013Sonne}}end{ausgerichtet}}}Die Gleichung zur Beschreibung der Massenbewegung m2  relativ zur Masse m1  wird leicht aus den Unterschieden zwischen diesen beiden Gleichungen erhalten und ergibt nach Aufhebung gemeinsamer Terme:ein+\u03b7R3R=0{displaystyle mathbf {a} +{frac {eta }{r^{3}}}mathbf {r} =mathbf {0}}WoherR = R2 \u2212 R1  ist die Vektorposition von m2  relativ zu m1;\u03b1 ist der Eulerian Beschleunigung D2R\/dt2;\u03b7 = g(m1 + m2).Die gleichung \u03b1 + \u03b7\/R3R = 0 ist die fundamentale Differentialgleichung f\u00fcr das 1734 gel\u00f6ste Zwei-K\u00f6rper-Problem von Bernoulli. Beachten Sie, dass f\u00fcr diesen Ansatz zuerst die Kr\u00e4fte bestimmt werden m\u00fcssen, dann die Bewegungsgleichung aufgel\u00f6st werden.  Diese Differentialgleichung hat elliptische oder parabolische oder hyperbolische L\u00f6sungen.[20][21][22]Es ist falsch zu denken m1  (die Sonne) als im Raum fixiert, wenn man das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation anwendet und dies zu falschen Ergebnissen f\u00fchrt.  Der Fixpunkt zweier isolierter gravitativ wechselwirkender K\u00f6rper ist ihr gegenseitiger Schwerpunkt, und dieses Zweik\u00f6rperproblem l\u00e4sst sich exakt l\u00f6sen, indem man beispielsweise Jacobi-Koordinaten relativ zum Schwerpunkt verwendet.Dr. Clarence Cleminshaw berechnete die ungef\u00e4hre Position des Schwerpunkts des Sonnensystems, ein Ergebnis, das haupts\u00e4chlich durch die Kombination nur der Massen von Jupiter und Sonne erreicht wurde. Wissenschaftsprogramm sagte in Bezug auf seine Arbeit:Die Sonne enth\u00e4lt 98 Prozent der Masse des Sonnensystems, wobei die \u00fcbergeordneten Planeten jenseits des Mars den gr\u00f6\u00dften Teil des Rests ausmachen.  Im Durchschnitt liegt der Massenschwerpunkt des Sonne-Jupiter-Systems, wenn man die beiden massereichsten Objekte allein betrachtet, 462.000 Meilen vom Sonnenzentrum entfernt, oder etwa 30.000 Meilen \u00fcber der Sonnenoberfl\u00e4che!  Aber auch andere gro\u00dfe Planeten beeinflussen den Massenschwerpunkt des Sonnensystems.  1951 zum Beispiel war der Massenschwerpunkt der Systeme nicht weit vom Sonnenzentrum entfernt, weil Jupiter auf der gegen\u00fcberliegenden Seite von Saturn, Uranus und Neptun lag.  In den sp\u00e4ten 1950er Jahren, als sich alle vier dieser Planeten auf derselben Seite der Sonne befanden, war der Massenschwerpunkt des Systems mehr als 330.000 Meilen von der Sonnenoberfl\u00e4che entfernt, hat Dr. CH Cleminshaw vom Griffith Observatory in Los Angeles berechnet.[23]  Echte Bewegung im Vergleich zu Keplers scheinbarer BewegungDie Sonne wackelt, w\u00e4hrend sie sich um das galaktische Zentrum dreht und das Sonnensystem und die Erde mit sich zieht.  Was der Mathematiker Kepler bei seinen drei ber\u00fchmten Gleichungen tat, war die Kurvenanpassung der scheinbaren Bewegungen der Planeten anhand der Daten von Tycho Brahe, und nicht Kurvenanpassung ihrer wahren Kreisbewegungen um die Sonne (siehe Abbildung).  Sowohl Robert Hooke als auch Newton waren sich bewusst, dass Newtons Gesetz der universellen Gravitation galt nicht f\u00fcr die Kr\u00e4fte, die mit elliptischen Bahnen verbunden sind.[10]  Tats\u00e4chlich ber\u00fccksichtigt Newtons Universalgesetz nicht die Umlaufbahn von Merkur, das Gravitationsverhalten des Asteroideng\u00fcrtels oder die Saturnringe.[24]  Newton erkl\u00e4rte (in Abschnitt 11 des Principia), dass der Hauptgrund f\u00fcr das Vers\u00e4umnis, die Kr\u00e4fte f\u00fcr elliptische Bahnen vorherzusagen, jedoch darin bestand, dass sein mathematisches Modell auf einen K\u00f6rper beschr\u00e4nkt war, der auf eine Situation beschr\u00e4nkt war, die in der realen Welt kaum existierte, n\u00e4mlich die Bewegungen von K\u00f6rpern, die von einem unbewegten Zentrum angezogen wurden.  Einige gegenw\u00e4rtige Lehrb\u00fccher der Physik und Astronomie betonen nicht die negative Bedeutung von Newtons Annahme und lehren schlie\u00dflich, dass sein mathematisches Modell tats\u00e4chlich der Realit\u00e4t entspricht.  Es versteht sich, dass die obige klassische Zweik\u00f6rper-Probleml\u00f6sung eine mathematische Idealisierung ist.  Siehe auch Keplers erstes Gesetz der Planetenbewegung.Drei-K\u00f6rper-Problem[edit]Dieser Abschnitt bezieht sich auf einen historisch wichtigen n-K\u00f6rper-Probleml\u00f6sung, nachdem vereinfachende Annahmen getroffen wurden.In der Vergangenheit war nicht viel \u00fcber die n-K\u00f6rperproblem f\u00fcr n 3.[25]  Der Fall n = 3 wurde am meisten untersucht.  Viele fr\u00fchere Versuche, die Drei-K\u00f6rper-Problem waren quantitativ und zielten darauf ab, explizite L\u00f6sungen f\u00fcr spezielle Situationen zu finden.1687 ver\u00f6ffentlichte Isaac Newton in der Principia die ersten Schritte in der Untersuchung des Problems der Bewegungen dreier K\u00f6rper, die ihrer gegenseitigen Anziehungskraft unterliegen, aber seine Bem\u00fchungen f\u00fchrten zu verbalen Beschreibungen und geometrischen Skizzen;  siehe insbesondere Buch 1, Proposition 66 und seine Folgerungen (Newton, 1687 und 1999, siehe auch Tisserand, 1894).Im Jahr 1767 fand Euler kollineare Bewegungen, bei denen sich drei K\u00f6rper beliebiger Massen proportional entlang einer festen Geraden bewegen.  Das Eulersche Drei-K\u00f6rper-Problem ist der Spezialfall, bei dem zwei der K\u00f6rper im Raum fixiert sind (nicht zu verwechseln mit dem zirkular eingeschr\u00e4nkten Drei-K\u00f6rper-Problem, bei dem die beiden massiven K\u00f6rper eine Kreisbahn beschreiben und nur in ein synodischer Bezugsrahmen).1772 entdeckte Lagrange zwei Klassen periodischer L\u00f6sungen, jede f\u00fcr drei K\u00f6rper beliebiger Masse.  In einer Klasse liegen die K\u00f6rper auf einer rotierenden Geraden.  In der anderen Klasse liegen die K\u00f6rper an den Ecken eines rotierenden gleichseitigen Dreiecks.  In beiden F\u00e4llen sind die Pfade der K\u00f6rper konische Abschnitte.  Diese L\u00f6sungen f\u00fchrten zum Studium von zentrale Konfigurationen, f\u00fcr die Q = kq  f\u00fcr eine Konstante k > 0.Eine umfassende Studie \u00fcber das System Erde-Mond-Sonne wurde von Charles-Eug\u00e8ne Delaunay durchgef\u00fchrt, der 1860 und 1867 zwei B\u00e4nde zu diesem Thema mit jeweils 900 Seiten L\u00e4nge ver\u00f6ffentlichte. Neben vielen anderen Errungenschaften deutet das Werk bereits auf Chaos hin , und zeigt deutlich das Problem der sogenannten “kleiner Nenner\u201c in der St\u00f6rungstheorie.1917 ver\u00f6ffentlichte Forest Ray Moulton seinen mittlerweile Klassiker Eine Einf\u00fchrung in die Himmelsmechanik (siehe Referenzen) mit seiner Handlung der eingeschr\u00e4nktes Drei-K\u00f6rper-Problem L\u00f6sung (siehe Abbildung unten).[26]  Nebenbei, siehe Meirovitchs Buch, Seiten 413\u2013414 f\u00fcr seine eingeschr\u00e4nkte Drei-K\u00f6rper-Probleml\u00f6sung.[27]  Bewegung von drei Teilchen unter der Schwerkraft, die ein chaotisches Verhalten demonstriertMoultons L\u00f6sung ist m\u00f6glicherweise einfacher zu visualisieren (und definitiv einfacher zu l\u00f6sen), wenn man den massereicheren K\u00f6rper (wie die Sonne) als station\u00e4r im Raum betrachtet und den weniger massereichen K\u00f6rper (wie Jupiter) um ihn herum kreist, mit dem Gleichgewichtspunkte (Lagrange-Punkte), die den 60\u00b0-Abstand vor und hinter dem weniger massiven K\u00f6rper fast in seiner Umlaufbahn beibehalten (obwohl in Wirklichkeit keiner der K\u00f6rper wirklich station\u00e4r ist, da beide den Massenschwerpunkt des gesamten Systems umkreisen\u2014 \u00fcber den Schwerpunkt).  Bei ausreichend kleinem Massenverh\u00e4ltnis der Prim\u00e4rfarben sind diese dreieckigen Gleichgewichtspunkte stabil, so dass (fast) masselose Teilchen um diese Punkte kreisen, wenn sie um die gr\u00f6\u00dfere Prim\u00e4rwelle (Sonne) kreisen.  Die f\u00fcnf Gleichgewichtspunkte des Kreisproblems werden als Lagrange-Punkte bezeichnet.  Siehe Abbildung unten:  Eingeschr\u00e4nktes Drei-K\u00f6rper-ProblemIn dem eingeschr\u00e4nktes Dreik\u00f6rperproblem mathematische Modellfigur oben (nach Moulton), die Lagrange-Punkte L4 und ich5 sind die trojanischen Planetoiden (siehe Lagrange-Punkt); m1  ist die Sonne und m2  ist Jupiter.  L2 ist ein Punkt innerhalb des Asteroideng\u00fcrtels.  F\u00fcr dieses Modell muss realisiert werden, dass dieses ganze Sonne-Jupiter-Diagramm um seinen Schwerpunkt rotiert.  Die eingeschr\u00e4nkte Drei-K\u00f6rper-Probleml\u00f6sung sagte die Trojanischen Planetoiden vorher, bevor sie zum ersten Mal gesehen wurden.  Die h-Kreise und geschlossene Schleifen spiegeln die elektromagnetischen Fl\u00fcsse wider, die von Sonne und Jupiter ausgehen.  Es wird vermutet, dass im Gegensatz zu Richard H. Batins Vermutung (siehe Referenzen) die beiden h1  sind Schwerkraftsenken, in denen die Gravitationskr\u00e4fte null sind, und der Grund, warum die trojanischen Planetoiden dort gefangen sind.  Die Gesamtmasse der Planetoiden ist unbekannt.Das eingeschr\u00e4nkte Dreik\u00f6rperproblem, das die Masse eines der K\u00f6rper annimmt, ist vernachl\u00e4ssigbar.[citation needed]  F\u00fcr eine Diskussion des Falles, in dem der vernachl\u00e4ssigbare K\u00f6rper ein Satellit des K\u00f6rpers mit geringerer Masse ist, siehe Hill sphere;  f\u00fcr bin\u00e4re Systeme siehe Roche-Lobe.  Spezifische L\u00f6sungen f\u00fcr das Drei-K\u00f6rper-Problem f\u00fchren zu chaotischen Bewegungen ohne offensichtliche Anzeichen f\u00fcr einen sich wiederholenden Weg.[citation needed]Das eingeschr\u00e4nkte Problem (sowohl kreisf\u00f6rmig als auch elliptisch) wurde von vielen ber\u00fchmten Mathematikern und Physikern ausf\u00fchrlich bearbeitet, insbesondere von Poincar\u00e9 Ende des 19. Jahrhunderts.  Poincar\u00e9s Arbeit am eingeschr\u00e4nkten Dreik\u00f6rperproblem war die Grundlage der deterministischen Chaostheorie.[citation needed]  Im eingeschr\u00e4nkten Problem gibt es f\u00fcnf Gleichgewichtspunkte.  Drei sind kollinear mit den Massen (im rotierenden Rahmen) und sind instabil.  Die verbleibenden zwei befinden sich auf dem dritten Scheitelpunkt beider gleichseitigen Dreiecke, von denen die beiden K\u00f6rper der erste und der zweite Scheitelpunkt sind.Vier-K\u00f6rper-Problem[edit]Inspiriert durch das zirkular eingeschr\u00e4nkte Drei-K\u00f6rper-Problem kann das Vier-K\u00f6rper-Problem stark vereinfacht werden, indem man einen kleineren K\u00f6rper mit einer geringen Masse im Vergleich zu den anderen drei massiven K\u00f6rpern betrachtet, die wiederum approximiert werden, um Kreisbahnen zu beschreiben.  Dies ist als bizirkul\u00e4res eingeschr\u00e4nktes Vier-K\u00f6rper-Problem (auch als bizirkulares Modell bekannt) bekannt und kann in einem NASA-Bericht von Su-Shu Huang bis ins Jahr 1960 zur\u00fcckverfolgt werden.[28]  Diese Formulierung war in der Astrodynamik von gro\u00dfer Bedeutung, haupts\u00e4chlich um die Flugbahn von Raumfahrzeugen im Erde-Mond-System unter Hinzuf\u00fcgung der Gravitationsanziehung der Sonne zu modellieren.  Die fr\u00fchere Formulierung des bizirkular eingeschr\u00e4nkten Vierk\u00f6rperproblems kann problematisch sein, wenn andere Systeme als Erde-Mond-Sonne modelliert werden, daher wurde die Formulierung von Negri und Prado . verallgemeinert[29]  um den Anwendungsbereich zu erweitern und die Genauigkeit ohne Verlust an Einfachheit zu verbessern.Planetenproblem[edit]Die Planetenproblem ist der n-K\u00f6rperproblem f\u00fcr den Fall, dass eine der Massen viel gr\u00f6\u00dfer ist als alle anderen.  Ein prototypisches Beispiel f\u00fcr ein planetarisches Problem ist das Sonne-Jupiter-Saturn-System, bei dem die Masse der Sonne etwa 100-mal gr\u00f6\u00dfer ist als die Masse von Jupiter oder Saturn.[15]  Eine ungef\u00e4hre L\u00f6sung des Problems ist die Zerlegung in n \u2212 1 Paare von Stern-Planet-Kepler-Problemen, die Wechselwirkungen zwischen den Planeten als St\u00f6rungen behandeln.  Die perturbative Approximation funktioniert gut, solange es keine Orbitalresonanzen im System gibt, dh keines der Verh\u00e4ltnisse der ungest\u00f6rten Kepler-Frequenzen eine rationale Zahl ist.  Resonanzen treten als kleine Nenner in der Expansion auf.Die Existenz von Resonanzen und kleinen Nennern f\u00fchrte zu der wichtigen Frage der Stabilit\u00e4t des Planetenproblems: Bleiben Planeten in nahezu kreisf\u00f6rmigen Umlaufbahnen um einen Stern im Laufe der Zeit auf stabilen oder begrenzten Umlaufbahnen?[15][30]  Im Jahr 1963 bewies Vladimir Arnold mit Hilfe der KAM-Theorie eine Art Stabilit\u00e4t des Planetenproblems: Beim Planetenproblem, das auf die Ebene beschr\u00e4nkt ist, existiert ein positives Ma\u00df von quasiperiodischen Bahnen.[30]  In der KAM-Theorie w\u00fcrden chaotische Planetenbahnen durch quasiperiodische KAM-Tori begrenzt.  Arnolds Ergebnis wurde 2004 von F\u00e9joz und Herman zu einem allgemeineren Theorem erweitert.[31]Zentrale Konfigurationen[edit]Eine zentrale Konfiguration Q1(0), \u2026, Qn(0) ist eine Anfangskonfiguration, bei der, wenn die Teilchen alle mit der Geschwindigkeit Null freigesetzt w\u00fcrden, sie alle in Richtung des Massenzentrums kollabieren w\u00fcrden C.[30]  Eine solche Bewegung hei\u00dft homothetisch.  Auch zentrale Konfigurationen k\u00f6nnen zu homographische Bewegungen in dem sich alle Massen entlang Keplerschen Bahnen (elliptisch, kreisf\u00f6rmig, parabolisch oder hyperbolisch) bewegen, wobei alle Bahnen die gleiche Exzentrizit\u00e4t haben e.  F\u00fcr elliptische Bahnen, e = 1 entspricht homothetischer Bewegung und e = 0 gibt ein relative Gleichgewichtsbewegung wobei die Konfiguration eine Isometrie der urspr\u00fcnglichen Konfiguration bleibt, als ob die Konfiguration ein starrer K\u00f6rper w\u00e4re.[32]  Zentrale Konfigurationen haben eine wichtige Rolle beim Verst\u00e4ndnis der Topologie invarianten Mannigfaltigkeiten gespielt, die durch die Festlegung der ersten Integrale eines Systems erzeugt wurden.n-K\u00f6rperchoreografie[edit]L\u00f6sungen, bei denen sich alle Massen auf dem gleich kollisionsfreie Kurven werden als Choreographien bezeichnet.[33]  Eine Choreographie f\u00fcr n = 3 wurde 1772 von Lagrange entdeckt, bei dem sich drei K\u00f6rper an den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks im rotierenden Rahmen befinden.  Eine Achterchoreografie f\u00fcr n = 3 wurde 1993 von C. Moore numerisch gefunden[34]  und verallgemeinert und bewiesen von A. Chenciner und R. Montgomery im Jahr 2000.[35]  Seitdem wurden viele andere Choreografien gefunden f\u00fcr n 3.Analytische Ans\u00e4tze[edit]F\u00fcr jede L\u00f6sung des Problems f\u00fchrt nicht nur die Anwendung einer Isometrie oder einer Zeitverschiebung, sondern auch eine Zeitumkehr (anders als bei der Reibung) eine L\u00f6sung.[citation needed]In der physikalischen Literatur \u00fcber die n– K\u00f6rperproblem (n 3), wird manchmal Bezug genommen auf die Unm\u00f6glichkeit, das Problem zu l\u00f6sen n-K\u00f6rperproblem (\u00fcber den obigen Ansatz).[citation needed]  Allerdings ist bei der Diskussion der ‘Unm\u00f6glichkeit’ einer L\u00f6sung Vorsicht geboten, da sich dies nur auf die Methode der ersten Integrale bezieht (vgl. die S\u00e4tze von Abel und Galois \u00fcber die Unm\u00f6glichkeit, algebraische Gleichungen ab Grad f\u00fcnf mittels Formeln zu l\u00f6sen nur mit Wurzeln).Leistungsreihenl\u00f6sung[edit]Ein Weg zur L\u00f6sung des klassischen n-K\u00f6rperproblem ist “der n-K\u00f6rperproblem der Taylor-Reihe”.Wir beginnen mit der Definition des Systems der Differentialgleichungen:[citation needed]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki27\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki27\/2021\/11\/17\/n-korper-problem-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"n-K\u00f6rper-Problem \u2013 Wikipedia"}}]}]